PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 2, The Baudhāyana-Pythagoras TheoremPrepShorts

Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

square को दुगुना करना: diagonal ही construction है

Doubling and halving a square11 मिनट

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किसी square का ठीक 2 गुना क्षेत्रफल चाहिए, तो भुजा 2 गुना करना पक्का लगता है, पर उससे क्षेत्रफल 4 गुना हो जाता है। और कोई भी भिन्न, अपने से गुणा होकर, ठीक 2 नहीं बनता।

मुख्य idea

square का area दुगुना करना उसकी side दुगुनी करना नहीं है। हर side को उसकी दुगुनी length तक खींचो, तो तुमने original की दो नहीं, चार copies बिछा दी हैं। जो segment असल में यह काम करता है वह diagonal है, और इसकी वजह नाप-जोख नहीं, गिनती का एक तर्क है: original square की अपनी horizontal और vertical sides को उसके diagonal पर बने square के आर-पार बढ़ाओ, और दोनों squares एक ही triangle की copies में बँट जाते हैं — original में उसकी दो copies हैं, नए में चार। area को एक जैसे टुकड़ों में गिना जा रहा है, इसलिए "दुगुना" बिल्कुल ठीक-ठीक निकलता है, और किसी को यह जानने की ज़रूरत नहीं पड़ती कि diagonal कितना लंबा है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि square की हर side दुगुनी करने से उसका area दो से नहीं, चार से गुणा क्यों होता है, और side × side के रूप में इसकी आम वजह बताना
  • Baudhāyana का construction करना: एक square दिया हो, तो उसका diagonal खींचना और उस diagonal पर एक square बनाना
  • वे horizontal और vertical lines खींचना जो दुगुना होना साफ़ दिखाती हैं, और बताना कि वे lines नए square के कोनों से होकर क्यों जाती हैं
  • दोनों squares में congruent triangles गिनना और गिनती 2 और 4 के सहारे, बिना कोई length नापे, "दुगुना" शब्द को सही ठहराना
  • चारों triangles की congruence को drawing देखकर मान लेने के बजाय तर्क से सही ठहराना
  • construction को आगे बढ़ाकर squares की ऐसी कड़ी बनाना जिसमें हर square का area पिछले वाले का दुगुना हो, और बताना कि हर एक में कितने triangles हैं
  • paper से दुगुना करके दिखाना: दो एक जैसे squares को quadrant triangles में काटना और उन्हें जोड़कर दुगुने area वाला एक square बनाना
  • यही नतीजा diagonal के बारे में एक तथ्य के रूप में कहना, ताकि §2.3 उसे एक length में बदल सके

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
diagonalsquare के उन दो कोनों को जोड़ने वाला segment जो आपस में बगल वाले नहीं हैंविकर्णइस पूरे chapter में छपा (Part II, §2.1, p.33)
Śulba-SūtraBaudhāyana का ज्यामितीय construction के नियमों वाला ग्रंथ, जिसे chapter लगभग 800 BCE का बताता हैशुल्ब-सूत्रइसी chapter में छपा (Part II, §2.1, p.33)
Verse 1.9Śulba-Sūtra का वह क्रमांकित श्लोक जिसमें दुगुना करने का नियम दिया गया हैश्लोक 1.9इसी chapter में छपा (Part II, §2.1, p.33)
east-westhorizontal reference line के लिए Baudhāyana का शब्द, जैसा chapter बताता हैपूर्व-पश्चिमइसी chapter में छपा, single quotes में (Part II, §2.1, p.34)
north-southeast-west वाली line पर perpendicular, vertical line के लिए उनका शब्दउत्तर-दक्षिणइसी chapter में छपा, single quotes में (Part II, §2.1, p.34)
congruentबिल्कुल एक ही आकार और size का, इतना कि एक को दूसरे पर रखा जा सकेसर्वांगसमइसी chapter में छपा (Part II, §2.1, p.34)
areaकिसी figure से ढकी सतह की मात्रा, जिसे यहाँ बराबर triangles गिनकर नापा जाता हैक्षेत्रफलइस पूरे chapter में छपा (Part II, §2.1, p.33)
sidelengthएक side की length, जिसे यह book हर जगह एक ही शब्द में लिखती हैभुजा की लंबाईइस पूरे chapter में छपा (Part II, §2.2, p.36)
dotted squarechapter की figures में नए बने square का नाम, जिसे वह टूटी हुई रेखा से बनाता हैबिंदुदार वर्गइसी chapter में छपा (Part II, §2.1, p.34)
tiling by congruent piecesकिसी figure को एक ही shape की copies से पूरा ढकना, बिना ख़ाली जगह और बिना overlap केसर्वांगसम टुकड़ों से आच्छादनइस पाठ का शब्द; chapter यह करता है पर इसे नाम नहीं देता
scale factorवह संख्या जिससे हर length गुणा होती है, और जिसके square से area गुणा होता हैमापक गुणकइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें। Śulba-Sūtra का Devanagari रूप chapter की roman spelling का लिप्यंतरण है; chapter ख़ुद यह नाम सिर्फ़ diacritics वाली roman लिपि में छापता है।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "area दुगुना मतलब side दुगुनी।" chapter इसी अनुमान से शुरू करता है क्योंकि students यही अनुमान लेकर आते हैं। इससे area चार गुना हो जाता है, और chapter चारों quadrants दिखाता है। diagonals के बारे में कुछ भी कहने से पहले student से quadrants गिनवाओ।
  • "तो फिर area दुगुना मतलब side गुणा 1.5, या उसके आसपास।" कोई भी जाना-पहचाना fraction काम नहीं करता; जो side चाहिए वह ऐसी length है जिसे fraction के रूप में लिखा ही नहीं जा सकता। यह §2.3–§2.4 का काम है, लेकिन जो व्याख्या अभी class को कोई fraction ढूँढ़ने देती है, उसने आगे वाले तर्क की ज़मीन ठीक से तैयार कर दी है।
  • "तिरछा square छोटा है — दबा हुआ-सा दिखता है।" अपने diagonal पर खड़ा square page पर उसी square से पतला दिखता है जो सीधा रखा हो। figure को तिरछा करने से उसके area में कुछ नहीं बदलता। उसे घुमाकर सीधा कर दो और भ्रम ख़त्म हो जाता है।
  • "चारों triangles एक जैसे दिखते हैं, इसलिए वे एक जैसे हैं।" diagram में एक जैसा दिखना congruence नहीं है। chapter student से congruence समझाने को कहता है: हर triangle की दो sides diagonal पर बने टूटे हुए तिरछे square के दो बराबर diagonals के आधे हैं — figure के सचमुच सबसे बड़े square के नहीं — और वे वहाँ right angle पर मिलती हैं जहाँ वे diagonals कटते हैं।
  • "बढ़ाई गई sides कोनों से इसलिए गुज़रती हैं कि drawing ऐसे ही बनाई गई थी।" वे इसलिए गुज़रती हैं कि original square की side नए square के एक diagonal के साथ पड़ी है, और square का diagonal कोने से कोने तक जाता है। chapter का hint यह बात उलटी तरफ़ से कहता है — angle bisection के ज़रिए — और जब तक कोई एक दिशा दी जाए, दोनों ठीक हैं।
  • "काटने और दोबारा जमाने में थोड़ा-सा खो सकता है।" कुछ नहीं खोता: टुकड़े वही टुकड़े हैं। chapter के arithmetic के बजाय काट-जोड़ से तर्क करने की पूरी वजह यही है, और यही आदत बाक़ी chapter को चाहिए।
  • "यह सिर्फ़ square के लिए काम करता है।" यहाँ section 9 को ईमानदार रहना चाहिए। chapter की कड़ी squares को दुगुना करती है; इस्तेमाल हुआ तर्क ख़ास तौर पर square के diagonals के बराबर और perpendicular होने पर टिका है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.3 Q1

पूरा transcript1,649 शब्द

ये एक square है, और सवाल है, इसके ठीक 2 गुना क्षेत्रफल वाला square कैसे बनाएँ? लगभग 2 गुना नहीं, बिल्कुल ठीक 2 गुना। ये सवाल बहुत पुराना है, और इसका एक पुराना जवाब ऐसा है, जिसमें कुछ भी नापना नहीं पड़ता। जवाब एक ही segment है, जो इस square में पहले से दिखाई दे रहा है। पर उससे पहले, वो अंदाज़ा, जो ज़्यादातर लोग सबसे पहले लगाते हैं। क्षेत्रफल 2 गुना चाहिए, तो भुजा भी 2 गुना कर दीजिए, ये बात बिल्कुल पक्की लगती है।

एक square लीजिए, जिसकी भुजा 1 है, और उसका क्षेत्रफल भी 1 है। अब उसकी चारों भुजाएँ खींचकर, 2 लंबी कर दीजिए। नए square का क्षेत्रफल 2 नहीं, पूरा 4 है। उसे काटकर देखिए, पहले वाले square की 4 copies, उसमें ठीक ठीक बैठ जाती हैं। वजह ये है, कि क्षेत्रफल एक लंबाई गुणा दूसरी लंबाई है। भुजा 2 गुना हुई, तो दोनों लंबाइयाँ 2 गुना हुईं, यानी क्षेत्रफल 2 गुणा 2, यानी 4 गुना।

यही बात किसी भी गुणक पर लागू होती है। भुजा को k गुना कीजिए, तो क्षेत्रफल k गुणा k गुना हो जाता है। यहाँ 5 अलग जोड़ियों पर ये जाँचा गया, और उन सब पर सही निकला। क्षेत्रफल को सिर्फ़ एक बार k से गुणा करना, यही वो गलती है। जाँची गई 4 जोड़ियों में से, वो सिर्फ़ 1 पर सही बैठती है, जहाँ k ख़ुद 1 है। तो भुजा 2 गुना करने से, क्षेत्रफल 2 गुना नहीं, 4 गुना होता है।

तो भुजा को 2 गुना से कम बढ़ाना होगा, पर कितना? पहले 3 बटा 2 आज़माइए, 3 बटा 2 गुणा 3 बटा 2, 9 बटा 4 है, यानी 2 दशमलव 2 5, जो 2 से आगे निकल गया। अब 7 बटा 5 आज़माइए, उसे उसी से गुणा करें, तो 49 बटा 25, यानी 1 दशमलव 9 6, जो 2 से पीछे रह गया। पहला 2 से 1 बटा 4 आगे निकला, और दूसरा 1 बटा 25 पीछे रहा, यानी जवाब इन दोनों के बीच कहीं है।

फिर 17 बटा 12, उसे उसी से गुणा करें, तो 2 से 1 बटा 100 से भी कम दूर, फिर भी 2 नहीं। और 99 बटा 70, उससे 30 गुना से भी ज़्यादा करीब है, फिर भी चूक जाता है। यहाँ 7 भिन्न आज़माए गए, और किसी का भी अपने से गुणा, ठीक 2 नहीं निकला। असल में 60 अलग denominators पर जाँचने से भी, एक भी भिन्न ऐसा नहीं मिला।

इसीलिए जवाब गुणा करने वाली कोई संख्या नहीं, बल्कि खींचने वाला एक segment है। अब इस square का diagonal खींचिए, एक कोने से सामने वाले कोने तक। फिर उसी diagonal को एक भुजा मानकर, उस पर एक नया square बनाइए। इस नए square का क्षेत्रफल, पहले वाले का ठीक 2 गुना है। लगभग नहीं, बिल्कुल ठीक, और इस सबूत में diagonal की लंबाई कहीं इस्तेमाल नहीं होती। किसी को ये जानने की ज़रूरत ही नहीं, कि diagonal कितना लंबा है।

इसके बजाय, दोनों squares को एक ही triangle की copies में काटा जाएगा, और फिर गिना जाएगा। अब वो तरकीब, जिससे तस्वीर ख़ुद सबूत बन जाती है। पहले square की ऊपर वाली भुजा को, सीधे नए square के आर पार बढ़ा दीजिए, ये आड़ी line है। और उसकी बाईं भुजा को भी ऊपर नीचे बढ़ाइए, ये खड़ी line है। अब देखिए ये lines कहाँ पहुँचती हैं, एक line नए square के 2 कोनों से गुज़रती है, और दूसरी बाकी 2 कोनों से।

यानी दोनों lines मिलकर, नए square के चारों कोनों तक पहुँच जाती हैं। ये इत्तफ़ाक नहीं, पहले square की भुजा, नए square के diagonal पर ही पड़ी है, और diagonal कोने से कोने तक जाता है। इसे उलटी तरफ़ से देखें, तो पहले square की भुजा, नए square के कोने को 2 बराबर हिस्सों में बाँटती है, 45 और 45 degree। दोनों lines, 90 degree पर, ठीक नए square के बीच में मिलती हैं।

और इन lines ने उसे, 4 triangles में काट दिया है। अब पहले square पर लौटिए, उसमें diagonal तो पहले से ही खिंचा है। वो diagonal, उस square को 2 triangles में काटता है। छोटे square में 2 triangles, और नए square में 4 triangles। और ये सब एक ही triangle हैं, हर एक का क्षेत्रफल 1 बटा 2 है। नए square में 4 गुणा 1 बटा 2, यानी 2 है, और पहले square में 2 गुणा 1 बटा 2, यानी 1 है।

और 4 टुकड़े, 2 टुकड़ों के दोगुने हैं, बस यही पूरा सबूत है। न कोई लंबाई, न कोई मुश्किल हिसाब, बस 4 तक गिनती। और 2 गुना भुजा वाले square में, इसी टुकड़े जैसे पूरे 8 टुकड़े आते हैं। क्षेत्रफल यहाँ हूबहू एक जैसे टुकड़ों में नापा जा रहा है, इसीलिए 2 गुना बिल्कुल ठीक निकलता है। पर ये कहना कि चारों एक ही triangle हैं, एक दावा है, और दावे को वजह चाहिए।

चारों triangles एक ही तरह बने हैं, उनकी 2 भुजाएँ बीच से किसी कोने तक जाती हैं। वो भुजाएँ नए square के 2 diagonals के आधे हिस्से हैं, और square के दोनों diagonals बराबर होते हैं, इसलिए ये सारे आधे हिस्से बराबर लंबे हैं। उनके बीच का कोना, बीच वाले बिंदु पर, 90 degree का है, क्योंकि square के diagonals 90 degree पर मिलते हैं। जब 2 भुजाएँ बराबर हों, और उनके बीच का angle बराबर हो, तो triangle पूरी तरह तय हो जाता है।

तीसरी भुजा, जो बाहर की तरफ़ है, नए square की एक भुजा है, और उसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं। तो चारों सिर्फ़ एक जैसे दिखते नहीं, वो हूबहू एक ही triangle हैं, 4 बार। इस बात पर सख़्ती ज़रूरी है, क्योंकि एक जैसा दिखना कुछ साबित नहीं करता। ये 2 triangles देखिए, दोनों का क्षेत्रफल 2 है, और दोनों में 90 degree का कोना है। एक की छोटी भुजाएँ 4 और 1 हैं, और दूसरे की 2 और 2 हैं।

क्षेत्रफल बराबर, पर आकार अलग, यानी बराबर क्षेत्रफल का मतलब हूबहू एक जैसा नहीं। और इस तस्वीर में एक दूसरा जाल भी है। चारों triangles की छोटी भुजाएँ, तिरछे square के diagonals के आधे हैं। सबसे बड़े square के diagonals के आधे नहीं, वो लंबाई में बिल्कुल अलग हैं, और चारों triangles पर गलत बैठते। एक और आपत्ति, और ये वो है, जो आँख बार बार करती है। नया square एक कोने पर खड़ा है, और कोने पर खड़ा square, सिकुड़ा हुआ, छोटा सा दिखता है।

पर ऐसा नहीं है, किसी आकार को घुमाने से, उसका क्षेत्रफल ज़रा भी नहीं बदलता। जो square, 3 आगे और 4 ऊपर वाली तिरछी भुजा पर बना है, उसका क्षेत्रफल 25 है, और 5 भुजा वाले सीधे square का क्षेत्रफल भी 25 ही है। यहाँ 4 तिरछे squares जाँचे गए, और उन सब पर, तिरछा और सीधा क्षेत्रफल बराबर निकला। और square होने की जाँच ये है, कि सिर्फ़ 4 बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं, क्योंकि rhombus की भी 4 भुजाएँ बराबर होती हैं।

असली square के दोनों diagonals भी बराबर होने चाहिए, और rhombus यहीं चूक जाता है। क्या यही तरकीब, किसी rectangle पर भी चलती है? एक rectangle लीजिए, जिसकी भुजाएँ 2 और 1 हैं, तो उसका क्षेत्रफल 2 है। उसके diagonal पर बने square का क्षेत्रफल 5 है, 2 गुना यानी 4 नहीं। इस rectangle के diagonals बराबर तो होते हैं, पर वो 90 degree पर नहीं मिलते। इसलिए उसके टुकड़े हूबहू एक जैसे triangles नहीं बनते, और गिनती वाला सबूत टूट जाता है।

ये सबूत square के diagonals की दोनों बातों पर टिका था, बराबर होना, और 90 degree पर मिलना। इसे दोबारा करने से, कोई नहीं रोकता। नया square लीजिए, उसका diagonal खींचिए, और उस पर एक और square बनाइए। पहले square का क्षेत्रफल 1, दूसरे का 2, तीसरे का 4, हर एक पिछले का ठीक 2 गुना। अब triangles गिनिए, तो पहले 2 मिलते हैं, फिर 4, और फिर 8 triangles।

और तीसरे square को देखिए, उसका क्षेत्रफल 4 है, यानी वहीं, जहाँ 2 गुना भुजा वाला square शुरू में पहुँचा था। तो वो गलत जवाब बेकार नहीं था, वो उसी सवाल को 2 बार पूछने का सही जवाब था। और आगे बढ़ते जाएँ, तो क्षेत्रफल 1, 2, 4, 8, 16 होते जाते हैं। ये सब कैंची से भी किया जा सकता है, और इसके 2 तरीके हैं। कागज़ के 2 एक जैसे squares लीजिए, और दूसरे को उसके दोनों diagonals पर काटकर, 4 triangles बना लीजिए।

हर टुकड़ा, square का 1 बटा 4 हिस्सा है, और चारों हूबहू एक जैसे हैं। इन 4 टुकड़ों को पहले square के चारों तरफ़, एक एक भुजा से सटाकर रखिए। जो बाहरी आकार बनता है, वो एक square है, और उसका क्षेत्रफल 2 है। ये वही square है, जो पहले square के diagonal पर बना था, बस अब कागज़ से। कुल 8 चौथाई टुकड़े मिलकर, पूरे 2 squares के बराबर हैं, कुछ भी खोया नहीं।

दूसरा तरीका और भी आसान है, 2 एक जैसे squares लीजिए, और हर एक को सिर्फ़ एक diagonal पर काटिए। अब 4 triangles हैं, और हर एक में 90 degree का कोना है। उनके चारों 90 degree वाले कोने बीच में मिलाइए, और चारों लंबी भुजाएँ बाहर की तरफ़ रखिए। हर लंबी भुजा, नए square की एक भुजा बन जाती है, और इस square का क्षेत्रफल भी 2 है। टुकड़े अलग हैं, यहाँ हर टुकड़ा आधा square है, यानी पहले तरीके के टुकड़े का 2 गुना।

कटाई अलग, टुकड़े अलग, पर आखिर में वही square। तो उस diagonal की लंबाई, आखिर कितनी है? नए square का क्षेत्रफल 2 है, और उसकी भुजा वही diagonal है। यानी diagonal ऐसी लंबाई है, जिसे उसी से गुणा करें, तो 2 मिले। और ऊपर की खोज में, ऐसा कोई भिन्न नहीं मिला। इसीलिए गिनती वाला सबूत इतना काम का है, उसे वो संख्या कभी चाहिए ही नहीं थी। छोटे square में 2 टुकड़े, बड़े में 4 टुकड़े, और 4 टुकड़े 2 टुकड़ों के दोगुने हैं, तो क्षेत्रफल 2 गुना।

लंबाई का सवाल किसी और दिन के लिए है, और वो एक अजीब और बड़ा सवाल निकलता है। पर ये बनावट, उस संख्या के मिलने से बहुत पहले से काम कर रही थी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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