Probability एक माप है, कोई अंदाज़ा नहीं

0:003 सवाल लीजिए। क्या आज बारिश होगी, कल का match जीता जाएगा या नहीं, और सभा में जो एक slip निकलेगी वह किसकी होगी। तीनों का जवाब आज तय नहीं है। पर तीनों में एक चीज ऐसी है जो आप अभी लिख सकते हैं — हो सकने वाली चीजों की पूरी list। बोर्ड पर देखिए: बारिश के 2 जवाब हैं, match के 3, और 500 बच्चों के school में slip के 500।

0:25list पहले से पूरी लिखी जा सकती है, और यही तीनों की साझी बात है। जो नहीं पता वह सिर्फ़ इतना है कि इस list में से निकलेगा कौन, इसलिए सवाल list का नहीं, चुनाव का है। match पर जरा रुकिए। पहली नजर में यहाँ 2 ही जवाब दिखते हैं — जीत या हार। पर match बराबरी पर भी छूट सकता है, इसलिए उसकी list पर 3 चीजें हैं। जो चीज छूटती है, वह बीच वाली है।

0:53और आगे चलकर गलत जवाब की सबसे आम वजह यही छूटी हुई चीज बनती है। अब दोनों शर्तें साथ रखिए। list पता है, और उस list पर एक से ज्यादा चीजें हैं, इसलिए list अकेले जवाब तय नहीं कर सकती। ऐसी ही घटना को random कहते हैं। तीनों में से किसी की list ऐसी नहीं है जिस पर सिर्फ़ 1 चीज हो। अगर होती, तो list ही जवाब होती और तय करने को कुछ बचता ही नहीं।

1:20अब एक बात, जो पहली नजर में सिर्फ़ जमावट लगती है। probability को लंबाई, area और volume के साथ रखा जाता है — इन्हीं 3 चीजों के साथ। इन तीनों में एक खास बात है। हर एक के साथ एक तरीका आता है — नापने का तरीका, जिसे कोई भी दोहरा सकता है। तो तरीका होने से मिलता क्या है? यहीं एक सवाल रुककर सोचने लायक है। क्या नाप का मतलब यह है कि जवाब बिल्कुल ठीक आएगा?

1:48नहीं, नाप का मतलब बेऐब होना नहीं है। नाप का मतलब है कि 2 ईमानदार नापने वाले आपस में कितना अलग हो सकते हैं, उसकी एक हद बँधी होती है। एक desk लीजिए और एक tape। 2 लोग उसे नापते हैं, और उनके जवाब आते हैं 1483 और 1484 millimeter। दोनों के बीच का फर्क 1 millimeter है। और जिस लंबाई को नापा जा रहा है, उसके 1483 हिस्सों में से यह सिर्फ़ 1 हिस्सा है।

2:21दोनों में से कोई गलत नहीं है। tape ने दोनों को लगभग एक ही जगह बाँध दिया, और यही बँधना नाप की असली कमाई है। अब वही काम आसमान पर कीजिए। 3 लोग एक ही आसमान देख रहे हैं, और सबूत भी तीनों के पास एक ही हैं — धूप कितनी है, गरमी कितनी है, और नमी कितनी है। फर्क सिर्फ़ इतना है कि हर एक इन सबूतों को अपना-अपना वजन देता है।

2:46इसी से तीनों के जवाब निकलते हैं — 0.13, 0.83 और 0.56। सबसे ऊपर और सबसे नीचे वाले जवाब के बीच 0.7 का फासला है। यह पूरे scale का 70 per cent है। अब दोनों फासलों की तुलना कीजिए, हर एक को अपने ही scale पर नापकर। आसमान वाले जवाब tape वाले जवाबों से 1038 गुना ज्यादा दूर हैं। यहाँ एक एतराज आता है, और पहली नजर में वह ठीक भी लग सकता है।

3:20कहा जा सकता है कि अलग-अलग जवाब तो बस अलग-अलग unit की वजह से हैं। तो unit बदलकर देखिए। 5 लंबाइयाँ centimeter से inch में बदली गईं और फिर वापस — जिनमें कुछ बदल गया, उनकी गिनती 0 है। और 2 अलग लंबाइयाँ बदलने के बाद एक ही जवाब बन जाएँ, ऐसा भी 0 बार हुआ। 1 meter ठीक-ठीक 5000 बटा 127 inch है, और 1 centimeter 50 बटा 127।

3:48अब यही बात 2 लोगों के जवाबों पर आजमाइए। वे 1 घटना पर एक ही जवाब देते हैं और 1 दूसरी पर अलग, इसलिए कोई एक गुणा ऐसा है ही नहीं जो पहले को दूसरे में बदल दे। unit बदलना एक तरह का अनुवाद है, जिसमें एक जवाब दूसरे को पूरा तय कर देता है। 2 लोगों का अलग पढ़ना अनुवाद नहीं है। अब उस सवाल पर आइए जिसका जवाब सचमुच गिना जा सकता है।

4:140 से 1 तक के scale को 3000 कदमों में काट दीजिए, तो उस पर 3001 number बैठते हैं। अब एक सबूत लीजिए और उसे इन सब number पर चलाइए। कुछ number सबूत के साथ चल जाएँगे और कुछ कट जाएँगे। तो किसी एक सबूत के बाद कितने number बचते हैं? पहला पढ़ना यह है कि बारिश होने से न होना ज्यादा भारी है। इससे आधे से नीचे वाले number बचते हैं, और उनकी गिनती 1500 है।

4:43दूसरा पढ़ना यह है कि गरमी इतनी है कि बारिश खारिज नहीं की जा सकती। इससे एक चौथाई और उससे ऊपर वाले number बचते हैं, और उनकी गिनती 2251 है। अब दोनों को एक साथ लगाकर देखिए। जो number दोनों के साथ चलते हैं, उनकी गिनती 750 है, और वे एक चौथाई से शुरू होकर आधे से ठीक पहले तक फैले हैं। यह पट्टी खाली नहीं है, इसलिए दोनों पढ़ने वाले एक-दूसरे को काट नहीं रहे।

5:11और यह पट्टी पूरे scale का एक चौथाई चौड़ी है। अब उसी पढ़ने को सिर्फ़ जरा सख्त कर दीजिए। लग सकता है कि इतने छोटे बदलाव से कुछ नहीं होगा। कम से कम एक चौथाई की जगह एक चौथाई से ज्यादा कह दीजिए। बोर्ड पर देखिए — अब बचने वालों की गिनती 749 है, 750 नहीं। यानी सिर्फ़ शब्द बदलने से 1 number कट गया। जिस सबूत का जवाब यहाँ शब्दों के फेर से हिल जाए, वह जवाब को बाँध नहीं रहा।

5:44इसलिए वह उसे सिर्फ़ एक चौड़ी पट्टी में रख रहा है। अब सबूत की किस्म बदलिए। हर बच्चे की एक slip, कुल 500 slip, और उनमें से एक बिना देखे निकाली जाती है। बोर्ड पर देखिए — इस सबूत के बाद बचने वाले number की गिनती 1 है। और वह number 1 बटा 500 है। match पर भी यही कीजिए। 3 जवाब हैं और किसी एक को चुनने की कोई वजह नहीं, तो बचने वाला number फिर 1 ही है — 1 बटा 3।

6:14अब दोनों गिनतियाँ आमने-सामने देखिए। आसमान वाला सबूत draw वाले सबूत से 750 गुना ज्यादा number खड़े छोड़ता है। जाँची गई 2 किस्मों में से सिर्फ़ 1 ऐसी है जो एक ही number खड़ा छोड़ती है। नाप वही है। यहाँ सबसे आसान नतीजा यह लग सकता है कि 2 में से 1 आदमी गलत है। वह नतीजा गलत है। दोनों ने सच्चा सबूत देखा और ईमानदारी से पढ़ा। फर्क यहाँ सबूत में नहीं, उस वजन में है जो हर एक ने सबूत को दिया, इसलिए जवाब अलग-अलग निकले।

6:49जो probability किसी आदमी के अपने पढ़ने से निकलती है, उसे subjective probability कहते हैं। नीचे दोनों खाने देखिए। यह बेकार नहीं है — डॉक्टर और मौसम बताने वाले इसी पर काम करते हैं। इसमें जो नहीं है वह ईमानदारी नहीं, दोहराए जाने की ताकत है। अब उन 5 शब्दों को रखिए जो हम पहले से बोलते हैं। नामुमकिन, कम संभव, बराबर संभव, ज्यादा संभव, और पक्का। इन 5 शब्दों को पूरे scale पर चलाकर देखा गया।

7:23जिन number पर कोई शब्द नहीं बैठा, उनकी गिनती 0 है, और जिन पर एक से ज्यादा बैठ गए, उनकी भी 0। पर हिस्से बराबर नहीं हैं। नीचे देखिए — दोनों सिरों पर कुल 2 number बैठते हैं, बराबर संभव पर ठीक 1, और बीच के 2 खुले शब्दों पर बाकी 2998, इसलिए बीच के शब्द ही पूरा scale ढोते हैं। 3 number scale पर रखकर देखिए। 1 बटा 3 कम संभव है, 1 बटा 2 बराबर संभव, और 1 बटा 500 भी कम संभव।

7:54और scale के किनारे भी सख्त हैं। 1 से ऊपर का number या 0 से नीचे का number कोई शब्द नहीं पाता — उसे लौटा दिया जाता है। अब वह नियम, जो सबसे ज्यादा चलता है। पहली नजर में वह ठीक भी लगता है — कहा जाता है कि या तो होगा या नहीं होगा, इसलिए जवाब आधा है। इस नियम को draw पर लगाकर देखिए। 500 बच्चों में से एक slip निकलनी है।

8:21क्या यह नियम वहाँ सही जवाब देता है? 4 अलग-अलग school नापे गए, और जिन पर यह नियम सही निकला उनकी गिनती 0 है। नियम का जवाब हिलता ही नहीं, चाहे सवाल कुछ भी हो। 500 बच्चों के school में यह जवाब सही से 250 गुना बड़ा है, और 30 बच्चों के school में 15 गुना। 2 से 1200 तक जितने भी समूह देखे गए, इसका जवाब सिर्फ़ 2 पर ही सही बैठा।

8:48यही नियम match पर आधा कहता है, जबकि सही जवाब 1 बटा 3 है। 3 की list में से 1 चीज छोड़ देने पर जवाब 50 per cent बड़ा हो जाता है। list जितनी लंबी होती जाए, यह नुकसान उतना घटता जाता है — 3 पर आधा, और 52 पर सिर्फ़ 1 बटा 51। इसीलिए छोटी list पर गिनती चूकना सबसे महँगा पड़ता है। अब 4 रोजमर्रा की घटनाएँ scale पर रखिए।

9:15Sunday के बाद Monday का आना; जहाँ समुद्र साल भर गरम रहता है वहाँ July में बर्फ; classroom में एक elephant का आ जाना; और कल school में किसी friend से मिलना। इन चारों को खुद रखकर देखिए। इनमें से कौन सी घटना पक्की है, कौन सी नामुमकिन, और कौन सी बीच में कहीं? Sunday के बाद Monday आता ही है, तो यह पक्का है और 1 पर बैठता है।

9:41जहाँ समुद्र साल भर गरम रहता है, वहाँ July में बर्फ नहीं गिरती, तो वह नामुमकिन है और 0 पर। elephant वाली बात पहली नजर में नामुमकिन लग सकती है, पर वह नामुमकिन नहीं है, इसलिए वह 0 से जरा ऊपर बैठती है। friend से मिलना ज्यादा संभव है, पर पक्का नहीं — आप गैरहाजिर हो सकते हैं — इसलिए वह 1 से जरा नीचे। 5 शब्दों में से 4 इस्तेमाल हुए, और 1 बचा रह गया।

10:07बचा हुआ शब्द है बराबर संभव, क्योंकि इनमें से कोई घटना आधे-आधे की नहीं है। और 4 में से 2 घटनाएँ दोनों सिरों के बीच में हैं। elephant को 0 पर रख देते तो वह बर्फ वाली घटना से टकरा जाती, और जो फर्क यह सवाल जाँच रहा है वही मिट जाता। अब उन 2 सिरों पर लौटिए, क्योंकि वे एक जैसे नहीं हैं। Sunday के बाद Monday आना calendar की अपनी बनावट से आता है, दुनिया से नहीं।

10:35यह 73000 दिनों पर जाँचा गया, 2 अलग तरीकों से गिनकर। जिन दिनों पर दोनों गिनतियाँ आपस में अलग निकलीं, उनकी गिनती 0 है। बोर्ड पर देखिए — उस पूरे हिस्से में कुल 10428 Sunday आए। और जिन Sunday के बाद Monday नहीं आया, उनकी गिनती 0 है, इसलिए यह probability ठीक 1 है। अब दूसरे सिरे पर वही कीजिए। बर्फ वाला 0 दुनिया के सबूत पर टिका है, और इस जाँच के पास दुनिया की कोई जानकारी है ही नहीं।

11:06इसलिए जाँच उस दावे का जवाब देने से साफ इनकार कर देती है। नीचे दोनों शून्य साथ-साथ देखिए — वे एक जैसे दिखते हैं, पर एक साबित हुआ है और दूसरा सिर्फ़ मान लिया गया है। तो आगे का काम साफ है — सबूत को ऐसा बनाना कि जवाब वही तय करे। इसके 2 रास्ते हैं: पहला, जो पहले हो चुका है उससे सबूत लेना; और दूसरा, बराबर संभव जवाबों पर दलील चलाना।

11:35नीचे देखिए — इन 2 में से कितने रास्ते आसमान पढ़कर निकल सकते थे? गिनती 0 है, क्योंकि draw वाला जवाब उस पट्टी में है ही नहीं जो आसमान वाला सबूत खड़ी छोड़ता है। अब तक क्या तय हुआ, यहाँ एक साथ रखा है। list पहले से लिखी जा सकती है; scale 0 से 1 तक है; और 5 शब्द उस पर बिना खाली जगह छोड़े और बिना एक-दूसरे पर चढ़े बैठ जाते हैं।

12:01और सबसे जरूरी बात, जो कही नहीं गई बल्कि गिनी गई: एक सबूत जवाब को 1 number पर बाँध देता है, दूसरा उसे 750 गुना चौड़ी जगह में खुला छोड़ देता है। जो सवाल खड़ा है वह यह है कि सबूत को यह ताकत दी कैसे जाए। probability तब नाप बनती है जब number सबूत तय करे, पढ़ने वाला नहीं।