PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 6, We Distribute, Yet Things MultiplyPrepShorts

Chapter 6 · We Distribute, Yet Things Multiply

(a + b)² और (a − b)²: बीच वाला term आख़िर होता ही क्यों है

The special identities14 मिनट

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60 x 60 = 3600 और 5 x 5 = 25, फिर भी 65 x 65 = 4225 है, 3625 नहीं। जो 600 कम पड़ते हैं, वो 2 rectangles हैं, 60 x 5 के, और दोनों आपकी आँखों के सामने हैं।

मुख्य idea

किसी जोड़ का square करना उसके हिस्सों का square करना नहीं है, और इसकी वजह ऐसी चीज़ है जिस पर उँगली रखी जा सकती है: a + b पर बने square में दो छोटे squares और दो rectangles होते हैं, और वे दोनों rectangles सर्वांगसम (congruent) हैं। यही सर्वांगसमता दुगुने बीच वाले term की पूरी जड़ है — कोई नियम नहीं, बल्कि एक जैसे टुकड़ों की एक जोड़ी। फिर घटाव वाला रूप सीखने की कोई दूसरी चीज़ नहीं है। वह वही identity है, जिसमें दूसरे अक्षर की जगह उसका negative रख दिया गया है, और सिर्फ़ sign के नियम ही तय कर देते हैं कि बीच वाला term पलटता है जबकि आख़िरी term नहीं। chapter इसे दूसरे तरीक़े से भी बनाता है — बड़े square से शुरू करके और ज़रूरत से ज़्यादा हटाकर — और इसीलिए छोटा square plus के साथ वापस आता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो अंकों वाली किसी संख्या को एक round हिस्से और एक छोटे हिस्से में तोड़कर और चार areas जोड़कर उसका square निकालना
  • distributive property से (a + b)² को expand करना, और बीच वाले term का हिसाब दो सर्वांगसम rectangles के रूप में देना
  • Identity 1A बताना और उसे संख्याओं पर और expressions पर इस्तेमाल करना
  • a और b के signs के हिसाब से तय करना कि (a + b)² कब a² + b² से बड़ा होता है और कब नहीं
  • दी गई संख्या का ऐसा बँटवारा चुनना जिससे दोनों squares आसान हों, और दिखाना कि अलग-अलग बँटवारे एक ही कुल जोड़ देते हैं
  • (6x + 5)² जैसे दो-term वाले expression के square को distributivity से और identity से, दोनों तरह expand करना, और दोनों रास्तों की तुलना करना
  • किसी अंतर के square को ज्यामिति से बनाना: बड़े square से एक-दूसरे पर चढ़ी दो पट्टियाँ हटाकर और दो बार हटे कोने को वापस रखकर
  • Identity 1A में एक negative रखकर Identity 1B derive करना, और बताना कि सिर्फ़ बीच वाले term का sign क्यों बदलता है
  • दोनों identities को किसी round संख्या से ज़रा ऊपर या ज़रा नीचे वाली संख्याओं के squares पर लगाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
sidelengthsquare या rectangle की एक भुजा की लंबाई, जिसे chapter एक ही शब्द में लिखता हैभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.145)
areaकोई हिस्सा जितनी सतह घेरता हैक्षेत्रफलइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.145)
square of the sumदो संख्याओं को जोड़कर फिर square करने का नतीजायोग का वर्गइसी chapter में एक उपशीर्षक के हिस्से की तरह छपा (Part I, §6.2, p.145)
Identity 1Aजोड़ के square के विस्तार के लिए chapter का नामसर्वसमिका 1Aइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.145)
Identity 1Bअंतर के square के विस्तार के लिए chapter का नामसर्वसमिका 1Bइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.147)
like termsठीक उन्हीं अक्षरों से, उन्हीं powers तक बने termsसमान पदइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.141)
distributive propertyयह नियम कि किसी जोड़ का गुणा करना हर हिस्से का गुणा करके जोड़ने जैसा ही हैवितरण गुणधर्मइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.137)
exponent notationएक अक्षर के बार-बार गुणा को उसी अक्षर और ऊपर उठी हुई गिनती से लिखनाघातांक संकेतनइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.141)
middle termदोनों squares के बीच खड़ा दुगुना cross termमध्य पदइस पाठ का शब्द; chapter term को लिख तो देता है पर कभी उसे नाम नहीं देता
overcorrectionकिसी area को दो बार हटाना और एक प्रति वापस जोड़नाअति-घटावइस पाठ का शब्द, उस क़दम के लिए जिसे chapter एक सवाल की तरह सामने रखता है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "जोड़ का square, squares का जोड़ होता है।" school algebra की सबसे टिकाऊ ग़लती, और chapter की figure इसकी दवा है: दोनों rectangles बने हुए हैं, रंगे हुए हैं, नाम लिखे हुए हैं, और साफ़ है कि वे शून्य नहीं हैं। इसे संख्याओं में भी करके देखो — 60 का square जमा 5 का square, 65 का square नहीं है, और कमी ठीक-ठीक दोनों 300s की है।
  • "बीच वाला term ab है।" वह ab की दो प्रतियाँ है, क्योंकि rectangles दो हैं और वे सर्वांगसम हैं। किसी student से दोनों पर उँगली रखवाओ।
  • "अंतर का square a² − b² है।" यहाँ दो अलग ग़लतियाँ रहती हैं: छूटा हुआ बीच वाला term, और यह मान्यता कि आख़िरी term negative होना चाहिए। किसी negative का square positive होता है, इसीलिए सिर्फ़ cross term पलटता है। इस chapter का अगला topic वह जगह है जहाँ a² − b² सचमुच आता है, और दोनों को आपस में उलझा देना ही इन्हें इस क्रम में पढ़ाने की वजह है।
  • "जोड़ का square हमेशा squares के जोड़ से बड़ा होता है।" तब नहीं जब दोनों संख्याओं के signs उलटे हों, और तब भी नहीं जब उनमें से कोई zero हो। chapter इसे ठीक इसी वजह से Math Talk सवाल की तरह पूछता है।
  • "square करने से पहले संख्या तोड़ने का एक सही तरीक़ा है।" 65 को 60 और 5 पर, 30 और 35 पर, या 52 और 13 पर काटा जा सकता है। कुल जोड़ तय है; सिर्फ़ मुश्किल बदलती है। chapter तीनों देता है।
  • "दोनों identities याद रखनी पड़ती हैं।" 1B, 1A ही है जिसमें दूसरे अक्षर को negative कर दिया गया है, और chapter यह substitution साफ़-साफ़ दिखाता है। एक identity और sign के नियम काफ़ी हैं — और owl box कहता है कि अगर तुम expand कर सकते हो तो वह भी ज़रूरी नहीं।
  • "6x का square 6x² है।" छपा हुआ हल इसे एक दिखाई देने वाले step में 36x² तक ले जाता है। इसे छोड़ो मत।
  • "55 वाले square का तर्क ग़लत है, क्योंकि वह कोने को दो बार हटाता है।" वह सचमुच उसे दो बार हटाता है, और यही दिलचस्प हिस्सा है। chapter दो बार हटने को एक समस्या की तरह सामने रखता है और फिर उसे ठीक करता है, जो किसी साफ़-सुथरी derivation से बेहतर सबक़ है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 6.4 Q2, Figure it Out · 6.4 Q5

पूरा transcript2,014 शब्द

शुरुआत 2 आसान गुणों से, 60 गुणा 60 बराबर 3600 होता है, और 5 गुणा 5 बराबर 25 होता है। ये दोनों वर्ग आसान हैं, इन्हें निकालने में कोई मेहनत नहीं लगती। तो सवाल ये है, क्या इन 2 आसान वर्गों से 65 का वर्ग मिल सकता है? सबसे पहला ख़याल आता है कि इन्हें जोड़ दें, तो 3600 और 25 मिलकर 3625 बनते हैं। पर 65 गुणा 65 असल में 4225 है।

यानी जवाब ना है, और कमी पूरी 600 है। ये वीडियो इसी कमी के बारे में है, कि वो 600 कहाँ गए, और वो जगह आप उँगली रखकर दिखा सकते हैं। एक वर्ग बनाइए, जिसकी हर भुजा 65 इकाई लंबी है। ऊपर वाली भुजा को 60 पर काटिए, और बाईं भुजा को भी 60 पर। इन 2 कटों से वर्ग 4 हिस्सों में बँट जाता है, और इनमें से कोई भी हिस्सा फ़ालतू नहीं।

हर हिस्से का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई गुणा उसकी ऊँचाई है। सबसे बड़ा हिस्सा 60 गुणा 60 है, तो उसका क्षेत्रफल 3600 है। सबसे छोटा हिस्सा 5 गुणा 5 है, तो उसका क्षेत्रफल 25 है। और बाकी 2 हिस्से, दोनों 60 गुणा 5 के rectangle हैं, और हर एक का क्षेत्रफल 300 है। अब सब जोड़िए, 3600, फिर 300, फिर 300, और फिर 25, तो कुल 4225 बनता है। हिस्सों के वर्ग लेकर रुक जाने से 4 में से 2 टुकड़े मिले, और बाकी 2 छूट गए।

अब यही 2 कट letters के साथ कीजिए। एक वर्ग लीजिए जिसकी हर भुजा a प्लस b है, और उसे एक बार आड़ा और एक बार खड़ा काटिए। ऊपर बाईं ओर a गुणा a का वर्ग है, और नीचे दाईं ओर b गुणा b का। ऊपर दाईं ओर का टुकड़ा b चौड़ा और a ऊँचा है। नीचे बाईं ओर का टुकड़ा a चौड़ा और b ऊँचा है। जगहें अलग हैं, पर दोनों उन्हीं 2 लंबाइयों से बने हैं, तो ये एक ही rectangle है, बस घुमाया हुआ।

और इस आकृति में सिर्फ़ यही एक जोड़ी है जो आपस में मेल खाती है। अब सबके क्षेत्रफल जोड़िए, a का वर्ग, फिर a b, फिर एक और a b, और फिर b का वर्ग। इनमें से 2 टुकड़े बिल्कुल एक जैसे हैं, तो मिलकर 2 a b बनते हैं। तो a प्लस b का वर्ग, बराबर a का वर्ग, प्लस 2 a b, प्लस b का वर्ग। बीच वाले term का 2 किसी का बनाया हुआ नियम नहीं, ये टुकड़ों की गिनती है।

यहाँ rectangle 2 हैं, क्योंकि a को b के साथ रखने के 2 तरीके हैं, और दोनों वर्ग के अंदर हैं। अक्सर ये भी सुनने को मिलता है कि a प्लस b का वर्ग, a का वर्ग प्लस b का वर्ग होता है। वो दोनों rectangle छोड़ देता है, और कोई भी एक टुकड़ा हटाने पर बराबरी टूटती है, 4 में से 4 बार। अगर आकृति असली rectangle हो, चौड़ाई a प्लस b और ऊँचाई a प्लस u, तो कोई जोड़ी मेल नहीं खाती, और 4 के 4 terms बचते हैं।

दुगना होना वर्ग की ही ख़ासियत है। तो जोड़ का वर्ग, वर्गों का जोड़ है, और उसके ऊपर बीच वाला term। क्या जोड़ का वर्ग हमेशा बड़ा होता है? सब कुछ बीच वाले term पर टिका है, और उसका चिह्न वही है जो a गुणा b का है। पहले 3 और 4 लीजिए, जोड़ का वर्ग 49 है और वर्गों का जोड़ 25, तो जोड़ का वर्ग बड़ा है। अब 3 और माइनस 4 लीजिए, जोड़ का वर्ग बस 1 है, जबकि वर्गों का जोड़ फिर भी 25 है।

और 0 और 4 पर दोनों बराबर हैं, दोनों तरफ़ 16 आता है। माइनस 6 से 6 तक की सारी 169 जोड़ियों में, 72 में जोड़ का वर्ग बड़ा है, 72 में छोटा, और 25 में दोनों बराबर। तो जवाब हमेशा नहीं है, और फ़ैसला a गुणा b का चिह्न करता है। बड़ा तब, जब दोनों का चिह्न एक हो, छोटा तब, जब चिह्न अलग हों, और बराबर तब, जब कोई एक 0 हो।

वैसे 60 और 5 पर ही काटने की कोई मजबूरी नहीं है। इस बार 65 को 30 और 35 में काटिए। तब टुकड़े 900, 1050, फिर 1050, और 1225 हैं, और कुल फिर से 4225 आता है। अब 52 और 13 पर काटिए। टुकड़े 2704, 676, फिर 676 और 169 हैं, और कुल वही 4225 आता है। असल में 65 को 2 पूरे हिस्सों में काटने के सारे 66 तरीके यही जवाब देते हैं, 66 में से 66 बार।

चाहें तो 3 हिस्सों में भी काटिए, 30, 30 और 5, तब 9 टुकड़े बनते हैं, और कुल फिर भी 4225 रहता है। कुल कभी नहीं बदलता, बदलती है बस टुकड़ों की आसानी, और वो चुनाव आपका है। अब किसी ऐसी चीज़ का वर्ग लीजिए जिसमें letter हो, जैसे 6x प्लस 5 का वर्ग। लंबा रास्ता वही 4 गुणनफल हैं, पहले की तरह। पहला गुणनफल, 6x गुणा 6x, बराबर 36 x का वर्ग है।

कई लोग यहाँ 6 x का वर्ग लिख देते हैं, पर वर्ग x के साथ 6 का भी होता है, और 6 गुणा 6 बराबर 36 है। फिर 6x गुणा 5 के 2 गुणनफल, 30x और 30x, मिलकर 60x। और आख़िर में 5 गुणा 5, यानी 25 आता है। छोटा रास्ता सीधे कहता है, पहले का वर्ग, फिर दोनों के गुणनफल का दुगना, फिर दूसरे का वर्ग। जवाब 36 x का वर्ग, प्लस 60x, प्लस 25, वही 3 terms, बस जल्दी।

जाँच के लिए x बराबर 1 रखिए, तो 11 गुणा 11 बराबर 121 है, और 36 प्लस 60 प्लस 25 का जोड़ भी 121 है। अब 3j प्लस 2k का वर्ग, दोनों रास्तों से। लंबे रास्ते में 4 गुणनफल हैं, 9 j का वर्ग, 6jk, फिर 6jk, और 4 k का वर्ग। बीच वाले 2 गुणनफल मिलकर एक term बनाते हैं, 12 j k। छोटे रास्ते में 3j का वर्ग 9 j का वर्ग है, दोनों के गुणनफल का दुगना 12 j k, और 2k का वर्ग 4 k का वर्ग।

जाँच के लिए j और k दोनों 1 रखिए, तो 5 का वर्ग 25 है, और 9 प्लस 12 प्लस 4 का जोड़ भी 25 है। इसी तरह m प्लस 3 का वर्ग, m का वर्ग, प्लस 6m, प्लस 9 है। और अगर identity याद न आए, तो लंबा रास्ता फिर भी वहीं पहुँचता है, ये shortcut है, कोई दरवाज़ा नहीं। अब उलटी दिशा में चलिए, और बड़े वर्ग के अंदर छोटा वर्ग बनाइए।

यहाँ 60 भुजा वाला वर्ग है, और उसके ऊपर बाएँ कोने में 55 भुजा वाला वर्ग। बड़े वर्ग का क्षेत्रफल 3600 है, और हमें 55 का वर्ग चाहिए। बाहर जो बचता है, वो 2 पट्टियाँ हैं, हर एक 5 चौड़ी। दाईं ओर वाली पट्टी हटाइए, 3600 में से 300 गए, तो 3300 बचे। नीचे वाली पट्टी हटाइए, फिर 300 गए, तो 3000 बचे। पर 55 गुणा 55 असल में 3025 होता है।

दोनों पट्टियाँ ईमानदारी से हटाईं, फिर भी जवाब 25 कम है। तो वो 25 कहाँ गया? देखिए, दोनों पट्टियाँ जहाँ एक दूसरे को काटती हैं, वहाँ 5 गुणा 5 का एक छोटा कोना है। वो कोना दोनों पट्टियों में है, तो वो पहली पट्टी के साथ भी गया, और दूसरी के साथ भी। वो 2 बार हटा, जबकि वहाँ वो बस 1 बार था। उसकी एक प्रति वापस रखिए, तो 3025 बनता है, यानी 55 का वर्ग।

अगर 2 प्रतियाँ रखें तो 3050 बनता है, और एक भी न रखें तो 3000, दोनों ग़लत। ठीक एक, क्योंकि वो ठीक एक बार ज़्यादा हटा। यही बात letters में ऐसे है, a का वर्ग, माइनस a b, माइनस a b, प्लस b का वर्ग। तो a माइनस b का वर्ग, बराबर a का वर्ग, माइनस 2 a b, प्लस b का वर्ग। अब देखिए कौन सा चिह्न बदला और कौन सा नहीं।

जोड़ वाली identity लीजिए, और जहाँ b था वहाँ माइनस b रखिए। बीच वाले term में b एक बार है, तो उसका चिह्न पलटता है। आख़िरी term में b 2 बार है, और negative गुणा negative, positive होता है, तो वो नहीं पलटता। जाँच के लिए 60 और माइनस 5 लीजिए, पहले 3600, फिर 2 गुणा 60 गुणा माइनस 5 यानी माइनस 600, फिर 25, और कुल 3025 बनता है।

एक identity और चिह्नों के नियम, दोनों हालात संभाल लेते हैं, अलग से कुछ याद करने की ज़रूरत नहीं। इसी से ये भी पता चलता है कि a माइनस b का वर्ग, a का वर्ग माइनस b का वर्ग क्यों नहीं है। मसलन 60 और 5 पर वो 3575 देता है, यानी 550 ज़्यादा, और 169 में से सिर्फ़ 25 जोड़ियों पर सही बैठता है, जहाँ b बराबर 0 हो या a बराबर b।

अब letters में, b माइनस 6 का वर्ग, b का वर्ग, माइनस 12b, प्लस 36 है। यहाँ 36 के आगे प्लस है, क्योंकि माइनस 6 गुणा माइनस 6 positive है। माइनस 2a प्लस 3 का वर्ग, 4 a का वर्ग, माइनस 12a, प्लस 9 है। यानी अंतर के वर्ग में भी आख़िरी term प्लस के साथ आता है। यहाँ माइनस पहले term पर है, फिर भी पलटता बस बीच वाला term है।

बीच वाला term दोनों हिस्सों के गुणनफल का दुगना है, तो उसका चिह्न उन्हीं दोनों के चिह्नों से तय होता है। अब इसे काम में लाइए, और सोचने का काम काटने की जगह को करने दीजिए। पहले 104 को 100 प्लस 4 लीजिए, तो 10000, प्लस 800, प्लस 16, यानी 10816 बनता है। अब 37 को 40 माइनस 3 लीजिए, तो 1600, माइनस 240, प्लस 9, यानी 1369 बनता है।

फिर 99 को 100 माइनस 1 लीजिए, तो 10000, माइनस 200, प्लस 1, यानी 9801 बनता है। और 58 को 60 माइनस 2 लीजिए, तो 3600, माइनस 240, प्लस 4, यानी 3364 बनता है। हर बार गोल हिस्सा ऐसा चुना गया, जिसका वर्ग तुरंत पता हो। इनमें कोई नया तरीका नहीं, हर बार वही 4 टुकड़े हैं। अब 46 को 40 प्लस 6 मानिए, तो 1600, प्लस 480, प्लस 36, यानी 2116 बनता है।

या उसे 50 माइनस 4 मानिए, तो 2500, माइनस 400, प्लस 16, और फिर से 2116 बनता है। इसी तरह 91 को 90 प्लस 1 मानें, तो 8100, प्लस 180, प्लस 1, यानी 8281 बनता है। और उसे 100 माइनस 9 मानें, तो 10000, माइनस 1800, प्लस 81, और वही 8281 बनता है। हुनर बस इतना है कि ऐसी जगह काटें, जहाँ दोनों वर्ग पहले से पता हों। अब एक वाक्य को expression में बदलिए, किसी वर्ग संख्या से 2 ज़्यादा।

बहुत लोग s प्लस 2 का वर्ग लिख देते हैं, पर वो पहले 2 जोड़ता है और बाद में वर्ग करता है। मसलन s बराबर 3 पर, s प्लस 2 का वर्ग 25 है, और 25 में से 2 घटाएँ तो 23 बचता है, जो किसी संख्या का वर्ग नहीं। खोलकर देखिए, ये s का वर्ग, प्लस 4s, प्लस 4 है, यानी s के वर्ग से 2 ज़्यादा नहीं। माइनस 8 से 8 तक के 17 मानों में ये एक बार भी काम नहीं करता, जबकि s का वर्ग प्लस 2, 17 में से 17 बार करता है।

उसी s बराबर 3 पर वो 11 है, यानी 9 से ठीक 2 ज़्यादा। यहाँ board पर 6 उम्मीदवार हैं, उनमें से 1 हमेशा सही है, 2 कभी कभी, और 3 कभी नहीं। आख़िर में एक बात, जो सिर्फ़ हिसाब के बारे में नहीं है। हर सम संख्या 2k है, उसका वर्ग 4 k का वर्ग है, तो हर सम वर्ग 4 का गुणज है। हर विषम संख्या 2k प्लस 1 है, उसका वर्ग 4 k का वर्ग, प्लस 4k, प्लस 1 है।

यानी 4, गुणा k, गुणा k प्लस 1, और फिर 1 और। अब k और k प्लस 1 में से एक हमेशा सम होता है, तो वो 4 असल में 8 बन जाता है। जैसे 7 का वर्ग 49 है, जो 8 गुणा 6 से ठीक 1 ज़्यादा है। तो हर विषम वर्ग 8 के किसी गुणज से ठीक 1 ज़्यादा है, पर 16 के नहीं, क्योंकि 3 का वर्ग 9 है।

तो 2 आसान वर्गों से तीसरा वर्ग नहीं बनता, कमी 2 rectangles की होती है, और वो दोनों आप देख सकते हैं। अगली बार किसी जोड़ का वर्ग दिखे, तो दोनों rectangles ढूँढिए, बीच वाला दुगना term अपने आप आ जाएगा।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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