हमेशा, कभी-कभी, या कभी नहीं: एक प्रत्युदाहरण फ़ैसला कर देता है

0:00यहाँ एक दावा है, कोई भी 2 even संख्याएँ जोड़िए, तो जवाब 4 का multiple होता है। तो क्या ये दावा सच है, या नहीं? मान लीजिए 12 और 16, जोड़ 28 है, जो 4 का multiple है, पर 12 और 6 का जोड़ 18 है, जो नहीं है। ऐसे किसी भी दावे के सिर्फ़ 3 जवाब होते हैं, हमेशा सच, कभी-कभी सच, और कभी सच नहीं। ये भरोसे के 3 स्तर नहीं हैं, ये 3 अलग तरह के दावे हैं, और हर एक का सबूत अलग तरह का होता है।

0:33सही जवाब चुनना ही असली काम है, और ये काम किसी भी हिसाब से पहले आता है। तो चलिए, इन तीनों को एक-एक करके देखते हैं। शुरुआत हमेशा सच से कीजिए, क्योंकि ये सबसे बड़ा वादा करता है। हमेशा सच का मतलब है, कि दावा अपने हर case पर सही है, हर एक पर, बिना किसी छूट के। और ऐसे cases कभी ख़त्म नहीं होते, आप जितनी भी संख्याएँ जाँच लें, हमेशा और बची रहती हैं।

1:01इसलिए हमेशा सच वाला दावा उदाहरणों से साबित नहीं होता, न थोड़े उदाहरणों से, न बहुत सारे उदाहरणों से। इसके लिए तर्क चाहिए, एक ऐसी वजह जो उन cases को भी ढँके, जिन्हें आप कभी देखेंगे ही नहीं। जैसे ये दावा, कि 8 अगर 2 संख्याओं में पूरा जाए तो उनके जोड़ में भी जाता है, इसकी वजह है 8 a प्लस 8 b बराबर 8 गुणा bracket a प्लस b, और 1600 जोड़ियों में ये एक बार भी नहीं गिरता।

1:29पर उल्टी दिशा में देखिए, एक अकेली नाकामी पूरे दावे को गिरा देती है, और यही असंतुलन इस पूरे विषय की सबसे काम की बात है। उदाहरण कितना भटका सकते हैं, ये एक दावे से देखिए। कोई संख्या लीजिए, उसे उसी से गुणा कीजिए, फिर वही संख्या जोड़िए, और फिर 41 जोड़िए। शून्य से शुरू करें तो 41 आता है, जिसका 1 और ख़ुद के सिवा कोई factor नहीं। फिर 43, फिर 47, फिर 53, फिर 61, और किसी का भी 1 और ख़ुद के सिवा कोई factor नहीं।

2:05यही चलता रहता है, case के बाद case, और जब संख्या 39 होती है, तो 1601 आता है, और उसका भी कोई दूसरा factor नहीं। एक बात और, ये सारे जवाब odd हैं, क्योंकि n गुणा n प्लस n हमेशा even होता है, और उसमें 41 जुड़ता है। यानी लगातार 40 cases, और एक भी नाकामी नहीं। इतने पर कोई भी इसे हमेशा सच कह देगा, क्योंकि 40 हरे निशान बहुत होते हैं।

2:32पर अगली संख्या पर क्या होगा? संख्या 40 पर जवाब आता है 1681, और यहीं कहानी बदल जाती है। क्योंकि ये 1681, 41 गुणा 41 है, यानी 41 इसका एक factor है। इसकी वजह भी दिखती है, 40 गुणा 40 प्लस 40, बराबर 40 गुणा 41 है, और उसमें 41 जोड़ें, तो 41 गुणा 41 बनता है। तो दावा ग़लत है, कमज़ोर नहीं, आमतौर पर सही भी नहीं, बल्कि जैसा लिखा है, वैसा सीधा ग़लत।

3:07एक case ने ये कर दिया, और हमेशा एक ही case काफ़ी होता है, क्योंकि हमेशा का मतलब है हर एक, और एक अपवाद हर एक को तोड़ देता है। ऐसे case को counterexample कहते हैं, इसे non-example भी कहते हैं, यानी वो उदाहरण जो दावे के ख़िलाफ़ खड़ा हो। वो 40 सफलताएँ ग़लत नहीं थीं, वो बस शुरू से ही सबूत नहीं थीं। और 81 cases तक जाएँ, तो सिर्फ़ 74 बचते हैं, 7 जगह कोई दूसरा factor मिल जाता है, इसीलिए counterexample ढूँढना सबसे सस्ती चाल है।

3:41अब कभी-कभी सच, और यही वो जवाब है जिसका सबसे ज़्यादा ग़लत इस्तेमाल होता है। कभी-कभी सच का मतलब ये नहीं, कि मुझे पक्का नहीं पता, ये एक पक्का जवाब है, जिसके लिए पक्का सबूत चाहिए। इसे कमाने के लिए 2 चीज़ें दिखानी पड़ती हैं, एक case जहाँ दावा चलता है, और एक case जहाँ वो गिरता है। दावा ये है, कि अगर 8 किसी संख्या में पूरा जाता है, तो उसे बनाने वाले किन्हीं भी 2 हिस्सों में भी पूरा जाएगा।

4:10संख्या 72 लीजिए, जो 8 गुणा 9 है, इसे 48 और 24 में बाँटिए, यानी 8 गुणा 6 और 8 गुणा 3, तो दावा चल गया। अब इसी 72 को 50 और 22 में बाँटिए, 8 इनमें से किसी में पूरा नहीं जाता, तो दावा गिर गया। एक ही संख्या के 2 बँटवारे, और दोनों मिलकर फ़ैसला कर देते हैं, 72 को बाँटने के 71 तरीक़ों में से सिर्फ़ 8 में दोनों हिस्से 8 के multiples हैं।

4:41एक और दावा, और इसे भी यही इलाज चाहिए। अगर कोई संख्या 7 से पूरी बँटती है, तो क्या वो 7 के हर multiple से भी बँटती है? संख्या 42 लीजिए, जो 7 गुणा 6 है। क्या ये 14 से बँटती है, 14 है 7 गुणा 2, और हाँ, 42 में 14 पूरे 3 बार जाता है। क्या ये 28 से बँटती है, 28 है 7 गुणा 4, और नहीं, 42 में 28 एक बार जाकर 14 बचते हैं।

5:13एक चलता है, एक नहीं, वो भी एक ही संख्या पर, तो कभी-कभी सच, और अब ये अंदाज़ा नहीं, कमाया हुआ जवाब है। गिनें तो 7 के पहले 12 multiples में से सिर्फ़ 4 ही 42 में पूरे जाते हैं, और वो हैं 7, 14, 21 और 42 ख़ुद। अब 2 दावे जो जुड़वाँ लगते हैं, पर उनके जवाब अलग निकलते हैं। पहला, जो संख्या 9 और 4 दोनों से बँटे, वो 36 से भी बँटेगी।

5:43दूसरा, जो संख्या 6 और 4 दोनों से बँटे, वो 24 से भी बँटेगी। दोनों का आकार एक जैसा है, 2 divisors, उनका गुणा, और गुणनफल का दावा। गिनें तो 601 से नीचे 16 संख्याएँ 9 और 4 दोनों से बँटती हैं, और हर एक 36 की multiple है, तो पहला दावा हमेशा सच है। पर ऐसी 50 संख्याएँ 6 और 4 दोनों से बँटती हैं, और इनमें से आधी, यानी 25 संख्याएँ, 24 से नहीं बँटतीं, और सबसे छोटी संख्या 12 ही इसे तोड़ देती है।

6:16फ़र्क़ की वजह factors में है, 9 और 4 में कुछ साझा नहीं, पर 6 और 4 दोनों में एक 2 है, जो गुणा में 2 बार गिना जाता है। यानी दावे का आकार उसका जवाब नहीं बताता, हर दावे का फ़ैसला अलग से करना पड़ता है। अब बचा कभी सच नहीं, और ये भी हमेशा सच जितना ही बड़ा दावा है। ये कहता है कि ऐसा हो ही नहीं सकता, एक बार भी नहीं, कभी नहीं।

6:42इसलिए इसे भी तर्क चाहिए, ढूँढने पर न मिलना कोई तर्क नहीं है। दावा ये है, कि एक odd संख्या में एक even संख्या जोड़ें, तो 6 का multiple बनता है। कुछ जोड़ियाँ देखिए, 4 और 3 का जोड़ 7 है, 10 और 5 का जोड़ 15 है, और इनमें 6 का multiple कोई नहीं। छोटा तर्क पहले, 6 का हर multiple even है, जैसे 6, 12 और 18, और odd और even का जोड़ हमेशा odd होता है।

7:12कोई odd संख्या even नहीं हो सकती, तो ये दोनों कभी नहीं मिलते, इसे टकराव कहते हैं, और कभी सच नहीं वाला जवाब टकराव से ही बनता है। जाँच में 1600 जोड़ियों पर ऐसा एक बार भी नहीं होता, पर हम इसे इस गिनती की वजह से नहीं, टकराव की वजह से मानते हैं। अब यही टकराव letters में, एक-एक line करके देखिए। मान लीजिए even संख्या 2 n है, और odd संख्या 2 m प्लस 1 है।

7:41इनका जोड़ 6 के किसी multiple के बराबर रखिए, यानी 6 j के बराबर। एक को दूसरी तरफ़ ले जाइए, तो 2 n प्लस 2 m, बराबर 6 j माइनस 1 बनता है। बाईं तरफ़ 2 गुणा bracket n प्लस m है, यानी even, और दाईं तरफ़ 6 का multiple माइनस 1 है, यानी odd। मानों पर देखिए, n 4 हो, m 3 हो और j 2 हो, तो 8 और 7 का जोड़ 15 है, सामने 12, और एक हटाने पर बाईं तरफ़ 14, दाईं तरफ़ 11, एक even और एक odd।

8:18यानी even बराबर odd, ऐसी कोई जोड़ी है ही नहीं, और अब हमें पता है कि क्यों। जाँच में 8000 मेलों पर बाईं तरफ़ हमेशा even, दाईं तरफ़ हमेशा odd, और दोनों एक बार भी बराबर नहीं। अब एक सवाल जो अक्सर उठता है, क्यों न 2 n और 2 n प्लस 1 लेकर, दोनों के लिए एक ही letter n से काम चलाया जाए? क्योंकि इससे दोनों पड़ोसी बन जाते हैं, odd संख्या even के ठीक बाद वाली हो जाती है।

8:50जैसे 6 और 7, या 20 और 21, पर 6 और 15 जैसी जोड़ी इसमें कभी आती ही नहीं। अगर n और m, 1 से 40 तक चलें, तो ईमानदार जोड़ियाँ 1600 हैं, और एक letter वाली सिर्फ़ 40 जोड़ियाँ। यानी एक letter वाला तर्क बहुत छोटे सवाल का जवाब देता, उस सवाल का नहीं जो पूछा गया था। ये फ़र्क़ जवाबों में भी दिखता है, दोनों में 1 का अंतर है, ये दावा एक letter पर हमेशा सच है, पर 1600 जोड़ियों में से सिर्फ़ 79 पर।

9:22यहाँ odd जोड़ वाला तर्क दोनों पर चल जाता है, इसीलिए ये जाल पकड़ में नहीं आता, पर 2 अलग संख्याओं के दावे के लिए 2 अलग letters ही चाहिए। दावे अक्सर किसी के नाम के साथ आते हैं, पर नाम कोई सबूत नहीं है। पहला दावा, 6 से भाग देने पर 2 बचाने वाली कोई भी 3 संख्याएँ जोड़ें, तो 6 का multiple बनेगा। जैसे 8, 14 और 20, इनका जोड़ 42 है, जो 6 गुणा 7 है।

9:51ये हमेशा सच है, क्योंकि तीनों के बचे हुए 2, 2 और 2 मिलकर ठीक 6 बनाते हैं, और 1728 तिकड़ियों में से हर एक यही कहती है। दूसरा दावा, 12 से भाग देने पर 8 बचाने वाली संख्या में, 12 के किसी multiple से 4 कम वाली संख्या जोड़ें, तो 8 का multiple बनेगा। संख्या 20 और 8 लीजिए, जोड़ 28 है, जो 8 का multiple नहीं, पर 8 और 8 का जोड़ 16 है, जो है।

10:21तो ये कभी-कभी सच है, और 1681 जोड़ियों में से सिर्फ़ 840 पर चलता है। तीसरा दावा, 9 के किसी multiple के अंक उल्टे कर दें, तो वो फिर भी 9 का multiple रहेगा। जैसे 1089 उल्टा होकर 9801 बनता है, और 9801 बराबर है 9 गुणा 1089, यानी 9 का multiple। ये हमेशा सच है, क्योंकि अंक उल्टे करने से उनका जोड़ नहीं बदलता, दोनों बार 18, और 9 का multiple वही है जिसके अंकों का जोड़ 9 का multiple हो।

10:59गिनें तो 10000 से नीचे 9 के 1111 multiples हैं, और उल्टे होकर भी हर एक 9 का multiple रहता है। चौथा दावा, 11 के कुछ multiples को दोगुना करें तो वो 11 के multiple रहते हैं, और कुछ नहीं रहते। ये ग़लत है, और एक अनोखे ढंग से, 11 के 300 multiples में से हर एक दोगुना होकर भी 11 का multiple रहता है। यानी दावा कभी-कभी कहता है, पर सच हमेशा वाला है, और जो multiples बाहर हो जाएँ, वो कहीं मिलते ही नहीं।

11:29कुल 4 दावे, और किसी में भी नाम ने कोई फ़ैसला नहीं किया, फ़ैसला सबूत ने किया। अब 8 दावे एक साथ रखिए, और हर एक को उसका जवाब दीजिए। जोड़ वाला दावा, 8 दोनों में जाए तो जोड़ में भी जाएगा, हमेशा सच, और अंतर में भी। हिस्सों वाला दावा, कभी-कभी सच, एक तरफ़ 48 और 24 वाला बँटवारा, दूसरी तरफ़ 50 और 22 वाला। संख्या 7 के multiple का हर multiple 7 से बँटता है, हमेशा सच, और 12 से बँटने वाली संख्या 12 के हर factor से बँटती है, ये भी हमेशा सच।

12:06जो संख्या 7 से बँटे, वो 7 के हर multiple से बँटे, ये कभी-कभी सच है, ये multiples वाले दावे को उल्टा करने से बनता है, और उल्टा किया गया दावा एक नया दावा है। फिर 9 और 4 से 36, हमेशा सच, 6 और 4 से 24, कभी-कभी सच, और odd और even का जोड़ 6 का multiple, कभी सच नहीं। कुल मिलाकर 4 हमेशा सच, 3 कभी-कभी सच, और एक कभी सच नहीं, यानी तीनों जवाब यहाँ मौजूद हैं।

12:38तो अब देखिए कि ठीक से दिया गया फ़ैसला कैसा दिखता है। हमेशा सच के लिए तर्क, उदाहरण नहीं, एक वजह, जैसे 8 a प्लस 8 b बराबर 8 गुणा bracket a प्लस b। कभी-कभी सच के लिए 2 संख्याएँ, एक जो चले और एक जो न चले, और दोनों दिखानी पड़ती हैं, जैसे 48 और 24 वाला बँटवारा, और 50 और 22 वाला। कभी सच नहीं के लिए टकराव, 2 चीज़ें जिन्हें बराबर होना पड़े पर जो हो नहीं सकतीं, जैसे एक even और एक odd।

13:12और counterexample मिल जाए, तो वहीं मत रुकिए, पूछिए कि कौन सी शर्त दावे को बचा सकती है। जैसे 6 और 4 दोनों से बँटना 24 नहीं देता, पर 12 हर बार देता है, ये सारी 50 संख्याएँ 12 की multiples हैं। यही काम का जवाब है, असली दावा ग़लत था, पर उसके ठीक पीछे एक सच्चा दावा छिपा था। आख़िरी बात, और ये यहाँ का सबसे परिपक्व विचार है।

13:39कई बार ईमानदार जवाब ये होता है, कि अभी फ़ैसला नहीं हुआ। ये कभी-कभी सच जैसा नहीं है, कभी-कभी सच एक पूरा फ़ैसला है, जिसके पीछे 2 गवाह खड़े हैं। फ़ैसला न होने का मतलब है कि आप अभी ढूँढ रहे हैं, और ऐसा कहना बिल्कुल ठीक है। ठीक ये नहीं है, कि जाँचते-जाँचते थक गए, तो किसी दावे को हमेशा सच कह दिया। वो लगातार 40 cases याद कीजिए, वो दावा बहुत देर तक पक्का लगा, और कभी पक्का था ही नहीं।

14:08तो 3 फ़ैसले, 3 तरह के सबूत, और कौन सा सबूत देना है, ये जानना ही आधे से ज़्यादा काम है।