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Chapter 7 · Fractions

Equivalent fractions: कई नाम, एक संख्या, और lowest terms

Comparing fractions13 मिनट

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एक पट्टी का आधा हिस्सा रंगिए। आधे के कदम से नापें तो 1 बटा 2, चौथाई से 2 बटा 4, और आठवें से 4 बटा 8 — रंग एक इंच भी नहीं हिला, बस नापने का पैमाना बदला। 2 केक 5 दोस्तों में, या 4 केक 10 दोस्तों में — थाली वही, क्योंकि दूसरा बस पहले जैसी 2 मेज़ें हैं।

मुख्य idea

एक संख्या कई नामों से पुकारी जा सकती है, और ये नाम मनमाने नहीं हैं — हर एक उसी लंबाई के लिए नापने के क़दम का एक अलग चुनाव दर्ज करता है। दो चौथाई और चार आठवें पट्टी का वही हिस्सा है, जिसे दो अलग पैमानों से दो बार गिना गया। बाँटने की तरह पढ़ें, तो यही बात और भी सीधी लगती है: खाना दोगुना करो और खाने वाले भी दोगुने करो, तो किसी की थाली नहीं बदलती — और ठीक इसीलिए ऊपर और नीचे को एक ही संख्या से गुणा करने की इजाज़त है। इस प्रक्रिया को उल्टा तब तक चलाओ जब तक कोई संख्या दोनों को भाग न दे सके, तो तुम उस अकेले नाम तक पहुँचते हो जिसे और छोटा नहीं किया जा सकता — इसीलिए simplest form एक रूप है, कोई छोटी संख्या नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • एक ही लंबाई को दो अलग fractional units से नापकर दिखाना कि दो भिन्न बराबर हैं
  • fraction wall बनाना और उससे बराबर लंबाइयाँ पढ़ना
  • किसी दी गई भिन्न की equivalent भिन्न बनाना, दोनों दिशाओं में
  • बाँटने के हिसाब से समझाना कि ऊपर और नीचे को एक ही संख्या से गुणा क्यों किया जा सकता है
  • बाँटने वाले किसी चित्र के साथ जाने वाले भाग, जोड़ और गुणा के तथ्य लिखना
  • तय करना कि कोई दी गई भिन्न lowest terms में है या नहीं, और बताना कि कौन-सी जाँच इसे तय करती है
  • किसी भिन्न को lowest terms तक घटाना, बार-बार छोटे भाग देकर भी और highest common factor से एक बार भाग देकर भी
  • पहचानना कि किसी संख्या की कई equivalent भिन्न होती हैं पर lowest terms वाला नाम सिर्फ़ एक

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
equivalent fractionsअलग-अलग भिन्न जो एक ही लंबाई या एक ही हिस्से का नाम हैंतुल्य भिन्न§7.6, p.164 पर और फिर p.167 पर छपा
fraction wallएक के ऊपर एक रखी पट्टियों का चित्र जिसमें बराबर लंबाइयाँ खड़ी सीध में आती हैंभिन्न दीवार§7.6, p.164 पर छपा
lowest termsवह नाम जिस तक भिन्न तब पहुँचती है जब 1 के सिवा कोई संख्या उसकी दोनों संख्याओं को भाग नहीं देतीनिम्नतम पद§7.6, p.172 पर छपा
simplest formउसी चीज़ का किताब में दिया दूसरा नामसरलतम रूप§7.6, pp.168 और 172 पर छपा
common factorऐसी संख्या जो numerator और denominator दोनों को भाग देती हैउभयनिष्ठ गुणनखंड§7.6, p.172 पर छपा
highest common factorऐसी सबसे बड़ी संख्या, जो भिन्न को एक ही क़दम में घटा देती हैमहत्तम समापवर्तक§7.6, p.172 पर छपा
division factबँटवारा, एक भाग वाले कथन के रूप में लिखा हुआभाग तथ्य§7.6, p.166 पर छपा
addition factवही बँटवारा, बार-बार वाले जोड़ के रूप में लिखा हुआयोग तथ्य§7.6, p.166 पर छपा
multiplication factवही बँटवारा, गुणनफल के रूप में लिखा हुआगुणन तथ्य§7.6, p.166 पर छपा
shareबँटवारे से एक व्यक्ति को जो मिलता हैहिस्सापूरे §7.6, pp.165–168 में छपा
cancellingऊपर और नीचे के साझा गुणनखंड को काट देनानिरसनयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "जो दो भिन्न अलग दिखती हैं, वे अलग संख्याएँ ही होंगी।" पूरा section इसी सोच को तोड़ने के लिए है, और दीवार इसे सबसे जल्दी दिखाती है। पहले खड़ी सीध समझ में आनी चाहिए, हिसाब नहीं।
  • "भिन्न को सरल करने से वह छोटी हो जाती है।" मात्रा में कुछ नहीं बदलता। चिह्न बदलते समय पट्टी या number line का बिंदु सामने रखो; निशान हिलना नहीं चाहिए।
  • "ऊपर और नीचे एक ही संख्या जोड़ी जा सकती है।" नहीं जोड़ी जा सकती, और जिस student ने अभी-अभी गुणा वाला नियम सीखा है वह यह आज़माएगा। तुरंत एक उल्टा उदाहरण दिखाओ: एक आधे की दोनों संख्याओं में एक जोड़ने से line पर बिंदु खिसक जाता है।
  • "Cancelling अंकों को काटने का नियम है।" यह किसी उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देना है। दिखाने के लिए ऐसी हालत चाहिए जहाँ अंक काटना नाकाम हो: सोलह बटा बासठ, जहाँ छक्के काटने पर एक आधा बचता है, जबकि भिन्न आधे के आस-पास भी नहीं है। सोलह बटा चौंसठ मत लेना, वही जाल है — वहाँ छक्के काटने पर संयोग से सही जवाब आ जाता है, इसलिए वह जो दिखाने के लिए रखा जाता है उसका उल्टा दिखाता है।
  • "घटाने का सिर्फ़ एक ही सही तरीक़ा है।" p.173 के दोनों रास्ते एक ही जवाब तक पहुँचते हैं, और किताब यह कहती है। दोनों दिखाओ और किसी को भी जीतने मत दो।
  • "हर भिन्न का एक सरल रूप होता है।" सिर्फ़ तब, जब दोनों संख्याओं में 1 से बड़ा कोई साझा गुणनखंड हो। चार पाँचवें में नहीं है, और जाँच यही है।
  • "fraction wall यह बात सिर्फ़ इन्हीं संख्याओं के लिए साबित करती है।" दीवार जगह की कमी के कारण दसवें हिस्सों पर रुकती है। तर्क वहाँ नहीं रुकता, और section 10 को वह वजह देनी होगी जो किसी चित्र पर निर्भर नहीं।

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पूरा transcript1,830 शब्द

एक संख्या के कई नाम हो सकते हैं — जैसे एक ही इंसान को घर में एक नाम से, और दोस्तों में दूसरे नाम से बुलाया जाए। पर भिन्नों के नाम मनमर्ज़ी से नहीं रखे जाते। जैसे एक ही दूरी मीटर में भी बताई जा सकती है, और सेंटीमीटर में भी। संख्याएँ अलग, दूरी वही। हर नाम ये दर्ज करता है कि एक ही लंबाई को किस आकार के कदम से नापा गया।

आज देखेंगे कि ऐसा क्यों होता है, और इन सब नामों में सबसे छोटा नाम कौन सा है। 1 इकाई की एक पट्टी लीजिए, और उसका बायाँ आधा हिस्सा रंग दीजिए। आधे के कदम से नापें, तो रंगा हिस्सा 1 कदम है: 1 बटा 2। पट्टी को फिर मोड़कर 4 हिस्से कीजिए। वही रंगा हिस्सा अब 2 कदम है: 2 बटा 4। 2 ही क्यों? क्योंकि 1 बटा 4 के 2 टुकड़े मिलकर ठीक आधा बनाते हैं।

एक बार और मोड़िए, 8 हिस्से: अब वही हिस्सा 4 कदम है — 4 बटा 8। रंग एक इंच भी नहीं हिला। बदला सिर्फ़ नापने का पैमाना। क्या उसी आधे हिस्से को 1 बटा 3 के कदमों से गिन सकते हैं? 1 कदम उससे छोटा पड़ता है, और 2 कदम उससे आगे निकल जाते हैं। 1 बटा 5 के कदमों के साथ भी यही: कोई भी निशान ठीक आधे पर नहीं गिरता।

1 बटा 4 और 1 बटा 8 इसलिए ठीक बैठते हैं, क्योंकि वो आधे को ही फिर-फिर आधा करके बने हैं। नाम तभी बनता है, जब कदम ठीक लंबाई के सिरे पर जाकर रुकें। अब एक दीवार बनाते हैं, एक-एक पंक्ति करके। इसे भिन्नों की दीवार कहते हैं। सबसे ऊपर की पंक्ति पूरी इकाई है — बस एक खाना। उसके नीचे, वही लंबाई 2 खानों में, फिर 3 में, फिर 4, 5, और 6 में।

हर खाने पर उसका भिन्न लिखा है, और हर पंक्ति ठीक 1 पर ख़त्म होती है। पंक्ति में जितने ज़्यादा खाने, हर खाना उतना छोटा: 1 बटा 6, 1 बटा 2 से छोटा है। अब दीवार ऊपर से नीचे पढ़ते हैं, और वो किनारे ढूँढते हैं जो एक सीध में हैं। क्या 1 बटा 2, 3 बटा 6 के बराबर है? दोनों के किनारे एक सीध में हैं, तो जवाब है हाँ।

2 बटा 3 और 4 बटा 6 भी एक ही किनारे पर ख़त्म होते हैं। यानी 1 बटा 6 के 3 खाने मिलकर आधा बनाते हैं, और 2 खाने मिलकर 1 बटा 3। पहले आँख से सीध देखिए। हिसाब बाद में। दीवार को और नीचे बढ़ाइए: 1 बटा 7, 1 बटा 8, 1 बटा 9, और 1 बटा 10 वाली पंक्तियाँ। 1 बटा 7 वाली पंक्ति भी बाक़ियों की तरह बंद होती है: आख़िरी खाने तक 7 बटा 7, यानी 1।

क्या 3 बटा 6, 4 बटा 8, और 5 बटा 10 बराबर हैं? तीनों 1 बटा 2 वाले किनारे पर ख़त्म होते हैं। 2 बटा 6 के और नाम ढूँढिए: दीवार पर 1 बटा 3 और 3 बटा 9, उसी सीध में हैं। और 4 बटा 6 के नाम: 2 बटा 3 और 6 बटा 9। दीवार के आगे भी: 8 बटा 12, 10 बटा 15। दीवार 1 बटा 10 पर सिर्फ़ जगह की कमी से रुकती है।

बात वहाँ नहीं रुकती — उसकी वजह आगे मिलेगी। यही बात बाँटने से भी निकलती है। एक पिज़्ज़ा, 4 दोस्त। पिज़्ज़ा को 4 बराबर टुकड़ों में काटिए। हर एक को मिलता है 1 बटा 4। भाग की तरह लिखा जाए, तो ये है 1 भाग 4, बराबर 1 बटा 4। जोड़ की तरह: 1 बटा 4 को 4 बार जोड़िए, तो पूरा पिज़्ज़ा वापस। और गुणा की तरह: 4 गुणा 1 बटा 4, बराबर 1।

3 तथ्य, पर तस्वीर एक ही — बस 3 अलग भाषाओं में कही गई। अब 3 पिज़्ज़ा, 4 दोस्त। हर पिज़्ज़ा को 4 टुकड़ों में काटिए, और टुकड़े बारी-बारी बाँटिए। हर दोस्त को 1 बटा 4 के 3 टुकड़े मिलते हैं: 3 बटा 4। तीनों तथ्य: 3 भाग 4, 1 बटा 4 को 3 बार जोड़ा, और 3 गुणा 1 बटा 4 — सब 3 बटा 4। 2 पिज़्ज़ा, 4 दोस्त: हर एक को 1 बटा 4 के 2 टुकड़े — 2 बटा 4, यानी आधा।

2 केक 5 दोस्तों में: हर किसी को 1 बटा 5 के 2 टुकड़े — 2 बटा 5। पहला समूह: 2 केक, 5 दोस्त। दूसरा समूह: 4 केक, 10 दोस्त। किसे ज़्यादा मिलेगा? दूसरा समूह असल में पहले समूह का दोगुना है — 2 केक और 5 दोस्तों वाली 2 मेज़ें। या दूसरे समूह का हर केक 10 टुकड़ों में काटिए: हर दोस्त को 1 बटा 10 के 4 टुकड़े मिलते हैं।

पहले में हर थाली पर 2 बटा 5। दूसरे में 1 बटा 10 के 4 टुकड़े, यानी 4 बटा 10 — दोनों थालियाँ बराबर। खाना दोगुना, खाने वाले भी दोगुने — तो किसी की थाली नहीं बदलती। 1 पिज़्ज़ा 2 दोस्तों में बँटे, तो हर किसी के हिस्से 1 बटा 2 का 1 टुकड़ा। 2 पिज़्ज़ा और 4 दोस्त हों, तो हर थाली पर 1 बटा 4 के 2 टुकड़े — 2 बटा 4।

3 पिज़्ज़ा 6 दोस्तों में: हर थाली पर 1 बटा 6 के 3 टुकड़े — 3 बटा 6। हर बार थाली वही: 1 बटा 2, 2 बटा 4, 3 बटा 6 — सब बराबर। 2 पिज़्ज़ा 3 दोस्तों में: हर थाली पर 2 बटा 3। 4 पिज़्ज़ा 6 दोस्तों में, और 6 पिज़्ज़ा 9 दोस्तों में: 4 बटा 6 और 6 बटा 9 — थाली फिर वही। अब उल्टा चलिए: 4 पिज़्ज़ा 6 दोस्तों में, असल में 2 पिज़्ज़ा 3 दोस्तों वाली 2 मेज़ें हैं।

और 6 पिज़्ज़ा 9 दोस्तों में, 2 पिज़्ज़ा 3 दोस्तों वाली 3 मेज़ें हैं। इन तीनों में सबसे छोटा नाम है 2 बटा 3। 4 बटा 6 और 6 बटा 9 की संख्याएँ देखिए: ऊपर वाली 2 की गुणज है, नीचे वाली 3 की — उसी गुणा से। 5 गिलास जूस, 4 दोस्तों में। 8 दोस्तों को उतना ही मिले, तो कितने गिलास चाहिए? दोस्त दोगुने, तो गिलास भी दोगुने: 10।

4 किलो चावल 3 थैलों में। 12 किलो को उसी हिसाब से भरना हो, तो कितने थैले? चावल 3 गुना, तो थैले भी 3 गुना: 9। 7 पिज़्ज़ा 5 दोस्तों में: यहाँ कई जवाब सही हैं — 14 और 10, 21 और 15, 28 और 20। भिन्नों में लिखें, तो: 5 बटा 4 बराबर 10 बटा 8, और 4 बटा 3 बराबर 12 बटा 9। अब असली सवाल: ऊपर और नीचे की संख्या को एक ही संख्या से गुणा करना जायज़ क्यों है?

बाँटने की भाषा में, ऊपर वाली संख्या खाना है, और नीचे वाली खाने वाले। दोनों को 3 से गुणा करना, बस 3 एक जैसी मेज़ें साथ-साथ लगाना है। 1 पिज़्ज़ा 2 दोस्तों में, 3 से गुणा करो तो 3 पिज़्ज़ा 6 दोस्तों में — हर एक को फिर भी आधा। किसी की थाली नहीं बदलती, इसलिए भिन्न भी नहीं बदलता: 1 बटा 2, 2 बटा 4, 3 बटा 6, 5 बटा 10 — सब एक।

और ये वजह किसी चित्र पर टिकी नहीं है। इसलिए ये दीवार के आगे भी चलती है। तो क्या ऊपर और नीचे एक ही संख्या जोड़ भी सकते हैं? 1 बटा 2 में ऊपर और नीचे 1 जोड़िए: मिलता है 2 बटा 3। number line पर 2 बटा 3, 1 बटा 2 से आगे बैठता है। ये अलग संख्या है। अब जोड़ने की जगह दोनों को 2 से गुणा कीजिए: 2 बटा 4, और बिंदु ठीक वहीं रहता है।

एक दोस्त और एक पिज़्ज़ा जोड़ना, एक जैसी नई मेज़ लगाना नहीं है। इसलिए थाली बदल जाती है। अब गुणा को उल्टा चलाइए: ऊपर और नीचे, दोनों को किसी साझा गुणनखंड से भाग दीजिए। 16 बटा 20 लीजिए। 4, 16 को भी पूरा बाँटता है, और 20 को भी। भाग दीजिए: 16 भाग 4, बराबर 4। 20 भाग 4, बराबर 5। मिला 4 बटा 5। क्या 4 बटा 5 और छोटा हो सकता है?

4 और 5 को 1 के अलावा कोई संख्या साथ में नहीं बाँटती। यही कसौटी है: जब साझा गुणनखंड सिर्फ़ 1 बचे, तब भिन्न अपने सरलतम रूप में है। क्या सरल करने से भिन्न छोटा हो जाता है? number line पर 16 बटा 20 और 4 बटा 5 एक ही बिंदु हैं। निशान ज़रा भी नहीं खिसकता। छोटी सिर्फ़ लिखी हुई संख्याएँ हुईं, मात्रा नहीं। पहले वाली थाली याद कीजिए: पिज़्ज़ा के 2 चौथाई टुकड़े, या आधा पिज़्ज़ा — खाना उतना ही।

सरलतम रूप मतलब सबसे छोटा नाम — छोटी मात्रा नहीं। कुछ लोग सरल करने के लिए, दोनों संख्याओं में एक जैसा अंक काट देते हैं। 16 बटा 62 में दोनों का 6 काटिए, तो बचता है 1 बटा 2। पर असल में 16 बटा 62 बराबर 8 बटा 31 है — जो 1 बटा 3 से भी काफ़ी कम है, आधे के आसपास भी नहीं। सरल करना मतलब दोनों को एक साझा गुणनखंड से भाग देना।

इसके अलावा कुछ नहीं। 36 बटा 60 को छोटे कदमों में लीजिए: दोनों को 2 से भाग — 18 बटा 30। फिर से 2 से भाग: 9 बटा 15। 9 और 15 दोनों 3 से बँटते हैं: 3 बटा 5। अब 3 और 5 में कुछ साझा नहीं। एक ही कदम में भी हो सकता है: 36 और 60 का सबसे बड़ा साझा गुणनखंड है 12। 36 भाग 12, बराबर 3।

60 भाग 12, बराबर 5। फिर वही 3 बटा 5। 2 रास्ते, एक ही मंज़िल। कोई रास्ता गलत नहीं। 2 से भाग देना आसान है, पर 3 कदम लगे। सबसे बड़े साझा गुणनखंड से, एक ही कदम। अब आपकी बारी है — 17 बटा 51। 17 दोनों को बाँटता है: 1 बटा 3। 64 बटा 144: सबसे बड़ा साझा गुणनखंड 16 है — 4 बटा 9। 126 बटा 147: दोनों 21 से बँटते हैं — 6 बटा 7।

525 बटा 112: दोनों 7 से बँटते हैं — 75 बटा 16। ध्यान दीजिए, ये 1 से बड़ा है। हर जवाब जाँचिए: उसकी दोनों संख्याओं में सिर्फ़ 1 साझा होना चाहिए। 1 से बड़े भिन्न का भी सरलतम रूप होता है, बिल्कुल वैसे ही। क्या हर भिन्न का कोई और सरल रूप होता है? नहीं — 4 बटा 5 का नहीं होता, क्योंकि 4 और 5 में सिर्फ़ 1 साझा है।

वो पहले से ही अपने सबसे छोटे नाम में है। 2 बटा 3 और 3 बटा 5 के साथ भी यही: इनकी संख्याओं में सिर्फ़ 1 साझा है। ये पहले से सरलतम हैं। एक संख्या के तुल्य नाम अनगिनत हैं: 2 से गुणा करो, 3 से, 5 से, और आगे भी। 2 बटा 4, 4 बटा 8, 3 बटा 6, 5 बटा 10 — सबका सरलतम रूप 1 बटा 2।

पर इनमें सिर्फ़ एक ही नाम ऐसा है, जिसे और छोटा नहीं किया जा सकता — वही सरलतम रूप है। इन बराबर नामों को तुल्य भिन्न कहते हैं। तो हर नाम असल में क्या दर्ज करता है? आपने किस कदम से नापा, और कितने कदम गिने। कदम और गिनती साथ-साथ बदलिए, तो लंबाई अपनी जगह रहती है। दीवार और थालियाँ — दोनों ने एक ही कहानी, 2 अलग तरफ़ से सुनाई।

अगली बार: अलग-अलग नाम वाले 2 भिन्नों की तुलना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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