C/D हर circle के लिए एक ही संख्या क्यों है

0:003 circles, 3 अलग-अलग sizes। यहाँ हर एक का एक border है — वह घुमावदार रास्ता जो उसके चारों तरफ़ जाता है। और हर एक के पास एक दूसरी लम्बाई भी है — centre से होकर आर-पार जाने वाली सीधी लम्बाई, जिसे diameter कहते हैं। अब नीचे लिखी बात देखिए — हर circle के लिए border को diameter से भाग दीजिए। दावा यह है कि तीनों का जवाब एक ही निकलेगा।

0:24और सिर्फ़ इन तीनों का नहीं। जितने circles हो सकते हैं, सबका वही एक जवाब आएगा। एक बात पर ध्यान दीजिए। अभी तक किसी ने यह नहीं बताया कि वह number कौन सा है। तो क्या पहले यह तय करना होगा कि वह कितना है? देखिए, सबसे सीधा रास्ता तो यही लगता है — बहुत सारे circles नापो और हर बार भाग देकर देख लो कि जवाब वही आ रहा है या नहीं।

0:51पर इसमें एक दिक़्क़त है। आप चाहे कितने भी circles नाप लें, वह गिनती कभी पूरी नहीं होगी। circles की सूची कहीं ख़त्म नहीं होती। इससे भी बड़ी बात — एक ही circle को दोबारा नापिए और आख़िरी अंक में फ़र्क़ आ जाएगा। नाप कभी बिलकुल एक जैसी नहीं आती। तो 2 ही रास्ते बचते हैं। या तो यह दावा एक अन्दाज़ा है, या फिर कोई वजह इसे मजबूर कर रही है।

1:17हम दूसरा रास्ता खोजेंगे। यह काम हम एक बार पहले कर चुके हैं। square का border लीजिए और उसे उसकी side से भाग दीजिए। नीचे 6 अलग-अलग sizes के squares पर यह भाग किया गया है। छोटे से लेकर बड़े तक। छहों ने मिलकर सिर्फ़ 1 जवाब दिया, अलग-अलग नहीं। और वह जवाब है 4। ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ। एक number ने किसी एक square का नहीं, पूरे परिवार का नाम रख दिया।

1:49पर वह एक number काफ़ी क्यों हो गया? छहों squares में ऐसी कौन सी बात साझा थी? जवाब यह है कि वे छहों असल में एक ही शक्ल हैं, बस अलग-अलग sizes में। एक को बड़ा करके दूसरे पर रखिए और वह ठीक बैठ जाएगा। अब नीचे rectangles पर वही कोशिश कीजिए। एक rectangle को बड़ा करके दूसरे पर रखिए और वह बैठता ही नहीं। ये अलग-अलग शक्लें हैं। गिना गया है।

2:16उस sample में 12 सचमुच अलग rectangle शक्लें हैं, और border को सबसे लम्बी side से भाग देने पर ठीक 12 अलग values आती हैं — हर शक्ल के लिए अपनी एक। देखिए, उन 12 में से ठीक 1 का जवाब 4 आता है, और वह square है। बाक़ी 11 को अपना अलग number चाहिए। तो नियम यह निकला। ऐसा भाग हर शक्ल के लिए एक value रखता है। जिस परिवार में कई शक्लें हैं, उसमें कई values होंगी।

2:46यही जाँच triangles पर, और कहीं बड़े sample पर की गई। एक grid के points से बनने वाली सारी triangles लीजिए। उनमें 119 सचमुच अलग शक्लें निकलीं। और वही भाग ठीक 119 अलग values देता है। एक भी टक्कर नहीं — 0 बार ऐसा हुआ कि 2 शक्लों का जवाब एक आया। मतलब साफ़ है। जहाँ कई शक्लें हैं वहाँ कई numbers हैं। तो circles के लिए एक ही number का दावा असल में उनकी शक्ल के बारे में दावा है।

3:19तो क्या उल्टा भी सच है? अगर 2 शक्लों का जवाब एक ही निकले, तो क्या वे एक ही शक्ल हैं? इन 2 triangles को देखिए — एक की sides हैं 3, 4 और 5, और दूसरी की हैं 2.5, 4.5 और 5। इनमें से किसी को बड़ा करके दूसरी पर नहीं रखा जा सकता। फिर भी border को सबसे लम्बी side से भाग देने पर दोनों में ठीक 12 बटा 5 आता है।

3:46तो तीर एक ही तरफ़ चलता है। एक ही शक्ल हो तो number एक होना ही है। number एक हो तो शक्ल के बारे में कुछ तय नहीं होता। हमें आगे सिर्फ़ सीधी दिशा चाहिए, इसलिए यह कमज़ोरी हमारे रास्ते में नहीं आती। पर इसे जानना ज़रूरी है। square के लिए हमने border को एक side से भाग दिया था। अब circle पर वही करने की कोशिश कीजिए। और तुरन्त रुकना पड़ता है।

4:13circle के पास कोई side है ही नहीं। उसका border एक ही घुमावदार टुकड़ा है, जिसमें कोई कोना नहीं। तो हमें कोई दूसरी लम्बाई चुननी पड़ेगी जो circle के पास सचमुच है। centre से होकर आर-पार जाने वाली सीधी लम्बाई — diameter। यहाँ centre से rim तक की लम्बाई भी मौजूद है — radius। पर वह diameter की आधी है, इसलिए उससे भाग देने पर जवाब दोगुना आ जाएगा। इसलिए शुरू में ही तय कर लीजिए कि आप किससे भाग दे रहे हैं, और उसी पर टिके रहिए।

4:45इस टॉपिक की सबसे आम ग़लती यही है। ऊपर centre को जगह पर रखिए और उससे नापी गई हर दूरी को एक ही factor से गुणा कर दीजिए। जो चीज़ निकलती है वह फिर से एक circle ही है, बस दूसरी size की। और factor बदलकर आप कोई भी size पा सकते हैं। नीचे की गिनती देखिए। sample के circles के 36 जोड़े बनते हैं, और 36 के 36 में ठीक एक factor मिलता है जो पहले को दूसरे पर ले जाता है।

5:15एक भी जोड़ा बिना factor के नहीं बचता। तो circles का पूरा परिवार एक ही शक्ल है, अलग-अलग sizes में देखी गई। squares की तरह — और rectangles या triangles की तरह बिलकुल नहीं। पर एक सवाल बीच में खड़ा है, और उसे टालना नहीं चाहिए। एक घुमावदार रास्ते की लम्बाई होती क्या है? देखिए, सीधा ruler उस पर बैठता नहीं। सीधी लम्बाइयों के लिए हमारे पास नाप है, घुमावदार के लिए अभी कुछ भी नहीं है।

5:46ईमानदार जवाब यह है। circle के अन्दर कोनों वाली एक शक्ल बनाइए जिसके सारे कोने rim पर बैठें — उसकी sides सीधी हैं, इसलिए उसका border नापा जा सकता है। घुमावदार border की लम्बाई वही है जिसके पास ये शक्लें पहुँचती हैं। नीचे की गिनती बताती है कि इन शक्लों को मनमाने ढंग से नहीं बनाया गया। मोटी वाली के 36 कोने हैं, बारीक वाली के 108, और 0 कोने ऐसे हैं जो circle पर न बैठे हों।

6:15दोनों के कोने rim पर क्रम से घूमते हैं। अब circle को बड़ा कीजिए, और अन्दर बनी शक्ल को भी साथ ले जाइए। हर कोना अपनी जगह से हटकर बाहर चला जाता है। ऊपर एक side पर ध्यान दीजिए। वह 2 कोनों को जोड़ती है, और दोनों कोने उसी एक factor से बाहर गए हैं। तो वह side भी उसी factor से लम्बी हुई है। यह हर side पर अलग-अलग जाँचा गया, नई शक्ल को दोबारा बनाकर — पुराने जवाब को गुणा करके नहीं।

6:45नाकाम होने वाली sides की गिनती 0 निकली। नाकामियाँ गिनने का अपना कारण है। अगर सफलताएँ गिनते तो जवाब इस पर टिक जाता कि sample में कितनी sides थीं। नाकामियाँ 0 हों तो गिनती का size मायने नहीं रखता। हर side उसी factor से लम्बी हुई, इसलिए उन सबका जोड़ भी उसी factor से बड़ा हुआ। यानी पूरा border उसी factor से गुणा हो गया। और आर-पार की सीधी लम्बाई भी उसी शक्ल की एक लम्बाई है, इसलिए वह भी उसी factor से बड़ी हुई।

7:18अब भाग कीजिए। ऊपर वाली लम्बाई उसी factor से गुणा हुई है और नीचे वाली भी। दोनों जगह एक ही चीज़ है, तो वह कट जाती है और जवाब जहाँ था वहीं रह जाता है। गिना गया है। 28 अलग factors पर यह जाँचा गया — कुछ बड़ा करने वाले, कुछ छोटा करने वाले — और 28 के 28 में भाग का जवाब हिला तक नहीं। तो पहला आधा काम पूरा हुआ।

7:43वह number मौजूद है, और वह circles के पूरे परिवार का एक ही number है। पर एक बात खटकनी चाहिए। कोनों वाली शक्ल circle नहीं है, और उसके और rim के बीच जगह बची हुई है। क्या ज़्यादा कोने डालने से कुछ हासिल होता है? देखिए कि बारीक करना असल में है क्या। बारीक शक्ल वही मोटी शक्ल है, जिसमें कुछ और कोने डाल दिए गए हैं। पुराने कोने अपनी जगह पर बने रहते हैं।

8:12यह मान लेने की बात नहीं है। मोटी शक्ल को बड़ा करके बारीक वाली के circle पर रखा गया, और उसके 36 के 36 कोने पहले से बारीक शक्ल के कोने निकले। एक नया कोना डालिए। पहले जहाँ एक सीधा टुकड़ा था, अब वहाँ 2 टुकड़े हैं, बीच में rim पर बैठे नए कोने से होकर। और 2 points के बीच सबसे छोटा रास्ता सीधा वाला होता है। तो नया रास्ता, जो 2 टुकड़ों से बना है, पुराने सीधे टुकड़े से लम्बा है।

8:42एक ही circle पर यह देखा गया, ताकि size का बदलना बारीकी समझ लिया न जाए। 4 कोने, फिर 12, फिर 36, फिर 108 — और हर बार border सख़्ती से लम्बा हुआ। कभी बराबर नहीं, कभी छोटा नहीं। मतलब ये शक्लें border की तरफ़ नीचे से चढ़ रही हैं, ऊपर से नहीं। और उनमें से कोई भी border को पार नहीं करती। अब नीचे इन शक्लों के borders को जानी-पहचानी लम्बाइयों के सामने रखिए।

9:13आर-पार की लम्बाई का 3 गुना, और उसी का 4 गुना। हर border 3 गुना से लम्बा निकलता है और 4 गुना से छोटा। दोनों शक्लों पर, दोनों जाँचों में। और देखिए, दोनों 3.1 को भी पार कर चुके हैं। यानी घेरा और तंग हो गया। और यह सब बिना कोई भाग किए हुआ। उस number की value अभी भी किसी ने निकाली नहीं है। वह सिर्फ़ 2 जानी-पहचानी लम्बाइयों के बीच फँस गया है।

9:43इस सवाल का जवाब ईमानदारी से देना ज़रूरी है। तो क्या इस पूरी दलील ने यह भी बता दिया कि वह number कितना है? 6 अलग-अलग candidate values लीजिए। हर एक के लिए एक नियम बनाइए जो कहता है कि border इतने गुना आर-पार की लम्बाई है। अब बड़ा-छोटा करने वाली दलील इनमें से किसे मार पाती है? 6 के 6 बचे रह जाते हैं। बड़ा करने पर ऊपर और नीचे दोनों उसी एक factor से गुणा होते हैं, चाहे वह constant कुछ भी हो।

10:14इसलिए यह दलील उनमें फ़र्क़ ही नहीं कर सकती। पर यह जाँच हर चीज़ को पास नहीं कर देती। नियम में गुणा के बजाय एक तय मात्रा जोड़ दीजिए, और 6 के 6 नियम मर जाते हैं। तो जाँच सचमुच कुछ जाँच रही है। तो नतीजा 2 हिस्सों में है। number का होना तय हो गया, और उसकी value अछूती रह गई। ये 2 अलग सवाल हैं और इन्हें अलग रखना चाहिए।

10:41value निकालने के लिए अब नापना पड़ेगा। एक reel लीजिए जिस पर बारीक धागा लिपटा हो, और एक ruler। पहले reel की आर-पार की लम्बाई नापिए। यहाँ वह 2.4 centimetres निकली। अब धागे को reel के चारों तरफ़ 20 बार लपेटिए। फिर खोलकर सीधा कीजिए और नापिए। कुल लम्बाई 151 centimetres आई। अब 151 को 20 गुना 2.4 से भाग दीजिए, यानी 48 से। जवाब ठीक 151 बटा 48 है।

11:16यह value 3 और 4 के बीच है, और 3.1 से 3.2 वाले तंग घेरे के भी अन्दर है। यानी नाप उसी जगह पहुँची जहाँ दलील ने पहले ही घेरा डाल दिया था। एक बार लपेटकर भी तो नापा जा सकता था। तो 20 बार ही क्यों? वजह यह नहीं है कि एक wrap बहुत छोटा होता। असली वजह ruler में है। नीचे दोनों पट्टियाँ बराबर चौड़ी हैं — ruler से पढ़ने में जो ग़लती होती है वह दोनों बार बराबर है।

11:49पर 20 wraps में वह ग़लती एक 20 गुना लम्बी चीज़ में बँटती है। यह ठीक-ठीक निकला है। एक wrap की सापेक्ष ग़लती उतने ही गुना बुरी होती है जितने wraps लपेटे गए — 2 पर, 5 पर, 20 पर और 50 पर, और हर लम्बाई पर। इसी reel के numbers पर वह लगभग 1.3 प्रतिशत के मुक़ाबले लगभग 0.07 प्रतिशत है। यही चाल — दोहराइए और बाँटिए — इस स्तर पर पूरी नाप-तकनीक है।

12:22हर नाप अपने साथ एक ग़लती की सीमा लाती है। उसे एक छोटी पट्टी की तरह दिखाइए, हर point पर। एक सीधा नियम खींचिए जो कहता है कि जवाब हमेशा एक ही है। वह हर पट्टी के अन्दर से निकल जाता है। यानी नाप उससे सहमत है। अब एक दूसरा नियम खींचिए जो circle बदलने पर जवाब भी बदलता है। थोड़ा ऊपर, थोड़ा नीचे। वह भी हर पट्टी के अन्दर से निकल जाता है।

12:50पर ये पट्टियाँ हर चीज़ को मान नहीं लेतीं। एक नियम जो पूरे एक दसवें हिस्से से ग़लत है, वह सौवें हिस्से वाली पट्टियों से बाहर गिर जाता है और मना कर दिया जाता है। और वह हिलता हुआ नियम सचमुच एक जैसा नहीं है — वह 2 अलग values लेता है। तो वह कोई नक़ली प्रतिद्वन्द्वी नहीं है। मतलब गिनती में आने वाले circles को नापकर उस हिलते हुए नियम को कभी ख़ारिज नहीं किया जा सकता।

13:16उसे ख़ारिज करने के लिए दलील चाहिए, नाप नहीं। तो 2 सवाल थे, और वे अलग-अलग सवाल हैं। क्या ऐसा कोई एक number है? और वह है कितना? पहला सवाल शक्ल वाली दलील ने पूरी तरह तय कर दिया, बिना कुछ नापे। और वह हर circle के लिए तय हुआ, सिर्फ़ नापे गए circles के लिए नहीं। यहाँ दूसरे सवाल पर धागे ने एक घेरा डाला — 3.1 और 3.2 के बीच — पर उसे बन्द नहीं किया।

13:46एक आम उलझन यह है — लोग कहते हैं कि जवाब एक जैसा इसलिए है क्योंकि वह constant एक जैसा है। यह दलील को उल्टा चलाना है। उस constant को नाम ही तब मिलता है जब आप जान चुके हों कि जवाब साझा है। अब मान लीजिए कि वह constant 22 बटा 7 है, और दोनों दिशाओं में चलिए। centre से rim तक की लम्बाई 7, 10 और 12 लीजिए।

14:12नीचे borders आते हैं 44, फिर 62.9, फिर 75.4 — हर एक 3 सार्थक अंकों तक। पहला ठीक-ठीक पूरा है, बाक़ी 2 को काटना पड़ा। अब उल्टी दिशा। border 44 दिया हो तो centre से rim तक की लम्बाई ठीक 7 निकलती है, बिना किसी कटाई के। अब एक wheel लीजिए। एक पूरे चक्कर में वह ज़मीन पर उतनी दूरी तय करता है जितना उसका border है। यहाँ एक tyre है जिसकी आर-पार की लम्बाई 56 है, और एक wheel जिसकी centre से rim तक की लम्बाई 28 है — ये एक ही circle हैं।

14:50दोनों एक चक्कर में ठीक 176 तय करते हैं। लम्बे सफ़र के लिए चक्करों की गिनती पूरी नहीं आती। एक लम्बे सफ़र में 5681 चक्कर और 9 बटा 11, और उससे छोटे में 568 चक्कर और 2 बटा 11। इस बचे हुए हिस्से को चुपचाप हटा देना ग़लत है। एक और सवाल इसी तरह का। 60 आर-पार वाला wheel 100 चक्कर में 188.6 metres तय करता है, 4 अंकों तक।

15:21वह भी पूरे metres में नहीं आता। शुरू वाली तीनों circles पर वापस आइए — देखिए, जवाब अब भी खाली हैं। अब हम जानते हैं कि तीनों के जवाब एक ही हैं। और यह नापकर नहीं, शक्ल की वजह से तय हुआ — क्योंकि circles की शक्ल एक ही है। पर वह साझा number कितना है, यह उस दलील ने कभी नहीं बताया। धागे ने उस पर एक तंग घेरा ज़रूर डाला।

15:46और एक रास्ता बचा हुआ है जिस पर हम चले नहीं। कोनों वाली शक्लें, और भी बारीक — वे बिना कुछ नापे उस value तक पहुँच सकती हैं। वही अगला काम है।