PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 6, Measuring Space: Perimeter and AreaPrepShorts

Chapter 6 · Measuring Space: Perimeter and Area

Brahmagupta's formula, और Heron's उस स्थिति की तरह जहाँ एक भुजा लुप्त हो जाती है

Area of straight-sided figures16 मिनट

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3 लम्बाइयाँ एक त्रिभुज को पूरी तरह तय कर देती हैं, इसलिए 3 भुजाओं वाला सूत्र मौजूद होना ही था। 4 लम्बाइयाँ कुछ तय नहीं करतीं: 3, 3, 3 और 3 की छड़ों को कोनों पर जोड़कर झुकाते जाइए और area 9 से गिरकर 7.2 और फिर 5.4 हो जाता है, जबकि चारों भुजाएँ 3 की ही रहती हैं।

मुख्य idea

चार भुजाओं की लंबाइयाँ किसी quadrilateral का क्षेत्रफल तय नहीं करतीं — chapter इसे एक ही rhombus को कब्ज़े पर घुमाकर साफ़-साफ़ अलग क्षेत्रफल वाली तीन शक्लों में ले जाकर साबित करता है — इसलिए Brahmagupta's formula अपनी निश्चितता कहीं न कहीं से ख़रीद रहा होगा, और जिस एक शब्द से वह उसे ख़रीदता है वह है cyclic। यह शर्त जोड़ दीजिए कि चारों शीर्ष एक ही circle पर हैं, और चारों भुजाएँ फिर से काफ़ी हो जाती हैं। फिर चौथी भुजा को घटते-घटते लुप्त हो जाने दीजिए और Brahmagupta's formula ढहकर Heron's पर आ बैठता है — इसीलिए दोनों इतने एक-से दिखते हैं। chapter इसे व्यापकीकरण और विशिष्ट स्थिति की तरह रखता है, और दोनों आधे हिस्से — वह अतिरिक्त शर्त क्या ख़रीदती है, और एक भुजा को लुप्त होने देने से क्या खुलता है — यही topic हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिखाइए कि दी हुई चार भुजाओं की लंबाइयाँ किसी quadrilateral का क्षेत्रफल तय नहीं करतीं — कब्ज़े से, या chapter की अपनी तीनों figures से
  • गिनाइए कि किस-किस तरह की अतिरिक्त जानकारी क्षेत्रफल को निश्चित कर देगी
  • cyclic 4-gon की परिभाषा दीजिए और उसके लिए Brahmagupta's formula बताइए
  • Brahmagupta's formula की तुलना Heron's से कीजिए और उनकी बनावट का मेल पहचानिए
  • rectangle वाली स्थिति में Brahmagupta's formula जाँचिए
  • उसे समद्विबाहु trapezium वाली स्थिति में जाँचिए, और नतीजे को उस मानक trapezium formula से मिलाइए जो पहले से था
  • chapter के अपने उदाहरणों से समझाइए कि "विशिष्ट स्थिति" और "व्यापकीकरण" का क्या मतलब है
  • चौथी भुजा को शून्य रखकर Brahmagupta's से Heron's formula निकालिए
  • समझाइए कि वह निष्पादन प्रमाण नहीं, संगति की जाँच क्यों है
  • बताइए कि दी हुई भुजाओं वाले किस quadrilateral को Brahmagupta's formula असल में नापता है, और उसे chapter की अपनी rhombus figures के सामने जाँचिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
4-gonचार भुजाओं वाली आकृति के लिए chapter का पसंदीदा शब्दचतुर्भुज§6.8.1 के आख़िरी pages में हर जगह छपा है, और लंबे शब्द के बजाय इसी को चुना गया है (pp. 137–142)
quadrilateralउसी आकृति का ज़्यादा प्रचलित नामचतुर्भुजExercise Set 6.2 Q8 (p. 142) में और Chapter Summary (p. 154) में विकल्प की तरह छपा है
cyclicजिसके सारे शीर्ष एक ही circle पर होंचक्रीयजहाँ यह गुण बताया गया है वहाँ bold में छपा है (p. 137)
Brahmagupta's formulaकिसी cyclic 4-gon का क्षेत्रफल, उसकी चारों भुजाओं और उनके semi-perimeter सेब्रह्मगुप्त का सूत्रनामित formula की तरह और एक heading की तरह छपा है (pp. 137–138)
semi-perimeterperimeter का आधा, यहाँ किसी 4-gon काअर्धपरिमापBrahmagupta's formula के साथ छपा है (p. 138)
rhombusऐसा 4-gon जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होंसमचतुर्भुजFig. 6.27 की चर्चा में छपा है (p. 137)
isosceles trapeziumऐसा trapezium जिसकी दोनों असमांतर भुजाएँ बराबर होंसमद्विबाहु समलंब चतुर्भुजExample 7 के विषय की तरह और Fig. 6.29 के caption में छपा है (p. 138)
special caseकोई सामान्य नतीजा, जिस पर एक अतिरिक्त शर्त लगा दी गई होविशिष्ट स्थितिएक boxed panel के विषय की तरह छपा है (p. 139)
generalisationवह सामान्य नतीजा जिससे कोई विशिष्ट स्थिति निकली हैव्यापकीकरणउसी panel में bold में छपा है (p. 139)
GeoGebraवह software जिससे chapter ने Fig. 6.27 की तीनों आकृतियाँ खींचीं और नापींजियोजेब्रा§6.8.1 (p. 137) में, italic में, छपा है
hinged 4-gonचार तय लंबाइयाँ, जो कोनों पर मुड़ने को आज़ाद होंकीलित चतुर्भुजयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter सिरों पर जुड़ी चार छड़ों का सुझाव देता है और इस चीज़ को कोई नाम नहीं देता
maximal areaवह सबसे बड़ा क्षेत्रफल जो भुजाओं का दिया हुआ समूह घेर सकता हैअधिकतम क्षेत्रफलयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में छपा नहीं है, हालाँकि section 12 दिखाता है कि chapter की अपनी संख्याएँ इसे सामने रख देती हैं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Brahmagupta's formula किसी भी quadrilateral पर चलता है।" वह cyclic वालों पर चलता है। किसी non-cyclic 4-gon में डालने पर वह एक संख्या लौटाता है, और वह संख्या ग़लत होती है — वह उन्हीं चार भुजाओं वाले किसी दूसरे 4-gon का क्षेत्रफल होती है। इस topic में हो सकने वाली सबसे भारी ग़लती यही है, और chapter की Fig. 6.27 इसी को रोकने के लिए वहाँ है।
  • "चार भुजाओं को क्षेत्रफल तय कर ही देना चाहिए, क्योंकि त्रिभुज के लिए तीन कर देती हैं।" त्रिभुज दृढ़ होते हैं और quadrilaterals कब्ज़े पर मुड़ जाते हैं। गत्ते की चार पट्टियों से कब्ज़ा बना लीजिए; इतनी तेज़ी से और कुछ नहीं मनाता।
  • "rhombus वाली आकृतियों के क्षेत्रफल इसलिए अलग हैं क्योंकि वे ठीक से नहीं खींची गईं।" वे GeoGebra में खींची गईं और उसी ने उन्हें नापा (p. 137), और तीनों की भुजाएँ सचमुच 3, 3, 3, 3 हैं। अलग-अलग क्षेत्रफल ही गणित है, खींचने की चूक नहीं।
  • "Heron's formula, Brahmagupta's का उपप्रमेय है, इसलिए Brahmagupta, Heron को सिद्ध कर देता है।" प्रतिस्थापन यह दिखाता है कि दोनों आपस में संगत हैं, और उनकी समानता की वजह बताता है। यह Heron का प्रमाण नहीं है, और chapter ऐसा दावा करता भी नहीं — उसका शब्द यह है कि Brahmagupta's को एक व्यापकीकरण की तरह देखा जा सकता है।
  • **"trapezium वाले उदाहरण में s − a भी एक कोष्ठक है।"** वहाँ भुजाएँ 2a और 2b हैं, इसलिए कोष्ठक s − 2a और s − 2b हैं। दोहरे अक्षर ऊँचाई को साफ़ रखने के लिए चुने गए हैं, और वही ठीक यह जाल बिछाते हैं।
  • "व्यापकीकरण का मतलब है किसी बात को और धुँधला कर देना।" इसका मतलब है कोई शर्त हटा देना, ताकि नतीजा और ज़्यादा मामलों को समेट ले। p. 139 वाला chapter का panel यह बात तीन हल की हुई जोड़ियों से कहता है, और तीनों उधार लेने लायक़ हैं।
  • "कोई भी चार लंबाइयाँ cyclic 4-gon में जमाई जा सकती हैं।" जमाई जा सकती हैं, बशर्ते हर एक बाक़ी तीनों के जोड़ से छोटी हो — और यही वह शर्त है जो Brahmagupta के चारों कोष्ठकों को धनात्मक रखती है। Heron के तीन कोष्ठकों के साथ यह समानांतर बिलकुल सटीक है, और दोनों में से कोई किताब में नहीं है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 6.2 Q2

पूरा transcript2,456 शब्द

3 भुजाओं की लम्बाई एक त्रिभुज को पूरी तरह तय कर देती है, और 3 भुजाओं वाला सूत्र उन्हीं से सीधे उसका area निकाल देता है। तो अगला सवाल साफ़ है। 4 लम्बाइयाँ लीजिए और 4 भुजाओं वाली एक आकृति बनाइए। क्या कोई ऐसा सूत्र है जो इन 4 संख्याओं से सीधे area दे दे? जिस रूप में यह सवाल पूछा गया है, उसका जवाब है — नहीं। वजह यह है कि 4 भुजाओं वाली आकृति के पास हिलने की जगह बची रहती है, और त्रिभुज के पास नहीं।

ऐसा सूत्र मौजूद ज़रूर है। पर वह मुफ़्त नहीं मिलता, और इस video का असली विषय उसकी क़ीमत है। लम्बाई 3 की 4 छड़ें लीजिए और उन्हें कोनों पर कील से जोड़ दीजिए। सीधा खड़ा कीजिए तो area निकलता है 9। अब इसे झुका दीजिए। area गिरकर 7.2 रह जाता है। और झुकाइए तो 5.4 पर आ जाता है। न कुछ काटा गया, न कुछ खींचा गया — चारों भुजाएँ अब भी 3 की हैं — और area लगभग आधा गिर चुका है।

यानी 4 लम्बाइयाँ 4 भुजाओं वाली आकृति को तय नहीं करतीं। एक उदाहरण से क्या साबित होता है? हो सकता है यह कोई अजीब सा मामला हो। तो गिनकर देखिए। जाली पर बनने वाली ऐसी 7228 आकृतियाँ हैं जिनके कोने भी पूरे अंक पर हैं और चारों भुजाएँ भी पूरे अंक की। इन्हें भुजाओं के हिसाब से छाँटिए तो 198 अलग-अलग सेट बनते हैं। इनमें से 59 सेट ऐसे हैं जिनमें 1 से ज़्यादा area मिलते हैं।

और सबसे बुरे सेट में तो एक ही 4 भुजाओं से 9 अलग-अलग area निकल आते हैं। इसलिए अगर कोई 4 भुजाओं वाला सूत्र सचमुच काम करता है, तो वह अपना जवाब कहीं न कहीं से ख़रीद रहा है। तो सवाल यह बनता है — ऐसा क्या और बता दिया जाए कि आकृति टिक जाए? एक कोने का खुलाव बता दीजिए, तो आकृति वहीं रुक जाती है। या एक diagonal की लम्बाई बता दीजिए — वह भी उतना ही काम कर देती है।

या फिर दोनों diagonal जिस झुकाव पर एक-दूसरे को काटते हैं, वही बता दीजिए। ये तीनों एक ही क़िस्म के हैं — चारों लम्बाइयों के ऊपर एक और नाप जोड़ दी गई। पर एक चौथी क़िस्म का जवाब भी है, और असल में सूत्र वही इस्तेमाल करता है। नाप जोड़ी नहीं जाती — आकृति पर एक शर्त लाद दी जाती है, जिसके बाद उसके पास हिलने की जगह ही नहीं बचती।

शर्त यह है — आकृति के चारों कोने एक ही घेरे पर बैठे हों। उन 4 बिंदुओं को क्रम से जोड़ दीजिए, और आकृति तैयार है। अब यह बात अपने आप में साफ़ नहीं है। क्या सचमुच इतना भर काफ़ी है? पूरी जाँच में 1100 आकृतियाँ ऐसी निकलीं जिनके चारों कोने किसी एक घेरे पर बैठते हैं। इन्हें भुजाओं के हिसाब से छाँटिए तो 108 सेट बनते हैं, और ऐसे सेट कितने मिले जिनमें 2 अलग area निकले?

गिनती 0 पर ही रह गई। शर्त के बिना 198 में से 59 सेट आपस में असहमत थे। शर्त के साथ 108 में से 0। एक और सवाल बचा है। वही 4 लम्बाइयाँ घेरे पर अलग क्रम में रखी जाएँ तो? 108 सेटों में से ऐसे कितने मिले जिनमें एक ही 4 भुजाओं से 2 अलग area निकले? वहाँ भी गिनती 0 ही रही। यानी घेरे वाली शर्त लग जाने के बाद सिर्फ़ 4 लम्बाइयाँ ही काफ़ी हैं, और क्रम से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

यह तरीक़ा आगे भी काम आता है — एक शर्त लाद देना कभी-कभी एक और नाप माँगने से सस्ता पड़ता है। चारों भुजाएँ जोड़िए और जोड़ को आधा कर दीजिए। उसी आधे को s कहते हैं — वही परिमाप का आधा जो पिछली बार भी था। और area है — s में से a, गुणा s में से b, गुणा s में से c, गुणा s में से d — इस पूरे गुणनफल का वर्गमूल।

अब इसे 3 भुजाओं वाले सूत्र के ठीक नीचे रखिए। दोनों का रिश्ता छिपता नहीं है। ऊपर वाले में आगे एक s है और उसके बाद 3 कोष्ठक। नीचे वाले में 4 कोष्ठक हैं और आगे कोई s नहीं। पूरा फ़र्क़ बस इतना है। यह संयोग नहीं है, और इस बात पर हम लौटेंगे। इस्तेमाल करने से पहले इसे पढ़िए, ठीक वैसे ही जैसे पिछली बार पढ़ा था। s में से a, असल में है — बाक़ी 3 भुजाएँ जोड़कर उसमें से यह भुजा घटा दीजिए, और फिर आधा कर दीजिए।

इसलिए कोई कोष्ठक तभी धनात्मक है जब उसकी अपनी भुजा बाक़ी 3 से छोटी हो। और यही वह शर्त है जो 4 लम्बाइयों के जुड़ पाने के लिए ज़रूरी है। सूत्र उस शर्त को अपने अन्दर याद रखे हुए है। अब इसमें ऐसी लम्बाइयाँ डालिए जो जुड़ ही नहीं सकतीं — 2, 3, 4 और 20। पहली 3 मिलकर भी 20 तक नहीं पहुँचतीं। परिमाप का आधा निकलता है 14.5, और आख़िरी कोष्ठक बनता है ऋणात्मक 5.5।

गुणनफल शून्य से नीचे चला जाता है, और वर्गमूल कोई जवाब देने से इनकार कर देता है। यहाँ एक जायज़ शक उठता है। अगर 2 कोष्ठक एक साथ ऋणात्मक हो जाएँ, तो उनका गुणनफल धनात्मक निकलेगा और सूत्र पूरे आत्मविश्वास से एक झूठा area थमा देगा। 1 से 10 तक की लम्बाइयों के 715 समूहों पर गिनिए। एक साथ ज़्यादा से ज़्यादा कितने कोष्ठक ऋणात्मक होते हैं? सिर्फ़ 1 कोष्ठक।

और 2 या 3 कोष्ठक एक साथ ऋणात्मक होने वाले समूह कितने मिले? 0 समूह, यानी ऐसा 1 भी नहीं। इन 715 में से 620 सचमुच जुड़ जाते हैं और 31 ठीक चपटे बैठ जाते हैं, जहाँ एक भुजा बाक़ी 3 के जोड़ जितनी लम्बी है। यानी सूत्र ठीक उन्हीं लम्बाइयों को मना करता है जिन्हें मना करना चाहिए। पर इससे यह सिद्ध नहीं हुआ कि जो area यह देता है वह सही है।

पहली जाँच सबसे आसान आकृति पर। एक rectangle लीजिए। उसके चारों कोने किसी न किसी घेरे पर बैठ ही जाते हैं, इसलिए सूत्र यहाँ चल सकता है। भुजाएँ हैं a, b, a और b, इसलिए s निकलता है a और b का जोड़। अब हर भुजा बारी-बारी से घटाइए। s में से a बचता है b, s में से b बचता है a, और फिर वही 2 दोबारा। चारों कोष्ठक बनते हैं b, a, b और a।

इनका गुणनफल है a का वर्ग गुणा b का वर्ग, और उसका वर्गमूल है a गुणा b — वही जवाब जो rectangle के लिए हमेशा से मालूम है। यह 144 अलग-अलग rectangle पर चलाया गया, और असहमति 0 बार मिली। दूसरी जाँच ज़्यादा मुश्किल है। एक trapezium लीजिए जिसकी 2 भुजाएँ समांतर हैं और 2 ढलानें बराबर। ऊपर वाली को 2a लिखिए, नीचे वाली को 2b, और दोनों ढलानों को c।

इन्हें दुगुना लिखने से आगे का हिसाब साफ़ रहता है, और थोड़ी देर में यही दुगुनापन हमसे एक क़ीमत वसूल करेगा। परिमाप बनता है 2a, 2b और 2c का जोड़, इसलिए s निकलता है a, b और c का जोड़। चारों कोष्ठक बनते हैं — c में b जोड़कर a घटाइए, फिर c में a जोड़कर b घटाइए, और आख़िर में a और b का जोड़, 2 बार। पहले 2 कोष्ठकों को गुणा कीजिए तो बचता है c का वर्ग, उसमें से बाहर निकले हिस्से का वर्ग।

और वह वर्गमूल तो height ही है, क्योंकि बाहर निकला हिस्सा b में से a है और वर्गों वाला नियम वही संख्या हाथ में दे देता है। तो सूत्र पढ़ा जाता है — a और b का जोड़, गुणा height, यानी समांतर भुजाओं के जोड़ का आधा गुणा height, जो पहले से मालूम था। यह 69 ऐसे trapezium पर जाँचा गया जिनकी ढलानें पूरे अंक की हैं। सूत्र कितनी बार नाप से चूका?

एक बार भी नहीं — 0 बार। और पुराने नियम से वह कितनी बार अलग पड़ा? वहाँ भी 0 बार। यानी यह collapse किसी एक ख़ुशक़िस्मत आकृति की बात नहीं है। अब एक असली नाप। समांतर भुजाएँ 6 और 14, और दोनों ढलानें 5 की। इन दुगुनी लिखी गई भुजाओं में a हुआ 3, b हुआ 7 और c हुआ 5, इसलिए s निकला 15। कोष्ठक बनते हैं — s में से 6 यानी 9, s में से 14 यानी 1, और s में से 5, 2 बार — यानी 10 और 10।

इनका गुणनफल है 900, और उसका वर्गमूल 30। और यही इस trapezium का area है। पुराना रास्ता भी यही कहता है। दोनों सिरों पर बाहर निकला हिस्सा 4 का है, height निकलती है 3, और 6 तथा 14 के जोड़ का आधा गुणा 3 फिर 30 ही देता है। अब वह जाल जो इस दुगुनी लिखाई ने बिछाया है। दुगुनापन भूल जाइए और सीधे s में से a तथा s में से b उठा लीजिए।

तो कोष्ठक बन जाते हैं 12 और 8, बाक़ी 2 वही 10 और 10, और area निकल आता है लगभग 97.98। पर वह trapezium 14 गुणा 3 के एक rectangle के अन्दर पूरा आ जाता है, और उस rectangle का area है 42। यानी ग़लती उस डिब्बे से भी 2 गुना ज़्यादा area बता रही है जिसके अन्दर आकृति रहती है। इसलिए वह जवाब हो ही नहीं सकता। किसी भी area के जवाब पर यह जाँच सस्ती पड़ती है — आकृति के चारों ओर एक डिब्बा खींचिए और देखिए कि जवाब उससे बड़ा तो नहीं।

एक बात साफ़ कर लीजिए। square असल में वही rectangle है जिसमें 2 भुजाएँ बराबर कर दी गई हों। square ख़ास मामला है, rectangle उसका बड़ा रूप। इसी तरह 2 पदों वाले वर्ग का सूत्र 3 पदों वाले सूत्र का वही मामला है जिसमें तीसरा पद 0 कर दिया गया हो। यह 1000 तिकड़ियों पर जाँचा गया और 0 बार चूका। बड़ा रूप बनाने का मतलब धुँधला हो जाना नहीं है।

मतलब है एक शर्त हटा देना, ताकि नतीजा ज़्यादा चीज़ों पर लागू हो। तो अब यही हरकत उल्टी तरफ़ कीजिए। 4 भुजाओं वाले सूत्र में चौथी भुजा d को घटाते-घटाते 0 कर दीजिए, यानी उसके 2 कोने आपस में मिला दीजिए। परिमाप में से 0 जोड़ने पर s वही रहता है, और चौथा कोष्ठक बन जाता है s में से 0, यानी s ही। बचते हैं s, फिर s में से a, s में से b और s में से c।

यह तो 3 भुजाओं वाला सूत्र है — हू-ब-हू वही। यह 1 से 12 तक की 1728 तिकड़ियों पर जाँचा गया। दोनों सूत्र कितनी बार अलग जवाब लाए? 0 बार, यानी हर तिकड़ी पर वही जवाब। पर यहाँ रुकिए। जिस आकृति की एक भुजा की लम्बाई 0 हो, वह 4 भुजाओं वाली आकृति है ही नहीं। इसलिए यह एक limit है — वह क़ीमत जिसकी तरफ़ सूत्र बढ़ता है, वह नहीं जो वह वहाँ लेता है।

दलील की एक पंक्ति नहीं, एक रुझान। इसे करके देखिए। चौथी भुजा को 6 पड़ावों में छोटा कीजिए और दोनों सूत्रों के बीच का फ़र्क़ हर पड़ाव पर घटता है — 6 में से 0 बार वह बढ़ा। आख़िरी फ़र्क़ 3 भुजाओं वाले जवाब के 10 लाखवें हिस्से से भी कम रह जाता है, फिर भी वह 0 कभी नहीं होता। यही limit और बराबरी का फ़र्क़ है। अब शुरू वाले hinge पर लौटिए।

3, 3, 3 और 3 वाली उन 3 स्थितियों के area थे 9, 7.2 और 5.4। अगर इन्हीं 4 लम्बाइयों को सूत्र में डाल दें, तो वह इनमें से कौन-सा जवाब देगा? परिमाप 12, इसलिए s हुआ 6। चारों कोष्ठक बने 6 में से 3, यानी 3, 3, 3 और 3। गुणनफल 81, और उसका वर्गमूल 9। यह उन 3 में से सबसे बड़ा है। 1 स्थिति इस छत को छूती है और 2 उससे नीचे रह जाती हैं।

सूत्र वही area लौटाता है जो उन 4 लम्बाइयों से बन सकने वाला सबसे बड़ा है। पूरे sweep में कितनी आकृतियाँ इस छत से ऊपर गईं? 0 आकृतियाँ, यानी 1 भी नहीं। और जो आकृतियाँ circle पर नहीं हैं, उनके लिए भी सूत्र एक संख्या लौटा ही देता है — पर वह संख्या 6128 में से 6128 बार असली area से ऊपर निकली, 0 बार बराबर या नीचे। और जो आकृतियाँ छत को ठीक-ठीक छूती हैं, वे कितनी हैं?

गिनती में पूरी 1100 आकृतियाँ। और उनमें से circle पर कितनी हैं? वे भी 1100 — यानी ठीक वही आकृतियाँ, एक भी कम नहीं और एक भी ज़्यादा नहीं। शुरू वाले hinge की जो 1 स्थिति छत तक पहुँची थी, उसके भी चारों कोने एक ही circle पर बैठते हैं, और बाक़ी 2 के नहीं। इसलिए circle से बाहर भी सूत्र बेकार नहीं है। वह एक ऊपरी सीमा देता है — area इससे ज़्यादा हो ही नहीं सकता, और बराबर तभी होता है जब चारों कोने एक circle पर बैठें।

एक आख़िरी बात। hinge हिलाते रहिए और area बदलता रहता है। तो क्या इस आकृति के बारे में कुछ ऐसा भी है जो हिलता ही नहीं? हर भुजा के ठीक बीच का बिन्दु लगाइए और उन 4 बिन्दुओं को क्रम से जोड़ दीजिए। जो अन्दर बनता है वह हमेशा parallelogram निकलता है। यह 1033 अलग-अलग आकृतियों पर आज़माया गया — कितनी बार parallelogram नहीं बना? एक बार भी नहीं — 0 बार।

और उसका area कितना है? बाहर वाली आकृति का ठीक आधा। 1033 में से कितनी बार वह आधा नहीं था? 0 बार, चाहे बाहर वाली आकृति कितनी भी टेढ़ी हो। इसकी वजह भी देखी जा सकती है। अन्दर वाली हर भुजा किसी न किसी diagonal के समांतर है और उसकी आधी लम्बाई की। इसलिए hinge चाहे जो करे, अन्दर वाली शक्ल parallelogram ही रहती है। तो तय क्या-क्या हुआ। 4 लम्बाइयाँ 4 भुजाओं वाली आकृति को तय नहीं करतीं — 3, 3, 3 और 3 से ही 9, 7.2 और 5.4, तीनों बन जाते हैं।

और यह कोई अकेला उदाहरण नहीं था — 198 में से 59 सेट ऐसे मिले जिनमें एक ही 4 लम्बाइयों से एक से ज़्यादा area बने, और 1 सेट में तो 9 अलग area। इसे वापस पाने के लिए 1 शर्त चुकानी पड़ती है — चारों कोने किसी एक circle पर। उसके बाद 108 सेटों में से 0 में 2 अलग area मिले, और क्रम बदलने से भी कुछ नहीं बदला।

सूत्र ख़ुद इतना ही है — परिमाप का आधा लीजिए, उसमें से हर भुजा घटाइए, चारों कोष्ठक गुणा कीजिए और वर्गमूल ले लीजिए। और इस्तेमाल से पहले इसे पढ़ लीजिए — कोई कोष्ठक तभी ऋणात्मक होता है जब कोई एक भुजा बाक़ी 3 के जोड़ से भी लम्बी हो, जैसे 2, 3, 4 और 20 में। 715 चौकड़ियों में एक साथ ज़्यादा से ज़्यादा 1 कोष्ठक ऋणात्मक हुआ। circle से बाहर भी यह बेकार नहीं — वहाँ यह ऊपरी सीमा है, और छत को छूने वाली 1100 आकृतियाँ ठीक वही 1100 हैं जो circle पर हैं।

और चौथी भुजा को 0 करके 3 भुजाओं वाला सूत्र निकालना एक limit है, सबूत की पंक्ति नहीं। यही इस पूरी कहानी का सौदा है। 4 लम्बाइयाँ अकेले काफ़ी नहीं थीं; 1 शर्त उनकी क़ीमत है, और सूत्र वह चीज़ है जो वह शर्त ख़रीद कर देती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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