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Chapter 7 · Fractions

भिन्न यानी एक पूरी चीज़ का हिस्सा

What a fraction is9 मिनट

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चॉकलेट की एक पट्टी, 6 खाने चौड़ी और 4 ऊँची। उसे 6 बराबर हिस्सों में 2 तरह से काटिए — एक बार 2 गुणा 2 के वर्ग, एक बार तिरछे त्रिभुज। शक्लें बिल्कुल अलग, पर दोनों 1 बटा 6 हैं, क्योंकि किसी के भी 6 टुकड़े वही पूरी पट्टी बनाते हैं, और दोनों 4 खानों जितनी जगह घेरते हैं।

मुख्य idea

भिन्न एक पूरी चीज़ के किसी टुकड़े का नाम है, और यह नाम पूरी तरह इस बात से तय होता है कि पूरी चीज़ कितने बराबर टुकड़ों में काटी गई — इससे कभी नहीं कि टुकड़ा दिखता कैसा है। बिलकुल अलग-अलग शक्ल के दो टुकड़ों का नाम एक ही होता है, जब भी दोनों में से किसी भी तरह के छह टुकड़े मिलकर वही slab फिर से बना दें। और जैसे ही एक ऐसे टुकड़े को नाम मिल जाता है, बाक़ी हर टुकड़े को उससे गिनकर नापा जा सकता है: जिस टुकड़े का अब तक किसी ने नाम नहीं रखा, वह चौथाई-टुकड़ों में से तीन निकलता है, तो वह तीन चौथाई है। नाम रखना और नापना एक ही काम है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी चित्र में किसी भी टुकड़े का नाम लेने से पहले पूरी चीज़ (whole) पहचानना
  • यह गिनकर कि उस टुकड़े की कितनी एक जैसी copies पूरी चीज़ फिर से बनाती हैं, उसे fractional unit का नाम देना
  • बड़े टुकड़े के अंदर fractional units गिनकर उसे नापना, और नतीजा भिन्न के रूप में लिखना
  • यह परखना कि एक ही पूरी चीज़ के अलग-अलग शक्ल वाले दो टुकड़े एक ही आकार के हैं या नहीं
  • समझाना कि असमान दो-हिस्सों वाला cut आधे क्यों नहीं बनाता
  • किसी टुकड़े से उल्टा चलकर उस cut तक पहुँचना जिसने उसे बनाया — टुकड़े से उसके denominator तक
  • बताना कि जब एक ही पूरी चीज़ को दी गई गिनती के बराबर हिस्सों में काटा जाए, तो क्या तय रहता है और क्या बदल सकता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
wholeवह साबुत चीज़ जिससे सारे टुकड़े नापे जाते हैंपूर्णपूरे §7.2, p.154 में छपा
fractional unitउन बराबर टुकड़ों में से एक जिनमें पूरी चीज़ काटी गईइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा; पूरे §7.2 में इस्तेमाल
pieceपूरी चीज़ का कोई भी हिस्सा, नाम वाला या अभी बिना नाम काटुकड़ापूरे §7.2, pp.154–155 में छपा
equal partsएक ही आकार के हिस्से, उनकी शक्ल चाहे जो होबराबर भाग§7.2, p.154 पर छपा
chikkiगुड़ और बीजों वाली slab जिसे section पूरी चीज़ की तरह इस्तेमाल करता हैचिक्की§7.2, p.154 पर छपा
shapeकिसी टुकड़े की बाहरी रेखा, जिसके बारे में section दिखाता है कि उसका नाम इससे तय नहीं होताआकार§7.2, p.154 पर छपा
numerator / denominatorfractional units की गिनती, और एक पूरी चीज़ में उनकी संख्याअंश / हर§7.3, p.158 पर छपा — इस chapter में आगे नाम मिलता है
region modelकिसी भिन्न को एक बनी हुई चीज़ के रंगे हुए हिस्से की तरह दिखानाक्षेत्र निरूपणयहाँ जोड़ा गया नाम; इस chapter में नहीं छपा
areaकोई टुकड़ा जितनी सतह घेरता हैक्षेत्रफलइस chapter में नहीं छपा — किताब सिर्फ़ इतना कहती है कि टुकड़े एक ही आकार के हैं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अलग शक्ल मतलब अलग भिन्न।" p.154 पर छह-हिस्सों वाले दोनों cuts ठीक इसी सोच को तोड़ने के लिए हैं। उन्हें आमने-सामने रखो और हर एक के टुकड़े ज़ोर से गिनो।
  • "कोई भी चार टुकड़े चौथाई होते हैं।" सिर्फ़ बराबर टुकड़े। जिस student ने असली chikki तोड़ी है वह जानता है कि टुकड़े टेढ़े-मेढ़े निकलते हैं; यह बात कहो, और यह भी कहो कि गणित एक आदर्श बराबर cut मानकर चलता है।
  • "बड़े टुकड़े को अपना नया नाम चाहिए।" नहीं चाहिए — उसे पहले से मौजूद units में गिना जाता है। पूरा chapter इसी क़दम पर चलता है और यह पहली बार यहीं, p.154 पर आता है।
  • "पन्ने पर जो है वही पूरी चीज़ है।" पूरी चीज़ चुननी और बतानी पड़ती है। जब निकाला गया टुकड़ा slab के बगल में बैठा हो, तो student उस टुकड़े को ही अपनी पूरी चीज़ समझ सकता है। हर frame में पूरी चीज़ का नाम ज़ोर से लो।
  • "भिन्न circles के बारे में हैं।" §7.1 ने रोटियाँ इस्तेमाल कीं और §7.2 जान-बूझकर एक rectangular slab इस्तेमाल करता है। कोई भी circle आने से पहले कम से कम एक गैर-गोल पूरी चीज़ दिखाओ।
  • "बड़े denominator वाली भिन्न बड़ा टुकड़ा है।" यह पिछले topic से चली आई ग़लती है और यहाँ एक वाक्य के लायक़ है, क्योंकि p.154 पर छठे हिस्से उसी पन्ने के चौथाई हिस्सों के बगल में अच्छे-ख़ासे बड़े दिखते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7.2 Q1

पूरा transcript1,341 शब्द

पिछली बार सवाल था: बराबर बाँटने पर, हर बच्चे को कितना मिला? आज वही भिन्न, पर दूसरी तरफ़ से देखेंगे: हाथ में जो टुकड़ा है, वो पूरी चीज़ का कितना हिस्सा है? और आज पूरी चीज़ गोल नहीं है। ये है चॉकलेट की एक आयताकार पट्टी। भिन्न सिर्फ़ गोल चीज़ों के लिए नहीं होते। कोई भी पूरी चीज़ बाँटी जा सकती है। पिछली बार नीचे वाली संख्या बाँटने वालों को गिनती थी।

आज वही संख्या गिनेगी कि पूरी चीज़ कितने बराबर टुकड़ों में कटी। पहला नियम: किसी भी टुकड़े का नाम रखने से पहले, पूरी चीज़ तय कीजिए। यहाँ पूरी चीज़ है ये पूरी पट्टी, बिना टूटी हुई। जब कोई टुकड़ा पट्टी के बगल में रखा हो, तो उसी को पूरी चीज़ मान लेने की गलती बहुत आसान है। इसलिए हर बार साफ़ बोलिए कि पूरी चीज़ कौन सी है। बाक़ी हर टुकड़ा, इसी पूरी पट्टी से नापा जाएगा।

अब पट्टी एक बार टूटती है। 2 टुकड़े बनते हैं, एक छोटा और एक बड़ा। छोटे टुकड़े का नाम क्या है? तरीका ये है: छोटे टुकड़े जैसे हूबहू टुकड़े लेकर, पूरी पट्टी दोबारा बनाने की कोशिश कीजिए। ऐसे 4 टुकड़े पूरी पट्टी भर देते हैं। न कोई टुकड़ा दूसरे पर चढ़ता है, न कोई जगह खाली रहती है। तो छोटा टुकड़ा, पूरी पट्टी का 1 बटा 4 है। गिनती ठीक 4 ही है।

5 टुकड़े रखें तो पट्टी से बाहर निकल जाते हैं, और किसी के ऊपर एक और रख दें, तो वो दोहरा हो जाता है। अब बड़ा टुकड़ा। क्या उसके लिए कोई नया नाम ढूँढना पड़ेगा? नहीं, उसे उसी इकाई से नापिए, जो अभी मिली है। बड़े टुकड़े में, छोटे वाले टुकड़े ठीक 3 बार बैठते हैं, बिना जगह छोड़े। तो बड़ा टुकड़ा है 1 बटा 4 के 3 हिस्से, यानी 3 बटा 4।

और दोनों मिलाकर, 1 बटा 4 और 3 बटा 4, पूरी पट्टी बनाते हैं। यानी किसी टुकड़े का नाम रखना, और उसे नापना, असल में एक ही काम है। अब पूरी पट्टी को 6 बराबर टुकड़ों में काटना है। सबसे सीधा तरीका: 2 खड़े कट, और बीच में एक आड़ा कट। पट्टी 6 खाने चौड़ी और 4 खाने ऊँची है, तो हर टुकड़ा 2 और 2 का एक वर्ग बनता है।

ऐसे 6 वर्गों से पूरी पट्टी बन जाती है। इसलिए हर वर्ग 1 बटा 6 है। और हर वर्ग में 4 खाने हैं। अब वही पट्टी, फिर से 6 बराबर हिस्से, पर दूसरी तरह से। पहले खड़े कट से 3 पतली पट्टियाँ बनाइए, और फिर हर एक को कोने से कोने तक तिरछा काटिए। अब हर टुकड़ा एक सीधे-कोने वाला त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ 2 और 4 हैं। गिनिए: 3 पट्टियाँ, हर एक में 2 त्रिभुज, कुल 6।

ये 6 त्रिभुज भी पट्टी को पूरा ढक देते हैं। तो हर त्रिभुज भी 1 बटा 6 है। अब असली सवाल। वर्ग और त्रिभुज की शक्ल बिल्कुल अलग है। क्या ये दोनों टुकड़े बराबर हैं? बहुत से लोगों को लगता है कि शक्ल अलग है, तो भिन्न भी अलग होगा। पर वजह देखिए: इनमें से किसी के भी 6 टुकड़े, वही एक पूरी पट्टी बनाते हैं। तो दोनों उसी पट्टी के 1 बटा 6 हैं, और इसलिए बराबर हैं।

गिनकर भी देखिए: वर्ग में 4 खाने हैं, और त्रिभुज भी ठीक 4 खानों जितनी जगह घेरता है। नाम शक्ल से नहीं आता। नाम इससे आता है कि पूरी चीज़ कितने बराबर हिस्सों में बँटी। यही बात आधे के साथ आज़माइए। पट्टी को 2 बराबर टुकड़ों में, 3 अलग तरीकों से काटिए। पहला तरीका — बीच से खड़ा कट। 2 ऊँचे आयत बनते हैं। दूसरा तरीका — बीच से आड़ा कट।

2 लंबे, चपटे आयत। तीसरा: एक कोने से सामने वाले कोने तक। 2 त्रिभुज। इन सब टुकड़ों में से हर एक में 12 खाने हैं। हर एक आधा है, शक्ल चाहे जो हो। और पाव भी: 3 और 2 का आयत, 6 और 1 की लंबी पट्टी, और 3 और 4 भुजाओं वाला त्रिभुज। हर किस्म के 4 टुकड़े पूरी पट्टी बना देते हैं, और हर टुकड़े में 6 खाने हैं।

3 अलग शक्लें, पर नाम एक ही: 1 बटा 4। अब इसका उल्टा भी देखिए। पट्टी को 2 टुकड़ों में तोड़िए, पर ऐसे कि एक टुकड़ा दूसरे का दुगना हो। टुकड़े तो 2 ही हैं। तो क्या हर टुकड़ा आधा है? बिल्कुल नहीं — बड़े में 16 खाने हैं, छोटे में 8, जबकि आधे हिस्से में 12 होने चाहिए। कोई भी 2 टुकड़े आधे नहीं कहलाते। सिर्फ़ बराबर वाले। हाँ, इन टुकड़ों के भी नाम हैं।

छोटा 24 में से 8 खाने, यानी 1 बटा 3, और बड़ा 2 बटा 3। बस आधा कोई नहीं है। असली चॉकलेट तोड़ें, तो टुकड़े थोड़े टेढ़े-मेढ़े निकलते हैं। गणित मानकर चलता है कि कट बिल्कुल बराबर लगा है। अब उल्टी दिशा से। किसी ने आपको सिर्फ़ एक टुकड़ा दिया, एक लंबा, खड़ा टुकड़ा। ये किस कट से आया होगा? इसके जैसे हूबहू टुकड़े, पट्टी पर एक के बाद एक रखते जाइए।

3 टुकड़ों में पूरी पट्टी भर जाती है। तो ये टुकड़ा, पट्टी को 3 बराबर हिस्सों में तोड़ने से आया था। ये 1 बटा 3 है। यानी टुकड़े से शुरू करके, हम नीचे वाली संख्या तक पहुँच गए। खानों में जाँचिए: इस टुकड़े में 8 खाने हैं, और 3 बार 8, पूरे 24। अब एक आसान औज़ार बनाते हैं। पट्टी पर खाने बना लीजिए: 6 चौड़ाई में, 4 ऊँचाई में, कुल 24 खाने।

एक खाना पूरी पट्टी का 1 बटा 24 है, क्योंकि ऐसे 24 खानों से पूरी पट्टी बनती है। अब किसी भी टुकड़े का नाम निकालना हो, तो उसके खाने गिनिए। फिर पूछिए: ऐसे कितने टुकड़े, 24 खाने भर देंगे? पहले वाले टूटे टुकड़ों को भी जाँचिए। छोटे में 6 खाने हैं, बड़े में 18, और 18 में ठीक 3 बार 6 आता है। जवाब वही निकला, जो पहले मिला था: 1 बटा 4 और 3 बटा 4।

पहला: एक छोटा खड़ा आयत, 2 खाने ऊँचा। उसमें 2 खाने हैं, और 24 भरने के लिए ऐसे 12 चाहिए। तो ये 1 बटा 12 है। दूसरा: एक लंबी, पतली पट्टी, 4 खाने ऊँची। 4 खाने, तो ऐसे 6 टुकड़े चाहिए, यानी 1 बटा 6। तीसरा: सिर्फ़ एक खाना। वो तो 1 बटा 24 है। चौथा: एक मुड़ी हुई शक्ल, 3 खानों की। 2 खाने पास-पास, और तीसरा दाएँ वाले के ऊपर।

3 खाने, तो ऐसे 8 टुकड़े 24 भरेंगे। ये 1 बटा 8 है। ध्यान दीजिए, हर बार की गिनती 24 को पूरा-पूरा बाँटती है: 12, 6, 24, और 8। अब त्रिभुज वाले टुकड़े। इनमें कुछ खाने तिरछे कट जाते हैं, तो सीधे गिनना मुश्किल है। यहाँ पिछली बार की चाल काम आती है: सीधे-कोने वाला त्रिभुज, अपने आयत का ठीक आधा होता है। बड़ा त्रिभुज, भुजाएँ 3 और 4: 12 का आधा, यानी 6 खाने।

ऐसे 4 टुकड़े पट्टी भरेंगे, तो ये 1 बटा 4 है। छोटा त्रिभुज, भुजाएँ 3 और 2: 6 का आधा, 3 खाने। यानी 1 बटा 8। दाईं ओर नोक वाला त्रिभुज, 2 और 4 के आयत में बैठता है, और उसका भी आधा है: 8 का आधा, 4 खाने, यानी 1 बटा 6। और पतला त्रिभुज, भुजाएँ 1 और 2: सिर्फ़ 1 खाना, यानी 1 बटा 24। हर टुकड़े का नाम, सिर्फ़ गिनती से निकल आया।

आख़िर में एक छोटी सी जाँच। 1 बटा 6 वाले वर्ग काफ़ी बड़े दिखते हैं, तो कोई सोच सकता है कि नीचे 6 होने से टुकड़ा बड़ा है। पर गिनिए: 1 बटा 6 में 4 खाने हैं, और 1 बटा 4 में 6 खाने। और 1 बटा 24, जिसके नीचे यहाँ सबसे बड़ी संख्या है, सबसे छोटा टुकड़ा है: सिर्फ़ 1 खाना। नीचे बड़ी संख्या, तो टुकड़ा छोटा। पिछली बार वाली बात, यहाँ खानों में दिखती है।

तो यहाँ बराबर का मतलब क्या है? बराबर का मतलब है उतनी ही जगह, उतनी ही चॉकलेट। एक जैसी शक्ल नहीं। पूरी चीज़ तय रहती है, और हिस्सों की गिनती भी तय रहती है। सिर्फ़ टुकड़ों की शक्ल आज़ाद है, वो कैसी भी हो सकती है। कोई भी टुकड़ा दिखे, तो 2 सवाल पूछिए: पूरी चीज़ कौन सी है, और ऐसे कितने टुकड़े मिलकर उसे दोबारा बनाते हैं? अगली बार यही तरीका, एक लंबाई को नापने में लगाएँगे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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