ऐसी मात्रा का आकलन जिसे कोई गिन नहीं सकता: अंदाज़ा, model, कल्पना, सन्निकटन

0:00आपको तराज़ू पर बराबर तौलने के लिए कितने कंचे लगेंगे? इस सवाल को एक बार फिर पढ़िए, इसमें एक भी संख्या नहीं है। न कुछ दिया गया है, न कुछ रखना है, न कुछ हल करना है। फिर भी इस सवाल का एक जवाब है। इसलिए नहीं कि आपको कुछ पता है, बल्कि इसलिए कि आप कुछ बना सकते हैं। आकलन कोई लापरवाही से किया गया हिसाब नहीं है। ये एक अलग चीज़ है, जिसका अपना ढाँचा है, एक संबंध, कुछ मान्यताएँ जो आप खुलकर बोलते हैं, और एक जवाब जो उतनी ही दूर तक बताया जाता है जितनी दूर तक वो मान्यताएँ पहुँचती हैं।

0:37ये ढाँचा सही हो, तो 2 ईमानदार लोग 6 गुना तक अलग जवाब देकर भी, दोनों सही हो सकते हैं। और ये ढाँचा गलत हो, तो कोई भी मान्यता, चाहे कितनी भी समझदार हो, आपको नहीं बचा सकती। चलिए किसी आसान चीज़ से शुरू करते हैं। कोई एक बच्चे के वज़न जितना चावल बाँटना चाहता है, और दूसरे बच्चे के वज़न जितना आटा। तराज़ू के एक पलड़े में बच्चा, और दूसरे में अनाज, जब तक डंडी बिल्कुल सीधी न हो जाए।

1:07सवाल ये है कि इस पूरे अनाज से कुल कितनी थालियाँ खाना बनेगा? मन करता है कि तुरंत संख्याएँ ढूँढने लग जाएँ। पर यहाँ रुकिए, अभी संख्याएँ नहीं। ये जानने से पहले कि किसे किससे गुणा करना है, हिसाब शुरू कर देना ही वो जगह है जहाँ ज़्यादातर लोग गलती करते हैं। सबसे पहले जो लिखना है वो कोई संख्या नहीं है, वो एक वाक्य है, कि कौन सी मात्राएँ आपस में मिलती हैं।

1:36तो ये रहा वो वाक्य, ध्यान से देखिए। कुल थालियाँ बराबर हैं, बच्चे का वज़न kilograms में, गुणा एक kilogram अनाज से बनने वाली थालियाँ। इस सवाल का पूरा गणित बस इतना ही है। यहाँ 2 खाली जगहें हैं, दोनों अभी खाली, और उनके बीच गुणा का निशान। ये संबंध कहता है कि वज़न दुगना हो, तो थालियाँ भी दुगनी। और एक kilogram से बनने वाली थालियाँ दुगनी हों, तो भी जवाब ठीक उसी तरह दुगना।

2:05उम्र के बारे में ये कुछ नहीं कहता, क्योंकि उम्र इसमें है ही नहीं। यहाँ से आगे सब कुछ बस खाली जगहें भरना है, और वो हर इंसान का अलग हो सकता है, पर संबंध अलग नहीं हो सकता। तो हमें असल में बताया क्या गया था? बस 2 उम्रें, एक बच्चा 13 साल का है और दूसरा 11 साल का। बस इतना ही, न कोई वज़न, न ये कि एक kilogram से कितनी थालियाँ बनती हैं।

2:33तो दोनों खाली जगहें हमें ख़ुद भरनी होंगी, और सबके सामने। मान लीजिए बड़ा बच्चा 45 kilogram का है, और एक kilogram चावल से 10 थालियाँ बनती हैं, यानी हर थाली में 100 grams चावल। तो 45 गुणा 10, यानी कुल 450 थालियाँ। मान लीजिए छोटा बच्चा 50 kilogram का है, और एक kilogram आटे से 8 थालियाँ बनती हैं, यानी हर थाली में 125 grams आटा। तो 50 गुणा 8, यानी कुल 400 थालियाँ।

3:06आपने शायद अभी टोका होगा, कि छोटा बच्चा बड़े बच्चे से भारी निकला। टोकना आपका हक़ है, खुलकर बोलने का मतलब ही यही है, गलती कुछ मान लेने में नहीं है, गलती है चुपचाप मान लेने में। एक बात और देखिए, हल्के बच्चे के अनाज से ज़्यादा थालियाँ बनीं, 450, जबकि भारी बच्चे के अनाज से सिर्फ़ 400 थालियाँ। वज़न बस 1 बटा 10 कम था, पर एक kilogram से बनने वाली थालियाँ 1 बटा 4 ज़्यादा थीं।

3:37ये बात किसी एक संख्या को देखकर नहीं पढ़ी जा सकती, इसे सिर्फ़ संबंध जानता है। तो ये रहा पूरा तरीका, 4 कदम, और इसी क्रम में। पहला कदम, अंदाज़ा, कोई भी हिसाब करने से पहले एक जवाब बोल दीजिए। दूसरा कदम, संबंध, लिखिए कि कौन सी मात्राएँ आपस में गुणा होती हैं। तीसरा कदम, मान्यता, हर वो खाली जगह भरिए जो किसी ने नहीं भरी, और साफ़ बताइए कि किस चीज़ से भरी।

4:06चौथा कदम, हिसाब, और फिर मुड़कर अपने अंदाज़े को देखिए। अंदाज़ा सबसे पहले आता है, और ये कोई सजावट नहीं है। अंदाज़ा पहले क्यों आता है, इसकी वजह ये है। मान लीजिए आपका हिसाब कहता है कि कुल 500 कंचे लगेंगे। क्या ये जवाब सही हो सकता है? अगर आपने पहले अंदाज़ा नहीं लगाया था, तो आपके पास इसे परखने के लिए कुछ भी नहीं है। ये जवाब हिसाब से निकला है, और हिसाब किसी गलत संबंध के बारे में भी पूरी ख़ुशी से सही निकलता है।

4:39पर अगर आपने पहले ही कहा होता, कि हज़ारों तो ज़रूर लगेंगे, तो 500 सुनते ही आपके अंदर कुछ खटकता। क्योंकि 500 सैकड़ों में आता है, आपके अंदाज़े से पूरा एक पायदान नीचे। अंदाज़ा ही वो पहली चीज़ है जो किसी गलत जवाब को पकड़ सकती है। और गलत अंदाज़े से कोई नुकसान नहीं होता। उसे कोई जाँचता नहीं, वो जवाब नहीं है, वो बस एक चेतावनी की घंटी है।

5:05तो अब कंचों वाले सवाल पर लौटते हैं, इस बार ठीक से। पहले अंदाज़ा, सैकड़ों, हज़ारों, लाखों, या करोड़ों? अब संबंध, कंचों की गिनती, गुणा एक कंचे का वज़न, बराबर उस इंसान का वज़न। फिर से, अभी कोई संख्या नहीं, पर ढाँचा पहले से तय है। ये कहता है कि कंचे भारी हों, तो कम लगेंगे। और ये कहता है कि जवाब एक भाग है, इंसान के वज़न को एक कंचे के वज़न से भाग देना।

5:38और ये भी बताता है कि कौन सी खाली जगहें अभी तक किसी ने नहीं भरीं। सवाल में कहीं नहीं लिखा कि एक कंचा कितना भारी है, या आप कितने भारी हैं। ये सवाल की कोई कमी नहीं है, यही तो असली सवाल है। तो एक कंचा तौल लीजिए, या उसका वज़न मान लीजिए। मान लीजिए एक कंचा 4 grams का है, और पलड़े पर बैठा इंसान 45 kilogram का।

6:04ये दोनों हमारी अपनी मान्यताएँ हैं, इनमें से कोई भी दी नहीं गई थी। सब कुछ एक ही इकाई में होना चाहिए, इसलिए 45 kilogram बन जाते हैं 45000 grams। अब 45000 को 4 से भाग दीजिए, तो मिलते हैं 11250 कंचे। यानी हज़ारों, अब इसे उस अंदाज़े से मिलाइए जो आपने शुरू में पकड़ रखा था। पर इसे ऐसे ही मत लिख दीजिए, ये आख़िरी कंचे तक सही होने का दावा करता है, जबकि ये एक माने हुए वज़न पर टिका है।

6:36कहिए लगभग 11000 कंचे, या अगर आप सिर्फ़ वो एक अंक मानते हैं जो आपकी मान्यता ने दिया, तो लगभग 10000 कंचे। वही 45 kilogram चावल बनकर 450 थालियाँ बने थे, और कंचों में 11250 कंचे। जवाब वज़न ने तय नहीं किया था, जवाब संबंध ने तय किया। और अगर कंचे बड़े हों, या कंचों की जगह paper clips हों, तो क्या होगा? फिर से, हिसाब से पहले एक अंदाज़ा लगाइए।

7:07मान लीजिए एक बड़ा कंचा 6 grams का है। अब 45000 को 6 से भाग दीजिए, तो मिलते हैं 7500 कंचे, पहले से कम। एक paper clip बहुत हल्की होती है, मान लीजिए सिर्फ़ 1 gram की। तो पलड़ा बराबर करने के लिए पूरी 45000 paper clips चाहिए। कंचे से paper clip पर आए, तो एक चीज़ का वज़न 4 गुना घटा, और गिनती ठीक 4 गुना बढ़ी। हर बार गिनती उतने ही गुना बदलती है जितने गुना वज़न बदला, बस उल्टी दिशा में।

7:39संबंध वही रहा, बस एक खाली जगह नए सिरे से भरी गई, इसलिए हर नई चीज़ के लिए उसका वज़न फिर से मानना पड़ता है। जवाब हमेशा चीज़ों की गिनती हो, ये ज़रूरी नहीं, वो लोगों की गिनती भी हो सकता है। मान लीजिए छोटा बच्चा बड़ा होकर, हर साल अपने वज़न जितनी कॉपियाँ बाँटता है। यानी 50 kilogram कॉपियाँ, ये कितने बच्चों तक पहुँचेंगी? संबंध ये है, बच्चों की गिनती, गुणा एक बच्चे का हिस्सा, बराबर कॉपियों का कुल वज़न।

8:14एक बच्चे का हिस्सा किसी ने नहीं बताया, यानी 2 खाली जगहें हैं, और एक संबंध एक बार में सिर्फ़ एक ही सवाल का जवाब देता है। तो इसे मान लीजिए, हर बच्चे को 500 grams की कॉपियाँ। तो 50000 grams को 500 grams से भाग दीजिए, हर साल 100 बच्चे। क्योंकि संबंध एक गुणा है, हिस्सा आधा कीजिए, 250 grams, तो गिनती दुगनी, उन्हीं 50 kilogram से 200 बच्चे।

8:41ये कोई कमी नहीं है, संबंध की हर मान्यता जवाब पर पूरा असर डालती है। अब कुछ ऐसा, जो बिल्कुल अलग तरह का सवाल लगता है। पैदल चलने वालों का एक समूह आज सुबह पहुँचा, लगभग 400 किलोमीटर पैदल चलकर। तो सोचिए, वो अपनी यात्रा पर कब निकले होंगे? न कोई थाली, न कोई कुल वज़न, लगता है कि इसके लिए कोई नया तरीका चाहिए। पर ये असल में वही कंचों वाला सवाल है।

9:12दूरी बराबर चलने की रफ़्तार गुणा समय, यानी 3 खाली जगहें, बिल्कुल बाकियों की तरह। हमें गुणा का नतीजा पता है, और उसका एक हिस्सा भी, बस दूसरा हिस्सा चाहिए, बदली है सिर्फ़ कहानी। मान लीजिए वो एक घंटे में 4 किलोमीटर चलते हैं, तो 400 किलोमीटर के लिए 100 घंटे चलना पड़ा। मान लीजिए वो दिन में 8 घंटे चलते हैं, तो ये साढ़े 12 दिन हुए। कहिए लगभग 13 दिन, और उस आधे दिन का दावा मत कीजिए।

9:45एक और सवाल, जिस पर पहले अंदाज़ा लगाना बनता है। कोई इंसान पूरी ज़िंदगी रोज़ पैदल चले, तो दुनिया के कितने चक्कर लगा सकता है? क्या सिर्फ़ एक बार, दसियों बार, या सैकड़ों बार? दुनिया का एक चक्कर 40000 किलोमीटर है, और यही अकेली संख्या है जो दी गई है। एक घंटे में 4 किलोमीटर, दिन में 8 घंटे, तो एक दिन में 32 किलोमीटर। साल के 365 दिन, और पूरे 60 साल तक चलना।

10:17ये मिलाकर ज़िंदगी भर में 700800 किलोमीटर होते हैं। इसे 40000 से भाग दीजिए, तो साढ़े 17 चक्कर से थोड़ा ज़्यादा, यानी लगभग 18 चक्कर। यानी दसियों, न एक बार, न सैकड़ों बार, अगर आपने दसियों कहा था, तो आपका अंदाज़ा काम करने लगा है। अगर हर कोई अपनी-अपनी संख्याएँ मान ले, तो कोई गलत कैसे हो सकता है? एक कंचे के हर उस वज़न को आज़माइए जो कोई समझदार इंसान चुन सकता है, 2 grams से 12 grams तक, कुल 11 अलग मान्यताएँ।

10:53हर जवाब 3750 और 22500 के बीच में आता है। दोनों छोर 6 गुना अलग हैं, और सभी 11 जवाब हज़ारों में हैं। इनमें से एक को भी गलत साबित नहीं किया जा सकता, और इस असहमति से जवाब का आकार कभी नहीं बदला। अब दूसरी तरह की गलती, कंचे के वज़न से भाग देने की जगह गुणा कर दीजिए। वही 11 मान्यताएँ आज़माइए, तो जवाब 90000 से 540000 तक जाते हैं, और ये पट्टी सही वाली पट्टी को कहीं नहीं छूती।

11:26हर गलत जवाब हर सही जवाब से बड़ा है, और सबसे पास आकर भी ये 4 गुना दूर है। और देखिए कि अकेला अंदाज़ा क्या करता, इन गलत जवाबों में सबसे छोटा, 90000, अब भी हज़ारों में ही पढ़ा जाता है। अंदाज़ा घंटी बजाता है, पर गलती को पकड़ती है ये पूरी पट्टी। यही फ़र्क है, आपकी चुनी हुई संख्या पर बहस हो सकती है, पर गलत संबंध को किसी बहस से ठीक नहीं किया जा सकता।

11:55तो अंदाज़ा, संबंध, मान्यता, हिसाब, और जवाब उतना ही, जितना आपकी मान्यताएँ बता सकती हैं। अगली बार कोई ऐसी मात्रा दिखे जिसे कोई गिन नहीं सकता, तो पहले पूछिए, कौन सी चीज़ें आपस में गुणा होती हैं?