PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 6, Measuring Space: Perimeter and AreaPrepShorts

Chapter 6 · Measuring Space: Perimeter and Area

परिमाप की पहेलियाँ: मिश्रित वक्र सीमाएँ उन्हीं चापों में सिमट जाती हैं जो आप जानते हैं

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मुड़ी हुई सीमा कोई नई तरह की लम्बाई नहीं है — वह चापों की एक सूची है, और हर चाप एक radius और अपने ही circle का एक हिस्सा है; इसलिए यहाँ हर पहेली हिसाब की नहीं, पढ़ने की समस्या है। 3 आकृतियाँ पूरी दलील उठाती हैं। पहली: 2 बराबर circles, हर एक दूसरे के centre से होकर।

मुख्य idea

चापों से बनी किसी सीमा में ऐसा कोई गणित नहीं है जो आप पहले न मिल चुके हों। हर चाप का radius और हर चाप का circle में हिस्सा नाम दीजिए, जोड़ दीजिए, और जवाब मजबूरी बन जाता है — यानी इन सवालों की पूरी मुश्किल पढ़ने में है, गणित में कभी नहीं। chapter की दोनों निकाली हुई पहेलियाँ दिखाती हैं कि वह पढ़ना किन दो तरीक़ों से काम आता है। पहली में, एक छिपा हुआ समबाहु त्रिभुज आपको वह कोण थमा देता है जो किसी ने दिया ही नहीं था। दूसरी में, एक सीधी line पर पड़े व्यासों को जुड़ना ही पड़ता है, इसलिए उनके ऊपर की चापें भी जुड़ती हैं, और एक बड़े अर्धवृत्त तथा तीन छोटों के बीच की दौड़ बराबरी पर ख़त्म होती है — वे तीन चाहे जैसे भी चुने जाएँ।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी मिश्रित वक्र सीमा को चापों में तोड़िए, और हर चाप का radius तथा पूरे circle में उसका अंश बताइए
  • पहचानिए कि कब किसी figure की ज्यामिति ऐसा कोई कोण तय कर देती है जो दिया नहीं गया था, और कहिए कि वह किस गुण से आया
  • Example 1 निकालिए: दो बराबर circles, जिनमें से हर एक दूसरे के centre से होकर जाता है, और radius के रूप में बाहरी सीमा निकालिए
  • Example 2 निकालिए: एक अर्धवृत्त की तुलना उन तीन अर्धवृत्तों से कीजिए जो उसी segment के हिस्सों पर खड़े हैं, और साबित कीजिए कि जवाब इस बात पर निर्भर नहीं करता कि segment कैसे बाँटा गया
  • समझाइए कि दूसरा नतीजा कितने भी उप-अर्धवृत्तों के साथ टिका रहता है, सिर्फ़ तीन के साथ नहीं
  • Fig. 6.14 की नौ आकृतियों में से हर एक को सही पढ़िए, और हर चाप का radius तथा हिस्सा पहचानिए
  • वर्ग और षट्भुज वाली फूल-आकृतियों में पंखुड़ियों की पूरी सीमा निकालिए
  • समझाइए कि किसी वर्ग की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर केंद्रित चापें वर्ग के centre पर ही क्यों मिलती हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
arcकिसी circle की सीमा का एक जुड़ा हुआ टुकड़ाचाप§6.4 के heading में छपा है और पूरे §6.5 में इस्तेमाल हुआ है (pp. 125–129)
semicircleआधा circle, यानी वह चाप जो कोई व्यास काट देता हैअर्धवृत्त§6.4 में मोटे अक्षरों में छपा है (p. 125) और §6.5 के दोनों examples में इस्तेमाल हुआ है
congruentआकार और नाप में एक जैसा, इसलिए एक को दूसरे पर ठीक-ठीक रखा जा सकेसर्वांगसमExample 1 के दोनों circles के लिए छपा है (p. 128)
equilateralजिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होंसमबाहुExample 1 की दलील में छपा है (p. 128)
midpointवह point जो किसी segment को आधा कर देता हैमध्यबिंदुFig. 6.15A के caption में छपा है (p. 130)
petalफूल वाली आकृतियाँ जिन लेंस-नुमा क्षेत्रों से बनी हैं, उनमें से एकपंखुड़ीExercise Set 6.1 Q7 में छपा है (p. 130)
three-quarterscircle के संदर्भ में: 270° की चाप, उन तीन हिस्सों में से एक जिनकी Q5 इजाज़त देता हैतीन-चौथाईExercise Set 6.1 Q5 के निर्देश में छपा है (p. 129)
paradoxऐसा नतीजा जो सच लगना बंद कर देने के बाद भी सच बना रहता हैविरोधाभास§6.5 के heading में छपा है (p. 127)
lensदो एक-दूसरे पर चढ़े circles का साझा क्षेत्रद्विवक्र क्षेत्रव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में छपा नहीं है, जो इन आकृतियों का वर्णन तो करता है पर उन्हें नाम नहीं देता
share of a circleवह अंश θ/360 जो कोई चाप अपनी ही परिधि में से लेती हैवृत्त का अंशव्याख्या का अपना वाक्यांश; chapter अंश लिखता है और उसे कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "वक्र सीमाओं के लिए नया सूत्र चाहिए।" उन्हें वही सूत्र चाहिए, एक से ज़्यादा बार इस्तेमाल किया हुआ। इनमें से हर आकृति चापों की एक सूची है, और इकलौता हुनर उस सूची को ईमानदारी से लिख डालना है।
  • "Fig. 6.12 की बिंदीदार चापें किसी न किसी तरह जोड़नी तो पड़ेंगी।" सवाल कहता है कि उन्हें छोड़ देना है (p. 127), और वे इसी वजह से बिंदीदार हैं। फिर भी वे हल में काम कर रही हैं — 120° उन्हीं से गिना जाता है। जोड़ में छोड़ी हुईं, दलील में अनिवार्य।
  • "60° आया कहाँ से? कोण तो किसी ने दिया ही नहीं।" बराबर लंबाई की तीन radii ने त्रिभुज को समबाहु बना दिया। यही वह अकेली चाल है जिसे सिखाने के लिए यह example बना है: लंबाई की एक शर्त एक कोण दे देती है।
  • "ऊबड़-खाबड़ रास्ता लंबा ही होगा — इतना सारा ऊपर-नीचे जो है।" ऊपर-नीचे होना ऊपर-नीचे ही है, और किसी अर्धवृत्त की लंबाई अकेले उसके व्यास से तय होती है। बीजगणित से पहले कक्षा से वोट करवाइए; वोट ही सबक़ है।
  • "बराबर इसलिए निकला क्योंकि तीनों बराबर थे।" उनका बराबर होना ज़रूरी नहीं है। chapter की अपनी figure उन्हें असमान खींचती है, और बीजगणित कभी ऐसा मान ही नहीं लेता। PQ का कोई भी बँटवारा वही जोड़ देता है।
  • "पंखुड़ियों की चापें अर्धवृत्त हैं।" Fig. 6.15A में वे 7 cm radius की चौथाई चापें हैं, किसी भी radius के अर्धवृत्त नहीं; Fig. 6.15B में वे 42 cm radius वाले circle के छठे हिस्से हैं। हिस्सा ग़लत पढ़ लेना ही इन दोनों सवालों की पूरी ग़लती है।
  • "14 cm, जो Fig. 6.14(v) में है, पूरे वर्ग की भुजा है।" वह तीन-गुणा-तीन grid का एक खाना है, इसलिए बाहरी बिंदीदार वर्ग 42 cm चौड़ा है। देखिए Notes — यह पाठ यहाँ जोड़ा गया है और इस brief में यही वह एक निर्णय है जिसे समीक्षक को जाँचना चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 6.1 Q5, Exercise Set 6.1 Q7, End-of-Chapter Exercises Q22, End-of-Chapter Exercises Q25

पूरा transcript1,889 शब्द

एक ऐसी सीमा, जिसमें एक भी सीधी line नहीं है। देखने में यह बिल्कुल नई चीज़ लगती है। आगे जो भी सीमाएँ आएँगी, उन्हें चापों की list की तरह पढ़ा जाएगा। हर टुकड़े के पीछे कोई न कोई circle खड़ा होगा। हर चाप की सिर्फ़ 2 बातें चाहिए। उसका radius, और वह पूरे circle का कितना हिस्सा है। इसके बाद बस जोड़ना है। कोई नया नियम कहीं नहीं आएगा। तो सारी मुश्किल गिनती में नहीं है।

मुश्किल पढ़ने में है, और यही सीखना है। 2 बराबर circles लीजिए। दोनों का radius एक ही है। हर circle दूसरे के centre से होकर गुज़रता है। यानी centres के बीच की दूरी भी उतनी ही है, जितना radius। ये 2 जगह मिलते हैं। एक ऊपर, और एक नीचे। सवाल यह है कि बाहर वाली सीमा कितनी लम्बी है। अंदर वाले चाप, जो दूसरे circle के भीतर पड़ते हैं, कुल में नहीं गिनने हैं।

पर एक दिक़्क़त है। किसी ने कोई angle दिया ही नहीं। तो हिस्सा निकलेगा कहाँ से? 2 centres और ऊपर वाले मिलन बिंदु को जोड़िए। एक त्रिभुज सामने आ जाता है, जिसे किसी ने खींचा नहीं था। centre से मिलन बिंदु तक की दूरी radius है। दूसरे centre से भी वही दूरी है। और centres के बीच भी वही। 3 भुजाएँ बराबर हैं। यानी यह समबाहु त्रिभुज है। तो centre वाला angle 60 है।

यह angle किसी ने दिया नहीं था। इसे 3 बराबर लम्बाइयों ने मजबूर किया। यही इस पहेली की असली सीख है। नीचे वाले मिलन बिंदु पर भी यही होता है। वहाँ भी 60 मिलता है। दोनों जोड़कर 120 हो जाता है। 120 पूरे circle का तीसरा हिस्सा है। तो अंदर वाला चाप तीसरा हिस्सा है। और बाहर वाला बाक़ी 2 तिहाई। यही वह हिस्सा है जो सवाल माँग रहा था।

हर circle का बाहर वाला चाप 2 तिहाई है। और ऐसे चाप 2 हैं। तो पूरी बाहरी सीमा 8 बटा 3 pi r हुई। radius 6 रख दीजिए। तो जवाब 16 pi आता है। अंदर वाले dotted चाप कुल में नहीं गिने गए। पर 120 उन्हीं से आया था। वे जवाब से बाहर हैं, पर दलील के अंदर हैं। दोनों बातें एक साथ सही हैं। अब एक ज़रूरी सवाल। क्या यह जवाब 6 की वजह से आया था?

1 से 50 तक हर पूरे radius पर यही जाँचा गया। 50 बार वही 8 बटा 3 pi r निकला, और 0 बार कुछ और। पर यह हर 2 circles की बात नहीं है। सिर्फ़ इसी दूरी की बात है। centres को 1 radius इधर या उधर खिसकाइए। अब वह angle ठीक-ठीक बताया ही नहीं जा सकता। अब 2 radius दूर ले जाइए। circles सिर्फ़ छू रहे हैं, angle 0 रह जाता है, और पूरे दोनों circles बाहरी सीमा बन जाते हैं — 4 pi r, यानी 24 pi।

अब दूसरी पहेली। एक line के 2 सिरों के बीच जाने के 2 रास्ते हैं। पहला रास्ता एक बड़ा आधा circle है, line के ऊपर। दूसरा रास्ता 3 छोटे आधे circle हैं। कोई ऊपर, कोई नीचे, और तीनों बराबर भी नहीं हैं। जवाब अभी मन में तय कर लीजिए। तो कौन सा रास्ता लम्बा है? विकल्प 3 ही हैं। पहला, दूसरा, या दोनों बराबर। ज़्यादातर लोग दूसरा रास्ता चुनते हैं।

आँख को लगता है कि इतना ऊपर-नीचे होना लम्बा ही पड़ेगा। पर आधे circle की लम्बाई सिर्फ़ उसके diameter से तय होती है। वह ऊपर है या नीचे, इससे उसकी लम्बाई में कोई फ़र्क़ नहीं आता। तो अब देखने के बजाय गिनकर देखते हैं। मान लीजिए दोनों सिरों के बीच की दूरी 12 है। तो बड़े आधे circle का चाप 6 pi हुआ। अब 12 को 5, 4 और 3 में बाँटिए।

हर टुकड़े पर एक आधा circle खड़ा कर दीजिए। तीनों चाप जोड़िए। फिर 6 pi ही आता है। दोनों रास्ते बराबर हैं। शायद यह इसलिए हुआ कि टुकड़े सुंदर थे? 8, 3 और 1 लेकर देखिए। फिर भी जोड़ 6 pi ही है। ध्यान दीजिए, दोनों बार टुकड़े बराबर थे ही नहीं। बराबरी टुकड़ों की समानता से नहीं आई। एक-एक करके देखने की ज़रूरत नहीं है। 12 को 1 से लेकर 6 तक पूरे टुकड़ों में बाँटने के 1024 तरीक़े हैं।

सब पर जोड़ निकालिए, तो अलग-अलग जवाब सिर्फ़ 1 है। पर एक बात पूछनी चाहिए। क्या यह जाँच कोई फ़र्क़ पकड़ भी सकती थी? वही जाँच area पर चलाइए। 12 को ठीक 3 टुकड़ों में बाँटने के 55 तरीक़े हैं। उन 55 में सीमा का जवाब 1 ही है, पर area के 10 अलग जवाब निकलते हैं। यानी जाँच अंधी नहीं है। अब वजह देखिए। आधे circle का चाप pi times आधा diameter होता है।

हर टुकड़े में वही आधा है, और वही pi है। तो pi बाहर आ जाता है। अंदर सिर्फ़ diameter बचते हैं, और वे तो line पर जुड़ते ही हैं। यह पहचान 1 से 200 तक हर पूरे diameter पर जाँची गई। 200 बार सही निकली, और 0 बार ग़लत। इसीलिए 1 से 6 तक किसी भी संख्या में बाँटिए, जोड़ वही रहता है। 3 टुकड़े तो सिर्फ़ तस्वीर में थे।

4 कीजिए, 5 कीजिए, 6 कीजिए — जोड़ हर बार वही रहेगा। एक छोटी बात, जो आगे बार-बार काम आएगी। एक आधा circle, जो diameter d पर खड़ा है। और एक चौथाई चाप, जिसका radius भी d है। दोनों चापों की लम्बाई एक ही है। दोनों pi times आधा d हैं। 1 से 200 तक हर d पर यह जाँचा गया। 200 बार बराबर, और 0 बार अलग। और यह 22 बटा 7 का इत्तेफ़ाक़ नहीं है।

d बराबर 14 पर दोनों 7 pi हैं, चाहे pi की value कुछ भी मानी जाए। अब 9 आकृतियाँ। हर एक सिर्फ़ चापों की list है। पहली — एक rectangle, जिसके दोनों छोटे सिरों पर आधे circle हैं। सीधी भुजाएँ 80 और 80, तो सीधा हिस्सा 160, और दोनों cap मिलकर 60 pi। दूसरी — 12 वाला बाहरी आधा circle, उसमें से 8 वाला अंदरूनी कटा हुआ, और नीचे 2 और 2 के सीधे पैर।

कुल 4 सीधा और 10 pi। तीसरी — 10 वाले square की चारों भुजाओं पर आधा circle। कुल 20 pi। चौथी — 12 वाले समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर आधा circle। कुल 18 pi। पाँचवीं — grid वाला square, जिसका एक खाना 14 है। कुल 56 pi, पर इस पर आगे लौटेंगे। छठी — 28 की base, ऊपर एक बड़ा आधा circle, और 7 वाले 4 छोटे आधे circle बारी-बारी ऊपर और नीचे।

कुल 28 pi। सातवीं — 6, 8 और 10 भुजाओं वाला त्रिभुज, और तीनों भुजाओं पर आधा circle। कुल 12 pi। आठवीं — 12 की base पर एक बड़ा आधा circle, और नीचे 4 वाले 3 छोटे। कुल 12 pi। नवीं — 20 की base पर एक बड़ा आधा circle, और अंदर 10 वाले 2 चाप, एक ऊपर और एक नीचे। कुल 20 pi। नवीं को सिर्फ़ S आकार मत पढ़िए।

वह S तो अंदर वाला किनारा है। बाहर वाला किनारा तो वही बड़ा आधा circle है। छठी आकृति में 4 छोटे चाप ऊपर-नीचे बँटे थे। क्या उनकी दिशा से जोड़ बदलता है? हर चाप या तो ऊपर है या नीचे। ऐसे 16 तरीक़े बनते हैं। 16 में से हर एक में सीमा 28 pi ही रहती है। अलग-अलग जवाब सिर्फ़ 1 है। पर वही 16 तरीक़े घिरे हुए क्षेत्र को नहीं छोड़ते।

वहाँ 5 अलग जवाब निकलते हैं। यानी जाँच फ़र्क़ पकड़ सकती थी। सीमा में फ़र्क़ था ही नहीं। अब 3 आकृतियों को साथ रखिए। 6, 8 और 10 वाली आकृति, और 3 छोटे नीचे वाली — दोनों 12 pi हैं। और नवीं तो वही पहेली है, जिसमें एक चाप नीचे पलटा हुआ है। चाप को दूसरी तरफ़ पलटने से आकृति पूरी बदल जाती है। उन 16 तरीक़ों में लम्बाई एक ही रही थी।

तो वह पहेली 3 बार लौट आई, हर बार नए कपड़ों में। अब pi को 22 बटा 7 मान लीजिए, जैसा कहा गया है। 9 में से 2 आकृतियाँ पूरे centimetre में आती हैं। बाक़ी 7 नहीं आतीं। और कौन सी आती हैं, यह किस्मत की बात नहीं है। 22 बटा 7 के नीचे 7 है। सीमा तभी पूरी बनती है जब उसका pi वाला हिस्सा 7 का गुणज हो।

वरना नीचे वाला 7 कटता ही नहीं, और जवाब पूरा नहीं आता। पाँचवीं आकृति में एक पेच था। पर पहले यह देखिए कि वह बनी किस चीज़ से है। इस square की हर भुजा के बीच वाले तिहाई पर एक आधा circle खड़ा है। ऐसे 4 आधे circle हुए। और हर कोने पर कोना है ही नहीं। वहाँ 14 वाला चौथाई चाप है। ऐसे 4 चौथाई चाप हुए। और अभी देखा था कि 14 पर आधा circle और चौथाई चाप बराबर होते हैं।

तो आठों चाप की लम्बाई एक ही है — 7 pi। आठों जोड़िए, तो 56 pi हो जाता है। यही इस आकृति की पूरी सीमा है। यह 14 किसका नाप है? पूरे square का, या grid के एक खाने का? खाने वाला पढ़ना लीजिए। तो सीमा 176 centimetre आती है। पूरी भुजा वाला पढ़ना लीजिए। तो 176 बटा 3 आता है, जो पूरा है ही नहीं। पर वह 176 आकृति की बात नहीं है।

वह 22 बटा 7 की बात है। असली pi पर वही सीमा 56 pi है। और वह 176 से कम है, क्योंकि 22 बटा 7 असली pi से बड़ा है। अब 2 फूल। पहला 14 वाले square के अंदर है। चापों के centre भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। radius आधी भुजा है, यानी 7। एक मध्यबिंदु से पास वाले दोनों कोने, और square का centre — तीनों की दूरी बराबर है।

दूरी का वर्ग तीनों बार 49 निकलता है। इसीलिए चारों पंखुड़ियाँ ठीक बीच में मिलती हैं। कोने से centre तक का angle मध्यबिंदु पर 90 है। तो यह चौथाई चाप है, आधा circle नहीं। और यह सिर्फ़ 14 की बात नहीं है। 2 से 40 तक हर सम भुजा पर यही जाँचा गया — 20 बार बराबर, 0 बार नहीं। 4 पंखुड़ियाँ हैं, और हर एक में 2 चाप। यानी 7 वाले 8 चौथाई चाप — 28 pi, जो 22 बटा 7 पर 88 centimetre है।

दूसरा फूल 42 वाले regular hexagon के अंदर है। यहाँ चापों के centre कोने हैं, मध्यबिंदु नहीं। regular hexagon में centre से कोने की दूरी उसकी अपनी भुजा होती है। तो एक कोने से दोनों पड़ोसी कोने और centre — तीनों की दूरी का वर्ग 1764 है। कोने पर वह angle 60 है। तो यह चाप पूरे circle का छठा हिस्सा है। 6 पंखुड़ियाँ हैं, और हर एक में 2 चाप।

42 वाले 12 छठाई चाप — 168 pi, यानी 528 centimetre। पंखुड़ियों की गिनती frame से आती है। centre से देखने पर square में पड़ोसी centre 90 दूर हैं, और hexagon में 60। 90 पूरे घुमाव में 4 बार बैठता है, और 60 उसमें 6 बार। और दोनों फूल एक ही चीज़ नहीं हैं। बड़े वाले की सीमा छोटे वाले से 6 गुना है, और हिस्से भी अलग हैं। इन दोनों सवालों में ग़लती एक ही होती है।

पंखुड़ी के चाप को आधा circle मान लेना। एक में वह चौथाई है, और दूसरे में छठा हिस्सा। अब देखिए क्या-क्या तय हुआ। मुड़ी हुई सीमा चापों की एक list है। बराबर लम्बाइयाँ ऐसा angle दे सकती हैं, जो किसी ने दिया ही न हो। आधे circles का जोड़ इसलिए बराबर रहता है, क्योंकि नीचे diameter जुड़ते हैं। और कोई नाप पूरा दिखे, तो वह pi की value की बात हो सकती है, आकृति की नहीं।

सारी मुश्किल पढ़ने में ही थी। गिनती में कहीं नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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