जब क्रमागत संख्याओं का योग किसी संख्या का गुणज होता है

0:00यहाँ 6 जोड़ हैं, और हर एक में संख्याएँ लगातार आती हैं, एक के ठीक बाद अगली। जैसे 3 और 4 मिलकर 7, फिर 1, 2, 3 और 4 मिलकर 10, और 3, 4 और 5 मिलकर 12 बनाते हैं। और 15 तो 3 बार आता है, 7 और 8 से, 4, 5 और 6 से, और 1 से 5 तक की सब संख्याओं से। ऐसी संख्याएँ, जिनमें हर अगली संख्या पिछली से ठीक 1 ज़्यादा हो, consecutive numbers कहलाती हैं।

0:29तो सवाल उठता है, क्या हर गिनती की संख्या ऐसे लिखी जा सकती है, और कौन सी एक से ज़्यादा तरीक़ों से? और 1 के बाद की हर odd संख्या 2 पड़ोसी संख्याओं का जोड़ है, पर even संख्याओं का क्या? और अगर negative संख्याएँ भी चलें, तो क्या शून्य भी ऐसा एक जोड़ है? इस video के आख़िर तक चारों सवालों के जवाब मिलेंगे, और हर जवाब के पीछे तर्क होगा।

0:58सबसे छोटे जोड़ से शुरू कीजिए, बस 2 संख्याएँ, एक दूसरे के बगल में। देखिए, 3 और 4 से 7 बनता है, 8 और 9 से 17, और 20 और 21 से 41 बनता है। ये तीनों जोड़ odd हैं, और ये कोई इत्तफ़ाक़ नहीं है। पहली संख्या को n कहिए, तो अगली n और 1 है, और दोनों मिलकर 2 n और 1 बनते हैं। किसी भी संख्या का दोगुना even होता है, और even से 1 ज़्यादा odd, इसलिए 2 पड़ोसियों का जोड़ हमेशा odd।

1:30जैसे 3 और 4 में, 3 का दोगुना 6, और उससे 1 ज़्यादा, यानी 7 बनता है। हमने 1 से 60 तक हर शुरुआत पर जाँचा, 60 में से 60 odd, और माइनस 30 से 30 तक भी, 61 में से 61 odd। इसलिए कोई भी even संख्या 2 पड़ोसियों का जोड़ नहीं होती, और 3 से आगे की हर odd संख्या होती है। तो अब 3 संख्याएँ लीजिए, 4, 5 और 6, इनका जोड़ 15 है।

2:00बाहर वाली दोनों को देखिए, 4 बीच वाली से 1 कम है, और 6 बीच वाली से 1 ज़्यादा। जो एक कम है और जो एक ज़्यादा है, वो आपस में कट जाते हैं, और तीनों बराबर होकर 5, 5 और 5 बन जाते हैं। और 3 गुणा 5 यानी 15, तो जोड़ है बीच वाली संख्या का 3 गुना। ये किन्हीं भी 3 लगातार संख्याओं में होता है, बाहर वाली हमेशा बीच वाली से 1 कम और 1 ज़्यादा होती हैं।

2:29इसलिए 3 लगातार संख्याओं का जोड़ हमेशा 3 का multiple होता है, 60 शुरुआतों में से हर एक पर। अब 5 संख्याएँ, और बदलता सिर्फ़ इतना है कि बराबर करना कितनी दूर तक जाता है। अब 1, 2, 3, 4 और 5 लीजिए, इनका जोड़ फिर से 15, पर इस बार दूसरे रास्ते से। बीच वाली संख्या 3 है, 2 और 4 उससे 1 दूर हैं, और 1 और 5 उससे 2 दूर हैं।

2:58दोनों जोड़ियाँ कट जाती हैं, और पाँचों संख्याएँ 3 बन जाती हैं, यानी 5 गुणा 3, और वो 15 ही है। हर odd लंबाई में यही होता है, बीच में एक असली संख्या होती है, और बाक़ी उसके दोनों तरफ़ जोड़ियाँ बनाती हैं। इसलिए odd लंबाई वाले जोड़ का total है, लंबाई गुणा बीच वाली संख्या, यानी लंबाई का multiple। ये 120 जोड़ों पर जाँचा, हर एक पर सही, फिर 265 और जोड़ों पर, वहाँ भी हर एक पर।

3:30अब 4 संख्याएँ लीजिए, और यहाँ कुछ टूटता है। जैसे 3, 4, 5 और 6, इनका जोड़ 18 होता है। अब बीच वाली संख्या ढूँढिए, वो है ही नहीं। पर 4 संख्याओं के बीच में संख्या नहीं, एक ख़ाली जगह होती है, औसत 4.5 आता है, जो इन संख्याओं में है ही नहीं। इसलिए ऐसी कोई संख्या नहीं, जिसका 4 गुना ये total हो। और सच में, 18 even तो है, पर 4 का multiple नहीं है।

4:00किसी भी 4 लगातार संख्याओं का जोड़ नहीं, 80 शुरुआतों में से एक भी 4 का multiple नहीं निकला। यानी पदों की गिनती अपने आप factor नहीं बनती, 6 लगातार संख्याओं का जोड़ भी कभी 6 का multiple नहीं होता। इससे इस पूरे विषय का असली सवाल सामने आता है। हमने 4 संख्याओं वाले 80 जोड़ देखे, पर ऐसे जोड़ कितने हैं? उनका कोई अंत नहीं। कुछ उदाहरण जाँचना और तर्क से साबित करना एक बात नहीं है, और ये पैटर्न दिखाता है क्यों।

4:33देखिए, 8 तक की हर संख्या, ऐसे जोड़ के रूप में ज़्यादा से ज़्यादा एक ही तरीक़े से लिखी जाती है। ये बात पक्की लगती है, ऐसी बात जिसे हम नियम बनाकर लिख देते हैं। फिर आता है 9, जो 4 और 5 से भी बनता है, और 2, 3 और 4 से भी, यानी उसके 2 तरीक़े हैं। और 40 तक पहुँचते पहुँचते, 40 में से सिर्फ़ 29 संख्याओं का ज़्यादा से ज़्यादा एक तरीक़ा बचता है।

5:00यानी 8 उदाहरणों ने कुछ साबित नहीं किया, हर जोड़ के बारे में कुछ तय करना है, तो हर जोड़ को एक साथ लिखना होगा। तो अब हर जोड़ को एक ही line में लिखिए। पहली संख्या को n कहिए, और संख्याओं की गिनती को m, तो संख्याएँ n से शुरू होकर n और m घटा 1 तक जाती हैं। अब इन्हें जोड़िए, हर संख्या में एक n है, तो कुल m बार n, यानी m गुणा n।

5:28उसके ऊपर बचते हैं अतिरिक्त हिस्से, पहले में शून्य, फिर 1, फिर 2, और ऐसे ही m घटा 1 तक। इनका जोड़ है m गुणा m घटा 1 का आधा, 4 संख्याओं के लिए ये 6 है, और 5 संख्याओं के लिए 10 है। इसे 3, 4, 5 और 6 पर आज़माइए, 4 गुणा 3 यानी 12, अतिरिक्त हिस्से 6, और 12 और 6 मिलकर 18 बनते हैं। सब जोड़कर सजाइए, तो total बनता है, m गुणा, 2 n और m घटा 1, और पूरा 2 से भाग।

6:03वही 3, 4, 5 और 6 लीजिए, 2 गुणा 3 और 3 मिलकर 9, और 4 गुणा 9 का आधा फिर से 18 आता है। यही हर जोड़ है, किसी भी लंबाई का, कहीं से भी शुरू, और आगे की हर बात इसी से पढ़ी जाएगी। पहले इसे odd लंबाई के लिए पढ़िए। अगर m odd है, तो m घटा 1 even है, और 2 n तो हमेशा even होता है।

6:30इसलिए bracket even है, और उसका आधा पूरी संख्या आता है, हर odd लंबाई वाले जोड़ पर जाँचा गया। और bracket का आधा है n और m घटा 1 का आधा, और यही ठीक बीच वाली संख्या है। जैसे 1 से 5 तक वाले जोड़ में, bracket है 2 और 4, यानी 6, और उसका आधा 3, ठीक बीच वाली संख्या। तो total बचता है m गुणा बीच वाली संख्या, यहाँ 5 गुणा 3 बनता है।

7:00तस्वीर और algebra एक ही बात कहते हैं, लंबाई ख़ुद वहाँ एक factor बनकर बैठी है। अब यही line even लंबाई के लिए पढ़िए, और देखिए factor कैसे खिसकता है। अगर m even है, तो m घटा 1 odd है, और 2 n में odd जोड़ें तो odd ही बनता है। इसलिए इस बार आधा होती है लंबाई, और bracket पूरा का पूरा रहता है। तो total है लंबाई का आधा, गुणा एक odd संख्या।

7:29जैसे 4 संख्याओं के लिए ये है 2 गुणा, 2 n और 3, और 3, 4, 5 और 6 पर ये 2 गुणा 9, यानी 18 बनता है। उस 2 की वजह से even, पर 4 का multiple कभी नहीं, क्योंकि odd factor के पास देने को दूसरा 2 नहीं। यानी 18 में 4 के 4 हिस्से, और 2 बचता है, हर 4 संख्याओं वाले जोड़ में ऐसे ही 2 बचता है।

7:55हमने even लंबाई वाले 120 जोड़ों पर जाँचा, और फिर 318 पर, हर बार दूसरा factor odd निकला। यही वो ग़ायब बीच वाली संख्या है, जो अब हिसाब में दिख रही है। अब तक हमने चुपचाप एक बात मानी थी, कि हर संख्या पिछली से ठीक 1 ज़्यादा है। अब ये कदम बदलकर देखिए, कौन से नतीजे बचते हैं। अब 5 लगातार even संख्याएँ लीजिए, 4, 6, 8, 10 और 12, इनका जोड़ 40 है।

8:25यहाँ 40 है 5 गुणा 8, और 8 ही बीच वाली संख्या है, तो odd लंबाई वाला नतीजा बच गया। अब 4 लगातार even संख्याएँ, 2, 4, 6 और 8, इनका जोड़ 20 है। पर 20 है 2 गुणा 10, और यहाँ 10 even है, तो 20, 4 का multiple है, ये नतीजा पलट गया। कदम 1 या 3 हो, तो 60 में से एक भी 4 का multiple नहीं, और कदम 2 या 4 हो, तो 60 में से सारे।

8:55बीच पर संतुलन ने कदम को कभी नहीं देखा, पर even लंबाई वाला नतीजा कदम पर ही टिका है। ये सब उल्टी दिशा में भी चलता है। मान लीजिए आपको बस इतना बताया गया कि 4 लगातार संख्याओं का जोड़ 34 है। अतिरिक्त हिस्से हटाइए, शून्य, 1, 2 और 3, यानी 6, तो 28 बचता है। अब 28 को 4 में बाँटिए, हर हिस्सा 7, तो संख्याएँ हैं 7, 8, 9 और 10, और इनका जोड़ फिर से 34 बनता है।

9:31या मान लीजिए 5 लगातार संख्याओं में सबसे बड़ी p है, तो बाक़ी संख्याएँ p घटा 1, p घटा 2, p घटा 3 और p घटा 4 होंगी। पर अगर 5 लगातार even संख्याओं में बीच वाली 5 p है, तो दूरियाँ दोगुनी हो जाती हैं। नीचे 5 p घटा 4 और 5 p घटा 2, ऊपर 5 p और 2, और 5 p और 4, जैसे p बराबर 4 हो, तो 16, 18, 22 और 24 आते हैं।

10:00सवाल वही, कदम अलग, और चारों जवाब अलग। अब ख़ुद आज़माइए, क्या 4 लगातार संख्याओं का जोड़ 50 हो सकता है, और क्या 44 हो सकता है? पहले 50 में से अतिरिक्त 6 हटाइए, बचता है 44, और 44 को 4 में बाँटें तो हर हिस्सा 11 आता है। तो संख्याएँ हैं 11, 12, 13 और 14, और इनका जोड़ ठीक 50 है। अब 44 लीजिए, उसमें से 6 हटाइए, बचता है 38, जो 4 बराबर पूरे हिस्सों में नहीं बँटता।

10:36इसलिए 4 संख्याओं का कोई जोड़ 44 नहीं होता, और even लंबाई वाली बात यही कहती है, ऐसा total हमेशा 4 के multiple से 2 ज़्यादा होता है। देखिए, 50 है 48 और 2, पर 44 ख़ुद 4 का multiple है, उसमें कुछ नहीं बचता। अब पहला सवाल बचता है, कौन सी संख्याएँ ऐसे जोड़ बनती ही हैं? किसी भी total को दोगुना कीजिए, तो वो 2 factors में बँटता है, जिनमें एक even है और एक odd।

11:06इसलिए संख्या में 1 से बड़ा कोई odd factor चाहिए, और उसके तरीक़ों की गिनती है, उसके odd factors की गिनती में से 1 कम। जैसे 15 के odd factors हैं 1, 3, 5 और 15, यानी 4, उनमें से 1 कम, तो 3 तरीक़े, ठीक वही 3 जिनसे शुरू किया था। और 9 के odd factors हैं 1, 3 और 9, तो 2 तरीक़े, वही 2 जो अभी मिले थे।

11:33वहीं 45 के 6 odd factors हैं, तो 5 तरीक़े, और खोजने पर ठीक 5 ही मिलते हैं। जिन संख्याओं में 1 से बड़ा कोई odd factor नहीं, वो 2 की powers हैं, जैसे 1, 2, 4, 8, 16 और 32 वग़ैरह। इनमें से कोई भी ऐसा जोड़ नहीं बनता, और 299 संख्याओं पर नियम और खोज हर एक पर सहमत हैं। अब शून्य, और इसका जवाब सबसे ईमानदार है।

12:02गिनती की संख्याओं में, शून्य किसी भी लगातार संख्याओं का जोड़ नहीं है। पर negative संख्याएँ भी चलें, तो माइनस 1, शून्य और 1 मिलकर शून्य बनाते हैं। और माइनस 2 से 2 तक की संख्याएँ भी, क्योंकि बीच के दोनों तरफ़ negative और positive कट जाते हैं। हर odd लंबाई का ऐसा जोड़ मिलता है, और even लंबाई का एक भी नहीं, 2 से 11 तक की हर लंबाई पर।

12:27यानी जवाब नियमों पर निर्भर करता है, और यही पहचानना असली गणित है। जोड़ अपनी बीच वाली संख्या से बँधे हैं, और गुणनफल भी बँधे होते हैं। पहले, 2 लगातार संख्याओं का गुणनफल हमेशा 2 का multiple, क्योंकि उनमें एक even होती है। फिर 3 लगातार संख्याओं का गुणनफल 6 का multiple, 4 का 24 का, और 5 का 120 का, हर बार 60 में से 60 पर। पहले जोड़ ही दिखा देते हैं, 1 गुणा 2 यानी 2, 1 गुणा 2 गुणा 3 यानी 6, और 1 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 4 यानी 24 बनता है।

13:08और यही सबसे बड़े तय multiples हैं, 3 लगातार संख्याओं का गुणनफल 12 का multiple, 60 में से सिर्फ़ 45 बार होता है। और 4 लगातार संख्याओं का गुणनफल 48 का multiple, 60 में से सिर्फ़ 28 बार। तो याद रखिए, 2 पड़ोसी संख्याओं का जोड़ हमेशा odd होता है, इसलिए कोई even संख्या ऐसी जोड़ी नहीं बनती। जहाँ odd लंबाई में एक बीच वाली संख्या होती है, और total होता है लंबाई गुणा बीच वाली संख्या।

13:39वहीं even लंबाई में बीच में सिर्फ़ ख़ाली जगह होती है, और total होता है लंबाई का आधा गुणा एक odd संख्या। इसीलिए 4 लगातार संख्याओं का जोड़ even होता है, पर 4 का multiple कभी नहीं। और एक line, m गुणा, 2 n और m घटा 1, पूरा 2 से भाग, हर जोड़ को एक साथ तय करती है। कुछ उदाहरण जाँचने से पैटर्न दिखता है, पर साबित सिर्फ़ सामान्य रूप से होता है।