PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 6, Measuring Space: Perimeter and AreaPrepShorts

Chapter 6 · Measuring Space: Perimeter and Area

किसी sector का क्षेत्रफल पूरे में से उसके कोण का हिस्सा है

Area of a circle and its parts17 मिनट

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17 min.

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एक sector disc का उतना ही हिस्सा लेता है जितना उसका angle पूरे घुमाव का है — और ठीक उसी वजह से, जिस वजह से एक arc border का उतना हिस्सा लेता है। दलील 2 ही बातों पर खड़ी है: disc को उसके centre पर घुमाने से area नहीं बदलता, और जो टुकड़े एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते वे जुड़ जाते हैं। एक diameter पर पलटने से आधा disc मिलता है, एक चौथाई घुमाने से चौथाई।

मुख्य idea

कोई sector disc में से अपने कोण के हिस्से जितना ठीक उसी वजह से लेता है जिस वजह से कोई चाप परिधि में से अपने कोण का हिस्सा लेती है: किसी disc को उसके centre के चारों ओर घुमाने से कोई क्षेत्रफल नहीं बदलता, और जो टुकड़े एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते उनके क्षेत्रफल जुड़ जाते हैं। एक ही argument, एक ही बार किया हुआ, दोनों formulas दे देता है — और इसीलिए chapter आधे तथा चौथाई से आगे कुछ लिए बिना सामान्य sector तक पहुँच जाता है, और इसीलिए दोनों formulas में फ़र्क़ सिर्फ़ इतना है कि बाँटा किसे जा रहा है। यह पहचान लेना कि ये एक ही argument हैं, दो बार, दोनों में से किसी भी formula से ज़्यादा क़ीमती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • Sector की परिभाषा दीजिए, और उसे वृत्तखंड से अलग पहचानिए
  • परावर्तन से दिखाइए कि आधे disc का क्षेत्रफल πr²/2 है, और चौथाई घुमाव से कि चौथाई disc का πr²/4
  • उन दोनों क्षेत्रफलों को πr² गुणा 180/360 और 90/360 की शक्ल में दोबारा लिखिए, और समझाइए कि यह दोबारा लिखना किस काम का है
  • केंद्रीय कोण θ° के लिए sector के क्षेत्रफल का सामान्य formula बताइए
  • सामान्य formula का औचित्य घूर्णन पर क्षेत्रफल के अपरिवर्तित रहने और क्षेत्रफल की योज्यता से दीजिए, न कि किसी pattern को आगे बढ़ाकर
  • Sector वाले formula को चाप की लंबाई वाले formula के बग़ल में रखिए और पहचानिए कि साझा क्या है और अलग क्या
  • कोई लघु sector और उसका दीर्घ जोड़ीदार निकालिए, और जाँचिए कि दोनों मिलकर पूरा disc बनते हैं
  • किसी वृत्तखंड का क्षेत्रफल, sector में से त्रिभुज घटाकर निकालिए
  • यह formula किसी मिनट की सुई पर और गाड़ी के किसी wiper पर लगाइए
  • किसी अंतर्लिखित सम बहुभुज के क्षेत्रफल का disc के क्षेत्रफल से अनुपात निकालिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
sectorएक चाप, उसके सिरों से होकर जाती दोनों radii, और disc का वह टुकड़ा जो वे घेरती हैंत्रिज्यखंड§6.10.1 (p. 146) की शुरुआत में छपा और परिभाषित है
segmentएक चाप, उसके सिरों को जोड़ती जीवा, और दोनों के बीच disc का टुकड़ावृत्तखंड§6.10.1 (p. 147) के अंत में, जहाँ इसकी परिभाषा है, bold में छपा है
chordवह segment जो circle के दो points को जोड़ता हैजीवावृत्तखंड की परिभाषा में (p. 147) और पूरे Exercise Set 6.3 में छपा है
discभरा हुआ वृत्ताकार क्षेत्र, उस circle के मुक़ाबले जो उसकी सीमा हैचक्रिकाFig. 6.39 और Fig. 6.40 के captions में छपा है (p. 147)
quadrantकिसी disc का चौथाई हिस्साचतुर्थांशExercise Set 6.3 Q2 (p. 148) में और chapter के आख़िरी Q8 (p. 150) में छपा है
minor sector, major sectorradii की एक जोड़ी से बनने वाले दोनों sectors में से छोटा और बड़ालघु त्रिज्यखंड, दीर्घ त्रिज्यखंडदोनों, अपने कोणों के साथ, Exercise Set 6.3 Q4 (p. 148) में छपे हैं
major segmentकिसी जीवा से बनने वाले दोनों वृत्तखंडों में से बड़ादीर्घ वृत्तखंडExercise Set 6.3 Q5 (p. 148) में छपा है, जो दोनों वृत्तखंड माँगता है
rotational symmetryयह कि किसी circle को उसके centre के चारों ओर घुमाने से वह वैसा का वैसा रहता हैघूर्णन सममितिजहाँ chapter बताता है कि sector वाले निष्पादन ने क्या इस्तेमाल किया, वहाँ छपा है (p. 147)
reflection symmetryयह कि किसी circle को किसी व्यास में परावर्तित करने से वह वैसा का वैसा रहता हैपरावर्तन सममितिआधे disc वाले argument में छपा है (p. 147)
quarter-turn90° का घुमावचौथाई घुमावचौथाई disc वाले argument में छपा है (p. 147)
additivity of areaयह कि एक-दूसरे पर न चढ़ने वाले टुकड़े अपने क्षेत्रफल पूरे में जोड़ देते हैंक्षेत्रफल की योज्यतायहाँ जोड़ा गया समास; chapter इस तथ्य को इस्तेमाल करता है और इसे कोई नाम नहीं देता
inscribedकिसी circle के अंदर इस तरह खींचा हुआ कि सारे शीर्ष उसी पर होंअंतर्लिखितExercise Set 6.3 Q8, Q9 और Q10 (p. 148) में छपा है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Sector वाला formula अलग से रटने की एक चीज़ है।" वह disc का क्षेत्रफल गुणा कोण का हिस्सा है। इस तरह लिखा जाए तो वह एक ही formula है और कभी ग़लती से उलटता नहीं।
  • "Sector और वृत्तखंड एक ही चीज़ हैं।" Sector दो radii और एक चाप से घिरा होता है; वृत्तखंड एक चाप और उसके आर-पार की जीवा से। chapter दोनों को एक अनुच्छेद के फ़ासले पर परिभाषित करता है (pp. 146–147), और फ़र्क़ ठीक वह त्रिभुज है जो दोनों radii और जीवा के बीच है।
  • "Formula दो उदाहरणों से बढ़ाकर निकाला गया था।" दो मामले कमज़ोर सहारा होते। Formula को घूर्णन पर अपरिवर्तित रहने और योज्यता ने मजबूर किया है, और chapter ख़ुद बताता है कि उसके निष्पादनों ने घूर्णन सममिति इस्तेमाल की थी। argument दे दीजिए।
  • "लघु और दीर्घ sectors के लिए अलग-अलग formula चाहिए।" एक ही formula, और दो कोण जिनका जोड़ 360° है। यह जाँच लेना कि दोनों क्षेत्रफल मिलकर πr² बनते हैं, ऐसे हर सवाल पर मुफ़्त की ग़लती-जाँच है, और Q4 इसी तरह जाँचे जाने के लिए बना है।
  • "वृत्तखंड का क्षेत्रफल sector का ही क्षेत्रफल है।" वह sector में से त्रिभुज घटाकर मिलता है। Q5 और Q7 दोनों इसी घटाव पर टिके हैं, और पूरे अभ्यास-समूह में यही अकेली जगह है जहाँ त्रिभुज वाला formula चाहिए।
  • "दोनों wipers एक blade के क्षेत्रफल का दोगुना साफ़ करते हैं, ज्यामिति चाहे जो हो।" सिर्फ़ इसलिए कि सवाल कहता है कि वे एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते। बताइए कि यह वाक्यांश वहाँ क्यों है; चढ़ती हुई सफ़ाइयों में चढ़ा हुआ हिस्सा घटाना पड़ता।
  • "अगर किसी तारांकित सवाल का छपा हुआ जवाब अजीब लगे, तो भी वह सही ही होगा।" Q7 का छपा हुआ expression ऋणात्मक निकलता है। क्षेत्रफल ऋणात्मक हो नहीं सकता। किसी जवाब पर भरोसा करने से पहले उसका चिह्न जाँच लेना एक आदत है, और उसे ठीक इसी सवाल पर बनाना चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 6.3 Q1, Exercise Set 6.3 Q2, Exercise Set 6.3 Q3, Exercise Set 6.3 Q4, Exercise Set 6.3 Q5, Exercise Set 6.3 Q6, Exercise Set 6.3 Q7, Exercise Set 6.3 Q8, Exercise Set 6.3 Q9, Exercise Set 6.3 Q10, End-of-Chapter Exercises Q8, End-of-Chapter Exercises Q27

पूरा transcript2,497 शब्द

एक circle बनाइए, उसके border पर 2 point लीजिए, और दोनों को centre से जोड़ दीजिए। अब आपने disc का एक टुकड़ा घेर लिया है। बोर्ड पर देखिए, यही वह टुकड़ा है। एक arc, उसके दोनों सिरों से जाती हुई 2 radii, और बीच में जो कुछ बचा — इस पूरे टुकड़े का नाम sector है। आपने disc का कितना हिस्सा उठाया है, यह किस चीज से तय होता है?

सिर्फ़ centre पर बने उस angle से। और किसी चीज से नहीं। पहली नजर में लगता है कि इससे भी फर्क पड़ता होगा कि टुकड़ा कहाँ से काटा गया। पड़ता नहीं — न यह मायने रखता है कि sector किस तरफ मुँह किए खड़ा है, न यह कि border पर कौन से 2 point चुने गए थे। बस angle। इस एक वाक्य को मान लेने के बाद formula अपने आप तय हो जाता है।

तो बाकी का सारा काम इसे मानने लायक बनाने का है। सबसे आसान हालत से शुरू कीजिए। एक diameter सीधा आर-पार खींचिए। disc 2 टुकड़ों में बँट गया, और हर टुकड़ा 180 degree का sector है। अब disc को उसी diameter पर पलट दीजिए। circle ठीक अपने ऊपर आकर बैठ जाता है, क्योंकि किसी भी diameter पर पलटने से circle बदलता नहीं। तो ऊपर वाला टुकड़ा ठीक नीचे वाले पर बैठा।

दोनों मिलते हैं, और दोनों मिलकर पूरा disc हैं। इसलिए हर एक आधा है — pi r square का आधा। ध्यान दीजिए, इसमें circle के बारे में कुछ था ही नहीं। यह सिर्फ़ एक ऐसी हरकत के बारे में था जो area बदलती नहीं। अब वही काम दूसरी हरकत से। 2 diameter खींचिए, एक-दूसरे पर सीधे। 4 टुकड़े मिले, हर एक 90 degree का sector। disc को एक चौथाई घुमा दीजिए।

circle फिर अपने ऊपर बैठता है। अब बोर्ड पर देखिए — हर चौथाई कहाँ जाकर बैठती है? हर एक अगली चौथाई पर। चारों आपस में मिल गए, और चारों मिलकर पूरा disc हैं। तो हर एक चौथाई है — pi r square का चौथाई। दलील वही है, सिर्फ़ हरकत बदल गई है। पलटने ने आधा दिया, और चौथाई घुमाव ने चौथाई दिया। दोनों बार टुकड़े एक-दूसरे पर चढ़े नहीं, और दोनों बार मिलकर पूरा disc बने।

इसीलिए उनके area जुड़ गए। अब तक 2 जवाब हाथ में हैं, और दोनों disc के साफ हिस्से हैं — एक आधा, एक चौथाई। अब इन्हें जान-बूझकर भद्दे तरीके से लिखिए। आधा यानी 180 बटा 360, और चौथाई यानी 90 बटा 360। इससे मिलेगा क्या? शायद लग सकता है कि यह उल्टा कदम है। देखने में तो यही लगता है। 2 साफ हिस्सों को 2 भद्दे हिस्सों में बदल दिया।

लेकिन ऊपर बैठी संख्या पर नजर डालिए। 180 आधे का angle है, और 90 चौथाई का angle है। ऊपर वाला number अब किसी हालत का इत्तेफाक नहीं रहा। वह वही चीज है जिसके बारे में पूरी हालत थी। इसीलिए यह भद्दी लिखावट ही काम की लिखावट है। तो अब इसे किसी भी angle के लिए लिख दीजिए। theta degree के sector का area है pi r square, गुणा theta बटा 360।

शब्दों में — पूरा disc, गुणा उस angle का पूरे घुमाव में से हिस्सा। पर एक मिनट रुकिए, और देखिए कि अभी हुआ क्या। 2 हालतें देखी गईं, उनमें एक साँचा दिखा, और उस साँचे को हर जगह लागू घोषित कर दिया गया। क्या 2 हालतें इतना हक देती हैं? यहाँ लग सकता है कि 2 हालतें काफी हैं, पर वे नहीं हैं — यह सबूत नहीं है। angle के square पर बना एक नकली formula भी उन 12 angle में से ठीक 2 पर सही जवाब देता है — 90 और 180 पर — और बाकी हर जगह अलग हो जाता है।

45 degree पर, 1 की radius वाले circle में, वह नकली formula 0.583551 कहता है, जबकि सच 0.392699 है। नीचे दोनों number बोर्ड पर देखिए। formula सही है। लेकिन अब तक उसके पक्ष में सिर्फ़ इतना कहा गया है कि वह 2 हालतों पर बैठ जाता है। इतना काफी नहीं। अब वह दलील, जो इस खाई को पाटती है। पूरे घुमाव को centre पर n बराबर angle में काट दीजिए।

आपको n sector मिलते हैं। बोर्ड पर देखिए — क्या ये सब आपस में बराबर हैं? disc को उनमें से एक angle जितना घुमा दीजिए। हर sector ठीक अगले पर जा बैठता है, तो n के n sector बराबर area के हैं। वे एक-दूसरे पर चढ़ते नहीं, और मिलकर पूरा disc हैं। इसलिए हर एक pi r square बटा n है। अब उनमें से m को साथ-साथ उठा लीजिए। area हुआ m गुणा pi r square बटा n, और उठाया गया angle पूरे घुमाव का m बटा n है।

यही formula है। यह बात 10 अलग-अलग कटाइयों पर जाँची गई, और 40 ऐसी हालतों पर जहाँ n में से m टुकड़े उठाए गए। चूकने वालों की गिनती 0 रही। इससे हर वह angle तय हो गया जो पूरे घुमाव का सीधा-सादा हिस्सा है। और कोई भी दूसरा angle ऐसे 2 angle के बीच फँसा होता है। नीचे वाले denominator को बड़ा होने दीजिए और वह फंदा कसता जाता है — पहले 9 degree चौड़ा, फिर 0.1863, फिर 0.0012।

काम 2 ही चीजों ने किया। घुमाने से area नहीं बदलता, और अलग-अलग टुकड़े जुड़ जाते हैं। अब इसे उस चीज के बगल में रखिए जो पहले से आपके पास है। एक arc की लंबाई है 2 pi r, गुणा theta बटा 360। और एक sector का area है pi r square, गुणा theta बटा 360। वही हिस्सा, 2 बार। फर्क सिर्फ़ इतना है कि बाँटा किसे जा रहा है।

एक को दूसरे से भाग दीजिए और angle कट जाता है। sector का area बटा उसके arc की लंबाई, हर बार radius का आधा निकलता है। यह 48 जोड़ों पर जाँचा गया, जिनमें हर जोड़े में एक angle है और एक radius। जिन पर यह टूटा, उनकी गिनती 0 है। और इसी में एक चेतावनी छिपी है। radius का आधा 1 हो जाता है, जब radius 2 हो। तो उस एक circle पर क्या हो जाएगा?

उस circle पर area और लंबाई, 12 के 12 angle पर, एक ही number बनकर निकलते हैं। तो वहाँ दोनों formula को आपस में जाँचना कुछ भी नहीं बताता। 7 की radius पर वे किसी भी angle पर बराबर नहीं आते — गिनती 0। जाँच करनी है तो वहाँ कीजिए। 2 radii मिलकर 1 sector नहीं बनातीं। पहली नजर में यही लगता है, पर वे 2 बनाती हैं। एक छोटा, उनके बीच वाला।

और एक बड़ा, दूसरी तरफ से घूमकर आने वाला। ऊपर वाला angle और उसके नीचे वाला, दोनों centre पर ही बने हैं, और मिलकर 360 होते हैं। तो दोनों के area मिलकर पूरा disc होंगे। और यह इस किस्म के हर सवाल पर एक मुफ्त जाँच है। radius 10, pi को 3.14 माना गया, और chord centre पर सीधा कोना बनाता है। दोनों sector कितने निकलेंगे? छोटा sector 78.5 है, और बड़ा 235.5।

दोनों number बोर्ड पर देखिए। अब दोनों को जोड़ दीजिए, और जवाब 314 आता है। उसी pi से pi r square भी 314 ही है। अगर ये न मिलते, तो 2 में से 1 जवाब गलत था। और यह बात आपको किसी के बताने से पहले पता चल जाती। disc से काटा जाने वाला अकेला टुकड़ा sector नहीं है। arc के दोनों सिरों को एक chord से जोड़िए, और chord तथा arc के बीच वाला टुकड़ा उठा लीजिए।

बोर्ड पर देखिए — यह टुकड़ा sector नहीं है। इसका नाम segment है। sector और segment के बीच का फर्क ठीक-ठीक एक triangle है — वह जो 2 radii और chord से बनता है। नीचे तीनों आकृतियाँ साथ-साथ रखी हैं। radius 15, angle 60 degree, pi को 3.14 और root 3 को 1.73 माना गया है। segment कितना निकलेगा? sector का area 117.75 है। triangle की दोनों भुजाएँ radius हैं और बीच का angle 60 है, तो वह equilateral है।

उसका area 97.3125 है। अब इसे sector में से घटा दीजिए, और segment 20.4375 निकलता है। दूसरी तरफ वाला segment 686.0625 है, और दोनों मिलकर 706.5 — यानी पूरा disc। जाँच फिर मुफ्त में मिल गई। अब angle को बढ़ाकर 180 तक ले जाइए। दोनों radii मिलकर एक सीधी line बन जाती हैं। तो triangle का क्या होगा? triangle उसी line पर बैठ जाता है और उसमें area बचता ही नहीं।

इसलिए वहाँ segment और sector एक ही टुकड़ा हैं। जिन 12 angle पर यह जाँचा गया, उनमें segment और sector के बराबर होने की गिनती 2 है। और कहीं नहीं। अब 180 से आगे निकल जाइए। 270 degree वाला बड़ा sector लीजिए। यहाँ लग सकता है कि वही घटाना फिर चल जाएगा, पर चलता नहीं। उन 2 radii पर बना triangle अब उस टुकड़े के अंदर है ही नहीं जिसमें से आप घटाने जा रहे हैं।

3 की radius पर फिर भी घटा दीजिए, और जवाब पूरे 9 कम आता है। तो बचा हुआ नियम यह है। सीधे angle से नीचे triangle घटाइए। उससे ऊपर, पूरे disc में से छोटा segment घटाइए। एक circle की radius r है, और chord centre पर 60 degree बनाता है। छोटा segment निकालिए। sector में से triangle घटाइए, तो जवाब है r square गुणा कोष्ठक, pi बटा 6 घटा root 3 बटा 4।

वह r square का 0.0906 है। और जो triangle घटाया गया, वह r square का 0.4330 था। अब वह लिखावट जो अक्सर छप जाती है, और पहली नजर में सही भी लगती है। pi को कोष्ठक के बाहर रख दीजिए, ताकि वह दोनों हिस्सों से गुणा हो। अब जवाब क्या आएगा? वह r square का 0.8368 देता है — शून्य से नीचे। सही जवाब जाने बिना भी आप इसे खारिज कर सकते हैं, क्योंकि area कभी शून्य से नीचे नहीं होता।

और कोई radius इसे बचा भी नहीं सकती। जिन radius पर वह ऊपर चला जाए, उनकी गिनती 0 है। किसी जवाब पर भरोसा करने से पहले उसका चिह्न देख लेना 2 सेकंड लेता है, और इस किस्म की गलती हर बार पकड़ लेता है। अब 2 जगहें, जहाँ यही चीज भेस बदलकर आती है। एक घड़ी की minute वाली सुई 7 लंबी है। 10 minute में वह कितना इलाका बुहारती है?

10 minute एक घंटे का छठा हिस्सा है, तो सुई 360 का छठा हिस्सा घूमती है — यानी 60 degree। बोर्ड पर देखिए, सुई ने कितना घेर लिया है। pi को 22 बटा 7 लेकर, वह 25.67 निकलता है। और यह ठीक वही number है जो 7 radius के सादे 60 degree sector का है। number वही है क्योंकि सवाल वही है। सिर्फ़ कपड़े बदले हुए हैं। दूसरी जगह — गाड़ी के 2 wiper।

हर blade 28 लंबा, हर एक 120 degree बुहारता है। नीचे दोनों blade की बुहारन बनी हुई है। 1 blade 821.33 साफ करता है, तो दोनों मिलकर 1642.67। पर यह दोगुना करना तभी जायज है जब दोनों बुहारन एक-दूसरे पर चढ़ती न हों। वही शर्त इस गुणा का पूरा हक देती है। अब तक हर सवाल में radius दी हुई थी। अब नहीं दी जाएगी। एक circle का घेरा 44 है।

उसके एक चौथाई हिस्से का area कितना होगा? border 2 pi r होता है, तो pi को 22 बटा 7 लेकर radius 7 निकल आती है। और pi r square का चौथाई हुआ 38.5। अब यही कड़ी उस circle पर आजमाइए जिसका घेरा 66 है। वहाँ चौथाई हिस्सा कितना निकलेगा? radius 10.5 निकलती है, और चौथाई हिस्सा 86.625। दोनों जवाब बोर्ड पर देखिए। इस कड़ी की शक्ल देख लीजिए। border से radius, radius से area, area से हिस्सा।

और हर तीर दोनों तरफ चलता है। एक circle के अंदर एक बराबर भुजाओं वाला polygon बनाइए, और पूछिए कि उसने disc का कितना हिस्सा लिया। तीनों में सबसे बड़ा हिस्सा किसका होगा? triangle 0.4135 लेता है, square 0.6366, और hexagon 0.8270। हर हिस्सा अपनी आकृति के नीचे बोर्ड पर लिखा है। भुजाएँ बढ़ीं, हिस्सा बढ़ा, क्योंकि हर नई भुजा आकृति को circle के और करीब ले जाती है। ऊपर की तरफ चढ़ती हुई तीनों पट्टियाँ देखिए।

और इन तीनों में से पूरे disc तक पहुँचने वालों की गिनती 0 है। अब पहले और आखिरी पर दोबारा नजर डालिए। पहली नजर में यह इत्तेफाक लग सकता है। 0.8270 ठीक-ठीक 0.4135 का दोगुना है। लगभग दोगुना नहीं, बिल्कुल दोगुना। और बिल्कुल का दोगुना होना हमेशा एक तस्वीर माँगता है। hexagon को उसके centre से काटिए, तो 6 बराबर भुजाओं वाले triangle निकलते हैं। तो अंदर वाला बड़ा triangle उनमें से 3 होना चाहिए।

एक छोड़कर एक, तीनों को भर दीजिए। बोर्ड पर देखिए — क्या यही वह triangle है? यहाँ लग सकता है कि काम पूरा हो गया। area तो मिल ही जाता है। 6 में से 3 यानी hexagon का आधा, और hexagon का आधा ही वह triangle है। पर जो आकार आपने भरा है, उसे देखिए। वह एक पंखी है, triangle नहीं। उसके टुकड़े सिर्फ़ centre पर मिलते हैं, और तीनों मिलकर hexagon के छहों कोनों तक पहुँचते हैं।

जबकि अंदर वाला triangle 3 कोनों तक पहुँचता है। और सबसे साफ जाँच यह है। centre और बीच वाला कोना, triangle की अपनी भुजा के आमने-सामने पड़ते हैं। यानी पंखी उस भुजा के पार छलक रही है। यही वजह है कि गलत तस्वीर इतनी आसानी से बन जाती है। लगातार 3 टुकड़ों का area भी उतना ही होता है, पर वे 4 कोनों तक पहुँचते हैं। सिर्फ़ area देखकर इन आकारों में फर्क कभी नहीं किया जा सकता।

सही कटाई यह है। centre को उसी triangle के अपने कोनों से जोड़िए। वे 3 टुकड़े सचमुच उसे भर देते हैं, और इनमें से जो hexagon के 6 में से किसी एक जितने न हों, उनकी गिनती 0 है। बाहर बचे 3 कोने वाले triangle भी उतने ही बड़े हैं। तो 3 कोने आधा hexagon बनाते हैं, और अंदर वाला triangle बाकी आधा। आखिरी आकृति यह है। एक square, उसके एक कोने से खिंचा हुआ चौथाई circle, और उसकी 2 भुजाओं पर बने 2 आधे circle।

बोर्ड पर देखिए, तीनों चाप एक ही square के अंदर हैं। इससे 2 रंगे हुए टुकड़े बचते हैं। क्या दोनों का area बराबर है? दोनों आधे circle मिलकर चौथाई disc को ढक लेते हैं, सिवाय एक टुकड़े के। और एक जगह वे आपस में चढ़ भी जाते हैं। ऊपर वाला टुकड़ा और नीचे वाला, दोनों पर निशान लगा है। चूँकि दोनों आधे circle मिलकर ठीक चौथाई disc जितने हैं, वे जितना छोड़ेंगे उतना ही उन्हें 2 बार गिनना भी पड़ेगा।

1 भुजा वाले square पर नापा गया, तो दोनों टुकड़े 0.1427 निकले। यानी pi घटा 2, बटा 8। एक ही दलील, एक ही बार कही गई, और उससे दोनों formula निकल आए। दलील यही थी। disc को उसके centre पर घुमाने से area नहीं बदलता, और जो टुकड़े एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते, वे जुड़ जाते हैं। तो हाथ में क्या बचा? और वह पीछे 3 जाँचें छोड़ जाती है। पहली — एक chord के 2 sector मिलकर पूरा disc होने चाहिए।

दूसरी — सीधे angle से नीचे segment अपने sector से छोटा होगा, क्योंकि उसमें से एक असली triangle निकला है। तीसरी — area कभी शून्य से नीचे नहीं जाता, चाहे लिखावट कैसी भी दिखे। दलील सीख लीजिए तो formula पीछे-पीछे आ जाते हैं। सिर्फ़ formula सीखिए तो ये तीनों जाँचें साथ नहीं आतीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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