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Chapter 6 · We Distribute, Yet Things Multiply

किसी product के एक factor को ज़रा-सा खिसकाओ, तो product का क्या होता है

The distributive property16 मिनट

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23 x 27 = 621. 23 को 1 बढ़ाइए, तो गुणनफल कितना बढ़ता है? 1 नहीं, पूरे 27। और दोनों को 1 बढ़ाइए, तो 51।

मुख्य idea

अगर किसी product की दो संख्याओं में से एक को एक से खिसकाओ, तो product एक से नहीं खिसकता — वह दूसरी संख्या जितना खिसकता है, और यह बात किसी भी product को निकाले बिना समझी जा सकती है। bracket को तोड़ना ही जवाब खोलता है: खिसकाए हुए product में मूल product होता है, और साथ में ठीक वही अतिरिक्त टुकड़े जो खिसकाने से जुड़े। इसी बात को आगे ले जाओ, तो वे आठ या नौ अलग-अलग हालतें जिनकी students उम्मीद करते हैं — एक ऊपर, एक नीचे, दोनों ऊपर, दोनों नीचे, एक से, किसी भी मात्रा से, negatives के साथ — एक ही कथन में सिमट जाती हैं, क्योंकि खिसकाव negative संख्याएँ भी हो सकते हैं। chapter का असली दावा यह नहीं कि products के बदलने के नियमों की कोई सूची है; दावा यह है कि एक ही नियम उन सबको पहले से समेटे हुए है।

आपको क्या आना चाहिए

  • यह अनुमान लगाना कि एक factor के एक से बढ़ने पर product कैसे बदलता है, और इस अनुमान को दो गुणा करके नहीं, distributive property से सही ठहराना
  • a(b + c) और (a + b)c को expand करना, और बताना कि कौन-सा step distributivity इस्तेमाल करता है और कौन-सा commutativity
  • एक bracket को एक अकेला term मानकर (a + 1)(b + 1) को expand करना, और बढ़त को a + b + 1 के रूप में पहचानना
  • (a + 1)(b − 1) को expand करना और दी गई values के लिए तय करना कि product बढ़ा या घटा
  • बताना कि identity क्या होती है, और समझाना कि कुछ values रखकर देखना identity का समर्थन तो करता है, पर उसे सिद्ध नहीं करता
  • खिसकावों की negative values के साथ Identity 1 इस्तेमाल करके बढ़ने-घटने की हर हालत एक ही कथन से वापस पाना
  • वह शर्त ढूँढ़ना जिसमें दो उलटे खिसकाव product को जस का तस छोड़ देते हैं
  • समझाना कि calendar की तारीख़ों के 2-by-2 block के दोनों diagonal products में हमेशा एक ही अंतर क्यों होता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
distributive propertyयह नियम कि किसी जोड़ का गुणा करना हर हिस्से का गुणा करके जोड़ने जैसा ही हैवितरण गुणधर्मइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.137)
distributivityउसी property के लिए chapter का छोटा नामवितरण नियमइसी chapter में छपा (Part I, chapter की शुरुआत, p.136)
commutativityयह नियम कि दो factors का क्रम उनका product नहीं बदलताक्रमविनिमेयताइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.137)
identityदो expressions की ऐसी बराबरी जो हर substitution पर सही रहती हैसर्वसमिकाइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.139)
Identity 1दो-दो terms वाले दो brackets के चार-term वाले विस्तार के लिए chapter का नामसर्वसमिका 1इसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.139)
letter-numberकिसी संख्या की जगह इस्तेमाल किया गया अक्षरअक्षर-संख्याइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.138)
termवे टुकड़े जिनसे कोई जोड़ या अंतर बनता है, उनमें से एकपदइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.139)
expandbrackets के product को terms के जोड़ की तरह फिर से लिखनाविस्तार करनाइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.140)
integerपूरी संख्या, positive, negative या zeroपूर्णांकइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.138)
nudgeproduct के किसी एक factor में किया गया छोटा बदलावछोटा परिवर्तनइस पाठ का शब्द; chapter किसी संख्या के बढ़ाए या घटाए जाने की बात करता है
balance pointदोनों factors के बीच का वह संबंध जिस पर उलटे खिसकाव एक-दूसरे को काट देते हैंसंतुलन बिंदुइस पाठ का शब्द; chapter इसे एक exercise की तरह देता है और कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "किसी factor में एक जोड़ो, तो product में एक जुड़ता है।" chapter के शुरुआती सवाल में सबसे आम ग़लती। a की एक और प्रति जोड़ने से a जुड़ता है। कुछ भी बताने से पहले class से अनुमान माँगो, फिर 23 × 27 और 23 × 28 करके देखो।
  • "एक से ऊपर और एक से नीचे ज़रूर एक-दूसरे को काट देंगे।" वे तभी कटते हैं जब b, a से एक ज़्यादा हो। वरना बदलाव b − a − 1 है, जो chapter के दिखाए अनुसार किसी भी sign का हो सकता है — और chapter साफ़-साफ़ ऐसी तीन हालतें माँगता है जिनमें product घटता है।
  • "(a + 1)(b + 1) बराबर ab + 1 है।" distribute करने पर तीन अतिरिक्त टुकड़े दिखते हैं: a की एक पट्टी, b की एक पट्टी, और एक अकेली इकाई। चार-block वाला array इसका इलाज है; अकेला कोना एक ही निशान है और students उस पर उँगली रख सकते हैं।
  • "घटने के लिए अलग नियम चाहिए।" नहीं चाहिए। Identity 1 का पूरा मतलब यही है कि खिसकाव integers हैं, इसलिए घटना एक negative खिसकाव है, और sign के आम नियम बिना किसी मदद के सही signs दे देते हैं। chapter का owl box यही बात सीधे कहता है।
  • "distributivity अंकगणित की एक आदत है जिसे अक्षर संदिग्ध बना देते हैं।" अक्षर संख्याओं की जगह खड़े हैं, इसलिए कुछ भी आगे नहीं बढ़ाया जा रहा। chapter negative substitutions ठीक इसीलिए जाँचता है कि यह बात दिख जाए।
  • "तीन values रखकर देख लेना identity को सिद्ध कर देता है।" नहीं करता, और chapter इसमें सावधान है: वह identity की परिभाषा ऐसी बराबरी के रूप में देता है जो अक्षरों की जगह संख्याएँ रखने पर हर बार सही रहे, और हर identity को वह derive करता है। substitution से ग़लती पकड़ी जाती है, तर्क पूरा नहीं होता।
  • "बढ़त इस पर निर्भर करती है कि पहले कौन-सा bracket खोला।" ऐसा हो ही नहीं सकता; page student को (a + 1)(b + 1) उलटे क्रम में दोबारा करने और वही चार टुकड़े दूसरे क्रम में पाने को कहता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 6.1 Q1, Figure it Out · 6.1 Q3, Figure it Out · 6.4 Q4

पूरा transcript2,331 शब्द

यहाँ 23 और 27 हैं, और इन दोनों का गुणनफल 621 है। अब 3 सवाल हैं, और आगे देखने से पहले हर सवाल का जवाब खुद सोचिए। अगर 23 बढ़कर 24 हो जाए, तो गुणनफल कितना बढ़ेगा? और अगर इसकी जगह 27 बढ़कर 28 हो जाए, तो कितना बढ़ेगा? और अगर दोनों संख्याएँ 1 बढ़ जाएँ, तब गुणनफल कितना बढ़ेगा? ज़्यादातर लोग हर सवाल का पहला जवाब 1 देते हैं, और ये जवाब हर बार ग़लत है, और हर बार अलग तरह से ग़लत।

और असली जवाब, दोबारा गुणा किए बिना ही, साफ़ दिख जाते हैं। गुणनफल निकालने की जगह उसे बनाकर देखिए, 23 पंक्तियाँ, और हर पंक्ति में 27 dots। अब दाईं तरफ़ एक column और जोड़िए, आपने कितने dots जोड़े? हर पंक्ति में एक dot, यानी पूरे 23 dots जुड़ गए। पूरा विचार बस इतना है, किसी जोड़ को गुणा करना, उसके हर हिस्से को अलग अलग गुणा करके जोड़ने जैसा ही है।

यही बात letters में ऐसे दिखती है, a गुणा, b प्लस c का जोड़, बराबर a गुणा b प्लस a गुणा c। इस नियम को distributive नियम कहते हैं, यानी बाँटने का नियम। तस्वीर ही सबूत है, पंक्तियाँ वही रहती हैं, columns 2 हिस्सों में बँटते हैं, और हर हिस्सा अपना rectangle रखता है। आगे की हर बात इसी एक नियम से निकलेगी। अब c को 1 मान लीजिए, तो a गुणा, b प्लस 1, बराबर a गुणा b प्लस a होता है।

यानी बढ़त a है, 1 नहीं, पूरा का पूरा एक column। तो 23 गुणा 28 बराबर 644 है, जो 621 प्लस 23 है। और 24 गुणा 27 बराबर 648 है, जो 621 प्लस 27 है। देखिए क्या हुआ, एक factor को 1 बढ़ाने से, दूसरा factor जुड़ जाता है। इसीलिए दोनों जवाब अलग हैं, जबकि दोनों बदलाव देखने में एक जैसे हैं। और इनमें से किसी के लिए दूसरी बार गुणा नहीं करना पड़ा।

पर जब जोड़ वाला हिस्सा आगे हो, जैसे a प्लस b का जोड़ गुणा c, तब क्या होगा? नियम तो अकेली संख्या को आगे रखकर लिखा गया था, इसलिए पहले क्रम बदलिए। गुणा में क्रम बदलने से जवाब नहीं बदलता, तो a प्लस b का जोड़ गुणा c, बराबर c गुणा, a प्लस b का जोड़। अब बाँटिए, तो c गुणा a प्लस c गुणा b मिलता है। और हर गुणनफल को फिर से पलटिए, तो a गुणा c प्लस b गुणा c बनता है।

यहाँ क्रम बदलने का नियम 2 बार लगा, और बाँटने का नियम सिर्फ़ 1 बार। संख्याओं में, 24 गुणा 27 बराबर 27 गुणा 24, यानी 27 गुणा 23 प्लस 27 गुणा 1, यानी 621 प्लस 27, कुल 648 बनता है। माइनस 6 से 6 तक की 2197 तिकड़ियों पर, हर कदम हर बार सही बैठा। अब दोनों factors 1 बढ़ाइए, यहीं अंदाज़ा ग़लत होता है, क्योंकि दोनों बढ़त सीधे नहीं जुड़तीं।

पहले a प्लस 1 को एक ही चीज़ मानिए, और दूसरे bracket को बाँटिए। इससे a प्लस 1 गुणा b, प्लस a प्लस 1 गुणा 1 बनता है। गुणा खोलिए, तो a गुणा b प्लस b प्लस a प्लस 1 मिलता है। यानी 3 extra टुकड़े, एक किनारे पर b की पट्टी, दूसरे पर a की पट्टी, और जहाँ वो मिलतीं, वहाँ एक अकेला कोना। वो कोना एक अकेला dot है, और यही टुकड़ा सब भूल जाते हैं, a गुणा b प्लस 1 कहना इसी भूल का नाम है।

यहाँ बढ़त 27 प्लस 23 प्लस 1, यानी 51 है। और 24 गुणा 28 बराबर 672 है, यानी 621 प्लस 51, ठीक उतना ही। अगर दूसरा bracket पहले खोलें, तो 23 गुणा 28 प्लस 28, यानी 644 प्लस 28, फिर वही 672 आता है। माइनस 6 से 6 तक की सभी 169 जोड़ियों पर, दोनों क्रम एक ही जवाब देते हैं। अब एक factor 1 बढ़ाइए और दूसरा 1 घटाइए, लगता है कि ये एक दूसरे को काट देंगे।

उसी तरह बाँटिए, तो a प्लस 1 गुणा b, माइनस a प्लस 1 बनता है। यानी a गुणा b प्लस b माइनस a माइनस 1 बचता है। तो बदलाव b माइनस a माइनस 1 है, और यहाँ ये 27 माइनस 23 माइनस 1, यानी 3 है। गुणा करके देखिए, 24 गुणा 26 बराबर 624, जो 621 प्लस 3 है। गुणनफल बढ़ गया, वैसा का वैसा नहीं रहा। तो क्या एक बढ़ाने और एक घटाने से गुणनफल हमेशा बढ़ता है?

नहीं, बदलाव का चिह्न इस पर टिका है कि कौन सा factor कौन सा है। उन्हीं संख्याओं को उलट दीजिए, 27 बढ़ाइए और 23 घटाइए, तो 28 गुणा 22 बराबर 616 आता है। ये 621 से 5 कम है, और सूत्र भी यही कहता है, 23 माइनस 27 माइनस 1 बराबर माइनस 5 होता है। माइनस 6 से 6 तक की 169 जोड़ियाँ लीजिए, तो इनमें से 91 में गुणनफल घटता है, 66 में बढ़ता है, और 12 में वैसा ही रहता है।

ये ठीक तब घटता है जब b, a से बड़ा न हो, और ऐसा 91 में से 91 बार हुआ। और ये ठीक तब नहीं बदलता, जब b, a से ठीक 1 ज़्यादा हो, जैसे 5 और 6 में। यहाँ 6 गुणा 5 बराबर 30 है, और 5 गुणा 6 का जवाब भी वही 30 है। यानी एक बढ़ाने और एक घटाने से गुणनफल बढ़ भी सकता है, घट भी सकता है, और वैसा ही भी रह सकता है।

एक जायज़ सवाल, ये सब dots से बनाया गया था, और माइनस 5 पंक्तियाँ तो बनाई नहीं जा सकतीं। तो क्या ये बात negative संख्याओं पर भी चलती है? मान लीजिए a माइनस 5 है और b 8 है, तो दोनों 1 बढ़ाने पर बढ़त a प्लस b प्लस 1, यानी 4 होनी चाहिए। जाँचिए, माइनस 5 गुणा 8 बराबर माइनस 40, और माइनस 4 गुणा 9 बराबर माइनस 36, तो बढ़त सचमुच 4 है।

अब a को माइनस 4 और b को माइनस 5 लीजिए, तो सूत्र 8 की कमी बताता है। गुणा करके देखिए, माइनस 4 गुणा माइनस 5 बराबर 20, और माइनस 3 गुणा माइनस 4 बराबर 12, यानी 8 की कमी। कुछ नया नहीं चाहिए था, और किसी बात को खींचकर बढ़ाया भी नहीं गया। ये letters शुरू से संख्याओं की जगह ही थे, और बाँटने का नियम हर तरह के integers पर चलता है।

अब ठीक ठीक कहना ज़रूरी है कि असल में साबित क्या हुआ है। जो बराबरी letters की जगह कोई भी संख्याएँ रखने पर हर बार सही रहे, उसे identity कहते हैं। ये किसी ऐसी equation से कहीं ज़्यादा है, जो बस एक संख्या पर सही हो। और ध्यान दीजिए, कुछ संख्याएँ रखकर जाँच लेने से कोई identity साबित नहीं होती। मान लीजिए कोई कहे कि a प्लस 1 गुणा b प्लस 1, बराबर a गुणा b प्लस 1 होता है।

अब a को 1 और b को माइनस 1 रखिए, तो दोनों तरफ़ 0 आता है, और 2 और माइनस 2 रखने पर दोनों तरफ़ माइनस 3 बनता है। और 3 और माइनस 3 रखने पर दोनों तरफ़ माइनस 8, यानी 3 जाँचें पास हो गईं। फिर भी बात ग़लत है, 23 और 27 पर ये 622 कहती है, जबकि असली जवाब 672 है। ये सिर्फ़ तब चलती है जब a प्लस b बराबर 0 हो, यानी 169 में से बस 13 जोड़ियों पर।

जाँच गलती पकड़ सकती है, पर बात को पूरा सिर्फ़ निकालना करता है, और अब तक की हर बात नियम से निकाली गई है। अब तक 4 अलग अलग cases बने, और ये ज़रूरत से 3 ज़्यादा हैं। एक factor को m से और दूसरे को n से बदलिए, ये भी बस संख्याएँ हैं, इसलिए negative भी हो सकती हैं। अब 2 बार बाँटिए, a प्लस m गुणा b प्लस n, बराबर a गुणा b, प्लस a गुणा n, प्लस b गुणा m, प्लस m गुणा n।

यानी 4 टुकड़े और 4 blocks, पहला असली rectangle, फिर a ऊँची और n चौड़ी पट्टी, फिर m ऊँची और b चौड़ी पट्टी, और कोने में m गुणा n का छोटा block। बढ़त पहले block को छोड़कर बाक़ी सब है, a गुणा n प्लस b गुणा m प्लस m गुणा n। जैसे 23 और 27 को 1 और 1 बढ़ाने पर, टुकड़े 621, 23, 27 और 1 बनते हैं। कुल 2025 मेलों पर, जिनमें factors और बदलाव दोनों बदले गए, ये गुणा करके निकले जवाब से हर बार मिला।

और 4 में से कोई भी एक टुकड़ा हटाइए, तो ये मिलना बंद हो जाता है, यानी कोई भी टुकड़ा सजावट नहीं है। अब देखिए, पुराने cases इसी एक बात से कैसे निकल आते हैं। असल में b माइनस 1, और b प्लस माइनस 1, एक ही संख्या हैं, इसलिए उनसे बना गुणनफल भी एक ही है। तो यहाँ m बराबर 1 है, और n बराबर माइनस 1 है। टुकड़े हैं 23 गुणा माइनस 1 यानी माइनस 23, 27 गुणा 1 यानी 27, और 1 गुणा माइनस 1 यानी माइनस 1, कुल मिलाकर 3 की बढ़त।

यानी वही माइनस a, प्लस b, माइनस 1, जो पहले मिले थे। घटाने का कोई अलग नियम नहीं है, घटाना बस एक negative बदलाव है, और चिह्नों के आम नियम बाक़ी काम कर देते हैं। इसी तरह a प्लस u गुणा, b माइनस v, बराबर a गुणा b प्लस u गुणा b माइनस a गुणा v माइनस u गुणा v बनता है। और दोनों तरफ़ घटाने पर आख़िरी टुकड़ा धन हो जाता है, यानी a माइनस u गुणा b माइनस v में u गुणा v जुड़ता है।

ऐसे हर रूप की जाँच 2025 में से 2025 मेलों पर हुई। अब 23 और 27 पर चिह्नों के हर मेल को आज़माइए, एक को 1 से और दूसरे को 2 से बदलकर। दोनों बढ़ें, तो 46 प्लस 27 प्लस 2, यानी 75 की बढ़त। पहला बढ़े और दूसरा घटे, तो माइनस 46 प्लस 27 माइनस 2, यानी 21 की कमी होती है। पहला घटे और दूसरा बढ़े, तो 46 माइनस 27 माइनस 2, यानी 17 की बढ़त।

और दोनों घटें, तो माइनस 46 माइनस 27 प्लस 2, यानी 71 की कमी। कोने का टुकड़ा देखिए, दोनों घटने पर वो प्लस 2 है, क्योंकि माइनस गुणा माइनस धन होता है। गुणा करके जाँचिए, 24 गुणा 29 बराबर 696, 24 गुणा 25 बराबर 600, 22 गुणा 29 बराबर 638, और 22 गुणा 25 बराबर 550 आता है। एक बात, 4 जवाब, और हर जवाब गुणा करके निकले जवाब से मिलता है।

अब एक सवाल, जो ये एक बात आसान बना देती है, एक factor 2 बढ़ाइए और दूसरा 4 घटाइए, तो गुणनफल कब वैसा ही रहेगा? बढ़त को 0 रखिए, तो a गुणा माइनस 4, प्लस b गुणा 2, प्लस 2 गुणा माइनस 4, बराबर 0 होना चाहिए। इसे सुलझाइए, तो b बराबर 2 a प्लस 4 निकलता है। ये एक जवाब नहीं, एक पूरा परिवार है, और माइनस 6 से 6 के बीच ऐसी 7 जोड़ियाँ हैं।

जैसे a बराबर 1 और b बराबर 6, तो गुणनफल 6 है, और बदलने के बाद 3 गुणा 2 का जवाब भी वही 6 है। फिर a बराबर 2 और b बराबर 8, तो 16, और बदलने के बाद 4 गुणा 4, फिर से 16 ही आता है। और a बराबर 3 और b बराबर 10 पर 30, और बदलने के बाद 5 गुणा 6, वही 30 बनता है। अगर a बराबर 0 हो, तो b बराबर 4, और पहले और बाद, दोनों गुणनफल 0 ही रहते हैं।

यही तरीका ऐसे हर सवाल का जवाब दे देता है। मान लीजिए 23 को 2 से घटाएँ, और 27 को 3 से बढ़ाएँ। टुकड़े हैं 23 गुणा 3 यानी 69, 27 गुणा माइनस 2 यानी माइनस 54, और माइनस 2 गुणा 3 यानी माइनस 6 का कोना। कुल 9 की बढ़त, और सच में 21 गुणा 30 बराबर 630 है, जो 621 प्लस 9 है। अब दोनों घटाइए, 23 को 3 से और 27 को 4 से।

टुकड़े हैं माइनस 92, माइनस 81, और कोने में प्लस 12 का टुकड़ा। यानी 161 की कमी, और 20 गुणा 23 बराबर 460 है, जो 621 से 161 कम है। दोनों बार जवाब गुणा किए बिना मिला, और गुणा करके जाँचने पर वही निकला। एक आख़िरी जगह, जहाँ ये बात निकलती है, और वहाँ इसकी उम्मीद कोई नहीं करता। किसी भी महीने का calendar लीजिए, जहाँ हर पंक्ति में 7 तारीखें हैं, और 2 बाय 2 का कोई भी square घेरिए।

जैसे 4, 5, 11 और 12, एक कोने की जोड़ी का गुणा, 4 गुणा 12, बराबर 48 है। दूसरी जोड़ी का गुणा, 5 गुणा 11, बराबर 55 है, यानी 7 का फ़र्क। कोई और square लीजिए, जैसे 9, 10, 16 और 17, तो 9 गुणा 17 बराबर 153, और 10 गुणा 16 बराबर 160, फिर से 7 का फ़र्क। पूरे महीने में 21 squares पर, हर बार फ़र्क 7 ही निकला।

वजह block में ही है, उसके कोने a, a प्लस 1, a प्लस 7 और a प्लस 8 हैं। एक जोड़ी a गुणा a प्लस 8 देती है, और दूसरी a प्लस 1 गुणा a प्लस 7, जिसे बाँटने पर वही a गुणा a प्लस 8 और ऊपर से 7 मिलता है। यानी a पूरी तरह कट जाता है, और बचता है बस 7, जो पंक्ति की चौड़ाई है। पंक्ति की चौड़ाई बदलिए, तो फ़र्क भी बदलता है, और 9 चौड़ाइयों पर फ़र्क हर बार चौड़ाई के बराबर निकला।

अब गिनिए कि किसकी जगह क्या आया। एक factor ऊपर, दूसरा ऊपर, दोनों ऊपर, एक ऊपर एक नीचे, दोनों नीचे, 2 ऊपर, 4 नीचे, हर एक अलग नियम लगता था। अब ये सब एक ही बात है, बस बदलाव negative भी हो सकते हैं। और हर टुकड़े के साथ एक तस्वीर है, 2 पट्टियाँ और एक कोना, ये रटने का सूत्र नहीं, एक आकार है। कोने पर नज़र रखिए, कोई बदलाव 0 हो तो ये गायब हो जाता है, और दोनों बदलाव negative हों तो यही धन चिह्न लाता है।

तो जब कोई पूछे कि छोटा सा बदलाव गुणनफल का क्या करता है, तो सच्चा जवाब कोई एक संख्या नहीं है। जवाब एक सवाल है, कितना बदला, और दूसरा factor कौन सा है? क्योंकि जवाब कभी उस factor के बारे में था ही नहीं जिसे आपने बदला, वो हमेशा उस factor के बारे में था जिसे आपने छोड़ दिया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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