किसी disc को sectors में काटकर देखना कि πr² आता कहाँ से है

0:00circle के बारे में आपके पास पहले से 2 बातें हैं। उसका border 2 pi r है, और उसके अंदर का area pi r square है। पहली नज़र में ये 2 अलग-अलग खोजें लगती हैं, जिनमें बस एक ही letter आ गया हो। ऊपर वाली सीध border की है और नीचे वाली अंदर के area की। ऐसा है नहीं — ये एक ही बात 2 बार लिखी हुई है। इस video के आख़िर तक आप इनमें से एक को दूसरे में बदलते हुए देख चुके होंगे।

0:28यह सवाल किसी शौक़ से नहीं उठा था। यहाँ 2 चीज़ें बनी हैं — एक गोल tower का कटा हुआ मुँह, और एक गोल बग़ीचा। इनमें कितना अनाज समाता है और कितनी ज़मीन घिरती है, ये नापने पड़ते थे। और सबसे दिलचस्प बात यह है कि जवाब की शक्ल बहुत पहले से पता थी। जो नहीं पता था, वह सिर्फ़ 1 number था। circle से आसान किसी चीज़ से शुरू करते हैं।

0:55एक square लीजिए जिसकी हर भुजा a है। उसका border 4a है, और उसका area a का square है। अब border का square कीजिए, और उसे area से भाग दीजिए। ऊपर आता है 16 गुणा a का square, और नीचे a का square। a दोनों जगह से कट जाता है। जो बचता है वह 16 है। यह भरोसे की बात नहीं है, नापी हुई है। square को 5 अलग-अलग sizes पर बनाया गया — छोटे, बड़े, और बेढंगे टुकड़ों वाले भी।

1:27पाँचों में से जितने अलग-अलग जवाब निकले, उनकी गिनती 1 है। यानी हर बार वही 16। यहाँ 1 ग़लती सबसे आसानी से होती है। square पूरे border पर लगता है, उसके अंदर बैठे a पर नहीं। सिर्फ़ a पर square लगाइए तो जवाब 4 आता है। और वह हर size पर 4 ही आता है — इसीलिए यह ग़लती चुपचाप टिकी रह जाती है। अब वही सवाल एक बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज पर।

1:56क्या यहाँ भी 16 ही आएगा? उसका border 3a है, और area में a का square एक जड़ वाले हिस्से के साथ आता है। भाग देने पर a फिर कट जाता है, और जो बचता है वह लगभग 20.784610 है। यानी यह number सब आकृतियों के लिए एक नहीं है। पर यह मनमाना भी नहीं है। यह आकृति का अपना number है, और size के बारे में कुछ नहीं कहता।

2:236 बराबर भुजाओं वाली आकृति पर यही हिसाब 13.856406 देता है। और एक ऐसा rectangle लीजिए जो अपनी ऊँचाई से 2 गुना लंबा हो। वह square जैसी आकृति नहीं है, और उसका number भी square वाला नहीं निकलता। तो अब board पर 3 आकृतियाँ हैं और तीनों के अपने-अपने numbers। और वे घटते क्रम में बैठते हैं — जो आकृति circle से जितनी मिलती-जुलती है, उसका number उतना ही छोटा है।

2:53यहाँ 4 circles बने हैं, अलग-अलग radius के। circle भी एक आकृति है, और कोई भी circle किसी दूसरे circle का बड़ा या छोटा किया हुआ ही होता है। इसलिए circle का भी अपना एक number होना ही चाहिए — border का square, area से भाग देकर। 4 अलग-अलग radii पर यह निकाला गया, और जितने अलग-अलग जवाब आए उनकी गिनती 1 है। वह जवाब है 12.566371। इसका मतलब यह है कि area किसी लंबाई के square का एक तय गुणा है।

3:27अब नीचे वाला जोड़ा देखिए। radius को 2 गुना कर देने पर area 2 गुना नहीं होता — वह 4 गुना हो जाता है। यह असली तरक़्क़ी है, पर जवाब नहीं है। यह बताता है कि area उस square का एक तय गुणा है — पर वह गुणा कितना है, यह नहीं बताता। तो पहला जवाब आया कहाँ से? नापकर आया — circle बनाइए, उसका border नापिए, उसका area नापिए, और भाग दे दीजिए।

3:55एक बहुत पुरानी नाप ने यह number 12 लिया। यानी उनका नियम था — area बराबर border का square, 12 से भाग देकर। अब देखिए यह pi के बारे में क्या कह रहा है। border का square, area से भाग देने पर, 4 गुणा pi निकलता है। अगर 4 गुणा pi को 12 मान लिया जाए, तो pi ठीक 3 हो जाता है। पूरा 3। असली number 12 से कुछ ऊपर है, 12.566371।

4:26तो 12 उससे 4.5070 per cent कम पड़ता है। एक और पुरानी रीत ने इससे चतुर काम किया। circle के आर-पार की लंबाई लीजिए, उसका नौवाँ हिस्सा काट दीजिए, और जो बचे उसका square बना लीजिए। आर-पार की लंबाई को 2r लिखिए, और वह नियम बन जाता है 256 बटा 81, गुणा r का square। यानी उनका pi 256 बटा 81 है — 3.160494। यह ऊपर की तरफ़ है, पर सिर्फ़ 0.018901 ऊपर।

5:05पिछली नाप से कहीं बेहतर। अब एक बात जिस पर रुकना चाहिए। बहुत बाद के एक लेखन में pi के लिए 10 का square root लिया गया — 3.162। वह pi से 0.020685 दूर है। यानी पुरानी रीत वाला जवाब उस बाद वाले जवाब से pi के ज़्यादा पास है। सही होना और बाद में आना — ये 2 अलग-अलग चीज़ें हैं। और यही नौवें हिस्से वाला नियम 2 बिलकुल अलग परम्पराओं में, अलग-अलग रास्तों से पहुँचा हुआ मिलता है।

5:40बहुत समय तक यह मालूम था कि ऐसा कोई तय number है, और यह नहीं मालूम था कि वह है कितना। फिर वह कदम आया जिसने इस number को नाम दिया। वह number pi है। pi के पास का कोई number नहीं — वही pi, जो पहले से border वाले formula में बैठा था। और इसे देखने लायक़ शक्ल में भी रखा गया। एक circle का area उस सीधे कोने वाले त्रिभुज के बराबर है जिसकी 2 छोटी भुजाएँ radius और border हैं।

6:08इसे जाँच भी लीजिए — उस त्रिभुज का area है आधा, गुणा 2 pi r, गुणा r। यह सुलझकर pi r square बन जाता है। वह circle और वह त्रिभुज, साथ-साथ रखे हुए, पूरा formula हैं। अब सवाल यह है कि यहाँ तक पहुँचा कैसे जाए। circle से शुरू मत कीजिए। एक सम polygon लीजिए, और उसके अंदर वह circle बनाइए जो हर भुजा को छूता हुआ ठीक-ठीक समा जाए।

6:38उसके radius को r कहिए। centre से हर corner तक एक सीध खींचिए। polygon त्रिभुजों में बँट जाता है — हर भुजा के लिए 1। यहाँ जो त्रिभुज रोशन है, उसे देखिए। हर त्रिभुज की base एक भुजा है, और हर एक की ऊँचाई ठीक r है — क्योंकि वह अंदर वाला circle हर भुजा को सीधे कोने पर छूता है। अब सबको जोड़िए। आधा base गुणा ऊँचाई, बार-बार — और वह बन जाता है आधा पूरा border, गुणा r।

7:09यह 8 ऐसी आकृतियों पर जाँचा गया जिनके अंदर का circle सचमुच हर भुजा को छूता है। जिनमें वह circle हर भुजा को नहीं छूता, वे 0 निकलीं। और जिनमें आधा border गुणा r, area से अलग निकला, वे भी 0। और जिस बात पर यह पूरा जोड़ टिका है, वह अलग से जाँची गई — centre से बने त्रिभुजों का जोड़, नापे हुए area से 0 बार अलग निकला।

7:34centre से हटे हुए किसी point से बनाइए तब भी 0 बार अलग निकला। अब वह चाल जो इसे circle बना देती है। बाहर वाला circle वहीं रहने दीजिए, और अंदर वाले polygon की भुजाएँ बढ़ाते जाइए। यह 11 अलग-अलग भुजा-गिनतियों पर जाँचा गया। जिनमें आधा border गुणा अंदर वाला radius, area से अलग निकला, वे 0 निकलीं। radius 1 वाले circle पर, अंदर की 6 भुजाओं वाली आकृति का border ठीक 6 है।

8:04यहाँ कुछ भी लगभग नहीं है। 96 भुजाओं पर, उसका border आर-पार की लंबाई से भाग देने पर 3.141032 आता है — 3 दशमलव जगहों तक पहले ही ठीक। 1000 भुजाओं पर उसका area 3.141572 निकलता है, जबकि circle का 3.141593 है। 2 चीज़ें एक साथ हो रही हैं। polygon का border circle के border की तरफ़ चढ़ रहा है, और अंदर वाला radius circle के अपने radius की तरफ़।

8:37इसलिए आधा border गुणा r, आधे 2 pi r गुणा r की तरफ़ चढ़ता है। और वह pi r square है। अब उस दिशा पर ध्यान दीजिए जिसमें यह चढ़ रहा है, क्योंकि आगे यही काम आएगी। इनमें से हर polygon circle के अंदर बैठा है। तो जिनका area circle के area से नीचे नहीं है, वे 0 निकले। और जिनका border circle के border से नीचे नहीं है, वे भी 0।

9:05वे उसकी तरफ़ चढ़ते हैं और कभी वहाँ पहुँचते नहीं। और शुरू वाला आकृति-number भी इसी के साथ चलता है। जितनी भुजाएँ बढ़ती हैं वह उतना गिरता है — जिनमें वह गिरने से चूका, वे 0 निकलीं। और जिनमें वह circle वाले number से नीचे उतर गया, वे भी 0। अब दूसरा रास्ता, जिसके लिए सिर्फ़ एक कैंची चाहिए। circle की चकती को पतले-पतले टुकड़ों में काट लीजिए — गोल केक की फाँकों की तरह।

9:34अब उन्हें एक कतार में रख दीजिए — एक की नोक ऊपर, अगली की नोक नीचे, ताकि वे आपस में फँस जाएँ। जो बनता है वह एक लंबी पट्टी है। उसके तिरछे सिरे radii हैं, इसलिए पट्टी की ऊँचाई ठीक r है। और उसके 2 लंबे किनारे arcs से बने हैं — यानी फाँकों की गोल परतों से। और अगर फाँकें काफ़ी पतली हों तो यह पट्टी base गुणा ऊँचाई वाली आकृति जैसी दिखने लगती है।

10:01तो बचा सिर्फ़ 1 सवाल — base कितना है? यह वही कदम है जो अक्सर छोड़ दिया जाता है, और इसमें 1 ही वाक्य लगता है। आधी फाँकों की नोक ऊपर है और आधी की नीचे। इसलिए arcs का आधा हिस्सा ऊपर वाले किनारे पर जाता है और आधा नीचे वाले पर। और हर arc असली border का एक टुकड़ा था। सारे मिलाकर वे पूरा border हैं। तो हर किनारा ठीक आधा border है।

10:30यह लगभग नहीं है। 6 अलग-अलग फाँक-गिनतियों पर जाँचा गया, और जिनमें वह ठीक आधा नहीं निकला उनकी गिनती 0 है। अब पूरा कीजिए। base है pi r, ऊँचाई है r। गुणा करने पर pi r गुणा r मिलता है। border वाला formula अभी-अभी आपकी आँखों के सामने area वाला formula बन गया। अब 1 ईमानदार बात — यह सबूत नहीं है, समझाना है। तो झोल है कहाँ? यह जानना ज़रूरी है, क्योंकि पूरी ईमानदारी इसी पर टिकी है।

11:05arcs कभी सीधे नहीं होते। नीचे वाली सीधी रस्सी और ऊपर वाला arc — इन 2 के बीच जो उभार है, वही पूरा मामला है। आपकी आँख उन्हें सीधा मानकर जो पट्टी बनाती है, वह असली पट्टी नहीं है। 24 फाँकों पर, सीधा मान लिया गया किनारा 3.132629 निकलता है, जबकि असली 3.141593 है। और उस सीधी की हुई आकृति का area असली से 1.1384 per cent कम पड़ता है।

11:38फाँकें पतली कीजिए तो यह झोल सिकुड़ता है। 1000 फाँकों पर एक arc अपनी सीधी रस्सी से radius के 0.000004935 हिस्से जितना ही उभरा होता है, और area 0.000658 per cent कम रह जाता है। पर वह सिकुड़ता है, बंद नहीं होता। जिन फाँक-गिनतियों पर सीधी की हुई आकृति का area circle के area तक पहुँच गया, वे 0 निकलीं। और ध्यान रखिए कि कमी काटने में नहीं है। फाँकों को जोड़ दीजिए तो किसी भी गिनती पर area में 0 फ़र्क़ आता है।

12:18कमी सीधा मान लेने में है। 'और पास, और पास' से 'बराबर' तक का कदम आगे की पढ़ाई में आता है। और जो सख़्त रास्ता है, वह polygon वाला है, जो अभी-अभी हम देख चुके हैं। इसमें 1 बहुत सुंदर बात छिपी है। चकती को सिर्फ़ 12 फाँकों पर रोक दीजिए, और जो आकृति बनती है उसका area निकालिए। radius 1 वाले circle पर वह ठीक 3 निकलता है। लगभग 3 नहीं — पूरा 3।

12:48और यह ठीक वही 3 है जिस पर वह बहुत पुरानी नाप रुक गई थी। उसी आकृति का शुरू वाला आकृति-number 12.861561 है, और circle का 12.566371। यह ऊपर ही है, जैसा हर polygon का होना ही चाहिए। वे आकृति के बारे में ग़लत नहीं थे। उन्होंने बस काटना जल्दी रोक दिया था। अब formula को इस्तेमाल में देखिए। radius 7 वाला circle लीजिए, और pi की जगह 22 बटा 7 रखिए।

13:21area 154 निकलता है। अब radius 2 गुना कर दीजिए — 14. उसी हिसाब से area 616 आता है, जो 154 का ठीक 4 गुना है। और यही हिसाब उलटा भी चलता है। नीचे वाली कतार को नीचे से ऊपर पढ़िए, यानी area 154 दिया हो तो radius 7 निकलता है। एक box लीजिए जिसमें बराबर circles एक कतार में ठीक-ठीक भरे हों। क्या ज़्यादा circles रखने पर box का ज़्यादा हिस्सा ढकता है?

13:54गिनती बदलते जाइए। जितने अलग-अलग जवाब निकलते हैं, उनकी गिनती 1 है। वह जवाब है pi बटा 4 — यानी 0.785398। वजह वही है जो शुरू में square के साथ थी। गिनती ऊपर भी है और नीचे भी, इसलिए कट जाती है। भुजा 2 वाला एक square लीजिए, और उसकी हर भुजा पर अंदर की तरफ़ एक आधा circle बनाइए। यहाँ जो बनता है, वह 4 पंखुड़ियों वाला फूल है।

14:28उसका area 2.283185 है और उसका border 12.566371। अब 2 circles लीजिए जिनका centre एक ही है। बाहर वाले की एक रस्सी ऐसी खींचिए जो अंदर वाले को छूती हुई निकले। बीच की ring का area सिर्फ़ उस रस्सी की लंबाई से निकल आता है — दोनों radii अलग-अलग जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। पूरी संख्या वाले radii पर यह जाँचा गया, और नाकाम होने वाले 0 निकले। और आख़िर में नीचे देखिए — सीधे कोने वाले एक त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर बाहर की तरफ़ आधे circles बनाए गए हैं।

15:062 छोटी भुजाओं वाले आधे circles मिलकर ठीक उतने ही हैं जितना सबसे लंबी भुजा वाला। वजह यह है कि हर आधे circle का area उसकी भुजा के square का एक ही तय गुणा है। यहाँ 2 रास्ते साथ-साथ रखे हैं। एक सख़्त है और एक दिखने वाला। polygon वाला रास्ता circle को अंदर से घेरता है, और 0 बार उससे बाहर निकलता है। यही उसे सख़्त बनाता है। फाँकों वाला रास्ता वह चीज़ दिखा देता है जो कोई हिसाब नहीं दिखा सकता — border वाले formula को area वाला बनते हुए।

15:42और वह 1 कदम खुला छोड़ देता है। और जिस बात से हमने शुरू किया था, वह अब खड़ी हो चुकी है। circle का border और circle का अंदर — ये 2 खोजें नहीं हैं। यह एक ही बात है, 2 बार लिखी हुई।