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Chapter 4 · Quadrilaterals

दो triangles जोड़कर कौन-से quadrilaterals बनाए जा सकते हैं

Building and naming quadrilaterals14 मिनट

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2 एक जैसे triangle काटिए और उन्हें एक भुजा पर जोड़िए। जोड़ वाली भुजा अब किसी की भुजा नहीं रहती, वो अंदर चली जाती है और diagonal बन जाती है।

मुख्य idea

दो एक जैसे cardboard triangles लो और उन्हें एक मेल खाते किनारे के साथ सटा दो। वह किनारा किनारा नहीं रहता — वह एक diagonal बन जाता है, नई figure के अंदर छिपा हुआ — जबकि triangles की बाक़ी चार sides एक quadrilateral की चार sides बन जाती हैं। तो जो shape आख़िर में मिलती है वह दो चुनावों से तय होती है और किसी चीज़ से नहीं: आप किस side के साथ जोड़ते हैं, और दूसरा triangle पलटा गया है या घुमाया गया है। उसे घुमाने से हमेशा parallelogram बनता है, क्योंकि आमने-सामने की sides triangle की एक ही side दो बार होती हैं; उसे पलटने से हमेशा ऐसी figure बनती है जिसमें बराबर sides की दो पड़ोसी जोड़ियाँ हों, जो kite है। पूरा शब्दकोश बस इतना है, और यह समझाता है कि equilateral triangle से हमेशा सिर्फ़ rhombus ही क्यों मिल सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो congruent cardboard triangles को एक मेल खाते किनारे के साथ जोड़ना और बनने वाले quadrilateral का नाम, कारण के साथ, बताना
  • समझाना कि जोड़ा गया किनारा नई figure का diagonal क्यों है, side क्यों नहीं
  • समझाना कि दूसरे triangle को घुमाने से बराबर आमने-सामने की sides क्यों मिलती हैं, और पलटने से बराबर पड़ोसी sides क्यों
  • कुछ भी काटने से पहले, दिए गए triangle और दिए गए जोड़ वाले किनारे से अनुमान लगाना कि कौन-सा quadrilateral बनेगा
  • एक scalene triangle से मिल सकने वाले अलग-अलग quadrilaterals गिनना, और बताना कि equilateral triangle में इतनी कम विविधता क्यों है
  • बताई गई side वाले दो equilateral triangles से बने quadrilateral की चारों sides और चारों angles बताना
  • पहचानना कि इस तरह बनी figure अंदर की ओर धँस सकती है, और बताना कि कब

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
equilateralजिसकी तीनों sides एक ही लंबाई की होंसमबाहुइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.104)
isoscelesजिसकी दो sides बराबर लंबाई की होंसमद्विबाहुइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.87)
scaleneजिसकी तीनों sides अलग-अलग लंबाई की होंविषमबाहुइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.105)
cutoutcardboard से काटी गई shape, जो एक असली टाइल की तरह इस्तेमाल होती हैकटआउटइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.104)
sidelengthएक side की नापी हुई लंबाईभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.91)
diagonalउन दो corners को जोड़ने वाला segment जो एक-दूसरे के बगल में नहीं हैंविकर्णइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)
rhombusऐसा quadrilateral जिसकी चारों sides एक ही लंबाई की होंसमचतुर्भुजइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.4, p.99)
parallelogramऐसा quadrilateral जिसकी आमने-सामने की sides parallel होंसमांतर चतुर्भुजइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.3, p.95)
kiteऐसा quadrilateral जिसके नाम ऐसे हों कि पड़ोसी sides की दो अलग जोड़ियाँ मेल खाएँपतंगइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.6, p.105)
joined edgeवह साझा किनारा जिसके साथ दोनों कटआउट सटाए जाते हैंजोड़ी गई भुजाइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो जोड़ने का काम बताता है पर किनारे को नाम नहीं देता
turned overघुमाई गई copy के बजाय पलटी हुई (दर्पण जैसी) copy की तरह रखा हुआपलटा हुआइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो दोनों व्यवस्थाएँ सिर्फ़ चित्रों में दिखाता है

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "आप उन्हें किन्हीं भी दो sides के साथ जोड़ सकते हैं।" सिर्फ़ बराबर लंबाई के किनारे ही बिना ख़ाली जगह या बाहर निकले हिस्से के सटाए जा सकते हैं, और इसीलिए scalene triangle में नौ नहीं, तीन विकल्प होते हैं।
  • "जोड़ा गया किनारा नई shape की एक side है।" वह figure के अंदर है। जो students उसे side गिनते हैं, उन्हें पाँच sides वाली figure मिलती है और वे बात से भटक जाते हैं।
  • "दो triangles से हमेशा parallelogram बनता है।" तब बनता है जब एक को घुमाया जाए। इसके बजाय उसे पलटो, तो बराबर sides आमने-सामने के बजाय एक-दूसरे के बगल में आती हैं, और kite बनती है।
  • "दो equilateral triangles से square बनता है।" एक आम जवाब, और ग़लत: angles 60° के टुकड़ों से बनते हैं, इसलिए corners 60° और 120° के निकलते हैं।
  • "shape का convex होना ज़रूरी है।" हमेशा नहीं। obtuse angle के बगल वाले किनारे के आर-पार triangle को पलटने से वह angle दोगुना होकर straight angle से आगे निकल जाता है और figure अंदर की ओर धँस जाती है। chapter ऐसा quadrilateral दो बार बनाता है, Part I p.82 पर और Part I p.108 पर।
  • "नाम बता देना ही जवाब है।" इन दोनों पन्नों का हर सवाल कारण भी माँगता है। नाम किसी गुण को जाँचने से आता है — चार बराबर sides, या बराबर आमने-सामने की sides — किसी आकृति की परछाईं पहचानने से नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.6 Q1

पूरा transcript1,999 शब्द

एक triangle काटिए, और फिर ठीक वैसा ही एक दूसरा triangle भी काटिए। अब दोनों को किसी भुजा के साथ सटाकर जोड़िए, पर हर भुजा हर किसी भुजा से नहीं जुड़ती। जो भुजाएँ मिल रही हैं, उनकी लंबाई बराबर होनी चाहिए, वरना वो पूरी नहीं मिलेंगी। मसलन 6, 9 और 12 cm वाले triangle में एक cutout की 3 भुजाएँ हैं, दूसरे की 3, यानी कुल 9 जोड़ियाँ। इन 9 जोड़ियों में से सिर्फ़ 3 मिलती हैं, 6 से 6, 9 से 9, और 12 से 12 cm।

जिस triangle में भुजाएँ बराबर हों, वहाँ ज़्यादा जोड़ियाँ मिलती हैं, 8, 8 और 6 वाले में 5, और तीनों 8 वाले में सभी 9 जोड़ियाँ। तो पहला सवाल यही है, किस भुजा के साथ जोड़ें? और उसके नीचे एक दूसरा सवाल भी छिपा है, जो आसानी से छूट जाता है। यही 2 सवाल मिलकर तय करते हैं कि आख़िर में कौन सा आकार बनेगा। जिस भुजा के साथ जोड़ा, अब ज़रा उस पर ध्यान दीजिए।

जोड़ने से पहले वो दोनों triangles की भुजा है, जोड़ने के बाद किसी की भी भुजा नहीं। वो आकार के अंदर चली गई, एक कोने से सामने वाले कोने तक, और यही तो diagonal है। नए आकार की 4 भुजाएँ वही 4 भुजाएँ हैं जो जोड़ी नहीं गईं, 2 एक cutout की और 2 दूसरे की। यहीं ग़लती होती है, जोड़ वाली भुजा को पाँचवीं भुजा गिन लिया, तो आगे सब कुछ ग़लत निकलेगा।

गिनकर देखिए, 6, 9 और 12 वाले एक cutout की भुजाएँ कुल 27 cm, दोनों की मिलाकर 54 cm। अगर 12 वाली भुजा पर जोड़ें, तो दोनों 12 अंदर चली गईं, और perimeter 54 से घटकर 30 cm रह जाता है। वैसे ही 9 वाली भुजा पर perimeter 36 cm, और 6 वाली पर 42 cm, यानी जोड़ जितना लंबा, perimeter उतना छोटा। यानी 2 triangles जोड़ने पर quadrilateral के साथ उसका एक diagonal पहले से बना हुआ मिलता है।

अब दूसरा सवाल, पहले cutout को वहीं रखिए, और दूसरा वाला उठाइए। उसे जोड़ वाली भुजा के बीच के बिंदु के चारों ओर आधा चक्कर घुमाकर रख सकते हैं। या उसे उसी भुजा के ऊपर से पलटकर रख सकते हैं, जैसे ताश का पत्ता पलटते हैं। दोनों तरीक़ों में वो ठीक बैठता है, क्योंकि जोड़ वाली भुजा की लंबाई वही रहती है। पर ये एक ही तरह से रखना नहीं है, और इनसे बनने वाले आकार भी एक जैसे नहीं।

किस भुजा पर, और किस तरह, पहले सवाल के 3 जवाब हैं, और दूसरे के 2 जवाब। यानी किसी भी triangle से 6 तरह से जोड़ सकते हैं, इसके अलावा कुछ भी चुनना नहीं है। दूसरे cutout को घुमाकर रखिए, तो एक बात तुरंत तय हो जाती है। हर भुजा के सामने वही भुजा उल्टी दिशा में आती है, तो आमने सामने की भुजाएँ बराबर, और parallel। ये parallelogram है, हर बार, और वो भी बिना कुछ नापे।

पलटकर रखिए, तो हर भुजा अपनी ही copy के बग़ल में आती है, सामने नहीं, यानी बराबर भुजाएँ पड़ोसी हैं। और जिस आकार में बराबर भुजाएँ पड़ोसी हों, वो kite है। पहले 27 जोड़ परखे गए, फिर 51 और, घुमाए गए हर जोड़ में आमने सामने की भुजाएँ बराबर, और पलटे गए हर जोड़ में पड़ोसी। और हर जोड़ से उल्टा सवाल पूछें, तो एक भी जोड़ हाँ नहीं कहता।

सबसे आसान cutout से शुरू कीजिए, equilateral triangle, जिसकी हर भुजा 8 cm है। हर भुजा बराबर है, तो किस भुजा पर जोड़ें, फ़र्क़ नहीं पड़ता, और घुमाएँ या पलटें, उससे भी नहीं। यहाँ 6 जोड़ हैं, और सभी 6 एक ही आकार देते हैं। उसकी चारों भुजाएँ 8 cm की हैं, क्योंकि हर भुजा किसी cutout की भुजा है, और वो सब 8 थीं। चारों भुजाएँ बराबर, यानी rhombus, और ये बिना ruler उठाए कह सकते हैं।

पर ये square नहीं है, और ये ग़लती बड़ी आसानी से हो जाती है। हर cutout का कोना 60 degree का है, जोड़ के सिरों पर 2 कोने मिलते हैं, 60 और 60, यानी 120 degree। तो कोने 60, 120, 60 और 120 degree, कुल 360 degree, पर 90 degree का एक भी नहीं। जोड़ वाली भुजा अब diagonal है, तो पहले उसी को नापिए। वो जोड़ वाली भुजा ही है, तो वो भी हर भुजा जितना, 8 cm।

दूसरा diagonal, दूर वाले दोनों कोनों के बीच, लगभग 13.9 cm, किसी भी भुजा से लंबा। यानी चारों भुजाएँ हूबहू बराबर, पर दोनों diagonals बिलकुल अलग। याद रखिए, भुजाएँ बराबर होने से diagonals के बारे में कुछ पता नहीं चलता। और ध्यान दीजिए, मुफ़्त में कौन सा मिला, छोटा वाला, क्योंकि वो पहले cutout की भुजा थी। आगे हर आकार का एक diagonal पहले से पता होगा, और वो हमेशा जोड़ वाली भुजा ही है।

अब cutout बदलिए, 2 भुजाएँ 8 cm की और एक 6 cm की, यानी isosceles triangle। इसके कोने लगभग 68, 68 और 44 degree के हैं, और 44 वाला कोना 6 वाली भुजा के सामने है। दोनों को अलग वाली भुजा, यानी 6 के साथ जोड़िए, और दूसरे को घुमाकर रखिए। चारों भुजाएँ 8 cm की, तो फिर से rhombus, और 6 बीच से diagonal बनकर गुज़रता है। जोड़ के सिरों पर 68 और 68 मिलकर लगभग 136 degree, और बाक़ी 2 कोने 44 degree के।

भुजाएँ वही हैं, पर कोने 60 और 120 नहीं, तो ये एक अलग rhombus है। अब उसी 6 पर दूसरे को पलटकर रखिए, और ध्यान से देखिए। हूबहू वही आकार बनता है, मिलता जुलता नहीं, बिलकुल वही। क्योंकि ये cutout उस भुजा के बीच से बाएँ और दाएँ एक जैसा है, तो दोनों तरीक़ों में दूर वाला कोना एक ही जगह आता है। अब उसी जोड़ी को एक 8 वाली भुजा के साथ जोड़िए।

घुमाकर रखें, तो भुजाएँ 6, 8, 6 और 8, यानी parallelogram, कोने लगभग 112 और 68 degree। यहाँ 112 degree का कोना, एक cutout के 68 और दूसरे के 44 degree से मिलकर बना है। पलटकर रखें, तो वही लंबाइयाँ नए क्रम में, 6, 8, 8 और 6, बराबर जोड़े पड़ोसी, यानी kite। उसके कोने लगभग 136, 68, 88 और 68 degree, जहाँ 88 दोनों cutouts के 44 और 44 से बना है।

और हर बार की तरह कुल 360 degree, parallelogram में भी, और kite में भी। वही cutouts, वही भुजा, पर रखने का तरीक़ा अलग, तो आकार भी अलग। दूसरी 8 वाली भुजा कुछ नया नहीं देती, क्योंकि दोनों 8 एक दूसरे का आईना हैं। तो इस cutout से 6 जोड़ बनते हैं, पर अलग आकार सिर्फ़ 3, rhombus, parallelogram और kite। अब ऐसा cutout जिसकी तीनों भुजाएँ अलग हैं, 6, 9 और 12 cm, यानी scalene triangle।

इसके कोने लगभग 29, 46.6 और 104.5 degree के हैं, और सबसे बड़ा कोना 12 के सामने है। यहाँ कुछ भी एक जैसा नहीं, तो कोई जोड़ दूसरे से नहीं मिलता, 6 जोड़ और 6 अलग आकार। हर भुजा पर घुमाकर रखें, तो 3 parallelograms, भुजाओं की जोड़ियाँ 6 और 9, 9 और 12, और 6 और 12 cm। ये एक भुजा छोड़ने के तरीक़ों की सूची है, क्योंकि जो भुजा छूटती है, वही जोड़ वाली भुजा है।

और हर भुजा पर पलटकर रखें, तो 3 kites बनती हैं। तो तीनों cutouts से 1, 3 और 6 आकार, और हर तरह के कई cutouts पर भी यही गिनती निकली। जितनी ज़्यादा बराबर भुजाएँ, उतने ही कम अलग आकार बनते हैं। इन 3 kites में से, 12 वाली भुजा पर बनी kite को देखिए। ऊपर की 2 भुजाएँ 6 cm, नीचे की 2 भुजाएँ 9 cm, और बीच से 12 cm का diagonal।

नीचे वाला कोना, दोनों 9 के बीच, cutout के सबसे छोटे कोने का दोगुना है, लगभग 57.9 degree। ऊपर वाला कोना, दोनों 6 के बीच, बीच वाले कोने का दोगुना, लगभग 93.1, और बग़ल के दोनों कोने 104.5 degree, जैसे cutout में थे। यानी 57.9, 104.5, 93.1 और 104.5, मिलकर पूरे 360 degree। इसका दूसरा diagonal लगभग 8.7 cm है, 12 वाले से काफ़ी छोटा। और उसी 12 पर घुमाकर रखें, तो parallelogram, भुजाएँ 9, 6, 9 और 6, कोने 104.5 और 75.5 degree।

पर इन 3 kites में से 2, kite जैसी दिखती ही नहीं, वो अंदर की ओर धँस जाती हैं। इसकी वजह सिर्फ़ जोड़ वाली भुजा के दोनों सिरों पर बने कोने हैं। पलटने पर उन कोनों की copy उन्हीं के बग़ल में आती है, तो हर कोना दोगुना हो जाता है। इस cutout का सबसे बड़ा कोना 104.5 degree है, दोगुना करें तो लगभग 209 degree, यानी 180 degree से ज़्यादा।

सीधे कोने से भी आगे जाने पर, आकार को अंदर की ओर मुड़ना ही पड़ता है। ये कोना 12 के सामने है, तो वो 6 और 9 के सिरे पर बैठता है, 12 के किसी सिरे पर नहीं। इसीलिए 3 में से 2 kites धँसती हैं, और सबसे लंबी भुजा पर बनी kite सही सलामत रहती है। जैसे 6 वाली भुजा पर पलटी kite के कोने लगभग 93, 29, 209 और 29 degree हैं।

एक कोना 180 degree से बड़ा है, फिर भी कुल 360 degree, धँसे हुए आकार में भी जोड़ वही रहता है। घुमाकर रखने पर ऐसा कभी नहीं होता, आधा चक्कर उन कोनों को 2 जगह बाँट देता है, दोगुना नहीं करता। एक cutout ठीक इन दोनों के बीच की सीमा पर बैठता है। एक 90 degree के कोने वाला triangle लीजिए, भुजाएँ 9, 12 और 15 cm। उस कोने में मिलने वाली किसी भी भुजा पर पलटिए, तो वो कोना दोगुना होकर 180 degree का हो जाता है।

तब वो कोना, कोना ही नहीं रहता, 4 में से 3 बिंदु एक सीध में आ जाते हैं। यहाँ कोई quadrilateral नहीं बनता, बल्कि एक बड़ा triangle बन जाता है। अगर 9 वाली भुजा पर पलटें, तो उसकी भुजाएँ 15, 15 और 24, और 12 वाली पर 15, 15 और 18 cm। दोनों बार 2 भुजाएँ 15 cm की हैं, यानी isosceles triangle। कुल 27 पलटे गए जोड़ों में से 10 धँसे, 2 सपाट हुए, और 15 बाहर की ओर उभरे रहे।

हर धँसे जोड़ के सिरे पर 90 degree से बड़ा कोना था, और हर सपाट जोड़ पर 90 degree का कोना। जोड़ के सिरे पर एक कोना नापिए, और पहले ही पता चल जाएगा कि कैसा आकार मिलेगा। इन सभी जोड़ों में एक चीज़ कभी नहीं बदलती। हर आकार का area 2 cutouts के बराबर है, क्योंकि कुछ भी जोड़ा या काटा नहीं गया। तीनों अलग भुजाओं वाले cutout के सभी 6 जोड़ों का area लगभग 52.3 square cm है, धँसे हुए आकारों का भी।

वैसे ही 8 cm वाले equilateral से लगभग 55.4, और 8, 8, 6 वाले से लगभग 44.5, हर बार सभी 6 जोड़ों पर। पर perimeter बदलता है, जोड़ वाली भुजा जितनी लंबी, बाहर उतनी कम भुजा बचती है। अब आप खुद कीजिए, 6, 9 और 12 वाली जोड़ी को 9 वाली भुजा पर घुमाकर जोड़िए, आकार और perimeter क्या होगा? जवाब है parallelogram, भुजाएँ 6 और 12 cm, और perimeter 36 cm।

आख़िर में equilateral cutout फिर से लीजिए, पर आधा, 8 की जगह 4 cm का। अब rhombus की भुजाएँ 4 cm की, और जोड़ वाला diagonal भी 4 cm का। दूसरा diagonal लगभग 6.9 cm, जो पहले 13.9 था, यानी हर लंबाई आधी हो गई। पर हर कोना वैसा ही है, अब भी 60 और 120 degree। और area देखिए, पहले लगभग 55.4 था, अब लगभग 13.9, यानी 4 गुना छोटा।

लंबाई आधी करने पर area आधा नहीं होता, बल्कि 4 गुना कम हो जाता है। यानी cutout का size लंबाइयाँ तय करता है, कोने कभी नहीं। तो याद रखिए, 2 triangles जोड़ने पर जोड़ वाली भुजा diagonal बन जाती है। घुमाकर रखें तो parallelogram बनता है, और पलटकर रखें तो kite। और equilateral से 1 आकार, isosceles से 3, और scalene से 6 आकार। पलटने पर जोड़ के सिरों के कोने दोगुने होते हैं, वहाँ 90 degree से बड़ा कोना हो तो आकार धँसता है।

हर जोड़ का area वही रहता है, पर perimeter जोड़ वाली भुजा पर निर्भर है। हमने कहीं भी आकार देखकर नहीं पहचाना, भुजाओं की लंबाई या कोनों के degree पढ़े, और नाम उन्हीं से निकला। तस्वीर बताती है कि कहाँ देखना है, पर जवाब कभी नहीं बताती।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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