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Chapter 3 · The World of Numbers

किसी rational number को line पर रखना, और दूरी |a − b| के रूप में

Rational numbers fill the line — almost13 मिनट

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13 min.

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Line पर origin रखना ही एकमात्र मनमाना क़दम है — उसके बाद कुछ भी चुना नहीं जाता। Step सौवें हिस्से भर लंबा कर दीजिए तो सातवाँ tick 707 बटा 100 पर गिरता है, यानी 7 से 7 बटा 100 आगे, जबकि पहला tick सिर्फ़ 1 बटा 100 चूका था। फिर fraction ख़ुद बताता है कि उसे कहाँ रखना है: lower part काटता है, upper part चलता है।

मुख्य idea

Fraction ख़ुद बता देता है कि उसकी अपनी जगह कैसे ढूँढ़नी है: नीचे वाला number कहता है कि unit को कितने बारीक हिस्सों में काटना है, ऊपर वाला कहता है कि कितने हिस्से चलना है, और sign बताता है कि किस तरफ़। इसलिए "p/q कहाँ है?" का जवाब एक construction देती है, अंदाज़ा कभी नहीं। जैसे ही हर rational की एक पक्की जगह बन जाती है, दूरी sign ढोना छोड़ सकती है — |a − b| उस फ़ासले की लंबाई बताता है, और आप किसी भी सिरे से नापें, लंबाई वही आती है। यही वजह है कि absolute value को zero से दूरी कहकर परिभाषित किया जाता है, "minus हटा दो" कहकर नहीं: यही definition दूरी के algebra को वैसा बनाती है जैसा दूरी को होना चाहिए।

आपको क्या आना चाहिए

  • Origin और बराबर दूरी पर रखे integers के साथ एक number line बनाना
  • Chapter की construction से किसी proper fraction को line पर रखना, और यह बताना कि कितने हिस्से हैं और कितने steps
  • 1 से बड़े किसी fraction को रखना, पहले यह पहचानकर कि वह किन दो integers के बीच है
  • किसी negative rational को रखना, और बताना कि sign किस दिशा में भेजता है
  • Absolute value को origin से दूरी के रूप में परिभाषित करना, और positive, negative तथा zero inputs के लिए उसका मान निकालना
  • समझाना कि absolute value कभी negative क्यों नहीं होती
  • दो rationals के बीच की दूरी को उनके अंतर की absolute value के रूप में निकालना, और दिखाना कि नतीजा क्रम पर नहीं टिकता
  • एक मिली-जुली number line पढ़ना, जिस पर axis के ऊपर और नीचे दोनों तरफ़ integers और fractions हों
  • Line पर किसी decimal की जगह ढूँढ़ना, पहले उसे fraction की तरह पढ़कर

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में definitionहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
originवह point जिसे zero का label देने के लिए चुना जाता हैमूल बिंदु§3.4.1, p. 50 में छपा
number lineवह line जिस पर हर number एक point घेरता हैसंख्या रेखा§3.4.1, p. 50 में, और उससे पहले §3.3, p. 45 पर छपा
unit intervalदो पड़ोसी integers के बीच का फ़ासलाएकक अंतराल§3.4.1, p. 50 में छपा
absolute valueकिसी number की zero से दूरी, जो खड़ी लकीरों के साथ लिखी जाती हैनिरपेक्ष मानp. 51 पर subheading और body दोनों में bold में छपा
non-negativeया तो positive या zero, कभी zero से नीचे नहींअऋणात्मक§3.4.1, p. 51 में छपा
distanceline पर दो points के बीच के फ़ासले की लंबाईदूरी§3.4.1, pp. 51–52 में छपा
equivalent fractionsअलग-अलग writings जो एक ही point पर निशान लगाती हैंतुल्य भिन्न§3.4, p. 47 में छपा
denominatorनीचे वाला number, जो तय करता है कि unit कितने हिस्सों में कटेगाहर§3.4, p. 47 में छपा, और इसी अर्थ में §3.4.1, p. 50 पर काम में लिया गया
directed step1/q नाप की एक चाल के लिए यहाँ जोड़ा गया शब्द, जो sign के हिसाब से दाईं या बाईं ओर चलती है—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter इस चाल का वर्णन करता है पर उसे कोई नाम नहीं देता
order-independence of distanceइस बात के लिए यहाँ जोड़ा गया नाम कि फ़ासले को किसी भी सिरे से नापिए, जवाब एक ही आता है—यहाँ जोड़ा गया वाक्यांश; chapter दूरी का formula छापता है और इस पर कभी कुछ नहीं कहता

Hindi column में standard Hindi mathematical terminology दी गई है। Ganita Manjari का कोई Hindi edition मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Fraction को वहाँ रख देते हैं जहाँ देखने में ठीक लगे।" नियम एक construction है जिसमें दो numbers के निर्देश हैं। अंदाज़ा ही वह चीज़ है जिसे यह section हटाता है।
  • "Numerator बताता है कि कटाई कितनी बारीक है।" बात इसकी उलटी है, और यही अदला-बदली इस topic की सबसे आम ग़लती है। नियम हर बार सही क्रम में बोलिए: नीचे वाला number काटता है, ऊपर वाला चलता है।
  • "Improper fraction line पर नहीं जा सकता, क्योंकि वह एक से बड़ा है।" Fig. 3.6 इसी का जवाब देने के लिए है। पहले mixed number में बदलिए, जिससे interval पहचान में आ जाता है, और फिर उसी के अंदर वही construction लगाइए।
  • "−3/4 का मतलब है तीन चौथाई दाईं ओर जाकर फिर पलट जाना।" इसका मतलब है तीन चौथाई-steps बाईं ओर चलना। चाल एक ही है, दो नहीं।
  • "Absolute value का मतलब है minus sign हटा देना।" यह वर्णन chapter के हर मामले में सही जवाब देता है और ग़लत समझ देता है। Absolute value एक दूरी है; यही वजह है कि वह कभी negative नहीं होती, कि |0| है 0, और कि वह दूरी के formula में आती ही क्यों है।
  • "|a − b| और a − b एक ही हैं, जब a बड़ा हो।" उस हाल में वे मिल जाते हैं, और ठीक इसी वजह से students उनमें फ़र्क़ करना छोड़ देते हैं और फिर क्रम पलटने पर negative दूरी पा लेते हैं।
  • "Equivalent fractions line पर एक-दूसरे के पास बैठते हैं।" वे ठीक एक ही point पर बैठते हैं। Fig. 3.7 और पिछला topic मिलकर इसे ठोस बना देते हैं।
  • "Bar वाला 1.15, 1.15 से ज़रा सा ज़्यादा है।" वह 1.1555… है, और उसे रखने के लिए पहले repeating decimal को fraction में बदलना पड़ता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 3.4 Q1, End-of-Chapter Exercises Q4

पूरा transcript2,049 शब्द

एक सीधी line लीजिए, जिस पर अभी कोई mark नहीं है। किसी भी number को इस पर रखने से पहले एक काम करना पड़ता है। एक point चुनकर उस पर 0 लिखना पड़ता है, और उसे origin कहते हैं। यह चुनाव पूरी तरह हमारा है। Origin कहीं भी रखा जा सकता है, और उसके बाद कोई और चुनाव बाक़ी नहीं रहता। अब origin से दाईं तरफ़ बराबर steps लेते जाइए और हर step पर एक tick लगाइए।

Origin समेत 8 ticks बनते हैं, और सातवाँ tick 7 का label लेता है। हर tick का label वही है जितने steps चलकर आप वहाँ पहुँचे। मान लीजिए हमने origin कहीं और रख दिया, जैसे 3 पर। तब हर tick का label बदल जाता है, पर 2 पड़ोसी ticks के बीच की दूरी वैसी की वैसी 1 रहती है। यानी जो चीज़ मायने रखती है, वह चुनाव से नहीं बदलती।

Ticks को बराबर दूरी पर रखना कोई सजावट नहीं है। यही वजह है कि tick का label उस पर चलकर पहुँचने के steps बता पाता है। अब सोचिए कि step ज़रा सा भी बदल जाए तो क्या होता है। अगर हर step 1 के बजाय 100 में से एक हिस्सा ज़्यादा लंबा हो, तो सातवाँ tick 7 पर नहीं गिरता। और यह ग़लती दूर जाकर बढ़ती जाती है। पहले tick पर जो फ़र्क़ बहुत छोटा था, सातवें tick पर वह साफ़ दिखने लगता है।

इसलिए बराबर spacing के बिना line पर पढ़ा गया कोई भी number भरोसे का नहीं है। एक fraction में 2 numbers होते हैं, upper part और lower part। इन 2 में से कौन सा तय करता है कि unit को कितने बारीक हिस्सों में काटना है? पहले lower part काटता है। फिर upper part चलता है। और sign बताता है कि किस तरफ़ चलना है। इसे हमेशा इसी क्रम में कहिए।

पहले काटना, फिर चलना, फिर दिशा। यह क्रम ही आगे की सबसे आम ग़लती रोकता है। अब 3 बटा 4 को line पर रखना है। lower part 4 है, तो 0 से 1 तक के unit को 4 बराबर हिस्सों में काटिए। अब upper part 3 है, तो 0 से ऐसे 3 steps चलिए, एक के बाद एक। जहाँ यह walk रुकती है, वही 3 बटा 4 की जगह है।

इस construction में कुछ भी अंदाज़े से नहीं रखा गया। जगह steps से निकली, और steps fraction ने ख़ुद बताए। यही तरीक़ा हमने एक बड़े grid पर चलाकर देखा। पूरे 588 fractions इसी तरह रखे गए, और इनमें से 0 पर walk चूका। सबसे आम ग़लती यही है कि दोनों numbers के काम आपस में बदल जाते हैं। यानी upper part से काटना और lower part जितने steps चलना। अब 3 बटा 4 पर यह ग़लती चलाइए तो आप 4 बटा 3 पर जा पहुँचते हैं।

और 4 बटा 3 तो 1 से भी आगे है, जबकि 3 बटा 4 अभी 1 से पहले ही है। पूरे grid पर यह ग़लती 588 में से सिर्फ़ 24 बार सही निकली। और वे 24 वही हैं जिनमें upper part और lower part बराबर हैं। बराबर होने पर उन्हें आपस में बदलने से कुछ बदलता ही नहीं। कई students को लगता है कि 1 से बड़ा fraction line पर रखा ही नहीं जा सकता।

पर line दोनों तरफ़ चलती रहती है, और हर rational की एक ही जगह है। अब 9 बटा 4 का case लीजिए। इसमें पूरे 2 units आ जाते हैं और उसके बाद 1 बटा 4 और बचता है। तो काटना 2 और 3 के बीच वाले unit को है। उसे 4 हिस्सों में काटिए और 2 से एक step दाईं तरफ़ चलिए, और वही 9 बटा 4 की जगह है।

हर fraction के लिए पहला सवाल यही है कि वह किन 2 whole numbers के बीच बैठा है। यानी 9 बटा 4 है 2 और 3 के बीच, 8 बटा 5 है 1 और 2 के बीच, और 3 बटा 4 है 0 और 1 के बीच। −7 बटा 4 है −2 और −1 के बीच। यह interval अंदाज़े से नहीं चुना जाता। एक एक करके units देखे जाते हैं, जब तक कोई ऐसा न मिले जिसके अंदर number आता हो।

और अगर fraction पूरा whole number ही निकले, जैसे 8 बटा 4, तो चलने को कुछ बचता ही नहीं। वह 2 पर बैठ जाता है, और आगे कोई step नहीं लगता। अब −7 बटा 4 को line पर रखना है। कई students सोचते हैं कि पहले दाईं तरफ़ चलो, फिर उलट दो। ऐसा नहीं है, यहाँ सिर्फ़ एक ही चाल चलनी है। −7 बटा 4 का मतलब है −1 और −2 के बीच।

उस unit को 4 हिस्सों में काटिए और −1 से 3 steps बाईं तरफ़ चलिए। काटना वही रहा, सिर्फ़ दिशा बदली। इसी जगह पर दूसरे रास्ते से भी पहुँचा जा सकता है। −2 से एक step दाईं तरफ़ चलिए, और आप ठीक उसी point पर हैं। जगह एक है, चाहे आप किसी भी तरफ़ से आएँ। अब वही 3 steps −1 से दाईं तरफ़ चलकर देखिए, और आप −1 बटा 4 पर जा पहुँचते हैं।

और −7 बटा 4 से यह पूरे 3 बटा 2 दूर है। यानी दिशा की एक ग़लती छोटी नहीं होती, वह आपको डेढ़ unit दूर ले जाती है। पिछली बार हमने देखा था कि एक ही number कई तरह से लिखा जा सकता है। वे अलग अलग numbers नहीं होते, एक ही number की अलग अलग writings होती हैं। इन चारों पर, यानी 1 बटा 2, 2 बटा 4, 3 बटा 6 और 6 बटा 12 पर, construction अलग अलग चलती है, क्योंकि काटना हर बार अलग है।

पर चारों walks एक ही point पर ख़त्म होती हैं। इसलिए line पर इनके labels एक ही जगह टँगते हैं। अब एक ऐसी line देखिए जिस पर 20 labels हैं। अगर सब एक ही तरफ़ लिखे जाएँ, तो सबसे पहले कहाँ टकराव होगा? ऊपर की तरफ़ 7 labels हैं और नीचे की तरफ़ 13। कुल 20, और इनमें से 0 ऐसे हैं जो −5 और 5 के बाहर गिरते हों।

और ये 20 अलग अलग 20 points हैं, कोई 2 एक जगह नहीं। ऊपर वाले labels में सबसे पास वाले 2 की दूरी 6 बटा 7 है। नीचे वालों में सबसे पास वाले 2 की दूरी 2 बटा 5 है। पर अगर दोनों तरफ़ वालों को एक साथ देखें, तो सबसे पास वाले 2 की दूरी सिर्फ़ 1 बटा 8 है। यानी जो सबसे तंग जोड़ी है, वह दोनों तरफ़ बँटी हुई है।

ऊपर नीचे बाँटने से 16 बटा 5 गुना जगह मिल जाती है। अब एक ही line पर 3 fractions रखने हैं, 2 बटा 3, −5 बटा 4 और 3 बटा 2। पर हर एक अपनी अलग cutting माँगता है, और तीसरे हिस्से और चौथे हिस्से एक ही grid पर नहीं बैठते। इसलिए एक ऐसी cutting चाहिए जो तीनों को tick पर बिठा दे। इस unit को 12 हिस्सों में काटिए, और तीनों बैठ जाते हैं।

बारहवें हिस्सों में ये 8, −15 और 18 पढ़े जाते हैं। और 12 से मोटी कोई cutting इन तीनों के काम नहीं आती। जितनी भी cuttings 12 से मोटी हैं, उनमें से 0 तीनों को tick पर बिठाती हैं। यह क़दम construction में अलग से जोड़ना पड़ता है, क्योंकि construction एक बार में एक ही fraction रखती है। एक decimal भी line पर इसी construction से रखा जाता है। बस उसे पहले fraction की तरह पढ़ना पड़ता है, क्योंकि construction को upper part और lower part चाहिए।

यानी 0 point 5 3 2 का मतलब है 532 बटा 1000। इसे छोटा करने पर 133 बटा 250 बचता है, और इन 2 में 1 से बड़ा कोई common factor नहीं है। तो unit को 250 हिस्सों में काटकर 133 steps चलिए। इस बार cutting बारीक है, पर तरीक़ा वही पुराना है। अब एक ऐसा number लीजिए जिसमें 5 दोहराता चला जाता है, 1 point 1 5 5 5 और आगे।

Construction को upper part और lower part चाहिए, और वे यहाँ हाथ में नहीं आते। दोहराने वाले हिस्सों को आमने सामने लाकर घटाइए, तो 52 बटा 45 निकलता है। और 52 को 45 से भाग देकर देखिए तो पहले 1 आता है और फिर लगातार 5। अब upper part और lower part हाथ में हैं, तो construction चल सकती है। यह पहले वाले decimal से अलग क्यों है? इनमें 250 सिर्फ़ 2 और 5 से बना है, इसलिए वह decimal रुक जाता है।

पर 45 ऐसा नहीं है, इसलिए उसके digits चलते रहते हैं। अब एक दूसरा सवाल। कोई number origin से कितनी दूर है? इसे उसका absolute value कहते हैं, और इसे bars के बीच लिखा जाता है। अब 5 बटा 3 की origin से दूरी 5 बटा 3 है। −5 बटा 3 दूसरी तरफ़ है, पर उसकी दूरी भी 5 बटा 3 ही है। और origin से origin की दूरी 0 है।

Absolute value कभी 0 से कम नहीं होता, और इसकी वजह परिभाषा में ही है। यह एक लंबाई है, और लंबाई 0 से कम नहीं होती। हमने पूरे pool पर देखा, और 0 values ऐसी निकलीं जिनका absolute value 0 से कम हो। बहुत से students absolute value को इस तरह याद करते हैं कि बस minus हटा दो। यह हर उस case में सही जवाब देता है जो पढ़ाया जाता है।

तो क्या absolute value का मतलब सिर्फ़ minus हटाना है? दिक़्क़त यह है कि यह number के बारे में कोई rule है ही नहीं। यह उस writing पर लगता है जो आपके सामने रखी है, और एक ही number कई तरह से लिखा जाता है। −3 बटा 4 की 12 writings इस window में मिलती हैं, और हर एक वही number कहती है। सामने वाला minus हटाइए तो इनमें से 6 पर सही जवाब आता है।

और बाक़ी 6 पर वही negative number वापस मिल जाता है, क्योंकि minus lower part पर बैठा था। यह सिर्फ़ negative numbers की बात नहीं है। दोनों signs की कुल 216 writings पर यह rule 108 बार सही और 108 बार ग़लत निकला। जिन 108 पर सही निकला, उन सबका lower part positive है। यानी वह rule चलने से पहले writing को साफ़ करवाना चाहता है। Bars को कुछ नहीं चाहिए, क्योंकि वे writing नहीं, value पढ़ते हैं।

उन 216 में से 0 पर bars चूके। अब 2 points के बीच की दूरी पर आइए। एक point 3 पर है और दूसरा −4 पर, और बीच का हिस्सा नापना है। एक तरफ़ से घटाइए तो 7 आता है। दूसरी तरफ़ से घटाइए तो −7 आता है। ये दोनों जवाब एक दूसरे के opposite हैं। दोनों पर bars लगाइए तो दोनों 7 हो जाते हैं। और span पर नापी गई दूरी भी यही 7 है।

दूरी असल में घटाना है ही नहीं। दूरी यह है कि उस हिस्से में बराबर के कितने steps समा जाते हैं। हमने एक pool के हर जोड़े पर यही करके देखा, आठवें हिस्से के steps लेकर। कुल 169 जोड़े इस तरह नापे गए, और 0 जोड़े ऐसे थे जिन पर चलते चलते step जगह से चूक गया हो। इनमें से 0 जोड़ों पर चलकर नापी गई लंबाई ruler से अलग निकली।

और 0 जोड़ों पर वह bars से अलग निकली। सबसे लंबी walk 80 steps की थी, pool के एक सिरे से दूसरे सिरे तक। अब एक ऐसा सवाल जिसका जवाब पहले से साफ़ लगता है। अगर वही दूरी दूसरे सिरे से नापी जाए, तो क्या यह अलग सवाल हो जाता है? उन्हीं 169 जोड़ों को दूसरी तरफ़ से चलकर देखिए। इनमें से 0 जोड़े ऐसे निकले जिन पर steps की गिनती बदली हो।

गिनती वही रही, चाहे आप किसी भी सिरे से चलें। पूरे pool में ऐसे 225 जोड़े बनते हैं। इनमें से 0 पर दूरी इस बात पर टिकी कि आपने किस सिरे से नापा। अब वही 225 जोड़े सिर्फ़ घटाकर देखिए, bars लगाए बिना। इनमें से 210 पर जवाब इस बात पर बदल जाता है कि आपने किस सिरे से घटाया। और 225 में से 120 जोड़ों पर घटाना और दूरी एक ही जवाब देते हैं।

इतनी बार सही निकलने की वजह से ही दोनों में फ़र्क़ करना छूट जाता है। बाक़ी 105 जोड़ों पर घटाने का जवाब 0 से कम निकलता है, और लंबाई 0 से कम नहीं होती। तो इस video में 2 बातें तय हुईं। पहली, कि fraction ख़ुद बताता है उसे कहाँ रखना है, lower part काटता है और upper part चलता है। दूसरी, कि दूरी की एक ही लंबाई होती है, और bars इसी लंबाई को पढ़ते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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