परिमाप यानी सीमा के चारों ओर की चहलक़दमी, और परिमाप-और-भुजा के अनुपात तय क्यों रहते हैं

0:00एक मुड़े हुए running track पर नज़र डालिए। एक बात तुरन्त अजीब लगती है। देखिए, runners एक ही जगह से शुरू नहीं कर रहे। बाहर की तरफ़ बढ़ते जाइए और starting marks सीढ़ी की तरह चढ़ते जाते हैं। हर lane अपनी अन्दर वाली lane से थोड़ा आगे से शुरू होती है। नीचे जिस bracket पर निशान है, वह इसी फ़र्क़ को नाप रहा है। इस फ़र्क़ का अपना नाम है — stagger, यानी आरम्भ-बिन्दुओं का अन्तर।

0:28आगे हम इसे इसी नाम से बुलाएँगे। तो पहला सवाल यह है कि यह stagger अन्दर वाले runner के फ़ायदे में है या बाहर वाले के? पहली नज़र में लगता है कि बाहर वाली lane लम्बी है, इसलिए आगे से शुरू करवाना बाहर वाले के साथ रियायत है। पर बात उलटी है। stagger का काम उस फ़र्क़ को मिटाना है, पैदा करना नहीं। दूसरा सवाल यह कि उसे नापें कैसे — कितना आगे रखा जाए, यह तय किस आधार पर हो?

0:56दोनों सवालों के जवाब मौजूद हैं, पर अभी हमारे पास एक का भी जवाब नहीं है। कमी सिर्फ़ एक चीज़ की है — मुड़े हुए रास्ते की लम्बाई नापने का तरीक़ा। और उसी तरीक़े तक पहुँचना इस पूरे video का काम है। शब्द से शुरू करते हैं। परिमाप कोई formula नहीं है। वह एक सैर है। उस border पर एक कीड़ा रख दीजिए और उसे पूरा चक्कर लगाकर वापस वहीं पहुँचने दीजिए, बिना कहीं पलटे।

1:24उसने जितनी दूरी तय की, वही उस शक्ल का परिमाप है। इसी को अंग्रेज़ी में perimeter कहते हैं, और आगे हम यही शब्द इस्तेमाल करेंगे। इस बात का एक बहुत बड़ा फ़ायदा है जो किसी formula के पास नहीं है। यह किसी भी border पर चलता है। यहाँ 9 sides वाली शक्ल है, एक सीधी और एक मुड़ी हुई edge वाली शक्ल, और एक ऐसी शक्ल जिसका कोई नाम ही नहीं है।

1:49कई students के मन में परिमाप का मतलब होता है — उस शक्ल का formula। पर जिस दिन border टेढ़ी-मेढ़ी हुई, उस दिन formula वाला रुक जाता है और सैर वाला चलता रहता है। इसीलिए यहाँ शुरुआत formula से नहीं, सैर से होती है। तो इस सैर के बारे में तय क्या करना है? 2 बातें, क्योंकि आगे का सब कुछ उन्हीं पर टिका है। पहली बात — इस सैर को आप कहीं से भी काट सकते हैं।

2:16किसी एक side के बीच में एक निशान लगाइए। अब पूरे चक्कर को एक टुकड़े के बजाय 2 टुकड़ों में चलिए, जो नीचे अलग-अलग रंगों में हैं। क्या जोड़ वही रहेगा? जोड़ ठीक वही आता है जो पहले आया था। पहली नज़र में यह बात इतनी साफ़ लगती है कि कहने लायक़ न लगे, और साफ़ है भी। पर यही वह इजाज़त है जिसकी बदौलत बिना formula वाली border की भी एक लम्बाई हो सकती है, क्योंकि उसे टुकड़ों में तोड़कर नापा जा सकता है।

2:45यह मान लेने की चीज़ नहीं है, गिनने की है। 400 बार border को अलग-अलग जगह से काटा गया और हर बार दोनों टुकड़ों का जोड़ पूरे चक्कर के बराबर निकला — 400 के 400 में। दूसरी बात — सैर के दौरान इधर-उधर भटकना नहीं है। सामने 2 points के बीच एक सीधा रास्ता है, और एक तीसरे point से होकर जाने वाला घुमावदार रास्ता। इनमें से छोटा कौन सा है?

3:12border से हटकर वापस आइए और सैर लम्बी हो जाती है। दोनों रास्तों को पट्टियों की तरह अगल-बगल रखिए — घुमावदार वाला हर हाल में लम्बा है। यहाँ 'अक्सर लम्बा' कहना काफ़ी नहीं है। सख़्ती से लम्बा — कभी बराबर नहीं, कभी छोटा नहीं। 1020 अलग-अलग घुमावों पर जाँचा गया और 1020 के 1020 में वह सख़्ती से लम्बा निकला। मतलब 2 points के बीच सीधा रास्ता ही सबसे छोटा है।

3:42इस बात को याद रखिए, क्योंकि circle तक पहुँचने पर यही बात एक काम आएगी। अब उन शक्लों की तरफ़ आइए जिनके formula आपको याद कराए गए हैं — और यह दावा कि उन्हें कभी याद करने की ज़रूरत ही नहीं थी। एक square लीजिए जिसकी एक side a है। उस पर सैर कीजिए। एक side, दूसरी, तीसरी, चौथी — और हर एक a है। जोड़ हुआ 4a। यह याद किया हुआ formula नहीं है।

4:12यह सिर्फ़ 4 edges गिनना है। अब वही काम एक ऐसे triangle पर कीजिए जिसकी तीनों sides बराबर हैं। गिनती कहाँ रुकेगी? गिनती 3 पर रुकती है, तो जोड़ हुआ 3a। अब एक rectangle, जिसकी लम्बाई a है और चौड़ाई b। यहाँ 2 edges a हैं और 2 edges b, इसलिए सैर हुई 2 गुना a जोड़ b। नीचे तीनों में आगे लगा हुआ number कुछ और नहीं है — वह सिर्फ़ यह गिनती है कि बराबर edges कितनी थीं।

4:45पिछली 2 बातों को फिर से देखिए। rectangle के लिए 2 गुना a जोड़ b, और square के लिए 4a. क्या ये सचमुच 2 अलग बातें हैं? rectangle पर एक अतिरिक्त शर्त लगाइए — चौड़ाई को लम्बाई के बराबर कर दीजिए। तब 2 गुना a जोड़ a हुआ 4a. square का formula rectangle के formula के अन्दर पहले से बैठा था, बस इसी एक शर्त का इन्तज़ार कर रहा था।

5:12यह भी गिना गया है। 9 अलग-अलग rectangles पर 2 गुना a जोड़ b सही निकला, और 6 अलग-अलग squares पर वही चीज़ शर्त लगाने के बाद 4a देती है। कई students यहाँ 2 अलग formula याद कर लेते हैं, जबकि याद करने को एक ही है। जब 2 नतीजे अलग दिखें तो असली सवाल अक्सर यह होता है कि क्या उनमें से एक दूसरे पर कोई अतिरिक्त शर्त लगाकर मिलता है।

5:36इसी को विशिष्ट स्थिति कहते हैं। अब बात गिनती से आगे बढ़ती है। एक square लीजिए जिसकी side 2 है। उसका परिमाप 8 हुआ। अब परिमाप की तुलना side से कीजिए। क्या निकलता है? 8 और 2 का अनुपात 4 और 1 है। अब side 4 वाला square। परिमाप 16, और 16 तथा 4 का अनुपात फिर वही 4 और 1 है। यहाँ शक़ हो सकता है कि असली काम दोगुना करना कर रहा है, क्योंकि दूसरा square पहले का ठीक दुगुना है।

6:12इसलिए एक ऐसा square भी लीजिए जो किसी का दुगुना नहीं — side 2 दशमलव 5. परिमाप 10, और 10 तथा 2 दशमलव 5 का अनुपात फिर 4 और 1 ही है। गिनती 3 पर नहीं रुकी। 6 अलग-अलग sizes पर यह जाँचा गया, और 6 के 6 में अनुपात 4 और 1 ही निकला। पर इतने उदाहरण सबूत हैं, वजह नहीं। और हमें वजह चाहिए, क्योंकि वजह ही बताएगी कि यह हर square पर चलेगा या नहीं।

6:43लग सकता है कि वजह लम्बी और भारी होगी। वजह एक ही वाक्य की है। जब आप किसी शक्ल को बड़ा करते हैं, तो एक ही गुणक उसकी हर एक edge को गुणा करता है। हर side के लिए अलग गुणक नहीं। वही एक, हर जगह। इसी को मापक गुणक कहते हैं, और हर edge पर वही number लिखा हुआ है। तो परिमाप, जो उन्हीं edges का जोड़ है, उसी गुणक से गुणा हो जाता है — और जिस side से हम उसकी तुलना कर रहे हैं, वह भी।

7:13अनुपात का क्या हुआ? उसके ऊपर और नीचे दोनों एक ही चीज़ से गुणा हो गए। और जिस अनुपात के दोनों हिस्से एक ही number से गुणा हों, वह वही अनुपात रहता है जो पहले था। इसलिए वह हिल ही नहीं सकता। यह 2100 जोड़ों पर जाँचा गया — शक्ल और गुणक के, बड़ा करके भी और छोटा करके भी। और जाँच का तरीक़ा मायने रखता है: हर बार शक्ल के कोने नए सिरे से गुणा किए गए और परिमाप edge दर edge दोबारा नापा गया।

7:43पुराने परिमाप को गुणक से गुणा करके यह देखना कि वह गुणक से गुणा हो गया, कोई जाँच नहीं होती। उस वजह को board पर दोबारा पढ़िए। उसमें परिमाप का ज़िक्र कहाँ है? कहीं नहीं — उसमें सिर्फ़ इतना था कि एक गुणक हर लम्बाई को गुणा करता है। तो एक ऐसा अनुपात लीजिए जिसका परिमाप से कोई लेना-देना नहीं — उसी शक्ल की एक side की तुलना दूसरी side से।

8:09ऊपर दोनों sides निशान लगी हुई हैं। उन्हीं 2100 जोड़ों पर यह भी जाँचा गया, और वह अनुपात भी एक बार भी नहीं हिला। मतलब यह परिमाप के बारे में कोई बात थी ही नहीं। शक्ल के अन्दर की किसी भी 2 लम्बाइयों का अनुपात बड़ा या छोटा करने पर बचा रहता है। परिमाप उन लम्बाइयों में से बस एक है। यहाँ ज़रा सँभलकर चलना है। लग सकता है कि 4 और 1 वाला अनुपात 4 sides होने से मिलता है।

8:39rectangles के भी तो 4 sides होते हैं। 3 अलग-अलग rectangles सामने रखिए। हर एक के परिमाप की तुलना उसकी सबसे लम्बी side से कीजिए। नीचे तीनों के नतीजे लिखे जा चुके हैं, और तीनों अलग हैं। पूरे मैदान पर गिनिए तो यह तुलना कितनी अलग values लेती है? 21 — सबसे छोटी 9 बटा 4, सबसे बड़ी 15 बटा 4. और उनमें से 4 के बराबर एक भी नहीं है — शून्य बार।

9:07इसलिए 4 sides होने से 4 और 1 नहीं मिलता। वह बात ग़लत है। तो 4 और 1 देता क्या है? जो उसे देती है वह है 4 बराबर sides. एक square है और एक तिरछा rhombus, और दोनों की चारों sides पर एक जैसे निशान लगे हैं। rhombus square नहीं है — उसके कोने झुके हुए हैं। फिर भी उसकी सैर 4 बराबर sides का जोड़ है, इसलिए वह भी उतनी ही आसानी से 4 और 1 देता है।

9:37और ऐसे तिरछे rhombus squares से ज़्यादा हैं। यहाँ एक ईमानदार बात कह देनी चाहिए। जिस grid पर ये सब गिना गया, उस पर पूरे number वाले कोनों से कोई भी equilateral triangle बनता ही नहीं — शून्य। इसलिए 3 और 1 वाली शक्ल इस grid पर खींची ही नहीं जा सकती। तो उस दावे को इस grid के भरोसे नहीं छोड़ा गया। उसे अलग से बताया गया, क्योंकि जो चीज़ नमूने में आ ही नहीं सकती उसके बारे में नमूना कुछ नहीं कहता।

10:07एक ही शक्ल लीजिए और उसे 7 अलग-अलग तरीक़ों से बड़ा-छोटा कीजिए। सातों ऊपर रखे हैं। सातों के अनुपात का क्या हुआ? एक ही निकला, और एक बार भी नहीं हिला। अब 5 सचमुच अलग शक्लें लीजिए। हर एक के अपने अनुपात लिखे हैं, और पाँचों अलग हैं। लग सकता है कि यह number उस figure का है जो सामने बना हुआ है। पर वह figure का नहीं, शक्ल का है — यानी एक figure और उसकी सारी बड़ी-छोटी नक़लों का, क्योंकि बड़ा-छोटा करने पर वह हिलता ही नहीं।

10:40एक सवाल जो अभी तक नहीं पूछा गया — परिमाप होता किस तरह का number है? पहली नज़र में लगता है कि कोई साधारण सा number होगा। एक छोटी सी शक्ल सामने है जिसकी edges grid के points पर बैठी हैं। जो edge तिरछी है उसकी लम्बाई square root निकलती है, कोई सीधी भिन्न नहीं। इसलिए ऐसी शक्लों के परिमाप भी अक्सर भिन्न नहीं होते। गिनकर देखिए: 6176 शक्लों में से सिर्फ़ 42 ऐसी हैं जिनका परिमाप भिन्न के रूप में लिखा जा सके।

11:11बाक़ी सब square roots का जोड़ हैं। इसीलिए इस video की हर लम्बाई पूरी तरह exact रखी गई है, दशमलव में नहीं। 1200 लम्बाइयों को वापस square करके जाँचा गया और 1200 के 1200 ठीक उसी पूरे number पर लौटीं जिससे वे बनी थीं — गड़बड़ शून्य बार। अगर दशमलव इस्तेमाल होते तो ऊपर के अनुपात दशमलव तय करते, बताते नहीं। अब उस शक्ल पर आइए जिसकी तरफ़ यह सब बढ़ रहा था — circle.

11:41अब तक हर argument ने परिमाप की तुलना किसी side से की है। तीनों के नीचे वह लम्बाई निशान लगाइए जिससे तुलना होनी है। पहली में एक side. दूसरी में भी एक side. और तीसरी के नीचे? circle की कोई side होती ही नहीं। उसके पास गिनने के लिए कोई edge नहीं है, इसलिए आगे लगाने को कोई number भी नहीं है। वह जगह ख़ाली छोड़ दी गई है। तो उस ख़ाली जगह में क्या रखा जाए?

12:11circle के पास अपनी लम्बाइयाँ तो हैं। centre से बाहर तक की दूरी, यानी त्रिज्या — radius. और आर-पार की दूरी, यानी व्यास — diameter. ऊपर दोनों निशान लगी हुई हैं। इनमें से कौन सा चुनें? diameter को चुन लीजिए, और ख़ाली जगह में वही रखा जाएगा। लग सकता है कि sides न होने से पिछली वजह यहीं टूट जाएगी। पर उस वजह को इससे कोई फ़र्क़ ही नहीं पड़ता कि गिनने के लिए sides हैं या नहीं — वह sides के बारे में थी ही नहीं।

12:41circle को बड़ा कीजिए और एक ही गुणक उसकी हर चीज़ को गुणा करता है — diameter को, radius को, और बाहर के चक्कर की लम्बाई को भी। ऊपर-नीचे फिर साथ-साथ। इसलिए circle के चक्कर की तुलना उसके diameter से करने पर एक ही तय number मिलता है — सिक्के के लिए भी, पहिए के लिए भी, और उसी running track के लिए भी। यह अलग-अलग constants पर जाँचा गया और अनुपात एक बार भी नहीं हिला।

13:10इस तय number पर एक पैर अभी रखा जा सकता है। circle पर 6 corners लीजिए और उन्हें जोड़ दीजिए। वही 6 sides वाली शक्ल बन जाती है। इसकी sides कितनी लम्बी हैं? हर side ठीक radius के बराबर निकलती है — 6 की 6. तो इसकी border हुई 6 radii. और 6 radii ठीक 3 diameters हैं, क्योंकि diameter 2 radii का होता है। यहाँ किसी constant की ज़रूरत नहीं पड़ी और कुछ भी लगभग नहीं है।

13:40अब board पर हर side के बीच पर निशान लगाइए। 6 के 6 में वह बीच circle के rim से centre के नज़दीक है, यानी हर side अन्दर से होकर गुज़रती है। और अब वह बात काम आती है जो शुरू में तय की गई थी — 2 points के बीच सीधा रास्ता सबसे छोटा होता है। इसलिए circle का अपना चक्कर, जो बाहर से घूमकर जाता है, इन 6 सीधी sides से सख़्ती से लम्बा है।

14:06मतलब वह तय number 3 से बड़ा है — और यह हमने बिना कुछ लगभग किए निकाल लिया। एक चेतावनी यहीं दे देनी चाहिए। कई students चक्कर की तुलना कभी diameter से कर देते हैं और कभी radius से, और दोनों को एक ही मान लेते हैं। फ़र्क़ कितना पड़ता है? उसी 6 sides वाली शक्ल पर परख लीजिए। diameter से तुलना करने पर वह 3 देती है, और radius से तुलना करने पर 6.

14:32यानी radius वाला जवाब diameter वाले से ठीक दुगुना है, क्योंकि diameter ख़ुद radius का दुगुना है। यहाँ 2 का गुणक गुम होने का सबसे भरोसेमन्द तरीक़ा यही है कि आप यह साफ़ न रखें कि तुलना किससे हो रही है। अब यह देखिए कि एक तय अनुपात आख़िर किस काम आता है। 2 circles हैं और आपको सिर्फ़ इतना बताया गया है कि उनके चक्करों का अनुपात 5 और 4 है।

14:59उनकी radii का अनुपात क्या होगा? जवाब है 5 और 4 — और आप यह उस constant को जाने बिना कह सकते हैं, क्योंकि वही constant ऊपर भी खड़ा है और नीचे भी, और कट जाता है। यह 5 अलग-अलग constants रखकर जाँचा गया और जवाब एक बार भी नहीं बदला। अब एक ऐसा सवाल जिसमें constant चाहिए ही चाहिए। एक circle का चक्कर 44 है। उसकी radius क्या है?

15:24इसके लिए constant की क़ीमत रखनी पड़ेगी, और आम हिदायत यही होती है कि उसे 22 बटा 7 लिया जाए। तब radius ठीक 7 आती है। उन्हीं 5 constants में से सिर्फ़ 1 ने 7 दिया — बाक़ी सबने कुछ और। तो फ़र्क़ साफ़ है। अनुपात पूछने वाले सवाल में constant की क़ीमत की ज़रूरत नहीं पड़ती, लम्बाई पूछने वाले में पड़ती है। तो वापस उन runners पर, जो ऊपर फिर से आ गए हैं।

15:51क्या अब हम stagger तय कर सकते हैं? अभी नहीं — और यह टालना नहीं है, यही ईमानदार जवाब है। stagger कर क्या रहा है, वह हम कह सकते हैं — वह एक फ़र्क़ को मिटा रहा है। पर कितना, यह कहने के लिए मुड़े हुए रास्ते की लम्बाई चाहिए, और वह number यहाँ घेरा गया है, निकाला नहीं गया। पर जवाब की शक्ल हमारे पास आ चुकी है। एक नाप, एक ऐसा अनुपात जो हिल नहीं सकता, और पूरी border अपने आप तय।

16:20एक तय अनुपात यही ख़रीदता है। किसी गोल चीज़ की border को दोबारा चलकर नापने की ज़रूरत नहीं पड़ती। आप उसके आर-पार एक सीधी लम्बाई नापिए, और बाक़ी पहले से तय है।