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Chapter 6 · Measuring Space: Perimeter and Area

त्रिभुज, यानी आधा समांतर चतुर्भुज

Area of straight-sided figures13 मिनट

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एक त्रिभुज का area सिर्फ़ 2 संख्याओं पर टिका है — एक चुनी हुई base, और उस तक की सीधी दूरी। बाक़ी सब, तीनों भुजाएँ और तीनों कोने, area के लिए बेमानी हैं। यह 2 बार सिद्ध किया गया है। पहली बार डिब्बे में बंद करके: सीधे कोने वाला त्रिभुज अपने rectangle का ठीक आधा है, और आम त्रिभुज को सीधी दूरी गिराकर 2 ऐसे ही टुकड़ों में बाँटा जा सकता है।

मुख्य idea

आधा आधार गुणा ऊँचाई असल में त्रिभुजों के बारे में कोई सूत्र है ही नहीं; वह यह खोज है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल ठीक दो संख्याओं पर टिका है और उसकी आकृति की और किसी बात पर नहीं। chapter इसे दो बार साबित करता है — त्रिभुज को किसी आयत में बंद करके, और उसकी दो नक़लें किसी समांतर चतुर्भुज में बिठाकर — और फिर इसे उस इकलौते नतीजे में भुनाता है जिसे वह Theorem कहता है: कोई माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल के दो टुकड़ों में काट देती है, हालाँकि वे दोनों टुकड़े सर्वांगसम नहीं होते और आम तौर पर समरूप तक नहीं होते। क्षेत्रफल को आकृति दिखती ही नहीं। पूरा topic यही है, और इस पर चौंकना बनता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसे घेरते आयत के आधे की तरह निकालिए
  • लंब डालकर, आधार को दो हिस्सों में बाँटकर और हर हिस्से को बक्से में बंद करके सामान्य स्थिति निकालिए
  • वह व्यवस्था पहचानिए जिसमें वह बँटवारा नाकाम हो जाता है, और बताइए कि तब क्या करना है
  • त्रिभुज की दो सर्वांगसम नक़लें किसी समांतर चतुर्भुज में बिठाकर वही सूत्र निकालिए, और वह कोण वाला कारण दीजिए जिससे नक़लें आपस में बंद हो जाती हैं
  • माध्यिका वाली प्रमेय बताइए और उसे क्षेत्रफल के सूत्र से साबित कीजिए
  • समझाइए कि बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों का सर्वांगसम होना ज़रूरी क्यों नहीं, और एक उदाहरण बनाइए
  • प्रमेय को ऐसी figures पर लगाइए जहाँ जवाब 1 : 1 का अनुपात हो और कारण साझा आधार तथा ऊँचाई हो
  • बताइए कि दोनों आधे त्रिभुजों में से एक को काटकर दूसरे को ढँकने के बारे में chapter क्या खोलता है और क्या छिपा रखता है
  • समझाइए कि त्रिभुज की हर भुजा दुगुनी कर देने से उसका क्षेत्रफल चार गुना क्यों हो जाता है, और क्या तब मूल की चार नक़लें उसके अंदर बैठ भी जाती हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
baseत्रिभुज की वह भुजा जिसे ऊँचाई के लिए आधार चुना जाएआधारFig. 6.20A के नामों में और §6.8 में छपा है (p. 132)
heightआधार से सम्मुख शीर्ष तक की लंब दूरीऊँचाईFig. 6.20A के नामों में और §6.8 में छपा है (p. 132)
congruentआकार और नाप में एक जैसा, इसलिए एक को दूसरे पर ठीक-ठीक रखा जा सकेसर्वांगसम§6.8 में त्रिभुज की दोनों नक़लों के लिए छपा है (p. 132)
medianकिसी शीर्ष से सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु तक जाता segmentमाध्यिका§6.8 में, जहाँ इसे परिभाषित किया गया है वहाँ तिरछे अक्षरों में छपा है (p. 133)
midpointवह point जो किसी segment को आधा कर देता हैमध्यबिंदुमाध्यिका की परिभाषा में छपा है (p. 133)
theoremऐसा कथन जिसे chapter साबित कर चुका है और अब रिकॉर्ड के लिए बता रहा हैप्रमेय§6.8 में एक नाम-पट्टी की तरह छपा है (p. 133), और chapter में यही इकलौता है
criterionवह कसौटी जिसका सहारा लिया जा रहा है — यहाँ, दो lines के समांतर होने की कसौटीकसौटीजहाँ दोनों नक़लों से समांतर चतुर्भुज बनते दिखाया गया है वहाँ छपा है (p. 133)
trisectionकिसी segment का तीन बराबर हिस्सों में बँटवारात्रिभाजनFig. 6.48 के caption में छपा है (p. 152)
shape-blindness of areaयह कि क्षेत्रफल को सिर्फ़ आधार और ऊँचाई दिखते हैं, त्रिभुज की और कोई बात नहींक्षेत्रफल की आकृति-निरपेक्षताव्याख्या का अपना समास; इस chapter में छपा नहीं है, जो इस तथ्य को बिना नाम दिए दिखा देता है
dissectionकिसी आकृति को गिनती के टुकड़ों में काटना जो जुड़कर दूसरी आकृति बना देंविच्छेदनव्याख्या का अपना शब्द; chapter Think and Reflect बक्सों में इस क्रिया का वर्णन करता है और उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "आधा आधार गुणा ऊँचाई सिर्फ़ समकोण त्रिभुजों के लिए चलता है।" chapter समकोण वाली स्थिति पहले इसलिए करता है कि वह सबसे आसान है, और फिर सामान्य स्थिति दो बार करता है। जो students सिर्फ़ पहली स्थिति देखते हैं वे ऐसा समकोण ढूँढ़ते रहेंगे जो वहाँ है ही नहीं।
  • "ऊँचाई सबसे छोटी भुजा होती है, या कोई भुजा तो होती ही है।" ऊँचाई किसी चुने हुए आधार की होती है और उसी पर लंब नापी जाती है। Fig. 6.22 में chapter ऊँचाई को त्रिभुज के बाहर खींचता है, और इससे साफ़ खंडन मुमकिन ही नहीं।
  • "हर त्रिभुज की एक ऊँचाई होती है।" उसकी तीन होती हैं, हर आधार चुनने पर एक, और तीनों वही क्षेत्रफल देती हैं। एक बार दिखाने लायक़ है।
  • "माध्यिका जो दो त्रिभुज बनाती है उनका सर्वांगसम होना ज़रूरी है, वरना क्षेत्रफल मिलते ही नहीं।" वे इसलिए मिलते हैं कि क्षेत्रफल को सिर्फ़ आधार और ऊँचाई दिखते हैं। chapter साफ़ शब्दों में कहता है कि दोनों आम तौर पर सर्वांगसम नहीं होते, और इस नतीजे को चौंकाने वाला कहता है। जो व्याख्या इस प्रमेय को ज़ाहिर बात की तरह पेश करती है वह सबक़ फेंक चुकी है।
  • "बराबर क्षेत्रफल का मतलब है कि एक दूसरे का ही फेर-बदल है, यानी दोनों मोटे तौर पर एक ही आकृति हैं।" वही क्षेत्रफल, अलग आकृति — और यह तब भी सच है कि एक को काटकर दूसरे को ढँका जा सकता है, जो "वही आकृति" से कहीं ज़्यादा दिलचस्प कथन है।
  • "तय परिमाप वाले आयतों में सबसे छोटा क्षेत्रफल कोई न कोई होता ही है।" नहीं होता। क्षेत्रफल शून्य के पास पहुँचता जाता है और वहाँ कभी पहुँचता नहीं। chapter दोनों सिरों के बारे में पूछता है और उनमें से सिर्फ़ एक मौजूद है; ईमानदार जवाब गढ़े हुए जवाब से ज़्यादा सिखाता है।
  • "भुजाएँ दुगुनी करने से क्षेत्रफल दुगुना हो जाता है।" वह चौगुना हो जाता है। Q15 इसी बात को मनवाने के लिए बना है, और फिर वह ज़्यादा तीखा सवाल पूछता है कि चार नक़लें सचमुच बैठती हैं या नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 6.2 Q1, Exercise Set 6.2 Q9, Exercise Set 6.2 Q10, Exercise Set 6.2 Q11, End-of-Chapter Exercises Q15, End-of-Chapter Exercises Q20

पूरा transcript2,029 शब्द

एक त्रिभुज का area निकालना हो — तो उसके बारे में कितना जानना ज़रूरी है? इसमें 3 भुजाएँ हैं, 3 कोने हैं, और हर भुजा के लिए अपनी एक height भी। जवाब है — सिर्फ़ 2 संख्याओं पर। एक चुनी हुई base, और उस base तक की सीधी दूरी। height कोई भुजा नहीं है। वह चुनी हुई base से ऊपर वाले कोने तक की सीधी दूरी है। यही बात आगे 2 अलग तरीक़ों से सिद्ध होगी, और दोनों एक ही जगह पहुँचेंगे।

सबसे आसान हालत से शुरू — एक त्रिभुज जिसका एक कोना ठीक सीधा है। उसके चारों ओर rectangle बना दीजिए। अब त्रिभुज की एक और नक़ल लीजिए, उसे घुमाइए, और rectangle के ख़ाली हिस्से में बैठा दीजिए। वह ठीक बैठ जाती है। rectangle 2 बराबर टुकड़ों से बना है। इसलिए त्रिभुज का area base गुणा height का आधा हुआ। पर इस दलील में वही सीधा कोना इस्तेमाल हुआ। ज़्यादातर त्रिभुजों में ऐसा कोना होता ही नहीं।

आम त्रिभुज में सीधा कोना बनाना पड़ेगा। ऊपर वाले कोने से base पर सीधी दूरी गिरा दीजिए। यह सीधी दूरी base को 2 हिस्सों में बाँट देती है, और वे 2 हिस्से जुड़कर पूरी base बनाते हैं। अब दोनों टुकड़ों में सीधा कोना है। हर टुकड़ा अपने rectangle का आधा है। दोनों को जोड़िए तो वही निकलता है — पूरी base गुणा height का आधा। height दोनों की एक ही है।

अब एक कोना सीधे से भी ज़्यादा खोल दीजिए। सीधी दूरी कहाँ गिरेगी? वह base पर गिरती ही नहीं। वह base का सिरा पार करके बाहर जा गिरती है। अब base का कोई बँटवारा है ही नहीं। जोड़ने के लिए अन्दर 2 टुकड़े बचते ही नहीं। यानी वह साफ़ तस्वीर एक हालत थी, सब हालतें नहीं। और उसे चुपचाप सब मान लिया गया था। अंदाज़ा लगाने की जगह गिन लेते हैं।

7 by 5 की जाली लीजिए — 35 पूरे-अंक वाले बिंदु। इन बिंदुओं के 6545 तिकड़ी बनते हैं। 369 एक ही सीध में हैं, वे हटा दिए — 6176 त्रिभुज बचे। पूरे झाड़े में सीधी दूरी के पैर सिर्फ़ 3 तरह से गिरते हैं — और हर तरह एक क़िस्म के त्रिभुज की है। सारे कोने तीख़े हों तो तीनों पैर अन्दर। कोई कोना ठीक सीधा हो तो 1 अन्दर और 2 ठीक सिरे पर।

कोई कोना चौड़ा हो तो 1 अन्दर और 2 बाहर। यानी चौड़े कोने वाले त्रिभुज में 3 में से 2 base चुनने पर वह तस्वीर बनती ही नहीं। अन्दर कुछ जोड़ा नहीं जा सकता, तो base को खींचकर पैर तक ले जाइए, और वहाँ से घटाइए। लम्बी base पर एक बड़ा त्रिभुज बनता है, जिसे पहली दलील सँभाल लेती है। और base के बाहर एक फ़ालतू त्रिभुज पड़ा है। बड़े में से फ़ालतू घटाइए तो वही त्रिभुज बचता है जिससे शुरू किया था — और खिंचाव अपने आप कट जाता है।

नियम टूटी हुई हालत में भी बच गया। पर उसे बचाने के लिए दलील को शक्ल बदलनी पड़ी। मरम्मत से पहले यह देखिए। शायद कोई दूसरी base चुनने से यह मुसीबत आती ही नहीं। सबसे लम्बी भुजा पर खड़ा कीजिए — और पैर वापस base पर आ जाता है। और यह हर बार होता है। झाड़े के 6176 में से 6176 त्रिभुजों पर सबसे लम्बी भुजा पैर को base पर ही रखती है।

कोई भी भुजा ऐसा नहीं करती। सबसे छोटी भुजा पर खड़ा कीजिए तो पैर फिर बाहर चला जाता है। किसी दलील का छेद कभी-कभी मरम्मत से नहीं, बेहतर चुनाव से बंद होता है। पहली दलील इस बात पर टिकी थी कि पैर कहाँ गिरा। ऐसी दलील बेहतर होगी जो इस पर टिके ही नहीं। त्रिभुज की एक हूबहू नक़ल बनाइए। एक भुजा का मध्यबिंदु लीजिए, और नक़ल को उसी बिंदु के गिर्द आधा घुमा दीजिए।

आधा घुमाव कोई दूरी नहीं बदलता। इसलिए नक़ल सिर्फ़ बराबर नाप की नहीं, बिल्कुल एक जैसी है। दोनों जुड़कर एक 4 भुजाओं वाली आकृति बन जाते हैं, और साझा भुजा उसका diagonal बन जाती है। दिखता तो parallelogram जैसा है। पर दिखना कोई वजह नहीं है, और वजह बतानी पड़ेगी। आधा घुमाव हर सीध को उसी के समांतर सीध पर भेज देता है। यही एक बात पूरा काम कर देती है।

इसलिए बाक़ी दोनों भुजाएँ अपनी-अपनी नक़ल के समांतर निकलती हैं — 2 समांतर जोड़े बन जाते हैं। आमने-सामने की भुजाएँ समांतर भी और बराबर भी, दोनों टुकड़े एक-दूसरे पर चढ़े हुए नहीं, और पूरी आकृति त्रिभुज की ठीक 2 गुनी। यह parallelogram उसी base पर खड़ा है और उसकी height भी वही है। parallelogram का area base गुणा height है, और वह 2 त्रिभुजों का बना है। तो त्रिभुज उसका आधा हुआ।

इस बार यह जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी कि पैर कहाँ गिरा। दूसरी दलील पर कोई शर्त नहीं है। त्रिभुज का area base गुणा height का आधा है — और तीनों में से कोई भी base चुनिए, जवाब एक ही आता है। median वह जोड़ है जो एक कोने से सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु तक जाता है। इससे बनी दोनों आकृतियों की base बराबर हैं — मध्यबिंदु ने उन्हें बराबर किया है।

और height भी दोनों की एक ही है, क्योंकि ऊपर वाला कोना साझा है और base वाली सीध से उसकी दूरी एक ही है। base बराबर और height बराबर — तो दोनों का area बराबर। median त्रिभुज को बराबर area के 2 हिस्सों में काटता है। यह झाड़े के 6176 त्रिभुजों पर जाँचा गया, और हर त्रिभुज की तीनों median पर। अगर तस्वीर लगभग सममित बना दी जाए तो पूरी बात छिप जाती है।

इसलिए यह जान-बूझकर टेढ़ी बनाई गई है। base 8 लम्बी, कटाव ठीक 4 पर, और ऊपर वाला कोना base से 6 ऊपर पर पास वाले सिरे से सिर्फ़ 1 हटकर। दोनों हिस्सों का area नापा गया — 12 और 12। पर दोनों की लम्बी भुजाएँ अलग हैं — एक 37 का वर्गमूल, दूसरी 85 का। ये 2 आकृतियाँ एक जैसी हैं ही नहीं। और ये एक-दूसरे की बढ़ी-घटी नक़ल भी नहीं हैं।

यानी एक ही शक्ल, अलग नाप — वह रास्ता भी बंद है। area दोनों का ठीक बराबर, बाक़ी सब अलग। तो आख़िर साझा क्या है? हर हिस्से की base 4 है और height 6 है। पूरी सूची बस इतनी है। 4 गुणा 6 का आधा 12 है — दोनों के लिए। इस हिसाब में और कुछ घुसा ही नहीं। पूरे झाड़े में सिर्फ़ 254 त्रिभुज ऐसे निकले जिनके दोनों हिस्से बिल्कुल एक जैसे हैं — 6176 में से।

और वे ठीक वही हैं जो उस median के आर-पार पहले से सममित थे — 24 में से 1 से भी कम। अगर area बराबर है और शक्लें अलग, तो क्या एक हिस्से को काटकर दूसरे पर ठीक-ठीक बिछाया जा सकता है? area बराबर होना, एक जैसा होने से बहुत कमज़ोर शर्त है। इसलिए यह अपने आप नहीं निकलता। एक त्रिभुज को उसकी बीच वाली सीध पर काटिए, फिर height पर काटिए, और ऊपर के 2 टुकड़े बाहर की ओर घुमा दीजिए।

3 टुकड़े मिलकर एक rectangle बना देते हैं, कोई टुकड़ा किसी पर चढ़ता नहीं, और घुमाने पर हर टुकड़े की भुजाएँ वही रहती हैं। इस कटाई को भी वही शर्त चाहिए — ऊपर वाला कोना base के ऊपर हो। और वह शर्त सबसे लम्बी भुजा चुनकर पहले ही पूरी कर ली गई है। दोनों हिस्सों को इसी तरह rectangle में बदल दीजिए। दोनों rectangle का area एक ही है। बराबर area के 2 rectangle एक-दूसरे में कट जाते हैं।

तो जवाब है — हाँ। और यह बात इस video की अपनी जोड़ी हुई है। सीधी भुजाओं वाली कोई भी 2 आकृतियाँ, अगर area बराबर हो, तो एक को काटकर दूसरी बनाई जा सकती है। पर ठोस चीज़ों के लिए यही बात ग़लत है। इसीलिए इसे सवाल की तरह छोड़ देना ठीक ही था। और इसी का एक रूप ऐसा भी है जिस पर कोई शर्त नहीं — उसी base पर वह parallelogram जिसकी दूसरी भुजा बीच वाली सीध है।

एक rectangle लीजिए — 10 चौड़ा और 8 ऊँचा। एक भुजा पर त्रिभुज खड़ा है और उसका ऊपरी कोना सामने वाली भुजा पर कहीं है। सामने वाली भुजा पर ठीक कहाँ? सवाल बताता ही नहीं। तो क्या जवाब बदलता है? ऊपरी कोने की 17 जगहें आज़माई गईं। हर एक पर area 40 निकला। base पूरी एक भुजा है और height पूरी चौड़ाई है। ऊपरी कोना इन 2 में से किसी को छूता ही नहीं।

यानी वह rectangle का आधा है। यहाँ हिसाब लगाने को कुछ था ही नहीं। median पर कहीं भी एक बिंदु लीजिए, और उसे base के दोनों सिरों से जोड़ दीजिए। इससे 2 त्रिभुज बनते हैं, और दावा यह है कि उनका area बराबर है — बिंदु चाहे कहीं भी हो। median पूरे त्रिभुज को आधा-आधा करती है। और वही median उस बिंदु वाले छोटे त्रिभुज को भी आधा-आधा करती है।

बड़े आधों में से छोटे आधे घटा दीजिए। बाक़ी हिस्सा दोनों तरफ़ बराबर निकलता है। बिंदु की 7 अलग जगहों पर यह जाँचा गया, और हर जगह दोनों बराबर निकले। एक square के अन्दर कहीं भी एक बिंदु लीजिए और उसे चारों कोनों से जोड़ दीजिए। आमने-सामने वाला एक जोड़ा, और दूसरा जोड़ा। सवाल इन 2 जोड़ों के अनुपात का है। अन्दर के 121 बिंदुओं पर आज़माया गया। हर बार दोनों जोड़े बराबर — अनुपात 1 : 1।

हर जोड़े की base आमने-सामने की 2 भुजाएँ हैं, और उसकी 2 height जुड़कर आर-पार की पूरी दूरी बन जाती हैं। यह किसी भी parallelogram में सही रहता है। पर ऐसी 4 भुजाओं वाली आकृति में, जिसकी भुजाएँ जोड़े नहीं बनातीं, यह टूट जाता है। एक भुजा को आधा कीजिए। दूसरी भुजा पर कहीं एक बिंदु रखिए। और तीसरे कोने को पहली भुजा पर तब तक खिसकाइए जब तक जोड़ समांतर न हो जाए।

जो त्रिभुज बचता है वह पहले वाले का ठीक आधा है — हर आज़माई गई जगह पर। पर जिस भुजा पर वह कोना खिसकता है, उसका एक सिरा है। वह भुजा कहीं ख़त्म होती है। 12 जगहें आज़माई गईं। 7 पर कोना भुजा पर ही रहा, और 5 पर वह सिरा पार कर गया। वह भुजा पर तभी रहता है जब बिंदु कम से कम आधी दूर हो — और छपी हुई तस्वीर ठीक वही हालत बनाती है।

किसी त्रिभुज की हर भुजा दोगुनी कर दीजिए। अब area का क्या होगा — यहीं सबसे आम ग़लती होती है। दोगुना नहीं होता। area 4 गुना निकलता है, और भुजाएँ 3 गुनी कीजिए तो area 9 गुना। area 4 गुना है। पर क्या पहले वाले त्रिभुज की 4 नक़लें सचमुच उसके अन्दर बैठ जाती हैं? दोगुने त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु जोड़ दीजिए — वह 4 टुकड़ों में बँट जाता है, हर टुकड़ा पहले वाले जैसा और कोई किसी पर चढ़ा हुआ नहीं।

3 गुने में यही काम 9 टुकड़ों से हो जाता है। और किसी भी त्रिभुज की एक भुजा को 3 बराबर हिस्सों में बाँटकर सामने वाले कोने से जोड़िए — 3 बराबर area के टुकड़े मिलते हैं। वजह फिर वही है — base बराबर और height साझा। यह median वाली दलील ही है, 2 हिस्सों की जगह 3 हिस्सों पर। परिमाप 40 वाले rectangle लीजिए। भुजाओं का पूरा अंक होना ज़रूरी नहीं है।

सबसे बड़ा वाला square है — 10 by 10, area 100। सवाल दोनों सिरे पूछता है। तो सबसे छोटा कौन सा है? सबसे छोटा है ही नहीं। एक भुजा को आधा करते जाइए — area हर बार घटता है, पर शून्य कभी नहीं होता। 8 बार आधा करने पर area दसवें हिस्से से नीचे, 11 बार पर सौवें हिस्से से नीचे — और तब भी शून्य से ऊपर। किसी सवाल का एक सिरा हो सकता है और दूसरा नहीं।

न होने वाला सिरा गढ़ लेना, ग़लत बात सिखाना है। शुरू का सवाल यही था कि area किन बातों पर टिका है। जवाब — 2 संख्याओं पर। एक base, और उस तक की सीधी दूरी। इसे 2 बार सिद्ध किया — डिब्बे में बंद करके, जिसमें पैर base पर चाहिए था, और 2 नक़लों से, जिसमें कोई शर्त नहीं थी। छेद असली था और गिना गया। वह 2 तरह से बंद हुआ — घटाकर, और सबसे लम्बी भुजा चुनकर।

median area को आधा-आधा करती है, और दोनों हिस्से लगभग कभी एक जैसे नहीं होते — 6176 में से सिर्फ़ 254। area सिर्फ़ 2 चीज़ें देखता है — एक base और उसकी height। इस video की हर बात वही एक तथ्य अलग-अलग कपड़ों में थी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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