PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 6, We Distribute, Yet Things MultiplyPrepShorts

Chapter 6 · We Distribute, Yet Things Multiply

किसी जोड़ और उससे मेल खाते अंतर का product a² − b² क्यों है, और उससे निकलने वाले patterns

The special identities17 मिनट

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98 x 102 निकालने के लिए लंबा गुणा नहीं चाहिए: दोनों 100 से 2 दूर हैं, तो जवाब 10000 − 4 = 9996 है। ये उस identity से आता है जिसमें a + b गुणा a − b के 4 गुणनफल में से 2 आपस में कट जाते हैं।

मुख्य idea

किसी जोड़ गुणा उससे मेल खाते अंतर में भी, brackets की किसी भी दूसरी जोड़ी की तरह, चार products होते हैं, पर उनमें से दो एक ही rectangle हैं — एक बार जोड़ा हुआ और एक बार हटाया हुआ — इसलिए वे एक-दूसरे को मिटा देते हैं और सिर्फ़ दो squares बचते हैं। इसीलिए जवाब छोटा है, और area वाली तस्वीर बिना algebra के यही बात कहती है: किसी square से एक पट्टी काटो और उसे खिसका दो, तो square एक rectangle बन जाता है। असली फ़ायदा यह है कि identity उलटी दिशा में भी चलती है। a² − b² को एक product की तरह पढ़ने से एक मुश्किल square दो आसान गुणाओं में बदल जाता है, और दो संख्यात्मक patterns — जो page पर संयोग जैसे दिखते हैं — प्रमेय बन जाते हैं, और यह बदलाव विस्तार करता है, उदाहरणों की सूची नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • squares के दुगुने किए गए जोड़ों में एक संख्यात्मक pattern देखना, और हर नतीजे में छिपी दो संख्याएँ पहचानना
  • Identities 1A और 1B को जोड़कर सिद्ध करना कि दो squares के जोड़ का दुगुना, जोड़ के square जमा अंतर के square के बराबर है
  • संख्यात्मक उदाहरणों की सूची को एक अनुमान (conjecture) की तरह पढ़ना, उस अनुमान को अक्षरों में लिखना, और expand करके उसे परखना
  • (a + b)(a − b) को expand करना और समझाना कि कौन-से दो terms कटते हैं और क्यों
  • किसी square से एक पट्टी काटकर और उसे खिसकाकर, उसी identity के लिए area वाला तर्क देना
  • किसी round संख्या के दोनों ओर पड़ी दो संख्याओं का product निकालने के लिए Identity 1C को सीधी दिशा में इस्तेमाल करना
  • Sridharacharya के identity को नए ढंग से लिखने वाले रूप से, दो आसान संख्याओं का गुणा करके किसी संख्या का square निकालना
  • ऐसा खिसकाव चुनना जिससे दोनों factors में से एक round हो जाए
  • तय करना कि दोनों patterns इस पर निर्भर हैं या नहीं कि संख्याएँ गिनती की संख्याएँ हों, और इस फ़ैसले को सही ठहराना
  • नतीजे निकालना: लगातार तीन संख्याओं में बीच वाली का square बनाम उसके पड़ोसियों का product, और दी गई संख्या को दो squares के अंतर की तरह लिखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Identity 1Cइस बात के लिए chapter का नाम कि जोड़ गुणा उससे मेल खाता अंतर squares का अंतर देता हैसर्वसमिका 1Cइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.148)
identityदो expressions की ऐसी बराबरी जो हर substitution पर सही रहती हैसर्वसमिकाइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.139)
like termsठीक उन्हीं अक्षरों से, उन्हीं powers तक बने termsसमान पदइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.141)
natural numberगिनती के लिए इस्तेमाल होने वाली, एक से शुरू होने वाली संख्याओं में से एकप्राकृत संख्याइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.148)
counting numberउसी चीज़ के लिए chapter का दूसरा शब्दगणन संख्याइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.149)
difference of two squaresएक square में से दूसरा square घटानादो वर्गों का अंतरइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.149)
distributive propertyयह नियम कि किसी जोड़ का गुणा करना हर हिस्से का गुणा करके जोड़ने जैसा ही हैवितरण गुणधर्मइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.137)
sidelengthsquare या rectangle की एक भुजा की लंबाई, जिसे chapter एक ही शब्द में लिखता हैभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part I, §6.2, p.145)
cross termहर bracket के एक-एक term से बने दो products में से एकतिर्यक पदइस पाठ का शब्द; chapter दोनों products लिखता है और उन्हें सिर्फ़ terms कहता है
straddling pairचुनी हुई बीच वाली संख्या के दोनों ओर बराबर दूरी पर पड़ी दो संख्याएँमध्यबिंदु के दोनों ओर की जोड़ीइस पाठ का शब्द; chapter ऐसी जोड़ियाँ देता है पर इस बनावट को कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "a² − b² बराबर (a − b)² है।" chapter की सबसे आम उलझन, और इसी वजह से पिछला topic पहले आता है। एक दो अलग brackets का product है, दूसरा एक square. 5 और 3 रखो, तो 16 बनाम 4 मिलता है।
  • "जोड़ गुणा अंतर में चार terms होने चाहिए।" इकट्ठा करने से पहले चार होते ही हैं। उनमें से दो एक ही rectangle हैं — एक बार जोड़ा गया और वही rectangle एक बार हटाया गया। उन्हें कटते हुए दिखाओ, बस कह मत दो कि वे कटते हैं।
  • "चार उदाहरण सबूत बन जाते हैं।" Pattern 2 चार ऐसी lines की तरह छपा है जो सब सही बैठती हैं, और chapter का ठीक अगला क़दम यह पूछना है कि क्या वह सच्ची identity है — क्योंकि चार lines यह नहीं बता सकतीं। इस section का यह विचार सबसे ज़्यादा दूसरी जगहों पर काम आता है।
  • "(a − b)² और (b − a)² अलग हैं।" square करने से sign मिट जाता है, इसलिए कोई बड़ा नहीं है। students आकार वाले सवाल की उम्मीद करते हैं, और जवाब यह है कि सवाल ही घुल जाता है। Part I p.149 no. 1 इसी पर बना है।
  • "45 गुणा 55 को पूरा गुणा करना ही पड़ेगा।" दोनों 50 से पाँच दूर हैं। हुनर बीच वाली संख्या पहचानना है, identity याद रखना नहीं।
  • "43 गुणा 45 जोड़-और-अंतर वाली जोड़ी नहीं है।" है, 44 के आसपास — और 98 और 102 के उलट, page पर कुछ भी तुम्हें यह नहीं बताता।
  • "patterns पूरी संख्याओं के बारे में तथ्य हैं।" सबूत algebra है और कभी नहीं कहता कि अक्षर किस तरह की संख्याएँ हैं, और Part I p.149 no. 4 student से ठीक यही बात देखने को कहता है।
  • "Sridharacharya के तरीक़े को एक का खिसकाव चाहिए।" खिसकाव ऐसा चुनो कि एक factor किसी round संख्या पर आ जाए — chapter का अपना दूसरा उदाहरण 3 का खिसकाव लेता है, ताकि 200 तक पहुँचे।
  • "कोई टुकड़ा काटकर खिसकाने से area बदल सकता है।" नहीं बदल सकता, और यह बात ज़ोर से कहना एक वाक्य के लायक़ है: area वाला तर्क और algebra एक ही तथ्य के दो बयान हैं, दो ऐसे तथ्य नहीं जो संयोग से मेल खा जाते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 6.2 Q1, Figure it Out · 6.2 Q2, Figure it Out · 6.2 Q3, Figure it Out · 6.2 Q4, Figure it Out · 6.4 Q1, Figure it Out · 6.4 Q7, Figure it Out · 6.4 Q9

पूरा transcript2,496 शब्द

शुरुआत एक छोटे से खेल से, 2 और 1 लीजिए, दोनों के वर्ग जोड़िए, तो 4 और 1 मिलकर 5 बनते हैं। इसे दुगना कीजिए, तो 10 मिलता है, और 10 खुद 3 के वर्ग और 1 के वर्ग का जोड़ है। अब 3 और 1 लीजिए, वर्गों का जोड़ 10 है, दुगना 20 है, और 20 बराबर 4 का वर्ग प्लस 2 का वर्ग है। फिर 6 और 5 लीजिए, वर्गों का जोड़ 61 है, दुगना 122 है, और 122 बराबर 11 का वर्ग प्लस 1 का वर्ग है।

और 5 और 3 से वर्गों का जोड़ 34 है, दुगना 68 है, यानी 8 का वर्ग प्लस 2 का वर्ग। ये 4 पंक्तियाँ हैं, और हर पंक्ति ठीक बैठती है। यानी वर्गों के जोड़ को दुगना करने पर फिर से 2 वर्गों का जोड़ मिलता है, पर ये नई संख्याएँ आती कहाँ से हैं? जो जोड़ी अंदर गई, उसे बाहर आई जोड़ी के बगल में रखिए। पहली पंक्ति में 2 और 1 अंदर गए, और 3 और 1 बाहर आए।

देखिए, 3 बराबर 2 प्लस 1 है, और 1 बराबर 2 माइनस 1 है। दूसरी पंक्ति में 3 और 1 अंदर गए, और 4 और 2 बाहर आए, जो 3 प्लस 1 और 3 माइनस 1 ही हैं। बाकी पंक्तियों में 6 और 5 से 11 और 1 मिलते हैं, और 5 और 3 से 8 और 2 मिलते हैं। हर बार नई संख्याएँ जोड़ी का जोड़ और जोड़ी का अंतर हैं।

एक नई जोड़ी लीजिए, 7 और 4, इनके वर्ग 49 और 16 हैं, और इनके जोड़ का दुगना 130 है। अंदाज़ा कहता है कि जवाब 11 का वर्ग प्लस 3 का वर्ग होगा, यानी 121 प्लस 9, और सचमुच 130 बनता है। पर ये अब भी एक अंदाज़ा ही है, इतनी पंक्तियाँ भी ये नहीं बता सकतीं कि ये हमेशा सच है। ये फ़ैसला अब letters में होगा। अंदाज़ा ये है, a के वर्ग और b के वर्ग के जोड़ का दुगना, बराबर a प्लस b का वर्ग, प्लस a माइनस b का वर्ग।

ये दोनों वर्ग हमें पहले से पता हैं, a प्लस b का वर्ग है a का वर्ग, प्लस 2 a b, प्लस b का वर्ग। और a माइनस b का वर्ग है a का वर्ग, माइनस 2 a b, प्लस b का वर्ग। इन्हें एक के नीचे एक रखकर जोड़िए, तो a का वर्ग 2 बार आता है, और b का वर्ग भी 2 बार। और बीच में प्लस 2 a b और माइनस 2 a b, जो मिलकर बिल्कुल शून्य हो जाते हैं।

खुले रूप में 8 गुणनफल बनते हैं, और उनमें से सिर्फ़ a b वाले आपस में कटते हैं। जो बचता है, वो ठीक वर्गों के जोड़ का दुगना है, तो ये पैटर्न कोई इत्तफ़ाक नहीं, ये उन्हीं 2 identities का जोड़ है। और 0 से 12 तक की सारी 169 जोड़ियों पर जाँचें, तो ये 169 में से 169 पर ठीक बैठता है। अब एक दूसरा पैटर्न, और इस बार हर पंक्ति एक अंतर से शुरू होती है।

पहली पंक्ति में 9 गुणा 9 में से 1 गुणा 1 घटाइए, तो 81 माइनस 1, यानी 80 बचता है, और 80 बराबर 10 गुणा 8 है। दूसरी पंक्ति में 8 गुणा 8 में से 6 गुणा 6, यानी 64 माइनस 36, बराबर 28, और 28 बराबर 14 गुणा 2 है। तीसरी पंक्ति में 49 माइनस 4 बराबर 45 है, जो 9 गुणा 5 है। चौथी पंक्ति में 100 माइनस 16 बराबर 84 है, जो 14 गुणा 6 है।

हर बार गुणा होने वाली 2 संख्याएँ जोड़ी का जोड़ और जोड़ी का अंतर हैं, वही 2 संख्याएँ जो पहले पैटर्न में थीं। एक नई पंक्ति देखिए, 12 गुणा 12 में से 5 गुणा 5, यानी 144 माइनस 25, बराबर 119, और 119 बराबर 17 गुणा 7 है। फिर भी, पंक्तियाँ गिनने से सबूत नहीं बनता, चाहे वो कितनी भी हों। तो इसे खोलिए, a प्लस b, गुणा a माइनस b।

किन्हीं भी 2 brackets की तरह, जिनमें 2 terms हों, यहाँ भी 4 गुणनफल बनते हैं, 2 नहीं। पहले, a गुणा a है a का वर्ग, और a गुणा माइनस b है माइनस a b। फिर b गुणा a है प्लस a b, और b गुणा माइनस b है माइनस b का वर्ग। अब बीच वाले 2 पर ध्यान दीजिए, माइनस a b और प्लस a b। ये एक ही rectangle है, एक बार घटाया गया और एक बार जोड़ा गया, तो दोनों कट जाते हैं, और सिर्फ़ 2 वर्ग बचते हैं।

इन 4 में से कोई भी एक गुणनफल छोड़ दीजिए, तो बराबरी टूट जाती है, और ऐसा 4 में से 4 बार होता है। तो जवाब छोटा है, पर इसलिए नहीं कि 2 terms गायब हो गए, बल्कि इसलिए कि 2 terms आपस में कट गए, और वो कटना आप देख सकते हैं। यहाँ एक आम गलती छिपी है, a का वर्ग माइनस b का वर्ग को a माइनस b का वर्ग समझ लेना।

मान लीजिए a बराबर 5 और b बराबर 3 है। वर्गों का अंतर 25 माइनस 9, यानी 16 है। पर अंतर का वर्ग, यानी 5 माइनस 3 का वर्ग, 2 गुणा 2 है, जो सिर्फ़ 4 बनता है। एक गुणनफल है 2 अलग brackets का, और दूसरा एक ही bracket का वर्ग है। अगर 0 से 12 तक की सारी 169 जोड़ियाँ जाँचें, तो दोनों सिर्फ़ 25 जोड़ियों पर बराबर निकलते हैं।

ये 25 वो जोड़ियाँ हैं जहाँ b शून्य है, या a और b बराबर हैं। दोनों का फ़र्क खोलें, तो b के वर्ग का दुगना, माइनस 2 a b निकलता है, जो आम तौर पर शून्य नहीं होता। यही बात बिना algebra के भी दिखती है। एक वर्ग लीजिए जिसकी भुजा a है, और उसके एक कोने से b भुजा वाला वर्ग काट दीजिए। जो बचता है वो L जैसा आकार है, और उसका क्षेत्रफल a का वर्ग माइनस b का वर्ग है।

इस आकार को 2 टुकड़ों में काटिए, ऊपर एक पट्टी जो a चौड़ी और a माइनस b ऊँची है। और छेद के बगल में एक पट्टी, जो a माइनस b चौड़ी और b ऊँची है। अब इस छोटी पट्टी को घुमाइए, और बड़ी पट्टी के सिरे पर खड़ा कर दीजिए। दोनों टुकड़े मिलकर एक rectangle बनाते हैं, जो a प्लस b चौड़ा और a माइनस b ऊँचा है। न कुछ जोड़ा गया, न कुछ फेंका गया, तो क्षेत्रफल वही है, और a प्लस b गुणा a माइनस b बराबर a का वर्ग माइनस b का वर्ग।

संख्याओं में देखिए, 7 भुजा वाले वर्ग से 3 भुजा वाला वर्ग हटाइए, तो 49 माइनस 9, यानी 40 बचता है। ऊपर की पट्टी 7 गुणा 4, यानी 28 है, बगल की पट्टी 4 गुणा 3, यानी 12 है, और 28 प्लस 12 बराबर 40 होता है। और नया rectangle 10 चौड़ा और 4 ऊँचा है, उसका क्षेत्रफल भी 40 ही है। जिन जोड़ियों में b, a से बड़ा नहीं है, ऐसी 91 जोड़ियों में से 91 पर टुकड़ों का जोड़ वर्गों के अंतर के बराबर निकलता है।

तस्वीर और algebra एक ही बात के 2 बयान हैं, 2 अलग बातें नहीं जो इत्तफ़ाक से मिल गईं। अब इसे काम में लेते हैं, 98 गुणा 102 निकालना है। दोनों 100 से ठीक 2 दूर हैं, एक नीचे और एक ऊपर। तो गुणनफल है 100 का वर्ग माइनस 2 का वर्ग, यानी 10000 माइनस 4, बराबर 9996, और कोई लंबा गुणा नहीं करना पड़ा। अब 45 गुणा 55 देखिए, दोनों 50 से 5 दूर हैं।

तो 50 का वर्ग माइनस 5 का वर्ग, यानी 2500 माइनस 25, बराबर 2475 होता है। पहली नज़र में 43 गुणा 45 कुछ ख़ास नहीं लगता, जब तक ये न दिखे कि दोनों 44 से 1 दूर हैं। तो 44 का वर्ग, यानी 1936, माइनस 1, बराबर 1935 होता है। और 397 गुणा 403 के बीच में 400 है, तो जवाब 160000 माइनस 9, यानी 159991 है। असली हुनर identity याद रखना नहीं, बीच वाली संख्या पहचानना है।

अब identity को उल्टी दिशा में चलाते हैं। हम जानते हैं कि a का वर्ग माइनस b का वर्ग बराबर a प्लस b गुणा a माइनस b है, अब b का वर्ग दूसरी तरफ़ ले जाइए। तो a का वर्ग बराबर a प्लस b गुणा a माइनस b, प्लस b का वर्ग। इसे वर्ग निकालने का नुस्खा मानिए, संख्या को कुछ ऊपर खिसकाइए और उतना ही नीचे, दोनों को गुणा कीजिए, और खिसकाव का वर्ग जोड़ दीजिए।

मिसाल के लिए 31 का वर्ग, 1 से खिसकाइए, तो 32 गुणा 30, यानी 960, प्लस 1, बराबर 961 है। अब 197 का वर्ग, 3 से खिसकाइए, तो 200 गुणा 194, यानी 38800, प्लस 9, बराबर 38809 है। ये नुस्खा कुछ नया नहीं, बस वही identity है, जिसका एक term दूसरी तरफ़ खिसका हुआ है। खिसकाव आपकी मर्ज़ी है, और उसे अच्छे से चुनना ही पूरा तरीका है। मान लीजिए 145 का वर्ग चाहिए, 5 से खिसकाइए, तो एक संख्या 150 पर आ जाती है।

तब 150 गुणा 140 बराबर 21000, प्लस 25, यानी 21025 होता है। इसी तरह 1097 को 3 से खिसकाइए, तो एक संख्या 1100 पर आ जाती है, और बाकी काम आसान हो जाता है। और 406 को 6 से खिसकाइए, तो एक संख्या ठीक 400 बनती है, 412 गुणा 400 बराबर 164800, प्लस 36, यानी 164836 होता है। अगर 4 से खिसकाएँ, तो भी जवाब वही आता है, 410 गुणा 402, प्लस 16, पर 410 के अंत में सिर्फ़ एक शून्य है, और 400 के अंत में 2 शून्य।

संख्या और खिसकाव की 90 जोड़ियों में से 90 पर जवाब वही वर्ग निकलता है, पर मेहनत सिर्फ़ अच्छा खिसकाव बचाता है। कभी कभी 2 खिसकाव बराबर अच्छे होते हैं। जैसे 124 को 4 से खिसकाइए, तो 128 गुणा 120, यानी 15360, प्लस 16, बराबर 15376 होता है। या 6 से खिसकाइए, तो 130 गुणा 118, यानी 15340, प्लस 36, और फिर से 15376 मिलता है। दोनों में एक संख्या का अंत शून्य पर होता है, तो दोनों बराबर अच्छे हैं।

इसी तरह 72 के साथ, 2 से खिसकाने पर 74 गुणा 70, यानी 5180, प्लस 4, बराबर 5184 होता है। और 8 से खिसकाने पर 80 गुणा 64, यानी 5120, प्लस 64, फिर से 5184 आता है। और 124 के लिए 1 से 10 तक के सारे 10 खिसकाव जाँचें, तो 10 में से 10 वही वर्ग देते हैं। खिसकाव से जवाब नहीं बदलता, सिर्फ़ मेहनत बदलती है। अब एक सवाल, जो लगता है कि बड़े और छोटे के बारे में है।

कौन बड़ा है, a माइनस b का वर्ग, या b माइनस a का वर्ग? पहले वाले को खोलिए, तो a का वर्ग, माइनस 2 a b, प्लस b का वर्ग मिलता है। दूसरे वाले को खोलिए, तो b का वर्ग, माइनस 2 a b, प्लस a का वर्ग मिलता है। ये वही 3 terms हैं, बस उनका क्रम अलग है। संख्याओं में, 7 माइनस 3 का वर्ग 16 है, और 3 माइनस 7 का वर्ग भी 16 ही है।

तो कोई बड़ा नहीं, माइनस 6 से 6 तक की 169 जोड़ियों में से 169 पर दोनों बराबर हैं। दोनों brackets एक दूसरे के उल्टे चिह्न वाले हैं, और वर्ग लेने से चिह्न मिट जाता है, तो सवाल ही ख़त्म हो जाता है। क्या ये पैटर्न सिर्फ़ गिनती वाली संख्याओं के लिए हैं? सबूत को फिर से देखिए, उसने बस 2 brackets खोले और समान terms जोड़े। उसने कहीं नहीं कहा कि letters किस तरह की संख्याएँ हैं।

तो माइनस 4 और 7 लीजिए, वर्गों का अंतर 16 माइनस 49, यानी माइनस 33 है। और जोड़ गुणा अंतर, यानी 3 गुणा माइनस 11, वो भी माइनस 33 है। अब 3 बटा 2 और 1 बटा 2 लीजिए, वर्गों का अंतर 9 बटा 4 माइनस 1 बटा 4, यानी 2 है, और जोड़ गुणा अंतर, 2 गुणा 1, बराबर 2 ही है। पहला पैटर्न भी चलता है, माइनस 2 और 5 के वर्गों के जोड़ का दुगना 58 है, और 3 का वर्ग प्लस माइनस 7 का वर्ग, यानी 9 प्लस 49, ये भी 58 है।

माइनस 6 से 6 तक की 169 जोड़ियों पर दोनों पैटर्न 169 में से 169 पर ठीक बैठते हैं। दोनों इसलिए चलते हैं क्योंकि तर्क में कहीं गिनती की ज़रूरत ही नहीं थी, सबूत खुद बताता है कि वो कहाँ तक लागू है। बिना पूरा गुणा किए बताइए, 14 गुणा 26 और 16 गुणा 24 में से कौन बड़ा है? दोनों जोड़ियों के बीच में 20 है, पहली जोड़ी 20 से 6 दूर है, और दूसरी 4 दूर।

तो पहला गुणनफल 400 माइनस 36, यानी 364 है, और दूसरा 400 माइनस 16, यानी 384 है। जो जोड़ी बीच के ज़्यादा पास है, उसका गुणनफल बड़ा है, क्योंकि उसमें से कम घटता है। अब 25 गुणा 75 और 26 गुणा 74 देखिए, दोनों के बीच में 50 है। पहला 2500 माइनस 625, यानी 1875 है, और दूसरा 2500 माइनस 576, यानी 1924 है। बीच में 20 रखकर आधा फ़ासला 0 से 19 तक बढ़ाइए, तो 19 में से 19 कदमों पर गुणनफल घटता है।

क्या 100 को 2 वर्गों के अंतर की तरह लिखा जा सकता है? एक तरीका तो साफ़ है, 10 का वर्ग माइनस 0 का वर्ग। अब identity के हिसाब से 100 को एक जोड़ और एक अंतर का गुणनफल होना चाहिए। जैसे 50 गुणा 2, जोड़ 50 और अंतर 2, तो संख्याएँ 26 और 24 बनती हैं। और सचमुच 26 का वर्ग 676 है, 24 का वर्ग 576 है, और दोनों का अंतर 100 ही है।

पूरी संख्याओं में ऐसे कुल 2 ही तरीके हैं। यही बात letters में भी चलती है, 3 a माइनस 9 b, गुणा 3 a प्लस 9 b। बीच के 2 गुणनफल, माइनस 27 a b और प्लस 27 a b, कट जाते हैं, और a के वर्ग का 9 गुना, माइनस b के वर्ग का 81 गुना बचता है। जाँच के लिए a और b दोनों 1 रखिए, तो माइनस 6 गुणा 12 बराबर माइनस 72 है, और दूसरी तरफ़ 9 में से 81 घटाएँ, तो भी माइनस 72 ही आता है।

आख़िर में एक नतीजा, और ये एक चेतावनी भी है। लगातार 3 संख्याएँ लीजिए, बीच वाली का वर्ग कीजिए, और उसमें से किनारे वाली 2 संख्याओं का गुणनफल घटाइए। जैसे 4 का वर्ग 16 है, 3 गुणा 5 बराबर 15 है, और फ़र्क 1 है। फिर 9 का वर्ग 81, 8 गुणा 10 बराबर 80, और फ़र्क फिर से 1 ही है। बीच वाली संख्या 2 से 21 तक रखकर 20 तिकड़ियाँ बनती हैं, और 20 में से 20 में फ़र्क 1 आता है।

पर पड़ोसियों को 2 कदम दूर कीजिए, तो ये रुक जाता है, 9 का वर्ग 81, 7 गुणा 11 बराबर 77, और फ़र्क 4 है। खोलकर देखें तो वजह साफ़ है, n का वर्ग माइनस n प्लस k गुणा n माइनस k, बराबर k का वर्ग है। फ़र्क कदम का वर्ग है, 90 में से 90 जोड़ियों पर, और 1 सिर्फ़ इसलिए आया क्योंकि कदम 1 था। हमेशा 1 वाला नियम 90 में से सिर्फ़ 20 जोड़ियों पर टिकता है।

ऐसी 20 पंक्तियाँ बता सकती हैं कि क्या अंदाज़ा लगाया जाए, पर वो सच है या नहीं, ये सिर्फ़ खोलकर देखने से पता चलता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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