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Chapter 1 · Orienting Yourself: The Use of Coordinates

distance formula: Baudhāyana–Pythagoras, coordinates में दोबारा लिखा हुआ

Distance in the plane14 मिनट

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14 min.

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distance formula कोई नया fact नहीं है. यह Baudhayana-Pythagoras theorem है, जिसकी 2 legs coordinate differences के रूप में लिखी गई हैं, और यह पूरी video वह construction है जो इसे साफ़ कर देती है. कोई भी 2 points लो. एक का पहला coordinate और दूसरे का दूसरा coordinate लो, और वहाँ एक point रखो.

मुख्य idea

plane में कहीं भी पड़े दो points पहले से ही किसी right triangle के दो corners हैं — तीसरा तुम्हें मुफ़्त में मिल जाता है, एक point का पहला coordinate और दूसरे point का दूसरा coordinate लेकर — और उस triangle की दोनों legs axis-parallel हैं, तो उनकी lengths coordinate differences के सिवा कुछ नहीं हैं। distance formula का पूरा content यही है: Baudhāyana–Pythagoras, जिसकी legs coordinates में लिखी हुई हैं, और कहीं कोई नई नाप नहीं। और चूँकि legs square होकर अंदर जाती हैं, इसलिए हर difference का sign गिर जाता है, तो इससे फ़र्क़ पड़ ही नहीं सकता कि subtraction दोनों points में से किससे शुरू होती है — यही वजह है कि एक ही formula चारों quadrants में चलता है, और यही वजह है कि chapter का reflect किया हुआ triangle ठीक उन्हीं side lengths के साथ निकलता है जिनसे वह शुरू हुआ था। दायरा ध्यान में रखो: squaring किसी difference का sign मिटाता है, किसी coordinate का नहीं। एक point को (1, 0) से (−1, 0) पर ले जाओ और (2, 0) से उसकी distance 1 से 3 हो जाती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो points देकर वह तीसरा vertex बनवाना जो axes के parallel legs वाला right triangle बना दे, और उसके coordinates बताना
  • हर leg को एक coordinate difference की तरह निकालना और तिरछी length को Baudhāyana–Pythagoras Theorem से पाना
  • chapter के triangle के लिए उसकी तीनों side lengths दोबारा निकालना, और irrational जवाबों को square roots की शक्ल में ही छोड़ देना
  • नाम लिए गए दो points के बीच की distance का general formula लिखना, और यह बताना कि हर difference figure के किस हिस्से से मेल खाता है
  • यह समझाना कि हर difference का sign नतीजे तक क्यों नहीं पहुँच सकता, और इससे एक ही formula चारों quadrants के लिए काफ़ी क्यों हो जाता है
  • कुछ या सारे coordinates negative होने पर distances निकालना, और यह पक्का करना कि किसी figure को axis में reflect करने से हर side length जस की तस रहती है
  • distances की मदद से तय करना कि तीन points एक ही straight line पर हैं या नहीं, चार points square बनाते हैं या नहीं, और कोई point circle के अंदर है, उस पर है या बाहर

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में definitionहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Baudhāyana–Pythagoras Theoremकिसी right triangle में सबसे लंबी side पर बना square बाक़ी दोनों sides पर बने squares के जोड़ के बराबर होता हैबौधायन–पाइथागोरस प्रमेयइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1, और §1.4, p. 9 पर लगाया गया
acute angled triangleऐसा triangle जिसके सारे angles किसी right angle से छोटे होंन्यूनकोण त्रिभुजइसी chapter में छपा, §1.4, p. 9
right-angled triangleऐसा triangle जिसका एक angle नब्बे degrees का होसमकोण त्रिभुजइसी chapter में छपा, End-of-Chapter Exercises item 4, p. 12
reflectionवह transformation जो किसी figure को किसी line में उसके mirror image तक ले जाता हैपरावर्तनइसी chapter में छपा, §1.4, p. 11
imageवह point जिस तक reflection किसी दिए हुए point को ले जाता है, और जो prime लगाकर लिखा जाता हैप्रतिबिंबइसी chapter में छपा, §1.4, p. 11
midpointsegment का वह point जो उसके दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होमध्य-बिंदुइसी chapter में छपा, End-of-Chapter Exercises item 9, p. 12
points of trisectionवे दो points जो किसी segment को तीन बराबर हिस्सों में काटते हैंत्रिभाजन बिंदुइसी chapter में छपा, End-of-Chapter Exercises item 11, p. 13
distance formulaवह expression जो दो points के coordinates से उनके बीच की distance देता हैदूरी सूत्रयहाँ जोड़ा गया term; chapter उस expression को p. 10 पर और फिर summary में p. 15 पर लिखता तो है, पर उसे कोई नाम नहीं देता
collinearएक ही straight line पर पड़े होनासंरेखइस chapter में नहीं छपा — items 6 और 7 जिसे एक ही straight line पर होना कहते हैं, उसके लिए व्याख्या का शब्द; यह शब्द इसी volume में और जगह छपा है
legright triangle की दोनों छोटी sides में से एक, जिनमें से हर एक किसी axis के parallel हैभुजाइस chapter में यह जोड़ा गया शब्द है, क्योंकि chapter उन दोनों sides को सिर्फ़ उनके endpoints से नाम देता है

Hindi वाला column standard Hindi mathematical terminology देता है। मैंने Ganita Manjari का कोई Hindi edition नहीं देखा, तो इसे किसी और edition की exact wording नहीं, बल्कि आम प्रचलित इस्तेमाल मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "distance formula सीखने के लिए एक नया fact है।" यह कक्षा 8 वाला theorem ही है, जिसकी legs coordinate differences के रूप में लिखी हुई हैं। अगर बच्चा तीसरा corner बना सकता है, तो वह formula शुरू से दोबारा खड़ा कर सकता है, और उसे याद रखने का भरोसेमंद तरीक़ा सिर्फ़ यही है।
  • "जिस order में points के नाम लिए गए हैं, उसी order में subtract करना होता है।" subtract किसी भी तरफ़ से किया जा सकता है। ख़ुद chapter x-difference को एक तरफ़ से लेता है और y-difference को दूसरी तरफ़ से, ठीक इसीलिए कि दोनों एक ही square देते हैं।
  • "negative coordinates के साथ formula का कोई अलग version चाहिए।" Fig. 1.9 का reflect किया हुआ triangle chapter का वही दिखावा है कि नहीं चाहिए: −3 − (−7) ठीक उसी तरह 4 है जैसे 7 − 3, 4 है, और हर length जस की तस निकलती है।
  • "negative का square negative होता है।" पूरी दलील जिस पर टिकी है, यही वह ख़ास ग़लती है। (−2)² = 4 और (−6)² = 36, जैसा chapter की अपनी reflect की हुई calculations छापती हैं।
  • "√29 को 5.39 में बदल देना चाहिए।" chapter उसे √29 ही रहने देता है, और किसी length के लिए वही exact जवाब है; decimal एक approximation है। Item 7 दिखाता है कि approximation की क़ीमत क्या है — rounding एक non-collinear तिकड़ी को collinear दिखने वाली तिकड़ी बना देता है।
  • "अगर तीनों distances क़रीब-क़रीब जुड़ जाएँ, तो points एक line पर हैं।" क़रीब-क़रीब कोई mathematical फ़ैसला नहीं होता। Item 7 की तिकड़ी एक unit के लगभग सात हज़ारवें हिस्से से चूकती है, और वह चूक असली है।
  • "बराबर sides वाले कोई भी चार points square बना देते हैं।" बराबर sides से rhombus बनता है। Item 16 को diagonals भी चाहिए, और वहाँ वे बराबर हैं।
  • "formula distance के साथ साथ direction भी बता देता है।" वह एक ही non-negative number लौटाता है। दोनों points किस तरफ़ से किस तरफ़ पड़े हैं, वह सब square होकर मिट चुका है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Exercises Q3, End-of-Chapter Exercises Q4, End-of-Chapter Exercises Q6, End-of-Chapter Exercises Q7, End-of-Chapter Exercises Q8, End-of-Chapter Exercises Q12, End-of-Chapter Exercises Q15, End-of-Chapter Exercises Q16

पूरा transcript2,148 शब्द

2 points जो अपना एक coordinate share करते हैं, वे distance का आसान case हैं, और वह case हम पिछली बार कर चुके हैं। अब ये रहे 2 points जो कुछ भी share नहीं करते। इनके बीच का segment तिरछा है, और उसके साथ साथ कोई axis नहीं बिछी जिस पर subtract किया जा सके। पहला number भी अलग है, दूसरा number भी अलग है, तो पिछली बार वाला rule यहाँ सीधे नहीं चलता।

इसके लिए कोई तीसरा rule नहीं आने वाला, और तुम चाहोगे भी नहीं कि आए। तिरछे segments के लिए एक अलग rule बस एक अलग चीज़ होती जिसे भूला जा सके। जो चीज़ यहाँ है, वह एक right angled triangle है जो तुम्हारे पास पहले से है। और उसे तुम 1 ही move में बना सकते हो, उन्हीं numbers से जो तुम्हें पहले ही दिए जा चुके हैं। कोई नई नाप नहीं, कोई नया fact नहीं।

यह रहा एक triangle, ठीक उसी तरह दिया हुआ जैसे यह पूरा subject चीज़ें देता है, यानी numbers के 3 pairs के रूप में। point A 3, 4 पर है। point D 7, 1 पर है। और point M 9, 6 पर है। कोई length नहीं लिखी, कोई angle नहीं लिखा, बस 3 pairs। 3 sides, और तीनों की तीनों तिरछी। इनमें से 1 भी किसी axis के साथ नहीं बिछी, तो इनमें से 1 भी सिर्फ़ subtract करके नहीं पढ़ी जा सकती।

हर side पर दोनों numbers बदलते हैं। और फिर भी तीनों lengths पहले से तय हैं। यहाँ कुछ भी नापे जाने का इंतज़ार नहीं कर रहा। इन 3 pairs में पूरी जानकारी पहले से मौजूद है। जो चीज़ कम है, वह उसे बाहर निकालने का तरीक़ा है। A का पहला coordinate लो, जो 3 है, और D का दूसरा coordinate लो, जो 1 है। उन 2 numbers से एक नया pair बनाओ, 3, 1।

वहाँ एक point रखो और उसे C कहो। अब देखो इससे क्या हुआ। C अपना पहला number A के साथ share करता है, तो C से ऊपर A तक जाने वाला segment vertical है। C अपना दूसरा number D के साथ share करता है, तो C से across D तक जाने वाला segment horizontal है। vertical और horizontal जहाँ मिलते हैं, वहाँ right angle बनता है। वह corner तुमने कहीं ढूँढा नहीं।

तुमने उसे बनाया है। और ऐसा एक दूसरा corner भी है, 7, 4 पर, जो पहला number D से लेता है और दूसरा number A से। दोनों corners में से कोई भी चलेगा। यह एक चुनाव है, याद करने का rule नहीं। और इस corner की कोई क़ीमत नहीं लगी, क्योंकि जिन 2 numbers से यह बना है, वे दोनों पहले से तुम्हारे सामने रखे थे। 2 नई sides अब आसान किस्म की हैं, और उन्हें बनाने का पूरा मक़सद यही था।

नीचे वाली side 3, 1 से across 7, 1 तक जाती है। दूसरा number एक ही है, तो पहले numbers को subtract करो। 7 minus 3 बराबर 4। खड़ी side 3, 1 से ऊपर 3, 4 तक जाती है। पहला number एक ही है, तो दूसरे numbers को subtract करो। 4 minus 1 बराबर 3। 3 और 4, और कोई ruler इस drawing के पास भी नहीं आया। दोनों lengths सीधे coordinates से निकलीं, उसी rule से जो पिछली बार का था, कौन सा number shared है, दूसरे को subtract करो।

और अब एक theorem, जो तुम्हारे पास 1 साल से है, यह काम पूरा करता है। Baudhayana और Pythagoras का theorem कहता है कि right angled triangle में, सबसे लंबी side पर बना square, बाक़ी 2 sides पर बने squares का जोड़ होता है। और हमारे पास अभी अभी एक right angled triangle बना है, जिसकी 2 छोटी sides हमें पता हैं। 4 का square 16 है। 3 का square 9 है।

16 और 9 मिलकर 25 बनाते हैं, और 25 का square root 5 है। तिरछी side 5 है। जो length शुरू में किसी axis के साथ नहीं थी, वह 2 subtractions और 1 theorem से निकल आई। यही distance formula है। कोई नया fact नहीं, बल्कि वही पुराना theorem, जिसकी 2 legs coordinate differences के रूप में लिखी गई हैं। जिसका मतलब है कि जो भी corner बना सकता है, वह इस formula को शुरू से दोबारा बना सकता है।

और किसी भी चीज़ को याद रखने का यही 1 भरोसेमंद तरीक़ा है, उसे दोबारा बना पाना। triangle के चारों ओर 2 बार और घूमो। हर बार वही 3 moves, corner बनाओ, 2 legs subtract करो, theorem लगाओ। D से M तक 2 across और 5 ऊपर है। 4 और 25 मिलकर 29 बनते हैं। M से वापस A तक 6 across और 2 नीचे है। 36 और 4 मिलकर 40 बनते हैं।

29 और 40 perfect squares नहीं हैं, तो वे 2 sides root 29 और root 40 हैं। root 40 को 2 root 10 भी लिखा जा सकता है, वही length, दूसरे तरीक़े से लिखी हुई। इन्हें ऐसे ही छोड़ो। square root ही exact length है। decimal उसकी एक rounding है, और थोड़ी देर में तुम देखोगे कि यह rounding क्या क़ीमत वसूलती है। 3 lengths जो तुमने अभी बनाई हैं, उनसे एक काम की चीज़ करते हैं।

यह देखने में ऐसा triangle लगता है जिसमें कोई blunt corner नहीं है, यानी हर angle right angle से छोटा। लगता है। सोचो, क्या तुम सिर्फ़ इन 3 lengths से यह पक्का कर सकते हो? सबसे लंबी side root 40 है, तो उसका square 40 है। बाक़ी 2 squares 25 और 29 हैं, और वे जुड़कर 54 बनते हैं। और 40 तो 54 से कम है। अगर सबसे लंबी side का square बाक़ी 2 के जोड़ के बराबर होता तो वह angle एक right angle होता, ज़्यादा होता तो blunt।

कम है, तो सबसे बड़ा angle right angle से छोटा है। और जब सबसे बड़ा angle ही छोटा है, तो इसका हर angle acute है। एक drawing के बारे में एक दावा अभी अभी arithmetic में बदल गया। यह formula काम कर रहा है, ख़ुद को दोहरा नहीं रहा। और ग़ौर करो कि तुम्हें angles ख़ुद कभी नहीं चाहिए थे। 3 squared lengths ने पूरा सवाल तय कर दिया, और 1 भी angle नापा नहीं गया।

अब यह पूरी चीज़ 1 बार letters के साथ करो, और तुम्हें यह दोबारा कभी नहीं करनी पड़ेगी। एक point A है x1, y1 पर। दूसरा point D है x2, y2 पर। इस बार axes भी नहीं बनाए, क्योंकि construction को उनकी ज़रूरत नहीं, सिर्फ़ numbers की है। corner ठीक पहले की तरह बनाओ। पहला coordinate एक point से, दूसरा coordinate दूसरे point से। उसे F कहो, x1, y2 पर।

horizontal leg x2 minus x1 है। खड़ी leg y2 minus y1 है। वही 2 subtractions, बस numbers की जगह letters। दोनों को square करो, जोड़ो, root लो। यही पूरा formula है। उसमें ऐसा कुछ नहीं है जो पहले से drawing में नहीं था। ये letters सिर्फ़ abstraction के लिए abstraction नहीं हैं। ये वही 2 subtractions हैं, हर बार करने की जगह 1 बार की हुईं। अब उस खड़ी leg को ग़ौर से देखो, क्योंकि जैसी यह बनी है, उसके label में कुछ गड़बड़ है।

ऊपर वाला point वह है जिसका दूसरा number बड़ा है, तो y2 minus y1 negative निकलता है, और यह label उस side पर लगा है जिसकी length positive है। यह mismatch मायने नहीं रखता, और ठीक ठीक क्यों नहीं रखता, यह जानना बेहतर है बजाय इसके कि तुम्हें कहा जाए कि इसे नज़रअंदाज़ करो। हर difference को कुछ और होने से पहले square किया जाता है। minus 3 का square 9 है।

3 का square भी 9 है। square के अंदर जाते ही sign का कोई निशान नहीं बचता। 2 points को आपस में बदलो और differences minus 4 और minus 3 बन जाते हैं। 16 और 9, फिर भी 25। तो तुम किस order में subtract करते हो, यह जवाब तक पहुँच ही नहीं सकता। इसीलिए 1 formula चारों quadrants को cover करता है, negative coordinates के लिए कोई अलग version नहीं चाहिए।

लेकिन सावधान रहो कि यह क्या कहता है और क्या नहीं कहता। जो square होकर ग़ायब होता है, वह एक difference का sign है। किसी coordinate का sign नहीं। एक point 1, 0 पर बैठा है, और वह 2, 0 से 1 unit दूर है। उसे minus 1, 0 पर ले जाओ और वह 3 units दूर हो जाता है। coordinate का sign बदलने से distance बदल गई। तो sign बिल्कुल मायने रखता है, बस subtraction के order का sign नहीं रखता।

जो चीज़ बची रहती है, वह एक mirror है। पूरे triangle को खड़ी axis में reflect करो। A जाता है minus 3, 4 पर। D जाता है minus 7, 1 पर। M जाता है minus 9, 6 पर। अब minus 3 में से minus 7 घटाओ, तो 4 आता है। दूसरी leg अब भी 3 है। फिर से 5, और root 29, और root 40। हर length वैसी की वैसी, और उनके साथ हर angle और area भी।

जो बदला, वह हर pair के पहले slot का sign है, और letters के घूमने की दिशा। पड़ी axis में mirror करने से दूसरे slot के साथ ठीक यही होता है, ठीक इसी वजह से, कि sign बदलता है square के अंदर, और वहाँ उसका कोई असर नहीं। एक और चीज़ जो यह formula तय करता है, और उसके अंदर एक जाल बैठा है। 3 points एक सीधी line पर ठीक तब होते हैं जब 2 छोटी distances जुड़कर लंबी वाली के बराबर हों।

अगर बीच वाला point ज़रा भी line से हटा हो, तो उससे होकर जाने वाला रास्ता लंबा पड़ता है। एक point लो minus 3, minus 4 पर, फिर origin, और एक point 6, 8 पर। distances निकालो, तो 5, फिर 10, और सिरे से सिरे तक 15। 5 और 10 मिलकर 15, तो ये तीनों एक line पर हैं, बिना कुछ भी plot किए। अब 3 और points। पहला point minus 5, minus 1 पर।

दूसरा point minus 2, minus 5 पर। तीसरा point 4, minus 12 पर। distances हैं 5, root 85, और root 202। इन्हें 1 decimal place तक round करो, तो 5 plus 9.2 बराबर 14.2, और root 202 भी लगभग 14.2। यह एक line जैसा दिखता है। सोचो, क्या ये सच में एक line पर हैं? नहीं हैं। 5 plus root 85, root 202 से बड़ा है। एक unit के सौवें हिस्से से भी कम से, लेकिन बड़ा है, और बड़ा का मतलब line नहीं।

एक दूसरा check भी यही कहता है। पहले point से दूसरे तक का step 3 across और 4 नीचे है, और दूसरे से तीसरे तक 6 across और 7 नीचे। अगर ये एक ही line पर होते तो ये 2 steps एक ही proportion में होते। 3 गुणा 7 बराबर 21 है, और 4 गुणा 6 बराबर 24, और ये बराबर नहीं हैं। क़रीब क़रीब कोई verdict नहीं होता। इसीलिए roots को roots ही रहने देना ज़रूरी था।

यह formula इसके बाद कहाँ जाता है, उसके 2 नमूने। पहला point 1, minus 8 पर है, दूसरा minus 4, 7 पर, और तीसरा minus 7, minus 4 पर, और centre origin पर। हर एक से origin तक की distance का square निकालो। 1 और 64 मिलकर 65। 16 और 49 मिलकर 65। 49 और 16 मिलकर भी 65। तीनों origin से root 65 दूर हैं, तो तीनों एक ही circle पर बैठे हैं, जिसका radius root 65 है।

circle का यही मतलब है, 1 centre, और उससे 1 ही distance। अब एक point minus 5, 6 पर रखो। 25 और 36 मिलकर 61, जो 65 से कम है, तो यह point circle के अंदर है। और एक point 0, 9 पर रखो। उसका square 81 है, जो 65 से ज़्यादा है, तो यह point बाहर है। अंदर, circle पर, या बाहर, तीनों 1 subtraction और 1 तुलना से तय हो गए।

और अब 4 points। 2, 1 से शुरू करो, फिर minus 1, 2, फिर minus 2, minus 1, फिर 1, minus 2। चारों sides निकालो, तो चारों root 10 आती हैं। लेकिन बराबर sides सिर्फ़ एक rhombus बनाती हैं, square अभी नहीं। दोनों diagonals भी निकालो। दोनों root 20 हैं, और बराबर diagonals चारों angles को right angles बना देती हैं। तो यह एक square है, और उसका area 10 square units है।

sides के साथ diagonals भी, यही वह step है जो लोग छोड़ देते हैं। 1 construction, 1 theorem, 1 formula। 3 points एक line पर हैं या नहीं, या क़रीब क़रीब हैं। 4 points एक square बनाते हैं या नहीं, जिसके लिए sides के साथ diagonals भी check करनी पड़ती हैं। कुछ points एक centre से एक ही distance पर हैं या नहीं, जो एक circle की परिभाषा है। इनमें से हर एक सवाल यही 1 चीज़ है।

कोई भी 2 points पहले से ही एक right angled triangle के 2 corners हैं। तीसरा corner मुफ़्त है। और 2 legs कभी नापी नहीं गईं। वे subtract की गईं। इसमें कुछ भी नया नहीं था। यह 1 पुराना theorem है, coordinates में पढ़ा हुआ।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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