दो-दो terms वाले दो expressions का गुणा, और चारों terms कहाँ से आते हैं

0:00जब 2 brackets को गुणा करते हैं, और हर bracket में 2 terms हों, तो 4 चीज़ें निकलती हैं। न 3, न 2, बल्कि पूरी 4 चीज़ें। ज़्यादातर लोग इसे एक नियम की तरह रटते हैं, एक नाम और कुछ तिरछे तीरों के साथ। पर ये कोई नियम नहीं है, ये एक ही rectangle है, जिसे 2 बार काटा गया है। यहाँ एक rectangle है, जिसकी ऊँचाई a प्लस u है, और चौड़ाई b प्लस v है।

0:27इसे ऊँचाई a पर आड़ा काटिए, और चौड़ाई b पर खड़ा काटिए। कटाई के बाद ठीक 4 टुकड़े बनते हैं, किसी extra टुकड़े के छिपने की जगह नहीं, और कोई टुकड़ा गायब भी नहीं हो सकता। आगे की हर बात, बस इसी एक बात को ध्यान से कहना है। अब तर्क देखिए, इसमें बस 2 कदम हैं। पहला कदम पूरे पहले bracket को एक ही चीज़ मान लेता है, और दूसरे bracket को तोड़ देता है।

0:54तो a प्लस u, गुणा, b प्लस v, बन जाता है, a प्लस u गुणा b, प्लस, a प्लस u गुणा v। ये बस एक जोड़ को गुणा करना है, उसे हिस्सों में तोड़िए, और हर हिस्से को गुणा कीजिए। अब यही काम दोनों आधे हिस्सों पर दोबारा कीजिए, पहला हिस्सा देता है a गुणा b, प्लस u गुणा b। और दूसरा हिस्सा देता है a गुणा v, प्लस u गुणा v।

1:21कुल 4 गुणनफल बने, और हर एक पहले bracket के एक term और दूसरे bracket के एक term से बना है। यहाँ bracket किसी ख़ास नियम से नहीं खुला, वो एक ही नियम से 2 बार खुला। अब तस्वीर से 4 टुकड़े पढ़िए, और उन्हें algebra वाले 4 गुणनफलों से मिलाइए। बड़ा block a गुणा b है, लंबा block a गुणा v, चौड़ा block u गुणा b, और कोना u गुणा v।

1:49यानी 4 blocks और 4 गुणनफल, पहले bracket का हर term दूसरे bracket के हर term से ठीक एक बार मिला। इसीलिए कोई extra टुकड़ा नहीं हो सकता, ऐसी कोई जोड़ी बन ही नहीं सकती जो पहले से list में न हो। और कोई टुकड़ा छोड़ा भी नहीं जा सकता, एक को भी हटाइए, तो दोनों तरफ़ के मान अलग हो जाते हैं। हमने हर टुकड़े को बारी बारी हटाकर देखा, और 4 में से 4 बार बराबरी टूट गई।

2:16तो टुकड़े गिनना कोई याद रखने की तरकीब नहीं है, ये जोड़ियों की गिनती है। एक बहुत आम ग़लती है, पहले को पहले से और दूसरे को दूसरे से गुणा करना, और वहीं रुक जाना। यानी a प्लस u गुणा b प्लस v को, बस a गुणा b प्लस u गुणा v लिख देना। संख्याओं से देखिए, 23 को 20 प्लस 3 लिखिए, और 27 को 20 प्लस 7 लिखिए।

2:44ग़लत तरीका देता है 400 प्लस 21, यानी 421, जबकि 23 गुणा 27 असल में 621 है। कमी ठीक उन 2 पट्टियों की है जो छूट गईं, 140 और 60, जो मिलकर 200 बनती हैं। तस्वीर में ये वही 2 blocks हैं जो तिरछे आमने सामने बैठे हैं, और ग़लत तरीका इन्हें देखता ही नहीं। हमने ये ग़लत तरीका 7 जाँचों पर चलाया, और ये सिर्फ़ 1 जाँच पर बराबर निकला।

3:12वहाँ a गुणा v बराबर 6 है, और u गुणा b बराबर माइनस 6, तो दोनों पट्टियाँ आपस में कट गईं, बस किस्मत से। अगर किसी bracket में माइनस हो, तो क्या बदलता है? कुछ नहीं बदलता, माइनस कोई नई क्रिया नहीं है, वो बस एक term है जो negative संख्या लिए हुए है। तो a प्लस u, गुणा, b माइनस v, बराबर a गुणा b, माइनस a गुणा v, प्लस u गुणा b, माइनस u गुणा v।

3:44वही 4 जोड़ियाँ, और चिह्न integers के साधारण नियमों से अपने आप आ गए। संख्याओं से, 23 गुणा 13 बराबर 400 माइनस 140 प्लस 60 माइनस 21, यानी 299 का गुणनफल। अब माइनस पहले bracket में रखिए, या दोनों में, हर बार वही 4 जोड़ियाँ बनती हैं, बस चिह्न बदलते हैं। यानी 3 जवाब, एक ही तरीका, और कहीं कोई extra नियम नहीं। हर case को 7 जाँचों पर परखा गया, जिनमें 5 में कोई negative मान था और 3 में कोई मान 0 था, और हर case 7 में से 7 पर खरा उतरा।

4:24अब माइनस, 2 y प्लस 5, गुणा, 3 y प्लस 4, इस गुणनफल को देखिए, जिसके आगे माइनस लगा है। आराम से चलिए, पहले माइनस को अलग रखिए, और brackets को गुणा कीजिए। हमें 4 गुणनफल मिलते हैं, 6 y का वर्ग, 8 y, 15 y, और 20 का अकेला term। यहाँ 8 y और 15 y एक ही चीज़ नापते हैं, तो वो मिलकर 23 y बनते हैं। अब माइनस लगाइए, वो हर term का चिह्न पलट देता है, और माइनस 6 y का वर्ग, माइनस 23 y, माइनस 20 आता है।

5:00माइनस को पहले bracket के अंदर डाल दें, तब भी यही जवाब आता है, क्योंकि माइनस 1 बस एक और factor है। जाँच के लिए y बराबर 1 रखिए, 7 गुणा 7 का माइनस, यानी माइनस 49, और दूसरी तरफ़ माइनस 6 माइनस 23 माइनस 20, वो भी माइनस 49 है। माइनस के लिए किसी नए नियम की ज़रूरत नहीं पड़ी, बस integers के पुराने नियम काम आए। अब उस तर्क को पीछे मुड़कर देखिए, और ध्यान दीजिए कि उसने क्या कभी नहीं किया।

5:32उसने कभी नहीं गिना कि किसी bracket में कितने terms हैं। इसलिए जब किसी bracket में 3 terms हों, तब वो ठीक उसी तरह चलता है। यहाँ 2 terms गुणा 3 terms से 6 गुणनफल बनते हैं, और 3 गुणा 3 से 9 गुणनफल। हर जोड़ी का एक गुणनफल होता है, और जोड़ियों की गिनती, दोनों गिनतियों का गुणनफल है। हमने 1 से 4 तक की गिनतियों की सारी 16 जोड़ियाँ जाँचीं, और 16 में से 16 बार यही निकला।

6:00एक 17 terms वाला bracket, 2 terms वाले bracket के साथ, 34 गुणनफल देता है, और वो rectangle कोई बनाना नहीं चाहेगा। उसे बनाने की ज़रूरत भी नहीं, तर्क वही है, और वो कभी तस्वीर के बारे में था ही नहीं। अब एक असली उदाहरण लीजिए, 4 y प्लस 7, गुणा, y प्लस 11 z माइनस 3 का bracket। गुणा करने से पहले बताइए, कितने गुणनफल बनेंगे? यहाँ 2 terms गुणा 3 terms हैं, यानी 6 गुणनफल, ये बिना कुछ बनाए पहले से पता है।

6:36पहले 4 y से, 4 y का वर्ग, 44 y z, और माइनस 12 y बनते हैं। फिर 7 से, 7 y, 77 z, और माइनस 21 बनते हैं। इन 6 में से बस माइनस 12 y और 7 y एक ही चीज़ नापते हैं, और मिलकर माइनस 5 y बनते हैं। जवाब है 4 y का वर्ग, प्लस 44 y z, माइनस 5 y, प्लस 77 z, माइनस 21, यानी 5 terms।

7:09जाँच के लिए y और z दोनों 1 रखिए, 11 गुणा 9 बराबर 99, और 5 terms का जोड़ भी 99 है। यहाँ कोई याद किया हुआ तरीका काम नहीं आता, जोड़ियाँ गिनने वाला नियम काम आता है। अब ऐसा उदाहरण लीजिए जिसके आगे भिन्न और letter दोनों हैं, 3 a बटा 2, गुणा, a माइनस b प्लस 1 बटा 5 का bracket। एक term गुणा 3 terms, यानी 3 गुणनफल, पहले सारे गुणनफल बनाइए, और सजाइए बाद में।

7:45पहले, 3 a बटा 2 गुणा a, बराबर 3 बटा 2 गुणा a गुणा a, यानी 3 बटा 2 a का वर्ग। फिर 3 a बटा 2 गुणा b, बराबर 3 बटा 2 a b, और ये घटता है। और 3 a बटा 2 गुणा 1 बटा 5, बराबर 3 बटा 10 a। तो जवाब है 3 बटा 2 a का वर्ग, माइनस 3 बटा 2 a b, प्लस 3 बटा 10 a।

8:15जाँचिए, a बराबर 10 और b बराबर 5 रखिए, तो आगे वाला 15 बनता है, और bracket 26 बटा 5 बनता है। अब 15 गुणा 26 बटा 5 बराबर 78, और दूसरी तरफ़, 150 माइनस 75 प्लस 3, वो भी 78 है। यहाँ 3 terms हैं, क्या इनमें से किसी को जोड़ा जा सकता है? पहला और आख़िरी देखिए, 3 बटा 2 a का वर्ग, और 3 बटा 10 a, दोनों में a है।

8:48पर दोनों एक चीज़ नहीं हैं, एक a गुणा a नापता है, और दूसरा बस a। जैसे a बराबर 10 पर, पहला 150 है और दूसरा बस 3, और a बदलते ही ये अलग अलग तरह से बदलते हैं। कोई 2 terms तभी जुड़ते हैं जब वो ठीक उन्हीं letters से, ठीक उन्हीं घातों पर बने हों, इन्हें like terms कहते हैं। आगे वाली संख्या का इससे कोई लेना देना नहीं, 2 a b और 5 a b like terms हैं, और मिलकर 7 a b बनते हैं।

9:19पर 2 a b और 2 a का वर्ग b like terms नहीं हैं, भले आगे की संख्या एक जैसी हो। और a का वर्ग गुणा b, और a गुणा b का वर्ग, दोनों में वही letters हैं, पर हर letter की गिनती अलग है। जैसे a बराबर 2 और b बराबर 3 पर, पहला 12 बनता है और दूसरा 18, ये अलग चीज़ें नापते हैं। इस उदाहरण में कोई 2 terms like नहीं हैं, तो 3 गुणनफल 3 terms ही रहते हैं, और काम पूरा हो गया।

9:49अब 2 terms वाले expression का वर्ग लीजिए, a प्लस b, गुणा, a प्लस b। यहाँ 2 गुणा 2, यानी पहले की तरह 4 गुणनफल, वर्ग में कुछ ख़ास नहीं है। वो 4 हैं, a गुणा a, a गुणा b, b गुणा a, और b गुणा b। पर a गुणा b और b गुणा a एक ही term है, क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। इस बार जोड़ना सिर्फ़ औपचारिकता नहीं है, 4 में से 2 मिल जाते हैं, और 4 गुणनफल 3 terms बन जाते हैं।

10:22जवाब है a का वर्ग, प्लस 2 a b, प्लस b का वर्ग, और ये 2 गिनती है कि कितने गुणनफल एक ही तरह के block पर पड़े। संख्याओं से, 23 गुणा 23 को 20 प्लस 3 का वर्ग लिखिए, तो टुकड़े हैं 400, 60, 60, और 9 का कोना। यानी 400 प्लस 2 गुणा 60 प्लस 9, बराबर 529, और यही 23 गुणा 23 है। इसीलिए बीच वाला term 2 बार आता है, और ये समझने की चीज़ है, रटने की नहीं।

10:59उस जवाब को फिर से a प्लस b से गुणा कीजिए। यहाँ 2 terms गुणा 3 terms, यानी 6 गुणनफल, और इस बार इनमें से 4 आपस में 2 जोड़ियों में टकराते हैं। पहले सब बनाइए, a का घन, 2 a का वर्ग b, a गुणा b का वर्ग, a का वर्ग b, 2 a गुणा b का वर्ग, और b का घन। अब जोड़िए, एक a का वर्ग b और 2 और मिलकर 3 बनते हैं, और a गुणा b का वर्ग के साथ भी यही होता है।

11:31तो 6 गुणनफल से 4 terms बचते हैं, a का घन, प्लस 3 a का वर्ग b, प्लस 3 a गुणा b का वर्ग, प्लस b का घन। ये 3 चुने नहीं गए थे, ये उन टक्करों की गिनती हैं जो गुणा पहले ही तय कर चुका था। संख्याओं से, a बराबर 10 और b बराबर 1 रखिए, तो 6 गुणनफल 1000, 200, 10, 100, 20 और 1 बनते हैं।

11:57जोड़ने पर 1000 प्लस 300 प्लस 30 प्लस 1, यानी 1331, जो ठीक 11 गुणा 11 गुणा 11 है। हमने इसे 7 जाँचों पर परखा, और 7 में से 7 बार ये सच में a प्लस b का घन निकला। ये काम आप बचपन से करते आ रहे हैं, बस letters के बिना। किसी 2 अंकों वाली संख्या को 10 a प्लस b लिखिए, और दूसरी को 10 c प्लस d।

12:30अब brackets को गुणा कीजिए, तो 4 गुणनफल आते हैं, 100 a c, 10 a d, 10 b c, और b d। यही लंबे गुणा के आंशिक गुणनफल हैं, और आगे लगे 100 और 10, स्थानीय मान का काम हैं। जैसे 23 गुणा 27 लीजिए, इसके 4 टुकड़े हैं 400, 140, 60, और 21 का कोना। इन्हें जोड़िए, तो 621 मिलता है, जो ठीक 23 गुणा 27 का गुणनफल है।

13:02या बस एक संख्या को हिस्सों में तोड़िए, 23 गुणा 20 प्लस 23 गुणा 7, यानी 460 प्लस 161, और फिर वही 621 आता है। टुकड़ों में गुणा करना, यही पूरा विचार है, एक गुणक को ऐसे हिस्सों में तोड़िए जो जुड़कर वापस वही बनें। हमने इसे 2 अंकों की सारी 8100 जोड़ियों पर साधारण गुणा से मिलाया, और 8100 में से 8100 बार ये बराबर निकला। अब 10 गुणा 10 की गुणा तालिका लीजिए, जिसमें 1 से 10 तक हर संख्या का हर संख्या से गुणनफल है।

13:37इसमें एक 3 गुणा 3 की खिड़की देखिए, पंक्तियाँ 3, 4, 5 और columns 5, 6, 7 वाली। इसके खानों में 15, 18, 21, फिर 20, 24, 28, और फिर 25, 30, 35 लिखे हैं। बीच वाला 24 है, यानी 4 गुणा 6, इसे p q कहिए, बाकी 8 खानों में letters में क्या लिखेंगे? ऊपर बाएँ का खाना p माइनस 1 गुणा q माइनस 1 है, और गुणा करके p q माइनस p माइनस q प्लस 1 बनता है।

14:13अब p बराबर 4 और q बराबर 6 पर, ये 24 माइनस 4 माइनस 6 प्लस 1 है, यानी 15, ठीक वही खाना। नीचे दाएँ का खाना p प्लस 1 गुणा q प्लस 1 है, यानी p q प्लस p प्लस q प्लस 1, और ये 35 देता है। हर खाना बस 4 टुकड़ों वाला वही rectangle है, बीच वाले से 1 ऊपर नीचे खिसका हुआ। हमने तालिका की हर वो खिड़की ली जो पूरी अंदर बैठती है, और 64 में से 64 खिड़कियों पर, 576 में से 576 खानों पर, letters वाला रूप बराबर निकला।

14:52अब 2 दावे परखिए, पहला कहता है कि k प्लस 1 गुणा k प्लस 2 में से, k गुणा k प्लस 3 घटाइए, तो हमेशा 2 बचता है। जैसे k बराबर 5 पर, 6 गुणा 7 बराबर 42, और 5 गुणा 8 बराबर 40, तो फ़र्क 2 है। पर एक उदाहरण सबूत नहीं है, गुणा करके देखिए। पहला गुणनफल k का वर्ग प्लस 3 k प्लस 2 है, दूसरा k का वर्ग प्लस 3 k, और घटाने पर हर k के लिए बस 2 बचता है।

15:24माइनस 20 से 20 तक के 41 मानों पर, 41 में से 41 बार 2 ही निकला। दूसरा दावा है कि 2 q प्लस 1, गुणा, 2 q माइनस 3, हमेशा 4 का गुणज होता है, क्या ये सच है? गुणा करने पर 4 q का वर्ग माइनस 4 q माइनस 3 आता है, जिसे 4 गुणा, q का वर्ग माइनस q माइनस 1, प्लस 1 लिख सकते हैं। यानी 4 से भाग देने पर हर बार 1 बचता है, ये दावा ग़लत है, ये कभी भी 4 का गुणज नहीं होता।

15:58जैसे q बराबर 3 पर, 7 गुणा 3 बराबर 21, जो 4 गुणा 5 प्लस 1 है, और 41 मानों में से 41 पर 1 ही बचा। एक संख्या को 7 से भाग दें तो शेषफल 3 आता है, और दूसरी संख्या का शेषफल 5 आता है। उनके जोड़, फ़र्क और गुणनफल का शेषफल क्या होगा? संख्याओं को 7 s प्लस 3 और 7 t प्लस 5 लिखिए, जहाँ s और t कोई भी पूर्ण संख्याएँ हैं।

16:29गुणा करने पर 4 गुणनफल आते हैं, 49 s t, 35 s, 21 t, और 15 का कोना। पहले 3 टुकड़े 7 के गुणज हैं, वो शेषफल में कुछ नहीं जोड़ते, फ़ैसला सिर्फ़ कोना करता है। कोना 15 है, जो 7 गुणा 2 प्लस 1 है, तो गुणनफल का शेषफल 1 है। इसी तरह जोड़ का शेषफल 1 आता है, और पहली में से दूसरी घटाएँ तो शेषफल 5 आता है।

16:56जैसे 17 और 12 लीजिए, जोड़ 29 है जिसका शेषफल 1 है, फ़र्क 5 है, और 17 गुणा 12 बराबर 204, जो 7 गुणा 29 प्लस 1 है। हमने s और t की 441 जोड़ियाँ जाँचीं, और 441 में से 441 बार यही शेषफल निकले। यानी brackets खोलना कोई खाली कसरत नहीं, ये संख्याएँ जाने बिना भी सवाल हल कर देता है। एक आख़िरी बात, और यही सबसे अच्छा कारण है कि पहले सारे गुणनफल बनाए जाएँ।

17:29पहले a माइनस b को a प्लस b से गुणा कीजिए, 4 गुणनफल बनते हैं, 2 कट जाते हैं, और a का वर्ग माइनस b का वर्ग बचता है। अब a का वर्ग प्लस a b प्लस b का वर्ग से गुणा कीजिए, 6 गुणनफल, 4 कट जाते हैं, और a का घन माइनस b का घन आता है। फिर 4 terms वाले bracket से 8 गुणनफल बनते हैं, 6 कट जाते हैं, और a की घात 4 माइनस b की घात 4 बचता है।

17:58अगला वाला आप बनाने से पहले ही देख सकते हैं, 5 terms वाला bracket a की घात 5 माइनस b की घात 5 देना चाहिए। गुणा करके देखिए, 10 गुणनफल बनते हैं, उनमें से 8 कट जाते हैं, और बस 2 बचते हैं। जैसे a बराबर 3 और b बराबर 2 पर, लंबा bracket 81 प्लस 54 प्लस 36 प्लस 24 प्लस 16, यानी 211 है, और 243 माइनस 32 का फ़र्क भी वही 211 है।

18:27ये pattern जवाबों में नहीं था, वो जोड़ियों में था, और जोड़ियाँ शुरू से दिख रही थीं। यही पूरी बात है, जोड़ना आख़िरी कदम है, पहला नहीं, और लगभग हर दिलचस्प चीज़ उससे पहले होती है। तो याद रखिए, 2 brackets का गुणा एक rectangle के टुकड़े हैं, हर term हर term से एक बार मिलता है, और बाकी सब उसी से निकलता है।