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Chapter 2 · Power Play

दस की powers के नाम: Lalitavistara की सूची, million से decillion तक के नाम, और googol

Making sense of very large numbers14 मिनट

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10,00,000 और 1,000,000: वही 7 अंक, वही मात्रा, बस कॉमा अलग, और नाम भी अलग, 10 लाख और एक million। किसी बड़ी संख्या का नाम असल में एक फ़ैसला है: exponent में कितना step लेना है। लाख वाली सीढ़ी 2 का step लेती है, million वाली 3 का।

मुख्य idea

जिस भी संस्कृति ने कभी बड़ी संख्याओं को नाम दिए, उसने एक ही समस्या एक ही तरीक़े से सुलझाई: exponent में एक step चुनो, फिर हर step को एक शब्द दो। भारतीय नाम दो-दो के step से चलते हैं — एक नाम के सौ से अगला बनता है — इसलिए वे 10⁵, 10⁷, 10⁹, 10¹¹ और आगे चढ़ते हैं। American और अंतरराष्ट्रीय नाम तीन-तीन के step से चलते हैं — एक के हज़ार से अगला बनता है — इसलिए वे 10⁶, 10⁹, 10¹² चढ़ते हैं। पुरानी सूचियाँ फिर अलग चुनाव करती हैं: Lalitavistara दो-दो के step से चलता है, जबकि Amalasiddhi दस की हर power को 10⁹⁶ तक नाम देता है और Mahaviracharya की 24 शब्दों वाली सूची एक-एक step करके 10²³ तक जाती है। step अलग, तरीक़ा वही, और हर एक अपनी चोटी तक ऐसी शब्दावली से पहुँचता है जिसे कोई इंसान याद रख सके। इसलिए नामकरण गणित के चारों ओर की सजावट नहीं है। यह गणित ही है — exponents का वही जोड़ जो chapter शुरू से करता आ रहा है, बस शब्दों में किया हुआ — और किसी भी ऐसी सूची से पढ़ने लायक़ चीज़ उसका step है।

आपको क्या आना चाहिए

  • नामों की सीढ़ी पढ़ना और exponent की भाषा में उसका step बताना
  • दोनों पद्धतियों में नाम और दस की power के बीच बदलना
  • exponents के जोड़ से दिखाना कि सौ lakh एक crore क्यों है
  • भारतीय और अंतरराष्ट्रीय सीढ़ियों की तुलना करना और बताना कि वे कहाँ मिलती हैं और कहाँ अलग होती हैं
  • step दिया हो, तो किसी भी सीढ़ी को एक या दो नाम और आगे बढ़ाना
  • अंतरराष्ट्रीय नाम के अंदर छिपा गिनती वाला prefix पहचानना और उसे exponent से मिलाना
  • दस की powers में बताना कि googol और googolplex क्या हैं
  • इतिहास में नाम पाई किसी संख्या को दस की powers की सीढ़ी पर रखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
lakh / crore / arab / kharab10⁵, 10⁷, 10⁹ और 10¹¹ के भारतीय नामलाख / करोड़ / अरब / खरबइस chapter में छपा (Part I pp.36, 43)
neel / padma / shankh10¹³, 10¹⁵ और 10¹⁷ के भारतीय नामनील / पद्म / शंखइस chapter में छपा (Part I p.43)
maha shankh10¹⁹ का भारतीय नाममहाशंखइस chapter में छपा (Part I p.43)
million / billion / trillion10⁶, 10⁹ और 10¹² के अंतरराष्ट्रीय नाममिलियन / बिलियन / ट्रिलियनइस chapter में छपा (Part I p.43)
quadrillion / quintillion / sextillion10¹⁵, 10¹⁸ और 10²¹ के अंतरराष्ट्रीय नामक्वाड्रिलियन / क्विंटिलियन / सेक्स्टिलियनइस chapter में छपा (Part I p.43)
googolसंख्या 10¹⁰⁰गूगोलइस chapter में छपा (Part I p.43)
googolplex10 की power एक googolगूगोलप्लेक्सइस chapter में छपा (Part I p.43)
koṭiकरोड़ के लिए Pali और संस्कृत शब्द, बड़े नाम बनाने के आधार की तरह इस्तेमालकोटिइस chapter में छपा (Part I pp.42–43)
sahassaहज़ार के लिए Pali शब्द, उसी तरह इस्तेमालसहस्रइस chapter में छपा (Part I p.43)
asaṅkhyeyaKāccāyana की सूची में सबसे ऊपर का नाम, 10¹⁴⁰असंख्येयइस chapter में छपा (Part I p.42)
step of the ladderएक नाम से अगले नाम तक exponent में होने वाली तय छलाँगसीढ़ी का पगइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter step दिखाता है पर उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है, और उन संस्कृत और Pali शब्दों के देवनागरी रूप जिन्हें chapter लिप्यंतरण में लिखता है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए column को standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "भारतीय और अंतरराष्ट्रीय नाम एक ही बात कहने के दो तरीक़े हैं।" उनके step अलग हैं। एक भारतीय नाम के सौ से अगला बनता है; एक अंतरराष्ट्रीय नाम के हज़ार से अगला बनता है। सिर्फ़ वहाँ जहाँ सीढ़ियाँ संयोग से मिल जाती हैं — arab और billion, दोनों 10⁹ — दोनों पद्धतियाँ एक ही संख्या का नाम लेती हैं।
  • "एक billion एक lakh crore है, या कोई तय गुणज जिसे मुझे रटना है।" exponents से होकर बदलो, रटने की ज़रूरत ही नहीं: 10⁹ बनाम 10⁷ दो पायदान है, इसलिए एक arab सौ crore है, और एक arab एक billion है। exponents से एक बार कर लो, संबंधों को याद रखने की ज़रूरत ख़त्म हो जाती है।
  • "ये पुराने नाम बस अजूबे हैं।" वे exponent का वही हिसाब छिपाए हैं जो इस chapter में सिखाया जा रहा है, और उनमें से तीन — kharab, neel, padma — पिछले page पर काम की units की तरह इस्तेमाल हुए हैं।
  • "googolplex एक googol गुणा एक googol है।" यह 10 की power एक googol है, exponent की एक मीनार, गुणनफल नहीं। यह फ़र्क़ ही इस नाम के होने की पूरी वजह है।
  • "googol नाम वाली सबसे बड़ी संख्या है।" chapter 10¹⁴⁰ पर asaṅkhyeya छापता है, जो उससे बड़ी है, और googolplex भी, जिसकी तो दोनों में से किसी से तुलना ही नहीं।
  • "सौ trillion dollar के नोट का मतलब है कि देश अमीर था।" इसका मतलब है कि हर dollar की क़ीमत बहुत कम थी। chapter बदले की दर देता है — क़रीब तीस US dollars — ठीक इसलिए कि यह बात छूट न सके।
  • "नाम आराम से एक-एक करके ऊपर जाते हैं।" Lalitavistara की सूची सिर्फ़ odd powers के नाम देती है। अलग सूचियाँ अलग steps चुनती हैं, और step पढ़ना ही हुनर है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript2,106 शब्द

एक ही संख्या को 2 लोग अपने अपने ढंग से लिखते हैं। पहला व्यक्ति 1 के बाद 6 शून्य लिखता है, पहला कॉमा 3 अंकों के बाद, और फिर हर 2 अंकों के बाद। दूसरा व्यक्ति वही अंक लिखता है, पर कॉमा हर 3 अंकों के बाद लगाता है। अंक वही हैं, कुल 7 अंक, मात्रा भी वही है, बस कॉमा अलग जगह पर हैं। और दोनों इसे अलग नाम से पढ़ते हैं, एक कहता है 10 लाख, दूसरा कहता है एक million।

तो 10 लाख और million में असल फ़र्क क्या है? इन दोनों में से कोई भी ग़लत नहीं है। ये कहानी इस बारे में है कि किसी बड़ी संख्या का नाम असल में होता क्या है। दोनों systems के नीचे एक ही फ़ैसला छिपा है, और बाकी सब उसी से तय होता है। वो फ़ैसला दिख जाए, तो आप किसी भी naming system को उसके अपने शब्दों से पढ़ सकते हैं।

तो वो फ़ैसला आख़िर क्या है? किसी भी system में हर संख्या को अलग नाम नहीं दिया जा सकता, संख्याएँ ख़त्म ही नहीं होतीं। इसलिए आप एक step चुनते हैं, और सिर्फ़ उन्हीं संख्याओं को नाम देते हैं जिन पर वो step पहुँचता है। बाकी संख्याएँ उन्हीं नामों को जोड़कर कही जाती हैं, जैसे 10 लाख। और ये step संख्या में नहीं, बल्कि उसके exponent में लिया जाता है। ये बात ज़रूरी है, क्योंकि 10 की powers का गुणा करने पर उनके exponents जुड़ते हैं।

अगर step 1 हो, तो हर नाम अपने नीचे वाले नाम का 10 गुना होता है। अगर step 2 हो तो 100 गुना, और अगर step 3 हो तो 1000 गुना होता है। पूरा design बस इतना ही है, step चुनिए और नाम अपने आप उसके पीछे चल पड़ते हैं। पहले वो system लीजिए, जिसमें लाख और करोड़ आते हैं। यहाँ 1000 बराबर है 10 की power 3 के, और एक लाख बराबर है 10 की power 5 के।

एक करोड़ बराबर है 10 की power 7 के, और एक अरब 10 की power 9 के। अब सिर्फ़ exponents पढ़िए, 3, 5, 7, 9, हर बार 2 आगे। यानी step 2 का है, इसलिए एक नाम के 100 मिलकर अगला नाम बनाते हैं। देखिए, 100 गुणा 1000 एक लाख है, क्योंकि exponents जुड़ते हैं, 2 और 3 मिलकर 5 होते हैं। इसी तरह 100 लाख एक करोड़ है, क्योंकि 2 और 5 मिलकर 7 होते हैं।

और 100 करोड़ एक अरब है, क्योंकि 2 और 7 मिलकर 9 होते हैं। सीढ़ी आगे भी चलती है, खरब 11 पर, नील 13 पर, और पद्म 15 पर। फिर शंख 17 पर, और सबसे ऊपर महाशंख 19 पर बैठा है। कुल 9 नाम, और इनके बीच के 8 के 8 steps पर गुणा 100 का ही है। अब उस लिखावट पर लौटिए, जिसमें पहला कॉमा 3 अंकों के बाद, और फिर हर 2 अंकों पर लगता है।

ये कॉमा असल में इस सीढ़ी के पायदान ही हैं। मान लीजिए, 1 के बाद 19 शून्य लिखे हैं, और कॉमा इसी तरीके से लगे हैं। अब हर कॉमा के दाईं ओर गिनिए कि उसके बाद कितने अंक हैं। गिनती आती है 3, 5, 7, 9, और इसी तरह आगे 19 तक। ये ठीक वही exponents हैं, जिन पर 1000 से महाशंख तक के 9 नाम खड़े हैं। पहला कॉमा 1000 पर है, दूसरा लाख पर, तीसरा करोड़ पर, और चौथा अरब पर।

यानी कॉमा पढ़ना और नाम पढ़ना एक ही काम है। दूसरी लिखावट में कॉमा हर 3 अंकों पर हैं, 3, 6, 9, और ऐसे ही आगे। और अगर 1 के बाद 33 शून्य हों, तो कॉमा 1000 पर और उस system के बाकी 10 नामों पर पड़ते हैं। तो कॉमा कोई सजावट नहीं हैं, वो step को काग़ज़ पर लिख देते हैं। अब दूसरा system देखिए, जिसमें million और billion आते हैं।

एक million बराबर है 10 की power 6 के, और एक billion 10 की power 9 के। और एक trillion बराबर है 10 की power 12 के। यहाँ exponents हैं 6, 9, 12, यानी हर बार 3 आगे। इसका step 3 का है, इसलिए एक नाम के 1000 मिलकर अगला नाम बनाते हैं। यानी 1000 million एक billion है, और 1000 billion एक trillion। आगे आते हैं quadrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion और nonillion।

और आख़िर में decillion, जो 10 की power 33 पर बैठा है। यहाँ million से decillion तक 10 नाम हैं, और 9 के 9 steps पर गुणा 1000 का है। तो ये 2 सीढ़ियाँ हैं, एक ही दीवार से टिकी, पर इनके पायदान अलग अलग ऊँचाइयों पर। तो दोनों सीढ़ियों के पायदान कहाँ आपस में मिलते हैं? कहीं से पढ़ने की ज़रूरत नहीं, एक सीढ़ी को दूसरी पर रखिए और देखिए कौन सी ऊँचाई दोनों में है।

दोनों सीढ़ियाँ 10 की power 6 से लेकर 10 की power 19 तक के हिस्से में मौजूद हैं। इस हिस्से के अंदर वो ठीक 2 जगह पर मिलती हैं। पहली जगह है 10 की power 9, जहाँ एक अरब और एक billion बराबर हैं। दूसरी जगह है 10 की power 15, जहाँ एक पद्म और एक quadrillion बराबर हैं। बस इतना ही, पूरे हिस्से में कुल 2 जगह। बाकी पायदानों पर नाम सिर्फ़ एक ही सीढ़ी के पास है।

और 10 लाख? वो million के बराबर तो है, पर वो एक नाम नहीं, 2 शब्द हैं, 10 और लाख। इसलिए 10 की power 6 पर कोई मिलन नहीं है, लाख वाली सीढ़ी का वहाँ कोई पायदान ही नहीं। पर सिर्फ़ 2 ही क्यों, और यही 2 क्यों? एक सीढ़ी के exponents हर बार 2 बढ़ते हैं। दूसरी सीढ़ी के exponents हर बार 3 बढ़ते हैं। वो सिर्फ़ उसी ऊँचाई पर मिल सकती हैं, जहाँ दोनों के steps पहुँचते हों।

तो मिलन उस सबसे छोटी दूरी पर दोहराता है जो 2 और 3 दोनों से पूरी बँटे, और वो दूरी 6 है। यानी 6 का मतलब है पहली सीढ़ी के 3 steps, या दूसरी सीढ़ी के 2 steps। इसीलिए दोनों मिलन 6 की दूरी पर हैं, पहले 9 पर, फिर 15 पर। तीसरा मिलन 21 पर होता, पर लाख वाली सीढ़ी 19 पर ही रुक जाती है। इसलिए साझे हिस्से में तीसरा मिलन है ही नहीं।

इन 2 systems का 2 बार मिलना किसी का तय किया हुआ संयोग नहीं है। ये सीधे सीधे 2 और 3 से निकलता है। मिलन कम हैं, पर एक नाम को दूसरे में बदलना आसान है, बस exponents घटाइए। एक billion कितने करोड़ के बराबर है? देखिए, billion 9 पर है और करोड़ 7 पर, और 9 में से 7 घटाने पर 2 बचता है। यानी एक billion 100 करोड़ के बराबर है।

एक trillion 12 पर है, और लाख के 5 और करोड़ के 7 मिलकर 12 होते हैं। इसलिए एक trillion एक लाख करोड़ के बराबर है। उल्टी तरफ़ से, खरब 11 पर है और billion 9 पर, तो एक खरब 100 billion है। और नील 13 पर है, trillion से सिर्फ़ 1 ऊपर, तो एक नील 10 trillion है। एक billion को 1000 करोड़ समझना ग़लत है, फ़र्क 2 का है, 3 का नहीं।

बदलने के नियम याद रखने की ज़रूरत नहीं, बस नामों के exponents याद रखिए। अब वो सवाल, जो आम तौर पर कोई नहीं पूछता। सुनिए, million, billion, trillion, quadrillion, quintillion और sextillion। ये आवाज़ें ऐसे ही नहीं बन गईं। इनमें bi का मतलब 2 है, tri का 3, quad का 4, quint का 5, और sext का 6 है। इन नामों के आगे एक गिनती बैठी हुई है। तो ये गिनती आख़िर गिन क्या रही है?

ये exponent नहीं गिन रही, क्योंकि billion 10 की power 9 है, power 2 नहीं। और ये शून्य भी नहीं गिन रही। ये 1000 गिन रही है, पर थोड़ा ध्यान से। एक million 1000 का 1000 गुना है, यानी पहले 1000 के बाद 1 और। एक billion 1000 million है, यानी पहले 1000 के बाद 2 और। और एक trillion में पहले 1000 के बाद 3 और। तो नियम ये है, नाम वाली गिनती में 1 जोड़िए, और 3 से गुणा कीजिए।

जैसे billion, 2 में 1 जोड़ें तो 3, और 3 गुणा 3 बराबर 9 होता है। फिर trillion, 3 और 1 मिलकर 4, और 4 गुणा 3 बराबर 12, फिर से सही। ये नियम सभी 10 नामों पर चलाइए, decillion और 33 तक, तो 10 के 10 सही निकलते हैं। जो नियम 10 जाँचों में टिक जाए, वो एक भविष्यवाणी भी करता है। अब decillion की गिनती 10 है, तो अगले नाम की 11, और 11 में 1 जोड़कर 3 से गुणा करें तो 36 मिलता है।

और step 3 उसे ठीक वहीं रखता है, 33 से 3 ऊपर। ये 2 सीढ़ियाँ अकेली नहीं हैं, बहुत पुराने समय में भी ऐसी सूचियाँ बनी थीं। एक बहुत पुरानी सूची सिर्फ़ विषम powers को नाम देती है, 10 की power 9 से शुरू करके। उसमें कुल 23 नाम हैं, और हर नाम पिछले से 2 powers ऊपर है। उसका आख़िरी नाम 10 की power 53 पर पहुँचता है। एक दूसरी सूची 24 नामों में 10 की power 23 तक पहुँचती है।

यानी 24 नाम और आख़िरी power 23, तो ये power 0 से शुरू होकर हर बार 1 आगे बढ़ती है। ये हर power को एक एक करके नाम देती है, और फिर रुक जाती है। एक बाद की सूची यही काम 10 की power 96 तक करती है, यानी पूरे 97 नाम। और एक सूची तो 10 की power 140 तक जाती है। इन सूचियों की गिनती भी 1000 और करोड़ जैसे जाने पहचाने आधार शब्दों पर टिकी है।

सबसे मशहूर बड़ी संख्या इनमें से किसी भी सीढ़ी पर नहीं है। उसका नाम है googol, यानी 1 के बाद 100 शून्य। इसे लिखने में कुल 101 अंक लगते हैं। ये देखे जा सकने वाले ब्रह्मांड के सारे atoms की गिनती से भी बड़ी है। उन atoms का अंदाज़ा 10 की power 78 से लेकर 10 की power 82 तक जाता है। तो googol उस ऊपरी अंदाज़े से भी 18 powers ऊपर है, क्योंकि 100 में से 82 घटाने पर 18 बचता है।

ध्यान दीजिए, 18 गुना नहीं, 18 powers, और हर power पिछली का 10 गुना है। पर यहाँ एक गलती बड़ी आसानी से हो जाती है। असल में googol कोई आख़िरी नाम नहीं है, 140 वाली सूची उससे 40 powers आगे निकल चुकी थी। पर googol से भी बड़ी एक संख्या है, और वो googol से ही बनी है। उसका नाम है googolplex, यानी 10 की power googol। इसे धीरे से पढ़िए, क्योंकि ये 3 मंज़िल ऊँची मीनार है।

सबसे नीचे 10, उसकी power में 10, और उसकी power में 100 बैठा है। इसे googol गुणा googol समझना एक गलती है। वो गुणा तो सिर्फ़ 10 की power 200 है, क्योंकि 100 और 100 मिलकर 200 होते हैं। एक googol लिखने में 101 अंक लगते हैं, और उस गुणा को लिखने में 201 अंक। जब भी 10 की कोई power लिखें, उसमें उतने ही शून्य आते हैं जितनी उसकी power, 1 से 200 तक की सभी powers जाँचने पर यही मिलता है।

इसलिए googolplex में googol जितने शून्य होते हैं। हर atom पर एक शून्य लिखें, तब भी atoms 18 powers कम पड़ते हैं। ये सब सिर्फ़ सजावट नहीं है। जीवों की गिनती में ये नाम इसलिए काम आते हैं कि इनसे छोटा कुछ नहीं। दुनिया के पेड़ लगभग 30 खरब हैं, यानी 3 गुणा 10 की power 12 के बराबर। और 12 पर trillion बैठा है, तो यही गिनती 3 trillion भी है।

मच्छर लगभग 11 नील हैं, यानी 1 दशमलव 1 गुणा 10 की power 14 के बराबर। नील 13 पर है और trillion 12 पर, तो 11 नील 110 trillion हैं। और beetles लगभग 1 पद्म हैं, यानी 10 की power 15, जो ठीक 1 quadrillion है। यहाँ दोनों सीढ़ियाँ मिलती हैं, इसलिए एक ही गिनती के 2 नाम एक साथ सही हैं। एक सीढ़ी का नाम दूसरी सीढ़ी में बदलना बस exponents का हिसाब है।

अब आख़िर में एक और बात देखिए। ये ऐसे नामों की एक तालिका की एक पंक्ति है। इसमें लिखा है trillion, लिखा है 10 की power 12, और साथ में 1 के बाद कुछ शून्य। अब उन शून्यों को गिनिए। गिनने पर कुल 11 शून्य निकलते हैं। एक trillion को 12 शून्य चाहिए, तो ये लिखावट ठीक 1 शून्य कम है। नाम सही था, exponent सही था, बस लंबा रूप ग़लत था।

यही exponents की ताक़त है, एक गायब शून्य दिखता नहीं, पर गायब 12 तुरंत दिख जाता है। तो जाँच यहाँ है, और वो बस एक सवाल की है। किसी बड़ी संख्या का कोई भी नाम हो, पूछिए कि उसका system कितना step लेता है? इसका जवाब मिल जाए, तो बाकी नाम कहाँ बैठेंगे, ये अपने आप तय हो जाता है। शब्द अलग अलग हैं, पर 10 लाख और million दोनों के नीचे exponent वही 6 है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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