एक बढ़ते pattern के लिए अलग-अलग दिखने वाले कई expressions

0:00ये गोलों का एक पैटर्न है, और हर step पर ये थोड़ा बढ़ता है। पहले step में 3 गोले हैं, दूसरे में 8, और तीसरे में 15 गोले हैं। अगला step बनाइए, तो 24 गोले मिलते हैं, ये अभी आसान है। बढ़त देखिए, पहले 5 बढ़े, फिर 7, फिर 9, और हर बार बढ़त पिछली से 2 ज़्यादा होती है। पर step 10 पर कितने गोले होंगे, जिसे बनाने का मन भी नहीं करेगा?

0:29और बहुत आगे वाले किसी step पर तो बनाना ही नामुमकिन हो जाता है। तो सवाल ये बनता है, क्या step से कोई expression बनता है, जो किसी भी step की गिनती दे दे? तस्वीर इसका जवाब नहीं देती, तस्वीर में हर step की गिनती है, पर कोई formula नहीं। तो खुद गिनिए, ये तीसरा step फिर से है, और इसे देखने का एक तरीका ये है। ये एक वर्ग है, 4 आड़े और 4 खड़े, जिसके एक कोने से एक गोला गायब है।

0:59तो 4 गुणा 4 बराबर 16, उसमें से 1 कम, यानी 15 गोले। पहला step भी यही आकार है, 2 गुणा 2 बराबर 4, उसमें से 1 कम, यानी 3 गोले। दूसरा step 3 गुणा 3, यानी 9, उसमें से 1 कम, तो 8 गोले। चौथा step 5 गुणा 5, यानी 25, उसमें से 1 कम, तो 24 गोले। हर बार वर्ग की भुजा step से 1 ज़्यादा है, आड़े भी और खड़े भी।

1:32तो ये तरीका कहता है, step प्लस 1 का वर्ग लीजिए, और उसमें से 1 घटाइए। अब उसी तस्वीर को देखने का एक दूसरा तरीका। बीच में एक वर्ग है जिसकी भुजा step के बराबर है, और फिर 2 बाँहें, एक column दाईं ओर, और एक पंक्ति नीचे। तीसरे step पर वर्ग में 9 गोले हैं, और दोनों बाँहों में मिलाकर 6, तो 9 और 6 मिलकर 15 बनते हैं।

1:58दूसरे step पर वर्ग में 4, और बाँहों में 4, तो कुल 8 गोले। पहले step पर वर्ग में 1, और बाँहों में 2, तो कुल 3 गोले। चौथे step पर वर्ग में 16, और बाँहों में 8, तो कुल 24 गोले। हर बाँह में उतने ही गोले हैं जितना step है, तो दोनों बाँहें मिलकर step का दुगना होती हैं। तो ये तरीका कहता है, step का वर्ग, प्लस step का दुगना।

2:26तीसरा तरीका, और इसके लिए वर्ग ढूँढना छोड़ना पड़ेगा। एक rectangle लीजिए जो step जितना चौड़ा और step से 1 ज़्यादा ऊँचा है, और उसके दाईं ओर step जितने गोलों का एक column और। तीसरा step, 3 चौड़ा और 4 ऊँचा, यानी 12, और column के 3 और, तो 15 गोले। पहला step, 1 गुणा 2 बराबर 2, और 1 और, तो 3 गोले। दूसरा step, 2 गुणा 3 बराबर 6, और 2 और, तो 8 गोले।

3:00चौथा step, 4 गुणा 5 बराबर 20, और 4 और, तो 24 गोले। तो ये तरीका कहता है, step गुणा step प्लस 1, और उसके बाद प्लस step। और चौथा तरीका, जो इन सब में सबसे साफ़ है। गोलों को थोड़ा खिसकाइए, तो वो एक ही rectangle बना लेते हैं, जिसमें कुछ भी नहीं बचता। उसकी चौड़ाई step जितनी है, और ऊँचाई step से 2 ज़्यादा। तीसरा step, 3 गुणा 5, यानी 15 गोले, और पहला step, 1 गुणा 3, यानी 3 गोले।

3:37दूसरा step, 2 गुणा 4, यानी 8, और चौथा step, 4 गुणा 6, यानी 24 गोले। तो ये तरीका कहता है, step को step प्लस 2 से गुणा कीजिए। एक तस्वीर, गिनने के 4 ईमानदार तरीके, और 4 expressions जो एक दूसरे से बिल्कुल अलग दिखते हैं। अब इन्हें एक साथ रखिए, और देखिए कि असल में आपके पास क्या है। पहला, step प्लस 1 का वर्ग, माइनस 1, और दूसरा, step का वर्ग प्लस step का दुगना।

4:12तीसरा, step गुणा step प्लस 1, फिर प्लस step, और चौथा, step प्लस 2 को step से गुणा। एक में bracket का वर्ग है, एक में कोई bracket ही नहीं, और एक में bracket के बाद कुछ जोड़ा गया है। तो ईमानदार सवाल ये है, और इसमें थोड़ा शक महसूस होना चाहिए। क्या ये एक ही नियम है जो 4 तरह से लिखा गया, या 4 अलग नियम जो अब तक बस मेल खा गए?

4:38तस्वीर ये नहीं बता सकती, तस्वीर बस ये दिखाती है कि आपने कैसे गिना, ये नहीं कि हर किसी की गिनती हमेशा मिलेगी। ये algebra का सवाल है, और इसका जवाब देने का एक ही तरीका है, सबको खोलिए। अब step को n कहिए, तो पहला expression बनता है n प्लस 1 का वर्ग, माइनस 1 वाला। अब n प्लस 1 का वर्ग खोलिए, तो 4 गुणनफल बनते हैं, n का वर्ग, n, फिर n, और आख़िर में 1 आता है।

5:10दोनों n मिलकर 2 n बनते हैं, और फिर 1 घटाने पर प्लस 1 और माइनस 1 कट जाते हैं, तो n का वर्ग प्लस 2 n बचता है। दूसरा तो पहले से ही इसी रूप में है, उसे कुछ भी नहीं करना पड़ता। तीसरा, n गुणा n प्लस 1 बराबर n का वर्ग प्लस n, और उसमें एक n और जोड़िए, तो n का वर्ग प्लस 2 n। चौथा, n गुणा n प्लस 2 एक ही कदम में n का वर्ग प्लस 2 n बन जाता है।

5:40रास्ते 4, मंज़िल एक, term दर term, ये कभी 4 नियम थे ही नहीं, ये एक नियम था, जिसे 4 तरह से गिना गया। और step 1 से 20 तक जाँचें, तो हर तरीका 20 में से 20 steps पर इसी रूप से मिलता है। अब वो बात जो असल में ज़रूरी है, और वो गोलों के बारे में नहीं है। सभी तरीके step 1 पर मिले, ज़ाहिर है, क्योंकि सब एक ही तस्वीर से पढ़े गए थे।

6:09जिस step से नकल की, उस पर मिल जाना किसी भी बात का सबूत नहीं है। देखिए मेल खाना कितना सस्ता है, पहले 2 steps से मेल खाने वाला सीधा नियम लीजिए, 5 n माइनस 2 वाला। ये नियम step 1 पर 3 देता है, जो सही है, और step 2 पर 8 देता है, ये भी सही है। पर step 3 पर ये 13 देता है, जबकि असली गिनती 15 है, यानी 2 कम, और वहीं से गड़बड़ शुरू होती है।

6:36एक और नियम लीजिए, n का वर्ग प्लस 3 n माइनस 1, ये step 1 पर 3 देता है, पर step 2 पर 9 देता है, 8 नहीं। और ऐसा नियम भी बनाया जा सकता है जो पहले 2 steps पर मिले, पर 20 में से सिर्फ़ उन्हीं 2 steps पर। तो पहले 2 steps का पूरा मेल भी कुछ साबित नहीं करता, फ़ैसला सिर्फ़ खोलकर होता है। मेल खाने की जाँच कितनी कमज़ोर है, ये गिनकर देखिए।

7:04यहाँ 9 उम्मीदवार expressions हैं, गिनती के 4 ईमानदार तरीके, और बाकी सिर्फ़ अंदाज़े। पहले step पर 9 में से 8 मेल खाते हैं, सिर्फ़ n का वर्ग प्लस n चूकता है, जो 3 की जगह 2 देता है। दूसरे step पर 9 में से 6 बचते हैं, n गुणा n गुणा n प्लस 2 वहाँ 10 देता है, और 3 n सिर्फ़ 6, जबकि चाहिए 8 गोले। तीसरे step पर 9 में से 4 बचते हैं, और यही 4 असल में एक ही रूप वाले हैं।

7:35हर नया step कुछ झूठों को पकड़ता है, पर कितने steps काफ़ी हैं, ये जाँच खुद कभी नहीं बता सकती। जो 4 बचे, वो क्यों बचे, ये सिर्फ़ खोलने से पता चला, term दर term। यही तो एक expression का असली काम है। अब step 10 पर, n का वर्ग 100 है, n का दुगना 20 है, और गिनती 120 है। बाकी तरीके भी यही देते हैं, 11 गुणा 11 बराबर 121, माइनस 1, यानी 120, और 10 को 12 से गुणा करें, तो भी 120 आता है।

8:10उसे तो धीरे धीरे बैठकर बनाया भी जा सकता था। पर step 15 पर, 225 प्लस 30, यानी 255 गोले होते हैं। और जाँच के लिए, 16 गुणा 16 बराबर 256, माइनस 1, फिर से 255, और 15 गुणा 17 करें तो भी 255 ही। इतना बड़ा चित्र तो कोई भी नहीं बनाने वाला। तस्वीर ने नियम ढूँढने में मदद की, और अब नियम वहाँ जाता है जहाँ कोई तस्वीर नहीं पहुँच सकती।

8:41यही तरीका क्षेत्रफल पर भी चलता है, और वहाँ इसे ध्यान से देखना चाहिए। एक वर्ग जिसकी भुजा a प्लस b है, उसमें 4 एक जैसे rectangles हैं, और बीच में एक खाली जगह। उस खाली जगह को नापने का एक तरीका, पूरे वर्ग में से 4 rectangles घटा दीजिए। दूसरा तरीका, वो खाली जगह खुद एक वर्ग है, जिसकी भुजा a माइनस b है। दोनों को खोलिए, तो दोनों a का वर्ग माइनस 2 a b प्लस b का वर्ग बनते हैं।

9:11संख्याओं में, a बराबर 5 और b बराबर 2 लीजिए, तो 7 गुणा 7, यानी 49, में से 4 गुणा 10, यानी 40 घटाइए, तो 9 बचता है, और 3 का वर्ग भी 9 ही है। एक rectangle घटाना भूल जाइए, तो 49 माइनस 30, यानी 19 आता है, जो गलत है। घटाना भी गिनने का एक तरीका है, कोई चालाकी नहीं। अब एक रंगा हुआ हिस्सा, और उसे नापने के 3 तरीके, जिनमें कुछ भी साझा नहीं।

9:42पहला तरीका, a भुजा वाला एक वर्ग लेता है, और उसमें से a गुणा b का एक rectangle घटाता है। दूसरा तरीका, पूरा बाहरी rectangle लेता है, a चौड़ा और a प्लस 2 b ऊँचा, और उसमें से 3 rectangles घटाता है। तीसरा तरीका कुछ नहीं घटाता, वो किनारे के 2 टुकड़े जोड़ता है, हर एक a माइनस b का आधा चौड़ा, और a ऊँचा। ये 3 expressions हैं, और कोई भी दूसरे जैसा नहीं दिखता।

10:11सबको खोलिए, तो हर एक a का वर्ग माइनस a b बनता है। अब a बराबर 8 और b बराबर 3 रखिए, तो पहला तरीका 64 माइनस 24, यानी 40 देता है। दूसरा, 8 गुणा 14 बराबर 112, उसमें से 3 गुणा 24, यानी 72 घटाइए, तो फिर से 40 बचता है। तीसरा, 5 बटा 2 गुणा 8 बराबर 20, और ऐसे 2 टुकड़े, तो 40, यानी 3 जवाब नहीं, एक ही जवाब।

10:44अब tiles का एक घेरा देखिए, पहले step में 8, दूसरे में 12, और तीसरे में 16 tiles हैं। एक तरीका, पूरा वर्ग लीजिए और बीच का छेद घटाइए, 9 माइनस 1, 16 माइनस 4, 25 माइनस 9, यही 8, 12 और 16 हैं। अब letters में, n प्लस 2 का वर्ग माइनस n का वर्ग, जो खोलने पर 4 n प्लस 4 बनता है। दूसरा तरीका, घेरे को 4 बराबर टुकड़ों में बाँटिए, हर टुकड़े में n प्लस 1 tiles।

11:18तो 4 गुणा 2, 4 गुणा 3, 4 गुणा 4, यानी 8, 12 और 16, और नियम फिर से 4 n प्लस 4 बनता है। दोनों तरीके 20 में से 20 steps पर मेल खाते हैं, और खोलने पर term दर term एक हैं। तो step 4 पर 20 tiles, और step 10 पर 144 माइनस 100, यानी 44, या 4 गुणा 11, वही 44 tiles। एक rectangle है, 9 चौड़ा और 6 ऊँचा, जिसके दाईं ओर और नीचे एक पट्टी है, और ऊपर बाएँ कोने में एक हिस्सा।

11:58पट्टी की चौड़ाई 7 बटा 2 है, दोनों तरफ़ एक जैसी। पूरा rectangle 9 गुणा 6, यानी 54 है। कोने वाला हिस्सा 9 माइनस 7 बटा 2, यानी 11 बटा 2 चौड़ा, और 6 माइनस 7 बटा 2, यानी 5 बटा 2 ऊँचा है। तो कोना 11 बटा 2 गुणा 5 बटा 2, यानी 55 बटा 4 है, और पट्टी 54 माइनस 55 बटा 4, यानी 161 बटा 4 बचती है।

12:27पट्टी को सीधे भी नापिए, दाईं पट्टी 7 बटा 2 गुणा 6, यानी 21, और नीचे वाली पट्टी 11 बटा 2 गुणा 7 बटा 2, यानी 77 बटा 4 बनती है। और 21 में 77 बटा 4 जोड़ें, तो फिर से 161 बटा 4 मिलता है। घटाकर नापिए या जोड़कर, letters में खोलेंगे तो दोनों एक ही रूप बनते हैं। एक और sequence लीजिए, जिसमें 5, फिर 11, फिर 19 वर्ग हैं।

12:58हर step एक rectangle है, step से 1 ज़्यादा चौड़ा और 2 ज़्यादा ऊँचा, जिसकी नीचे वाली पंक्ति से एक वर्ग गायब है। तो 2 गुणा 3 माइनस 1 बराबर 5, 3 गुणा 4 माइनस 1 बराबर 11, और 4 गुणा 5 माइनस 1 बराबर 19 है। तो step 10 पर 11 गुणा 12 बराबर 132, माइनस 1, यानी 131 वर्ग। दूसरा तरीका, n का वर्ग प्लस 3 n प्लस 1, और step 10 पर 100 प्लस 30 प्लस 1, फिर से 131 आता है।

13:37दोनों 20 में से 20 steps पर मेल खाते हैं, और खोलने पर एक ही रूप हैं। पर ये हमेशा मिलेंगे, ये इन 20 steps से नहीं, उस खोलने से पता चला। तो आपके लिए एक काम, कोई भी पैटर्न लीजिए और उसे गिनने का एक तरीका ढूँढिए। फिर जानबूझकर एक दूसरा तरीका ढूँढिए, जो पहले से बिल्कुल अलग हो। दोनों को खोलिए, और देखिए कि वो एक ही रूप पर पहुँचते हैं या नहीं।

14:04अगर नहीं पहुँचते, तो किसी एक गिनती में कहीं गलती है। दूसरा तरीका समय की बर्बादी नहीं, वही बताता है कि पहला ठीक था। तस्वीर नियम सुझाती है, steps उसे परखते हैं, पर फ़ैसला सिर्फ़ खोलकर होता है।