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Chapter 4 · Quadrilaterals

kite: एक diagonal दूसरे को right angles पर क्यों आधा करता है, और angles को भी

Building and naming quadrilaterals14 मिनट

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kite में न parallel भुजाओं का वादा है, न किसी angle का, बस 2 अलग पड़ोसी जोड़ियाँ बराबर। फिर भी उसी से एक diagonal 2 कोनों को आधा करता है, और दूसरे diagonal को ठीक आधा, 90 degree पर काटता है।

मुख्य idea

kite न parallel sides के बारे में कुछ मानती है, न angles के बारे में — सिर्फ़ यह कि पड़ोसी sides की दो अलग जोड़ियाँ बराबर हैं। अकेली यही बात figure में symmetry की एक पूरी line बना देती है, और kite जो कुछ भी करती है वह इसी एक symmetry का अलग-अलग जगह दिखना है। क्योंकि एक diagonal के दोनों सिरे दूसरे के दोनों सिरों से बराबर दूरी पर हैं, उसके दोनों ओर के दो triangles SSS से मेल खाते हैं — और वही एक congruence उन दो angles को आधा कर देती है जिनसे वह diagonal गुज़रता है। अकेले यह बाक़ी बात तय नहीं करती। इससे मिला बराबर angle एक दूसरी congruence में डालो, इस बार कटान पर मिलने वाले दो triangles पर SAS, और तब वही symmetry दूसरे diagonal को आधा करती है और कटान को square बना देती है। दो congruences, इसी क्रम में, एक नहीं। ध्यान दो कि सारा काम कौन-सा diagonal करता है। दूसरा इसमें से कुछ नहीं करता, और यही असमानता kite को rhombus से अलग करती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • kite की परिभाषा बताना, और समझाना कि नाम देने का क्रम क्यों मायने रखता है — बराबर जोड़ियाँ पड़ोसी sides हैं, आमने-सामने की नहीं
  • दो congruent scalene triangles को उनके सबसे लंबे किनारों के साथ जोड़कर kite बनाना
  • सिर्फ़ tick के निशानों से पहचानना कि kite के दोनों diagonals में से कौन-सा उसकी symmetry की line है
  • साबित करना कि उस diagonal के दोनों ओर के दो triangles congruent हैं, शर्त और उसकी इस्तेमाल हुई तीनों जोड़ियों का नाम लेते हुए
  • उस एक congruence से निकालना कि diagonal दो corner angles को आधा करता है
  • chapter जिस triangles की दूसरी जोड़ी का इशारा करता है, उससे निकालना कि वह दूसरे diagonal को भी आधा करता है, और उससे right angle पर मिलता है
  • बताना कि दूसरा diagonal क्या नहीं करता, और उसके भी वैसा करने के लिए क्या सच होना चाहिए
  • kite को rhombus और parallelogram के सापेक्ष रखना, और इसका जवाब देना कि क्या kite rectangle हो सकती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
kiteऐसा quadrilateral जिसके नाम ऐसे हों कि पड़ोसी sides की दो अलग जोड़ियाँ मेल खाएँपतंगइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.6, p.105)
adjacent sidesquadrilateral की वे दो sides जो एक corner पर मिलती हैंआसन्न भुजाएँइसी chapter में छपा (Part I, §4.6, p.105)
non-overlappingदोनों बराबर जोड़ियों के लिए, जिनके बीच कोई side साझा नहींअनाच्छादितchapter के सार में छपा (Part I, p.110)
SSSsides की तीनों जोड़ियों वाली congruence शर्तभुजा-भुजा-भुजाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.92)
bisectदो बराबर हिस्सों में काटना — यहाँ diagonal और angle, दोनों के लिएसमद्विभाजन करनाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
perpendicularकिसी के साथ right angle परलंबवतइसी chapter में छपा; पहली बार Part I p.94 (§4.1) पर, फिर Part I p.99 पर
scaleneजिसकी तीनों sides अलग-अलग लंबाई की होंविषमबाहुइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.105)
rhombusऐसा quadrilateral जिसकी चारों sides एक ही लंबाई की होंसमचतुर्भुजइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.4, p.99)
Venn diagramऐसा चित्र जिसमें हर बंद region चीज़ों के एक समूह के लिए खड़ा होता हैवेन आरेखइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.91)
line of symmetryवह line जिसके आर-पार figure का एक आधा हिस्सा दूसरे का दर्पण-प्रतिबिंब होसममिति रेखाइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो यह गुण टुकड़ा-टुकड़ा करके तय करता है पर उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "kite की आमने-सामने की sides बराबर होती हैं।" उसकी पड़ोसी sides बराबर होती हैं। इन दो शब्दों की अदला-बदली kite को parallelogram बना देती है, और परिभाषा ठीक इसी को रोकने के लिए ऐसे लिखी गई है।
  • "kite के दोनों diagonals आधे होते हैं।" सिर्फ़ एक होता है, और वह दूसरे द्वारा आधा होता है। कौन-सा diagonal कौन-सा है, यही इस topic का सार है, और tick के निशान यह बता देते हैं।
  • "perpendicular diagonals का मतलब rhombus।" kite इसका स्थायी counter-example है, और इसीलिए chapter ठीक यही कथन Part I p.109 पर सही-या-ग़लत वाले item की तरह देता है।
  • "rhombus, kite नहीं है — उसकी चारों sides बराबर हैं।" चार बराबर sides से पड़ोसी जोड़ियाँ कई-कई बार मिल जाती हैं, इसलिए हर rhombus योग्य है। chapter का सार वाला diagram rhombus को kite वाले region के अंदर बैठा दिखाता है।
  • "diagonals को figure के अंदर कटना ही चाहिए।" अंदर की ओर धँसी kite में वे नहीं कटते, और यह एक बार दिखाना ठीक है, क्योंकि Part I p.105 पर chapter की अपनी जोड़ने वाली activity ऐसी figure बना सकती है।
  • **"दूसरा diagonal A और C पर के angles को भी आधा करता है।"** नहीं करता। सिर्फ़ symmetry वाला diagonal उन angles को bisect करता है जिनसे वह गुज़रता है। A और C पर के angles आपस में बराबर तो निकलते हैं, पर उनमें से किसी को कोई चीज़ आधा नहीं काटती — बराबरी और bisection अलग दावे हैं, और यहाँ उनमें से सिर्फ़ एक सही है।
  • "kites, trapeziums की एक ख़ास हालत हैं।" chapter का सार वाला diagram जान-बूझकर kite वाले region को trapezium वाले region से बाहर तक पहुँचता बनाता है। kite में किसी parallel side का होना बिल्कुल ज़रूरी नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.6 Q2, Figure it Out · 4.6 Q4

पूरा transcript2,092 शब्द

एक जैसे 2 triangle लीजिए, जिनकी भुजाएँ 6, 9 और 12 cm हैं। दोनों को उनकी 12 cm वाली भुजा के साथ जोड़िए, और एक को पलटकर रखिए। जोड़ वाली 12 cm की भुजा अंदर चली जाती है, ऊपर की दोनों भुजाएँ 6 cm, नीचे की दोनों 9 cm, और बीच में 12 cm। ये आकार एक kite है, और इसकी हर बात एक ही चीज़ से निकलती है, इसमें एक line of symmetry है।

इसे 12 वाली भुजा पर मोड़िए, तो दोनों आधे हिस्से एक दूसरे पर ठीक बैठ जाते हैं। पर अब से एक नियम रखिए, ये आकार कैसे बना, ये भूल जाइए। सब कुछ सिर्फ़ आकार से पढ़िए, उसकी 4 भुजाओं और 4 कोनों से। आकार को ख़ुद नहीं पता कि वो कैसे बना, उसके पास बस उसके नाप हैं। तो पहले definition, और इसे ध्यान से, धीरे धीरे पढ़िए। एक kite वो quadrilateral है, जिसके कोनों को ऐसे नाम दे सकें कि मिलने वाली 2 भुजाएँ बराबर हों, और बाक़ी की जोड़ी भी आपस में बराबर हो, जो ख़ुद भी एक कोने पर मिलती है।

यहाँ ऊपर के कोने को D कहिए, बाएँ को A, नीचे को B, और दाएँ को C। तो D A बराबर है D C के, दोनों 6 cm, और A B बराबर है C B के, दोनों 9 cm। हर जोड़ी एक कोना बाँटती है, पहली जोड़ी कोना D, और दूसरी जोड़ी कोना B। और दोनों जोड़ियों में कोई भुजा साझी नहीं, वरना एक ही भुजा 2 बार गिनी जाती।

ध्यान दीजिए, definition में कोई angle नहीं, कोई parallel नहीं, सिर्फ़ लंबाइयाँ, और कौन सी लंबाई किसके बगल में है। आगे की हर बात इसी एक वाक्य से निकलेगी, इसमें कुछ भी जोड़ा नहीं जाएगा। इस definition में एक शब्द है, जिसे बदलते ही पूरा आकार बदल जाता है। पड़ोसी की जगह आमने सामने कह दीजिए, बस। वही 4 लंबाइयाँ ऐसे रखिए कि बराबर भुजाएँ मिलें नहीं, आमने सामने हों।

ये तो parallelogram बन गया, अलग आकार, और अलग गुण। इस definition के शब्द इसी अदला बदली को रोकने के लिए चुने गए हैं। और सिर्फ़ एक जोड़ी भी काफ़ी नहीं, ऐसे 7 आकार लीजिए, किसी में भी एक diagonal दूसरे को आधा नहीं करता, और किसी में भी वो 90 degree पर नहीं मिलते। आधी definition से कुछ नहीं मिलता, दोनों जोड़ियाँ चाहिए। तर्क शुरू करने से पहले, ये साफ़ कर लीजिए कि kite किस चीज़ का वादा नहीं करती।

कोई parallel भुजा नहीं, 28 kites बनाकर देखिए, एक में भी parallel भुजाओं की एक जोड़ी तक नहीं है। बराबर कोने नहीं, यहाँ बगल के 2 कोने बराबर हैं, पर ऊपर और नीचे वाले नहीं, और 28 में से किसी kite के चारों कोने बराबर नहीं। बराबर diagonals भी नहीं, हमारे diagonals 12 cm और लगभग 8.7 cm हैं। चारों कोनों का जोड़ 360 degree है, पर ये तो हर quadrilateral में होता है, kite का ख़ास गुण नहीं।

तो kite लगभग ख़ाली हाथ शुरू होती है। इसीलिए आगे जो मिलता है वो हैरान करता है, सिर्फ़ लंबाइयों से angles का नतीजा, और 90 degree का कोना। पहला सवाल, कौन सा diagonal? क्योंकि काम सिर्फ़ एक ही करता है। सिर्फ़ निशान देखिए, D A और D C पर एक लकीर, और A B और C B पर 2 लकीरें। ख़ास diagonal उस कोने से, जहाँ एक लकीर वाली भुजाएँ मिलती हैं, उस कोने तक जाता है जहाँ 2 लकीर वाली, यानी D से B तक।

ये जानने की ज़रूरत नहीं कि cutout किस भुजा पर जुड़े थे, निशान ही काफ़ी हैं। पक्का करने के लिए, वही kite अगले कोने से शुरू करके फिर से नाम दीजिए। अब निशान नाम से दूसरे diagonal को चुनते हैं, पर वो वही 12 cm वाला हिस्सा है, बिल्कुल वही। निशान आकार के साथ चलते हैं, कोनों के नाम नहीं। अब kite को B D के साथ काटिए, और बने 2 triangles देखिए, A B D और C B D।

पहले में D A 6 cm, A B 9 cm, और B D 12 cm, दूसरे में D C 6 cm, C B 9 cm, और वही B D। तीनों जोड़ी भुजाएँ बराबर हैं, तो SSS से दोनों triangles हूबहू एक जैसे हैं। इसमें लगा क्या? बस 2 बराबर जोड़ियाँ, और B D जो दोनों हिस्सों में साझा है। कहीं भी कोई angle मानकर नहीं चले। अब दूसरे diagonal A C के साथ यही कोशिश कीजिए, एक triangle में 9, 9 और लगभग 8.7 cm, दूसरे में 6, 6 और 8.7 cm।

एक diagonal से पूरी जोड़ी हूबहू मिलती है, दूसरे से कुछ नहीं। अब मिलते हुए हिस्से पढ़िए, पहला नतीजा अपने आप आता है। पहला नतीजा, angle A D B बराबर है angle C D B के, तो ऊपर का कोना D ठीक आधा कटता है। ऊपर का कोना लगभग 93.1 degree है, तो हर आधा लगभग 46.6 degree। नीचे भी यही, कोना B लगभग 57.9 degree है, और B D उसे लगभग 29 degree के 2 हिस्सों में बाँटता है।

और तीसरी जोड़ी भी मिलती है, कोना A और कोना C बराबर हैं, दोनों लगभग 104.5 degree। एक ही बराबरी से 2 आधे कोने, और ये हर kite पर होता है, पहले 28 kites पर, फिर 68 और पर। पर रुककर देखिए कि अभी क्या नहीं मिला। दूसरे diagonal के बारे में कुछ नहीं, 90 degree के बारे में भी कुछ नहीं, पहली बराबरी वहाँ तक पहुँचती ही नहीं। तो दूसरी बराबरी चाहिए, और उसे पहली का नतीजा चाहिए।

जहाँ diagonals मिलते हैं उसे O कहिए, और B D के दोनों तरफ़ के छोटे triangles देखिए, A O B और C O B। दोनों में 9 cm की भुजा है, A B और C B, यानी बराबर जोड़ी। दोनों में O B है, लगभग 7.9 cm, जो साझा है। और इन भुजाओं के बीच का angle दोनों में लगभग 29 degree है, सिर्फ़ इसलिए कि पहली बराबरी ने कोना B आधा कर दिया।

यहाँ 2 भुजाएँ और उनके बीच का angle है, यानी SAS, तो छोटे triangles भी हूबहू एक जैसे हैं। इसलिए A O बराबर है O C के, दोनों लगभग 4.4 cm, यानी B D ने A C को ठीक आधा कर दिया। ये दूसरा नतीजा है, और एक पल पहले ये हाथ में नहीं था। एक बात बाक़ी है, और वो इन्हीं छोटे triangles से आती है। बिंदु O के angles मिलाइए, angle A O B बराबर है angle C O B के।

पर ये दोनों एक सीधी line पर बैठे हैं, A C के दोनों हिस्से बिंदु O पर मिलते हैं। यानी 2 बराबर angles जिनका जोड़ 180 degree है, तो हर एक 90 degree का। यानी diagonals 90 degree पर काटते हैं, और ये देखकर नहीं, तर्क से निकला। जाँच लीजिए, triangle A O B में 29, 90 और लगभग 61 degree हैं, कुल 180 degree। क्रम ही असली बात है, पहली बराबरी से आधे कोने, और दूसरी से, जो पहली पर टिकी है, आधा diagonal और 90 degree।

यानी 2 क़दम, एक नहीं, और उनका क्रम उल्टा नहीं हो सकता। अब देखिए कि दूसरा diagonal A C क्या करता है, कुछ भी नहीं। वो B D को आधा नहीं करता, B D के हिस्से हैं, D O लगभग 4.1 cm और O B लगभग 7.9 cm। कोने A और C बराबर तो हैं, पर A C उन्हें आधा नहीं करता। कोने A पर A C उसे लगभग 43.4 और लगभग 61 degree में बाँटता है, जो बराबर नहीं।

बराबर होना और आधा होना अलग बातें हैं, और यहाँ सिर्फ़ पहली सच है। पूरे समूह में, 28 kites में से एक में भी, और 68 में से एक में भी, दूसरा diagonal कोना आधा नहीं करता। यही kite और rhombus का फ़र्क़ है, rhombus में दोनों diagonals सब कुछ करते हैं, 7 में से 7 में। पर kite में एक diagonal सब कुछ करता है, और दूसरा कुछ नहीं।

ये नतीजे किस काम के? एक kite के 2 कोने पता हों, तो बाक़ी निकालिए। मान लीजिए ऊपर का कोना D 100 degree है, और बगल का कोना A 110 degree। कोना C, कोना A के बराबर है, पहली बराबरी से, तो वो भी 110 degree का है। चारों का जोड़ 360 degree, तो नीचे का कोना 360 में से 100, 110 और 110 घटाकर 40 degree। और B D दोनों कोनों को आधा करता है, ऊपर 50 और 50, नीचे 20 और 20 degree।

ऐसी kite सचमुच बनती है, 100, 110, 40 और 110 degree के कोनों वाली। अब आप कीजिए, ऊपर का कोना 120 degree, बगल का 95 degree, तो नीचे का कोना कितना? बगल के दोनों कोने 95, तो 360 में से 120, 95 और 95 घटाकर 50 degree, और आधे हिस्से 60 और 25 degree। अब एक बात जो पहली बार में अजीब लगती है। मान लीजिए 2 diagonals दिए हैं, 8 cm और 6 cm, और kite बनानी है।

इतना तय है कि 8 वाला diagonal 6 वाले को आधा करेगा, 3 और 3 cm में। पर 8 वाले पर वो कहाँ काटे? ये किसी ने नहीं बताया। काटने की जगह बीच से बाहर की ओर खिसकाइए, हर जगह अलग kite बनती है, 9 जगहें और 9 आकार। मसलन ऊपर से 6 cm पर काटें, तो ऊपर की भुजाएँ लगभग 6.7 cm, और नीचे की लगभग 3.6 cm। पर अगर दोनों diagonals एक दूसरे को आधा करें, तो काटने की जगह बस एक बचती है, बीच।

तब 8 और 6 से ठीक एक आकार बनता है, 5 cm भुजा वाला rhombus, और वो इन्हीं 9 में से एक है, बीच वाला। यानी 2 लंबाइयाँ rhombus को तय कर देती हैं, पर kite को नहीं, और ये आज़ादी ठीक उसी गुण की कमी है। एक आम ग़लती, अगर diagonals 90 degree पर मिलें, तो आकार rhombus है। हर kite इसे ग़लत साबित करती है, 28 में से 28 kites के diagonals 90 degree पर मिलते हैं।

और इन 28 में से एक भी rhombus नहीं, किसी की चारों भुजाएँ बराबर नहीं। दूसरे समूह में भी यही, 68 में से 68 में 90 degree, और rhombus एक भी नहीं। दूसरी ग़लती, kite के दोनों diagonals आधे होते हैं। नहीं, सिर्फ़ A C आधा होता है, और वो भी B D से, B D ख़ुद कभी आधा नहीं होता, 28 में से एक में भी नहीं। कौन सा diagonal कौन सा है, यही इस पूरी बात का सार है, और निशान ये बता देते हैं।

अब देखिए kite बाक़ी आकारों के बीच कहाँ बैठती है। हर rhombus एक kite है, चारों भुजाएँ बराबर हों, तो पड़ोसी जोड़ियाँ अपने आप बराबर हैं, 7 में से 7 में। अब 35 आकार लीजिए, kites और rhombus दोनों, जो kite भी हैं और parallelogram भी, वो ठीक 7 rhombus हैं। यानी kite और parallelogram के मेल का नाम rhombus है। क्या कोई kite rectangle भी हो सकती है? हाँ, पर सिर्फ़ square, दोनों पड़ोसी जोड़ियाँ और चारों कोने 90 degree के, जैसे लगभग 4.24 cm भुजा वाला square।

एक kite में एक कोना 90 degree का हो, तो भी वो rectangle नहीं, 4 कोनों में से सिर्फ़ एक ही 90 degree का है। और कोई parallel भुजा ज़रूरी नहीं, इसलिए kite का trapezium होना भी ज़रूरी नहीं। एक चेतावनी तस्वीरों के बारे में, kite अंदर की ओर धँस भी सकती है। मसलन D A और D C 12 cm, A B और C B 9 cm, और B D सिर्फ़ 6 cm, तो कोना B अंदर धँसता है, लगभग 209 degree।

अब diagonals आकार के अंदर मिलते ही नहीं, बिंदु O आकार के बाहर है, B के भी नीचे। फिर भी हर गुण बचा है, B D की line अब भी A C को ठीक आधा करती है, और 90 degree पर। ऐसी 7 धँसी kites में से हर एक में यही होता है, और एक में भी O अंदर नहीं। यानी diagonals मिलते हैं, ये बात lines के बारे में है, टुकड़ों के बारे में नहीं।

और यही वो नियम है जिससे शुरू किया था, गुण लंबाइयों और angles के बारे में हैं, स्याही कहाँ गिरी, उसके बारे में नहीं। तो याद रखिए, kite में 2 अलग पड़ोसी जोड़ियाँ बराबर होती हैं, और कुछ नहीं। निशान बताते हैं कि ख़ास diagonal कौन सा है, जो बराबर जोड़ियों के मिलने वाले कोनों को जोड़ता है। पहली बराबरी, SSS, उस diagonal के दोनों तरफ़, और उससे उसके 2 कोने आधे।

दूसरी बराबरी, SAS, जो पहली पर टिकी है, और उससे दूसरा diagonal आधा, 90 degree पर। दूसरा diagonal कुछ नहीं करता, न ख़ुद आधा होता है, न कोई कोना आधा करता है। हर rhombus एक kite है, kite और parallelogram का मेल rhombus है, और kite और rectangle का मेल सिर्फ़ square। और सब कुछ लंबाइयों और angles से पढ़ा गया, तस्वीर से नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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