अंक पहेली को अंदाज़े से नहीं, अंकों पर तर्क करके सुलझाना

0:00यह एक अंक पहेली है, एक हिसाब, जिसमें अंकों की जगह letters लिखे हैं। हर letter एक अंक है, और काम है पता लगाना कि कौन सा अंक। इसके 3 नियम हैं, और ये सजावट नहीं हैं। पहला नियम, एक letter जहाँ भी आए, वो एक ही अंक होता है। दूसरा नियम, 2 अलग letters कभी एक ही अंक नहीं हो सकते। तीसरा नियम, पहेली की कोई भी संख्या 0 से शुरू नहीं होती।

0:28दूसरे नियम को ध्यान से पढ़िए, ये अलग letters को एक अंक बाँटने से रोकता है, पर ये नहीं कहता कि हर अंक का कोई letter हो, इसीलिए पहेलियों में खुले अंक भी आ जाते हैं। और देखने में ये ढेरों संभावनाओं की खोज लगती है, पर असल में ये खोज है ही नहीं। इसे हल करने लायक बनाता है, अंकों की जगह का मान। हिसाब को columns में लिखिए, जैसे आप हाथ से जोड़ते हैं।

0:55अब हर column लगभग अपना अलग छोटा सवाल है, इकाई वाले column में सिर्फ़ इकाई के अंक आते हैं। दहाई वाले column में सिर्फ़ दहाई के अंक आते हैं, और इकाई वाले column से ऊपर आया हासिल। बस यही ढाँचा है, हर column अपने अंकों को और एक पड़ोसी को छूता है, और किसी को नहीं। तो ये भूसे का ढेर नहीं, ये छोटे छोटे तथ्यों की एक कड़ी है, कड़ी पर चलिए और जवाब निकल आता है।

1:24किसी भी पहेली से पहले एक बात की हद तय कीजिए, एक column अगले को कितना हासिल दे सकता है? मान लीजिए 2 अंक जोड़ने हैं, तो सबसे ज़्यादा 9 प्लस 9 प्लस हासिल 1, यानी 19 बनता है, तो हासिल ज़्यादा से ज़्यादा 1 है। अब 3 अंक जोड़िए, 9 प्लस 9 प्लस 9 प्लस हासिल 2 बराबर 29, तो हासिल ज़्यादा से ज़्यादा 2 है। और 4 अंक जोड़ें, तो हासिल 3 तक जा सकता है।

1:58गुणा में ये और बड़ा होता है, 9 गुणा 8 बराबर 72, तो 8 से गुणा वाला column 7 तक हासिल दे सकता है। हासिल हमेशा 1 होता है, ये आदत है, सच नहीं, सामने वाले हिसाब से उसकी हद निकालिए। अब पहली पहेली, जिसमें A 1 और 1 B का जोड़ B 0 है। शुरुआत इकाई वाले column से कीजिए, हमेशा वहीं से। यहाँ 1 प्लस B का आख़िरी अंक 0 होना चाहिए, ऐसा सिर्फ़ B बराबर 9 पर होता है, और 1 प्लस 9 बराबर 10 से ऊपर 1 हासिल जाता है।

2:36अब दहाई वाला column, A प्लस 1 प्लस ऊपर आया 1 बराबर B होना चाहिए, और B हम जानते हैं, 9 है। तो इससे A बराबर 7 निकलता है। जाँचिए, 71 प्लस 19 बराबर 90, A 7 है, B 9 है, कोई 2 letters एक अंक नहीं बाँटते, और कोई संख्या 0 से शुरू नहीं होती। सिर्फ़ 2 columns, और कहीं भी कोई अंदाज़ा नहीं लगाया। दूसरी पहेली में A B प्लस 37 का जवाब 6 A है।

3:09इस बार दहाई वाले column से सोचिए, A प्लस 3 प्लस हासिल बराबर 6 होना चाहिए। यहाँ 2 अंक जुड़ते हैं, तो हासिल 0 या 1 ही हो सकता है, यानी A या तो 3 है, या फिर 2 है। अगर A बराबर 3, तो इकाई में B प्लस 7 का आख़िरी अंक 3 चाहिए, यानी B बराबर 6, पर 6 प्लस 7 बराबर 13 ऊपर 1 हासिल भेजता है, जबकि हमने हासिल 0 माना था।

3:37ये आपस में टकराता है, तो A बराबर 3 नहीं हो सकता। तो A बराबर 2, और हासिल 1, यानी B प्लस 7 बराबर 12, और इससे B बराबर 5 निकलता है। जाँचिए, 25 प्लस 37 बराबर 62, और यही इकलौता जवाब है। यहाँ फ़ैसला हासिल ने किया, इसीलिए उसकी हद पहले जानना ज़रूरी था। अब एक पहेली, जिसमें एक ही संख्या 3 बार लिखी है। संख्या O N को 3 बार जोड़िए, और जवाब P O आता है।

4:11पहले आकार देखिए, O बराबर 0 नहीं हो सकता, वरना O N 0 से शुरू हो जाएगी। और दहाई में 3 गुणा O प्लस हासिल एक अंक ही रहना चाहिए, 3 गुणा 4 ही 12 है, तो O सिर्फ़ 1, 2 या 3 हो सकता है। अब इकाई, N प्लस N प्लस N का आख़िरी अंक O है। अगर O बराबर 1, तो N बराबर 7, क्योंकि 21, हासिल 2, और P बराबर 3 प्लस 2, यानी 5 बनता है।

4:44अगर O बराबर 2, तो N बराबर 4, क्योंकि 3 गुणा 4 बराबर 12, हासिल 1, और P बराबर 7, और O बराबर 3 पर N बराबर 1, हासिल 0, और P बराबर 9 बनता है। यानी 3 जवाब निकलते हैं, 17 गुणा 3 बराबर 51, 24 गुणा 3 बराबर 72, और 31 गुणा 3 बराबर 93 वाला जवाब। एक जवाब पाकर रुक जाना, पूछे गए सवाल से छोटे सवाल का जवाब देना है।

5:15इसकी जोड़ीदार पहेली, Q R को 3 बार जोड़िए, तो जवाब P R R आता है। इकाई में 3 गुणा R का आख़िरी अंक खुद R है, ऐसा सिर्फ़ R बराबर 0 या 5 पर होता है। अब R बराबर 0 से कोई जवाब नहीं बनता, तो R बराबर 5, और 3 गुणा 5 बराबर 15, ऊपर 1 हासिल। दहाई में 3 गुणा Q प्लस 1 का आख़िरी अंक भी R, यानी 5 है, ऐसा सिर्फ़ Q बराबर 8 पर होता है।

5:45यानी 3 गुणा 8 प्लस 1 बराबर 25, तो P बराबर 2, और जवाब 85 गुणा 3 बराबर 255 बनता है। यहाँ दोहराया हुआ letter, R, सबसे ज़्यादा जानकारी दे रहा था। गुणा अपने साथ एक नई तरह की पाबंदी लाता है, और वो बहुत तेज़ है। पहेली है P Q गुणा 8 बराबर R S, जिसमें दोनों संख्याएँ 2 अंकों की हैं। किसी अंक को छूने से पहले आकार देखिए।

6:17कुल 90 संख्याएँ 2 अंकों की हैं, 10 से 99 तक। इनमें से ज़्यादातर को 8 से गुणा करें तो 3 अंक बन जाते हैं, 13 गुणा 8 बराबर 104, और 99 गुणा 8 तो 792 तक पहुँचता है। संख्या 90 में से सिर्फ़ 3 संख्याएँ, 10, 11 और 12, 2 अंकों में रहती हैं। पूरी खोज बस इतनी है, और ये अंक गिनने से मिली। अब नियम इस काम को पूरा करते हैं।

6:46पहले 10 गुणा 8 बराबर 80, यहाँ दोनों इकाई अंक 0 हैं, तो Q और S एक ही अंक हो जाते, जो मना है। फिर 11 गुणा 8 बराबर 88, पर तब P और Q दोनों 1 होते, ये भी मना है। और 12 गुणा 8 बराबर 96, P 1, Q 2, R 9, S 6, सब अलग, और कोई 0 से शुरू नहीं। एक जवाब, और वहाँ तक का हर कदम किसी वजह से निकला।

7:15देखिए, आकार वाली हद ने कितना काम किया, 90 की जगह सिर्फ़ 3 उम्मीदवार, फिर 2 नियमों ने बाक़ी काम पूरा किया। दूसरा तेज़ औज़ार है, गुणनफल का इकाई अंक। बाक़ी अंक कुछ भी करें, जवाब का इकाई अंक सिर्फ़ शुरुआती इकाई अंक से तय होता है। किसी भी अंक को 6 से गुणा कीजिए, इकाई में 0, 6, 2, 8, 4, और फिर यही अंक आते हैं। सब के सब even, 10 में से 10, तो 6 से गुणा करने पर इकाई अंक हमेशा even होता है।

7:50ये एक बात शुरू होने से पहले ही आधे अंकों को बाहर कर देती है। पर हर गुणक के साथ ये नहीं चलता, 3 से गुणा करें तो इकाई में सारे अंक आते हैं, जिनमें 5 odd हैं, तो कुछ पता नहीं चलता। जानिए कि कौन सा औज़ार सच में काट रहा है। अब एक कठिन पहेली, G H को H से गुणा करने पर 9 K मिलता है। गुणक वही letter है जो संख्या का इकाई अंक है, और जवाब 90 से 99 के बीच है।

8:21ऐसे 7 गुणनफल हैं, 11 गुणा 9 बराबर 99, 12 गुणा 8 बराबर 96, 46 गुणा 2 बराबर 92, और 24 गुणा 4 बराबर 96 है। फिर 47 गुणा 2 बराबर 94, 31 गुणा 3 बराबर 93, और 16 गुणा 6 बराबर 96 आता है। पहली शर्त, गुणक संख्या का अपना इकाई अंक हो, इससे 7 में से 2 बचते हैं, 24 गुणा 4, और 16 गुणा 6 वाला। दूसरी शर्त, कोई 2 letters एक अंक न बाँटें, 16 गुणा 6 में H भी 6 है और K भी 6, तो ये बाहर।

9:01तो 24 गुणा 4 बराबर 96, G बराबर 2, H बराबर 4, K बराबर 6, और यही इकलौता जवाब है। यानी 7 से 2, और 2 से 1, और हर कदम एक नियम था, अंदाज़ा नहीं। अब 3 अंकों वाली पहेली, B Y E को 6 से गुणा करने पर R A Y मिलता है। पहले अंक गिनिए, अगर B बराबर 2 होता, तो 200 गुणा 6 ही 1200 है, जिसमें 4 अंक हैं।

9:32तो B बराबर 1 है, और ये बाक़ी कुछ जानने से पहले ही तय है। अब Y, 170 गुणा 6 बराबर 1020, फिर 4 अंक, पर 160 गुणा 6 बराबर 960, तो Y ज़्यादा से ज़्यादा 6 है। और Y जवाब का इकाई अंक है, यानी 6 गुणा E का, जो हमेशा even होता है। यानी Y even है, और 6 तक है, तो उसके लिए 0, 2, 4 और 6 बचते हैं।

10:01अगर Y बराबर 6, तो E 1 या 6 होगा, पर 1 पहले से B का है, और 6 Y का। अगर Y बराबर 4, तो E 4 या 9 होगा, 4 Y का है, और 149 गुणा 6 बराबर 894 में A भी 9 बन जाता है। अगर Y बराबर 2, तो E 2 या 7 होगा, और 127 गुणा 6 बराबर 762 में R भी 7 बन जाता है।

10:27बचा Y बराबर 0, E 0 या 5, और 105 गुणा 6 बराबर 630, B 1, Y 0, E 5, R 6, A 3, सब अलग अलग। अब देखिए, ये नियम असल में कितना बोझ उठाते हैं। यहाँ की सारी 15 पहेलियाँ लीजिए, और वो नियम हटा दीजिए कि 2 letters एक अंक नहीं बाँट सकते। इनमें से 5 पहेलियों का जवाब अकेला नहीं रहता। इसके बदले 0 से शुरुआत वाला नियम हटाइए, तो 3 पहेलियाँ टूट जाती हैं।

11:02गुणा 8 वाली पहेली के 1 की जगह 8 जवाब हो जाते हैं, 12 गुणा 8 के अलावा 7 और, जो सब 0 से शुरू होते हैं। ये नियम शिष्टाचार नहीं, शर्तें हैं, इनके बिना ज़्यादातर ये पहेलियाँ ही नहीं रहतीं। और पहला नियम, कि letter हर जगह एक ही अंक है, वही दोहराए गए letter को सबसे काम की चीज़ बनाता है। जैसे P P, G G G या W O W में दोहराए letters, पहले वहीं देखिए, हर बार।

11:34कुछ पहेलियों के एक से ज़्यादा जवाब होते हैं। संख्या L 2 N को 2 से गुणा करने पर 2 N P आता है, और यहाँ 124 गुणा 2 बराबर 248 चलता है, और साथ ही 125 गुणा 2 बराबर 250 वाला जवाब। इस पहेली में खुला अंक 2 बैठा है, और ये पूरी तरह जायज़ है, नियम letters पर है, अंकों पर नहीं। संख्या P P गुणा Q Q बराबर P R P के तो 3 जवाब हैं, 22 गुणा 11 बराबर 242, 33 गुणा 11 बराबर 363, और 44 गुणा 11 बराबर 484 वाला।

12:15और 3 बार जोड़ी गई O N के भी 3 जवाब निकले थे। कुल 15 में से 12 पहेलियों का ठीक 1 जवाब है, और 3 के एक से ज़्यादा। पहले जवाब पर रुक गए, तो आपने कोई दूसरा ही सवाल हल किया। एक और पहेली, जिसके जवाब में एक ही letter 3 बार है, J K गुणा 6 बराबर K K K। संख्या K K K बराबर K गुणा 111 है, और 111 बराबर 3 गुणा 37 है।

12:49तो 6 गुणा J K बराबर 111 गुणा K, यानी 2 गुणा J K बराबर 37 गुणा K है। संख्या 37 odd है, तो K को even होना ही होगा। अगर K बराबर 2, तो J K बराबर 37 आता, पर उसका इकाई अंक 7 है, 2 नहीं। संख्या K बराबर 6 पर 111 और 8 पर 148 आते, और दोनों में 3 अंक हैं। बचा K बराबर 4, J K बराबर 74, जिसका इकाई अंक सच में 4 है, और 74 गुणा 6 बराबर 444 बनता है।

13:26यहाँ भी दोहराया हुआ letter ही चाबी था। आख़िरी बात, जवाब मिल जाए तो उसे ठीक से जाँचिए। क्या हिसाब सही बैठता है, और क्या हर letter पूरे हिसाब में एक ही अंक है? क्या सारे letters आपस में अलग हैं, और क्या कोई संख्या 0 से शुरू तो नहीं होती? ये 4 जाँचें, हर बार, बिना चूके कीजिए। और फिर वो सवाल, जो लोग छोड़ देते हैं, क्या यही इकलौता जवाब है?

13:57तो तरीका ये है, आकार की हद लगाइए, इकाई वाला column पढ़िए, नियमों से छाँटिए, और फिर पूछिए कि कुछ और तो नहीं बचा। इस पूरी सूची में कहीं भी अंदाज़ा नहीं है।