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Chapter 7 · Fractions

भिन्न लिखने का हमारा तरीक़ा कहाँ से आया

Adding and subtracting, and where the notation came from11 मिनट

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3 बटा 4 — एक संख्या दूसरी के ऊपर, बीच में एक line। लगता है हमेशा से ऐसा ही था, पर ऐसा नहीं था। एक बहुत पुराने भारतीय तरीके में आधा ऐसे लिखा जाता था: ऊपर 1, नीचे 2 — बस बीच की line नहीं। वो line सदियों बाद आई, और चिह्न का सबसे नया हिस्सा है।

मुख्य idea

Notation सजावट नहीं है; वह तय करता है कि आप क्या कह सकते हैं। दो प्राचीन सभ्यताएँ भिन्नें मुख्य रूप से ऊपर 1 रखकर लिखती थीं, और बाक़ी मात्राओं को ऐसे टुकड़ों के जोड़ से बनाती थीं — जिससे आम मात्राएँ पहेलियाँ बन जाती थीं और जोड़ का कोई आम नियम पहुँच से बाहर हो जाता था। लिखने का भारतीय तरीक़ा, यानी एक संख्या दूसरी के ऊपर, और ऊपर वाली पर कोई पाबंदी नहीं, क़दम का आकार और गिनती एक ही पल में दिखा देता है, और ठीक इसी से Brahmagupta एक ऐसा नियम लिख पाए जो भिन्नों की हर जोड़ी पर चलता है, न कि ऐसी तरकीब जो कुछ पर चलती हो। आज आप जो ऊपर-नीचे वाला रूप इस्तेमाल करते हैं वह भारत से आया और उसकी बीच की line Morocco में जुड़ी; उसके जीतने की वजह यह है कि उसने आम कथन कहना मुमकिन बना दिया।

आपको क्या आना चाहिए

  • chapter भिन्न के लिए जो संस्कृत शब्द बताता है वे देना, और उनका मतलब बताना
  • बताना कि Bakshali manuscript में भिन्न कैसे लिखी जाती थी, और आज के रूप की तुलना में उसमें क्या नहीं है
  • नाम वाले गणितज्ञों और बीच की line के आने को समय के क्रम में रखना
  • समझाना कि सिर्फ़ fractional units तक सीमित कोई व्यवस्था सीधे क्या लिख सकती है और क्या नहीं
  • किसी दी गई भिन्न को अलग-अलग fractional units के जोड़ के रूप में लिखना
  • बताना कि Brahmagupta ने ख़ुद तरीक़े के अलावा क्या योगदान दिया
  • तर्क देना कि कोई भी दो अलग fractional units मिलकर एक पूरा नहीं बना सकतीं
  • तीन अलग fractional units का वह अकेला set ढूँढ़ना जो मिलकर एक पूरा बनाता है, और समझाना कि वह अकेला क्यों है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
bhinnaभिन्न के लिए संस्कृत शब्द, जिसका मतलब है टूटा हुआभिन्न§7.9, p.182 पर छपा
bhagaपन्ना जो दो और संस्कृत शब्द देता है उनमें से एक, जिसका अर्थ ansha के साथ मिलाकर हिस्सा या टुकड़ा बताया गया हैभाग§7.9, p.182 पर छपा
anshaउस जोड़ी का दूसरा; पन्ना दोनों में से किसी का अलग अर्थ नहीं देताअंश§7.9, p.182 पर छपा
Bakshali manuscriptवह प्राचीन भारतीय ग्रंथ जिसे chapter लगभग 300 CE का बताता हैबख्शाली पांडुलिपि§7.9, p.182 पर छपा
Brahmaguptaवह गणितज्ञ जिन्होंने पहली बार नियमों को औपचारिक रूप से लिखा, 628 CEब्रह्मगुप्त§7.9, p.182 पर छपा
Al-HassarMorocco के वह गणितज्ञ जिन्होंने बीच की line जोड़ीअल-हस्सार§7.9, p.183 पर छपा
Egyptian fractionsकोई आम मात्रा, अलग-अलग fractional units के जोड़ के रूप में लिखी हुईमिस्री भिन्न§7.9, p.183 पर छपा
fractional unitऊपर 1 वाली भिन्न — वह प्रकार जिसे वे व्यवस्थाएँ मुख्य रूप से सीधे लिखती थींइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा; §7.9, p.183 में फिर केंद्र में
numeratorऊपर वाली संख्या, जिसे भारतीय व्यवस्था कुछ भी होने देती थीअंश§7.3, p.158 पर छपा; §7.9, p.183 की मुख्य बात
Sulbaवे प्राचीन भारतीय ग्रंथ जिनका हवाला chapter वैदिक काल के भिन्न वाले नियमों के लिए देता हैशुल्ब§7.9, p.183 पर छपा; p.183 पर पक्का किया गया, जहाँ पूरा समास line के टूटने पर hyphen से बँटा है और इसलिए पूरा extract नहीं होता
Egyptian-fraction expansionकिसी मात्रा को अलग-अलग fractional units में तोड़ने की क्रिया—यहाँ जोड़ा गया वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली और नामों के standard लिप्यंतरण दिए गए हैं। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "इतिहास बस सजावट वाली एक अलग बात है।" यह chapter का तर्क है कि notation की शक्ल ऐसी क्यों है। Section 7 को यह जुड़ाव साफ़-साफ़ दिखाना होगा, वरना पूरा topic नामों की एक सूची बनकर रह जाता है।
  • "भिन्नों का आविष्कार भारत में हुआ।" chapter यह नहीं कहता — वह कहता है कि भिन्नें Egypt और Babylon में भी इस्तेमाल होती थीं, और बिना पाबंदी वाली ऊपर की संख्या वाला आम रूप, और उसके हिसाब के नियम, भारत से आए। असली दिलचस्प बात यही फ़र्क़ है और इसे मिटाना नहीं चाहिए।
  • "Egyptian fraction एक अलग तरह की संख्या है।" यह वही संख्या है, जोड़ के रूप में लिखी हुई। उन्नीस चौबीसवें को number line पर एक बार mark करके दिखाओ और फिर उसे तीन तरह से लिखो।
  • "कोई भी मात्रा अलग-अलग fractional units के जोड़ के रूप में लिखी जा सकती है, इसलिए यह बिना किसी सार की एक तरकीब है।" तीन टुकड़ों वाली पहेली का ठीक एक जवाब है, और चार टुकड़ों वाली के छह। आज़ादी नहीं, पाबंदी ही इसे पहेली बनाती है।
  • "बीच की line हमेशा से थी।" वह ऊपर-नीचे वाले रूप के सदियों बाद आई, और कहीं और से। section का सबसे चौंकाने वाला तथ्य यही है और इसे उसी तरह रखना चाहिए।
  • "पुराना notation मतलब कमज़ोर गणितज्ञ।" chapter की अपनी सूची 300 CE से 850 CE तक जाती है, notation लगभग बदले बिना, और बीच में आम नियम कहे गए। notation बेहतर हुआ; गणित पहले से वहाँ था।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,630 शब्द

इस चिह्न को देखिए: 3 बटा 4। एक संख्या दूसरी के ऊपर, और बीच में एक line। ये इतना आम है कि लगता है, हमेशा से ऐसा ही था। पर ऐसा नहीं था। इस आकार का एक इतिहास है, और उस इतिहास में एक तर्क छिपा है: आप कैसे लिखते हैं, उसी से तय होता है कि आप क्या कह सकते हैं। शुरुआत इससे कीजिए, कि भिन्न को इस रूप से पहले क्या कहा जाता था।

संस्कृत में शब्द है 'भिन्न', जिसका अर्थ है 'टूटा हुआ'। वही शब्द, जो आज भी हम बोलते हैं। 2 और शब्द भी इस्तेमाल होते थे: 'भाग' और 'अंश'। दोनों का मतलब है, किसी चीज़ का हिस्सा या टुकड़ा। ध्यान दीजिए, ये शब्द किसी चिह्न को नहीं, एक क्रिया को बताते हैं: कोई पूरी चीज़ तोड़ी गई, और आपके हाथ में उसका एक हिस्सा है। अब देखिए भिन्न लिखने का एक बहुत पुराना भारतीय तरीका, जो एक प्राचीन गणितीय पांडुलिपि में मिलता है।

उसमें आधा ऐसे लिखा गया: ऊपर 1, और उसके ठीक नीचे 2। अब आज का रूप उसके बगल में रखिए। वही 2 संख्याएँ, उन्हीं जगहों पर। फ़र्क सिर्फ़ एक है, और एक ही: बीच में कोई line नहीं है। जगह ही सारा काम कर रही थी: नीचे वाली संख्या टुकड़े का नाम बताती थी, और ऊपर वाली उन्हें गिनती थी। यानी लिखने का ये तरीका पहले से मौजूद था, बस एक line कम।

और वो line सबसे आख़िर में आई — जो उल्टा लगता है। ये रूप किसी एक पांडुलिपि में पड़ा नहीं रहा। सदी दर सदी, इसका इस्तेमाल होता रहा। एक समय की line बनाइए। सबसे बाईं ओर वो पांडुलिपि, और उसके बाद एक के बाद एक, 4 भारतीय गणितज्ञ। और इस पूरे समय में, भिन्न लगभग उसी रूप में लिखे गए, जैसे आज लिखे जाते हैं। पुराना लिखने का ढंग, कमज़ोर गणितज्ञों की निशानी नहीं है।

सामान्य नियम, ठीक इसी दौर के बीच में लिखे गए। तो बीच की वो line आई कब? सदियों बाद, और भारत से नहीं। उत्तरी अफ़्रीका में, मोरक्को के एक गणितज्ञ ने ये line खींची। समय की line पर देखिए: एक के ऊपर एक रखी संख्याओं से लेकर, उनके बीच की छोटी line तक, कितना लंबा फ़ासला है। ये line चिह्न का सबसे नया हिस्सा है — और वही सबसे पक्का लगता है।

line ने बस वही दिखा दिया, जो ऊपर-नीचे की जगहें पहले से कह रही थीं। अब असली बात, कि इन सबका महत्व क्या है। इसके लिए एक दूसरा तरीका देखना होगा। प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में भी भिन्नों से काम होता था। ये कहानी ऐसी नहीं है, कि सिर्फ़ एक जगह को ही ये विचार सूझा। पर वहाँ ज़्यादातर वही भिन्न लिखे जाते थे, जिनमें ऊपर 1 हो: जैसे 1 बटा 2, 1 बटा 3, 1 बटा 4, 1 बटा 24।

जिस भिन्न में ऊपर 1 हो, उसका अपना नाम है: इकाई भिन्न। बाकी हर मात्रा को, ऐसे अलग-अलग टुकड़ों के जोड़ से बनाना पड़ता था। आज इस तरीके को 'मिस्री भिन्न' कहते हैं। उदाहरण के लिए 19 बटा 24 लीजिए। एक आम मात्रा, 3 बटा 4 से ज़रा सी ज़्यादा। जहाँ ऊपर वाली संख्या कुछ भी हो सकती है, वहाँ आप 2 संख्याएँ लिखते हैं, और काम ख़त्म। पर अगर सिर्फ़ इकाई भिन्न ही हों, तो इसे कैसे लिखेंगे?

सबसे बड़ी इकाई भिन्न लीजिए जो समा जाए: 1 बटा 2, यानी 12 बटा 24। बचा 7 बटा 24। 1 बटा 3 यानी 8 बटा 24 — ये बड़ा है। 1 बटा 4 यानी 6 बटा 24 — ये छोटा है, तो चलेगा। बचा 1 बटा 24। तो 19 बटा 24 बराबर 1 बटा 2, जोड़ 1 बटा 4, जोड़ 1 बटा 24। जाँच भी आसान है — 24 में ये 12, 6 और 1 हैं, जो मिलकर 19 बनते हैं।

हर बार का तरीका: जो सबसे बड़ी इकाई भिन्न अब भी समा जाए, उसे लीजिए — और बचे हुए पर यही दोहराइए। एक आम मात्रा, एक छोटी पहेली बन गई। पर संख्या वही है। number line पर ये एक ही बिंदु है। बदला है सिर्फ़ उसे लिखने का तरीका। 2 चॉकलेट, 5 लोगों में बाँटनी हों, तो हर एक को 2 बटा 5 मिलता है। इकाई भिन्नों में, ये 1 बटा 3 जोड़ 1 बटा 15 है।

15 में गिनिए: 5 और 1 मिलकर 6। और 6 बटा 15, यानी 2 बटा 5। आज़ाद ऊपर वाली संख्या यही बात एक साँस में कह देती है — हर एक को 1 बटा 5 के 2 टुकड़े। अब असली क़ीमत, और इस कहानी की असली बात। 3 बटा 4 में, नीचे वाली संख्या कदम का आकार बताती है — 1 बटा 4। और ऊपर वाली बताती है, ऐसे कितने कदम — 3।

जब गिनती, कदम से अलग दिखती है, तभी गिनती के बारे में कोई नियम कहा जा सकता है। 'कदम एक जैसे करो, फिर गिनती जोड़ो' — ये वाक्य तभी बन सकता है, जब ऊपर वाली संख्या आज़ाद हो। अब ऊपर वाली संख्या को 1 पर बाँध दीजिए, और उसी तरीके के 2 टुकड़े जोड़िए: 1 बटा 2 जोड़ 1 बटा 3। जवाब है 5 बटा 6 — और 5 बटा 6 कोई इकाई भिन्न नहीं है।

यानी वो तरीका, अपने ही 2 टुकड़ों के जोड़ को, एक टुकड़े की तरह लिख भी नहीं सकता। हर मात्रा अपनी अलग पहेली बन जाती है। कुछ संख्याओं के लिए तरकीबें मिलती हैं, सबके लिए एक नियम नहीं। यहाँ तक कि 3 बटा 4 को भी 1 बटा 2 जोड़ 1 बटा 4 लिखना पड़ता है, और 2 बटा 3 को 1 बटा 2 जोड़ 1 बटा 6। लिखने का ढंग तय करता है, कि आप क्या कह सकते हैं।

भारत में, किसी भी 2 भिन्नों को जोड़ने और घटाने का नियम, एक श्लोक के रूप में लिखा गया। हमारे शब्दों में कहें, तो हर भिन्न की दोनों संख्याओं को, दूसरे भिन्न की नीचे वाली संख्या से गुणा कीजिए। फिर ऊपर वाली संख्याएँ जोड़िए या घटाइए। 1 बटा 4 जोड़ 1 बटा 3: 1 बटा 4 की दोनों संख्याओं को 3 से गुणा कीजिए, और 1 बटा 3 की दोनों को 4 से।

यानी 3 बटा 12 जोड़ 4 बटा 12, बराबर 7 बटा 12। 2 बटा 3 जोड़ 1 बटा 5: 2 बटा 3 की दोनों संख्याओं को 5 से गुणा, और 1 बटा 5 की दोनों को 3 से। यानी 10 बटा 15 जोड़ 3 बटा 15, बराबर 13 बटा 15। ये किसी चुनी हुई जोड़ी के लिए नहीं, हर जोड़ी के लिए कहा गया है। और हर बार सही जोड़ देता है।

दावा ये नहीं कि भिन्न भारत में बने। दावा ये है, कि आज़ाद ऊपर वाली संख्या वाले भिन्न, और उनसे हिसाब के नियम, भारत से आए। गुणा और भाग के नियम भी यहीं से आए। और इससे भी कहीं पुराने ग्रंथों में, भिन्नों से हिसाब होता दिखता है। ये बाकी दुनिया तक पहुँचा कैसे? अरब विद्वानों के रास्ते, कई सदियों में, यूरोप तक। और वहाँ से पूरी दुनिया में। इसका आकार भारत से, इसकी line मोरक्को से, और इसका रास्ता अरब दुनिया से होकर।

किसी ने बैठकर इसे डिज़ाइन नहीं किया। ये इसलिए जीता, क्योंकि इससे सामान्य नियम कहे जा सकते थे। अब एक पहेली, क्योंकि इकाई भिन्नों में सच में दम है। एक जैसी इकाई भिन्नों से 1 बनाना आसान है: 2 आधे, 3 तिहाई, 5 पाँचवें। तो इसे मुश्किल बनाइए: क्या 2 अलग-अलग इकाई भिन्न मिलकर ठीक 1 बना सकते हैं? 1 बटा 2 सबसे बड़ी इकाई भिन्न है। और 2 आधे मिलकर, पहले से ही ठीक 1 बनाते हैं।

अगर दोनों अलग होने चाहिए, तो एक आधे से छोटा होगा — और जोड़ 1 तक नहीं पहुँचेगा। 1 बटा 2 जोड़ 1 बटा 4 भी, सिर्फ़ 3 बटा 4 तक पहुँचता है। सबसे क़रीब है 1 बटा 2 जोड़ 1 बटा 3, यानी 5 बटा 6 — फिर भी 1 बटा 6 कम। 2 अलग टुकड़े, ये कभी नहीं कर सकते। तो 3 टुकड़े। और अब ठीक एक ही जवाब है — और उस तक पहुँचने का हर कदम मजबूरी का है।

शुरुआत 3 तिहाई से: मिलकर 1, पर तीनों एक ही आकार के। इनमें से एक को बड़ा होना होगा। और 1 बटा 3 और 1 के बीच, सिर्फ़ एक ही इकाई भिन्न है: 1 बटा 2। अब बचा 1 बटा 2, जिसे 2 अलग टुकड़ों से बनाना है। 2 चौथाई इसे बनाते हैं, पर वो एक जैसे हैं। फिर एक को बड़ा होना होगा। और 1 बटा 4 और 1 बटा 2 के बीच, सिर्फ़ 1 बटा 3 है।

जो बचता है, वो है 1 बटा 6। तो जवाब: 1 बटा 2, 1 बटा 3 और 1 बटा 6 — कहीं भी चुनने की छूट नहीं थी। हर संभव चुनाव को एक-एक करके आज़माइए — तब भी यही अकेला जवाब निकलता है। एक गोले को 6 बराबर फाँकों में काटिए। आधा यानी 3 फाँकें, तिहाई यानी 2, और छठा हिस्सा यानी 1। आधा यानी 6 में से 3, और तिहाई यानी 6 में से 2 — फिर वही तुल्य भिन्न।

3, 2 और 1 मिलकर 6 — यानी 6 बटा 6, पूरा 1। 4 अलग टुकड़े हों, तो जवाब बढ़ जाते हैं: ठीक 6 जवाब हैं। उनमें से एक: 1 बटा 2, 1 बटा 3, 1 बटा 9 और 1 बटा 18। 18 में जाँचिए: 9, 6, 2 और 1 — मिलकर 18। यानी पूरा 1। इनमें सबसे बड़ी नीचे वाली संख्या 42 है: 1 बटा 2, 1 बटा 3, 1 बटा 7 और 1 बटा 42।

सभी 6 जवाब, 1 बटा 2 से ही शुरू होते हैं — उसी तरह की वजह से, जो पहले देखी। बाकी 5 ख़ुद ढूँढिए, और हर एक को बँटे हुए गोले की तरह बनाइए। ये पूरी पहेली सिर्फ़ इसलिए है, क्योंकि किसी ने तय किया था कि चीज़ें कैसे लिखी जाएँ। ऊपर-नीचे वाले रूप ने कदम और गिनती, दोनों एक साथ दिखा दिए — और इसी से नियम कहना मुमकिन हुआ।

लिखने का ढंग, सिर्फ़ सजावट नहीं है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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