आयत से समांतर चतुर्भुज तक: फेर-बदल के बाद भी क्षेत्रफल बचा रहता है

0:00किसी आकृति का area एक संख्या तब बनता है, जब उससे पहले कोई इकाई तय कर ली जाए। वह इकाई यही है — 1 by 1 का square। इसी के area को 1 कहा जाता है। इसके 4 कोने हैं, और इन्हीं 4 कोनों से इसका area नापा गया। जवाब ठीक 1 आया। इसके बाद किसी भी area का मतलब बस इतना है कि इस square के कितने टुकड़े उसमें समाते हैं।

0:26इसीलिए area कभी अकेले में नहीं बोला जाता। वह हमेशा किसी इकाई के मुक़ाबले बोला जाता है। अब a by b का rectangle लीजिए, जिसमें a और b दोनों पूरे अंक हैं। उसमें इकाई square एक-एक करके रखिए और गिनते जाइए। आख़िर में जो गिनती आती है, वही a गुणा b है। पर यह सिर्फ़ एक उदाहरण है। इसे 1 से लेकर 8 तक हर पूरी भुजा पर जाँचा गया।

0:54कुल 64 rectangle बने, और 64 बार गिनती और गुणा एक ही जवाब पर पहुँचे। तो a गुणा b कोई ऊपर से आया हुआ नियम नहीं है। वह एक गिनती है, छोटा करके लिखी हुई। एक square से पूरे rectangle तक जाने का पुल एक पट्टी है। 1 by 7 की पट्टी में ठीक 7 इकाई square बैठते हैं, इससे एक भी ज़्यादा नहीं। अब ऐसी 5 पट्टियाँ एक के ऊपर एक रखिए।

1:22कुल 35 इकाई square हो गए। यही 5 गुना 7 है। गुणा यहाँ बार-बार जोड़ने का छोटा नाम है, और कुछ नहीं। अब area की 2 आदतें, जिन पर आगे का सारा तर्क खड़ा है। पहली — किसी टुकड़े को उठाकर कहीं और रख दीजिए, उसका area वही रहता है। इसे मान नहीं लिया गया। 9 तरह की हरकतें बनाई गईं — खिसकाना, पलटना, आधा घुमाना, और 5 तरह के घुमाव।

1:53हर एक ने हर दूरी को जस का तस रखा, और हर एक ने test आकृति का area वहीं छोड़ा जहाँ वह था। यह बात कहना ज़रूरी है। आगे का पूरा तर्क इसी एक आदत पर टिका हुआ है। दूसरी आदत — आकृति को ऐसे टुकड़ों में काटिए जो एक-दूसरे पर न चढ़ें। तब उन टुकड़ों के area जोड़ने पर पूरी आकृति का area वापस आ जाता है। एक test आकृति का area 16 है।

2:21उसे 2 टुकड़ों में काटा गया। यह जाँचा गया कि दोनों टुकड़े एक-दूसरे पर चढ़ते नहीं, और उनके area जुड़कर फिर से 16 बने। न चढ़ना कोई औपचारिकता नहीं है। चढ़ते हुए टुकड़ों में वही जगह 2 बार गिन ली जाती। ये 2 आदतें एक ही बात नहीं हैं, और यही फ़र्क़ आगे की पूरी दलील चलाता है। एक 6 by 4 का rectangle लीजिए, जिसका area 24 है। अब उसके ऊपरी हिस्से को बग़ल में खिसका दीजिए।

2:51आकृति बदल गई, दूरियाँ बदल गईं, पर area अब भी ठीक 24 ही है। अब उसी rectangle को चौड़ाई में खींच दीजिए। इस बार area 24 से बढ़कर 72 हो जाता है। तो area का बचना आकृति के बचने से कमज़ोर शर्त है। यही कमज़ोरी आगे काम आने वाली है। अब parallelogram। उसका base 6 है, और ऊपर वाली भुजा तक की सीधी दूरी 4 है। एक सिरे से नीचे तक सीधी दूरी गिराइए।

3:21उससे एक त्रिभुज कट जाता है। उस त्रिभुज को उठाकर दूसरे सिरे पर ले जाइए — ठीक base जितना खिसकाकर। जो आकृति अब खड़ी है वह rectangle है — उसी base पर, और उसी height पर। दोनों का area नापा गया। parallelogram का 24, और rectangle का भी 24। और यह भी जाँचा गया कि खिसकाने से पहले और बाद, दोनों टुकड़े कहीं एक-दूसरे पर चढ़ते नहीं। तो base गुणा height कोई नया नियम नहीं है।

3:51वह उन्हीं 2 आदतों का नतीजा है। और यह सिर्फ़ 6 और 4 की बात नहीं है। 200 अलग-अलग base, height और झुकाव पर यही चलाया गया। हर बार नाप वही निकला जो base गुणा height कहता है। जो त्रिभुज उठाया गया और जो खाली जगह पीछे छूटी, वे बिल्कुल एक जैसे हैं। तीनों भुजाएँ वही, और area भी वही। पहली आदत ठीक यहीं काम कर रही है। पर जो तस्वीर अभी बनी, वह हर parallelogram पर बनती नहीं है।

4:23parallelogram को बहुत तिरछा कर दीजिए, और अब वही सीधी दूरी गिराइए। उसका पैर base के ऊपर गिरता ही नहीं। वह base की लम्बाई का साढ़े 3 गुना दूर जा गिरता है। base तो 1 पर ख़त्म हो जाता है। यानी पैर सिरे से ढाई base आगे है, पूरी 5 इकाई दूर। अब आकृति के अंदर ऐसा कोई त्रिभुज है ही नहीं, जिसे काटकर दूसरी तरफ़ ले जाया जा सके।

4:50अब सवाल यह है कि क्या यह कोई दुर्लभ हादसा है? इसके लिए 78 अलग-अलग base और झुकाव आज़माए गए। 27 में वह तस्वीर बन जाती है, और 51 में नहीं बनती। यानी जिसे सिर्फ़ साफ़-सुथरी तस्वीर दिखाई गई, उसे दरअसल एक ख़ास हालत दिखाई गई है। इसे छिपाने की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि इसकी मरम्मत मौजूद है। मरम्मत यह है — ऊपर वाली भुजा को उसी की अपनी सीध पर खिसका दीजिए।

5:22एक बार में 1 इकाई। 5 बार खिसकाने पर वह पैर base के ऊपर आ जाता है। और हर पड़ाव पर area नापा गया। शुरू से आख़िर तक छहों बार वह ठीक 6 रहा। वजह सीधी है। खिसकाने से न base हिला, और न height हिली। हर खिसकाव एक सिरे पर एक त्रिभुज खोता है, और दूसरे सिरे पर वैसा ही एक पाता है। दोनों की भुजाएँ वही, area भी वही।

5:49इसलिए कुल में कुछ घटता-बढ़ता नहीं। पर 'जितनी बार ज़रूरत हो, उतनी बार' सुनकर एक चिंता रह जाती है। क्या ऐसा हो सकता है कि यह हमेशा के लिए चलता ही रहे? नहीं, ऐसा नहीं हो सकता। बाहर निकला हुआ हिस्सा एक तय लम्बाई है, और हर खिसकाव उसमें से एक तय टुकड़ा काटता है। पूरा हिस्सा एक ही बार में ले लीजिए — तब 1 खिसकाव में काम हो जाता है।

6:16बहुत छोटा टुकड़ा लीजिए — तब 500 खिसकाव लगते हैं। बड़ी संख्या है, पर संख्या ही है। जो भी नाप चुना गया, गिनती उसमें ख़त्म हुई। कहीं भी वह अंतहीन नहीं हुई। यहाँ सबसे आम ग़लती यही होती है कि height को कोई भुजा समझ लिया जाए। इस parallelogram की भुजाएँ 6 और 5 हैं, और इसका नापा हुआ area 24 है। अगर base के लिए 6 वाली भुजा चुनी जाए, तो height 4 निकलती है।

6:46और अगर base के लिए 5 वाली भुजा चुनी जाए, तो height 24 बटा 5 हो जाती है। न 4 कोई भुजा है, न 24 बटा 5। height किसी भुजा का नाम नहीं है। और अगर दोनों भुजाओं को गुणा कर दिया जाए तो 30 आता है, 24 नहीं। तो 'लम्बाई गुणा चौड़ाई' सिर्फ़ rectangle के बारे में एक बात है, और किसी के बारे में नहीं। एक सवाल बचा है।

7:11क्या सिर्फ़ चारों भुजाओं की लम्बाई से area निकाला जा सकता था? 4 पट्टियों को कोनों पर जोड़ दीजिए, और उन्हें धकेलिए। 40 स्थितियाँ ली गईं। चारों भुजाएँ हर बार 6, 5, 6 और 5 ही रहीं। और इसके बावजूद area ने 40 अलग-अलग मान लिए। सबसे बड़ा area 30 है, जब वह सीधी खड़ी होती है। और 40वीं स्थिति तक आते-आते वह 30 के दसवें हिस्से से भी नीचे चला जाता है।

7:40और इस पूरे दौरान चारों भुजाओं में से एक भी नहीं बदली। तो अकेली भुजाएँ area तय नहीं कर सकतीं। जो चीज़ छूट रही थी, वह height है। एक ही base पर 2 त्रिभुज लीजिए, जिनके ऊपर वाले कोने base के समांतर एक ही सीध पर हों। यहाँ height दोनों सीधों के बीच की दूरी है, और कुछ नहीं। ऊपर वाले कोने की 13 स्थितियाँ ली गईं, और जवाब एक ही निकला।

8:07हर बार area 12 ही नापा गया। तो ऐसे 2 त्रिभुजों का अनुपात पूछने वाला सवाल दरअसल 1 और 1 का अनुपात पूछ रहा है। इसका कारण साझा height है। इसमें हिसाब लगाने जैसा कुछ है ही नहीं। अब एक parallelogram लीजिए, और उसके एक diagonal पर कहीं भी एक बिंदु रखिए। वह बिंदु दोनों भुजाओं के साथ मिलकर एक-एक त्रिभुज बनाता है। diagonal पर बिंदु की 11 स्थितियाँ ली गईं।

8:35हर स्थिति पर दोनों के area बराबर निकले। वजह वही है। दोनों दूर वाले कोने diagonal से एक ही दूरी पर बैठे हैं, यानी height फिर से साझा है। trapezium के लिए कोई नया नियम याद करने की ज़रूरत नहीं है। पहला रास्ता — उसे एक diagonal पर काटकर 2 त्रिभुजों में बाँट दीजिए। दूसरा रास्ता — उसकी 2 copy लीजिए, एक को घुमाइए, और दोनों मिलकर एक parallelogram बना देती हैं।

9:03480 अलग-अलग trapezium पर दोनों रास्ते चलाए गए, और हर बार दोनों का जवाब एक ही निकला। एक उदाहरण लीजिए — समांतर भुजाएँ 4 और 7, और height 3। दोनों copy मिलकर 33 का parallelogram बनाती हैं। तो trapezium उसी parallelogram का आधा है, जिसका base दोनों समांतर भुजाओं को जोड़कर बनता है। तीसरा रास्ता उसे एक parallelogram और एक त्रिभुज में काटता है। पर उस कट को base पर ही उतरना पड़ता है।

9:33480 में से 360 पर वह उतर जाता है, और 120 पर नहीं उतरता। यह वही पतला parallelogram दोबारा है — वही दिक़्क़त, और वही मरम्मत। अब एक आख़िरी सवाल लीजिए। अगर 2 rectangle का area भी बराबर हो और परिमाप भी, तो क्या वे एक ही rectangle होंगे? 300 rectangle आपस में जाँचे गए। ऐसा एक भी जोड़ा नहीं मिला जो दोनों बातों पर बराबर हो और फिर भी अलग हो।

10:04वजह छोटी है। परिमाप दोनों भुजाओं का जोड़ तय कर देता है, और area उनका गुणनफल। जोड़ और गुणनफल मिलकर जोड़ी पक्की कर देते हैं। अकेले किसी एक का कोई मतलब नहीं। 4 by 6 और 2 by 8, दोनों का परिमाप 20 है, पर area 24 और 16 हैं। और 4 by 6 तथा 2 by 12, दोनों का area 24 है, पर परिमाप 20 और 28 हैं। पर यही सवाल parallelogram से पूछिए तो जवाब उल्टा है, और वजह फिर वही झूलती हुई आकृति है।

10:38चारों भुजाएँ वही, यानी परिमाप भी वही, और area 30 तथा 24 — बराबर नहीं। इन 2 आदतों का आख़िरी काम यह है कि वे बीजगणित भी सिद्ध कर देती हैं। 8 भुजा वाला एक square लीजिए, जिसे 4 खानों में काटा गया है। पूरे का area 64 है। यह जाँचा गया कि चारों खाने एक-दूसरे पर चढ़ते नहीं, और जुड़कर फिर से 64 बनते हैं। यही 'जोड़ के square' वाली पहचान है, जो सीधे तस्वीर से पढ़ी गई है।

11:103 पदों वाली शक्ल में वही तस्वीर 9 खानों की हो जाती है, और पूरा square 10 by 10 का होता है। 9 खाने, कहीं कोई चढ़ाव नहीं, और वे किनारों तक ठीक-ठीक पहुँचते हैं। कुल 100। और 'square का अंतर' दूसरी आदत से निकलता है — छोटे square को काटकर बाहर कीजिए, और बची हुई पट्टी को घुमाकर लगा दीजिए। घुमाने से पहले जो बचा था उसका area 16 था, और घुमाने के बाद बने rectangle का भी 16 है।

11:41अब एक बार देख लीजिए कि तय क्या-क्या हुआ। area किसी इकाई के मुक़ाबले एक गिनती है, और rectangle का नियम उसी गिनती का छोटा रूप है। 2 आदतें सब कुछ ढोती हैं — उठाकर रखने से area नहीं बदलता, और न चढ़ने वाले टुकड़े जुड़ जाते हैं। base गुणा height उन्हीं 2 आदतों से निकलता है, और उसे 200 आकृतियों पर जाँचा गया। साफ़ तस्वीर एक ख़ास हालत है — 78 में से सिर्फ़ 27 पर बनती है — और बाक़ी की मरम्मत ख़त्म होने वाली है।

12:11अकेली भुजाएँ area तय नहीं करतीं — 40 स्थितियाँ, वही 4 भुजाएँ, और 40 अलग-अलग area। इसमें कहीं कोई नया नियम नहीं था। हर जगह वही 2 आदतें थीं, बस ध्यान से इस्तेमाल की गईं।