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Chapter 7 · Finding the Unknown

Equation बराबरी का एक दावा है, हिसाब लगाने का आदेश नहीं

What an equation says11 मिनट

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बराबर का निशान हुक्म नहीं, दावा है - 'बाईं तरफ़ हल करो, जवाब दाईं तरफ़ लिखो' वाली आदत यहाँ टूटती है।

मुख्य idea

छह साल से बराबर का चिह्न एक-तरफ़ा आदेश रहा है: बाईं तरफ़ का हिसाब लगाओ, जवाब दाईं तरफ़ लिख दो। यह chapter जान-बूझकर यह आदत तोड़ता है। वह एक ऐसी छड़ से शुरू होता है जो बस सीधी लटकी रहती है, और पूछता है क्या करना है नहीं, बल्कि क्या सच होना ही चाहिए — और जिस पल तुम किसी ऐसी संख्या के बारे में एक सच्चा वाक्य लिख लेते हो जिसे अभी ढूँढ़ नहीं पाए, काम का पूरा क्रम उलट जाता है। अब तुम पहले equation लिखते हो और संख्या बाद में ढूँढ़ते हो, और ठीक इसीलिए 2n + 1 = 99, माचिस की तीलियों की arrangements को एक-एक position करके गिनने से बेहतर है।

आपको क्या आना चाहिए

  • सीधी लटकी छड़ को इस दावे की तरह पढ़ना कि दो ढेर बराबर हैं, न कि किसी ऐसे जोड़ की तरह जिसे करना है
  • बताना कि कोई लिखी हुई line expression न होकर equation किस वजह से होती है
  • दिए हुए equation में पहचानना कि उसका कौन-सा पक्ष LHS है और कौन-सा RHS
  • बताई गई किसी अज्ञात राशि को एक letter-number का नाम देना, और वह बराबरी लिखना जिस पर वह खरी उतरती है
  • पहली कुछ गिनतियों से nवीं माचिस-तीली arrangement के लिए expression 2n + 1 निकालना
  • समझाना कि equation को "हल करना" किस चीज़ की माँग करता है, और यह किसी expression का मान निकालने से अलग काम क्यों है
  • तय करना कि बताई गई तीलियों की गिनती तक पहुँचा भी जा सकता है या नहीं, और जब नहीं, तो उसे नामुमकिन क्या बनाता है
  • यह सही ठहराना कि हल करने का कोई तरीक़ा हाथ में आने से पहले ही equation लिख लेना क्यों फ़ायदेमंद है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
equationएक लिखी हुई line जो दावा करती है कि दो expressions एक ही संख्या का नाम हैंसमीकरणPart II, §7.1, p.167 पर मोटे अक्षरों में छपा
solvingपता लगाना कि letter के कौन-से मान दोनों पक्षों को बराबर कर देते हैंहल करनाPart II, §7.1, p.167 पर मोटे अक्षरों में छपा
Left Hand Side (LHS)बराबर के चिह्न से पहले लिखा expressionबायाँ पक्षPart II, §7.1, p.167 पर छपा
Right Hand Side (RHS)बराबर के चिह्न के बाद लिखा expressionदायाँ पक्षPart II, §7.1, p.167 पर छपा
letter-numberकिसी ऐसी संख्या की जगह इस्तेमाल हुआ letter जिसका मान अभी पता नहींअक्षर-संख्याPart II, §7.1, pp.167–168 पर छपा
algebraic expressionसंख्याओं, letters और operations से बना formula, जिसमें बराबर का चिह्न नहीं होताबीजीय व्यंजकPart II, §7.1, p.167 पर छपा
solutionletter का वह मान जिसके लिए दावा सच निकलता हैहलPart II, §7.2, p.168 पर छपा
unknownवह राशि जो सवाल तुम्हें नहीं देताअज्ञात राशिchapter के शीर्षक में और पूरे Part II, §7.1, pp.164–168 में छपा
position numbersequence में किसी arrangement की जगहस्थान संख्याPart II, §7.1, pp.166–167 पर छपा
sequencearrangements की क्रम से चलती कतार, हर position पर एकअनुक्रमPart II, §7.1, p.166 पर छपा
weighing scaleवह लटकने वाला यंत्र जिससे chapter शुरू होता हैतुलाPart II, §7.1, p.164 पर छपा
variableवह शब्द जो ज़्यादातर दूसरी textbooks किसी संख्या की जगह खड़े letter के लिए इस्तेमाल करती हैंचरइस chapter में नहीं छपा — सभी 28 छपे पन्ने, 164 से 191 तक, देखे और पढ़े गए; Ganita Prakash इसकी जगह letter-number और unknown कहती है
level barउस लटकी छड़ के लिए इस पाठ का छोटा नाम जिसके दोनों पक्ष बराबर हैंसंतुलित छड़इस पाठ का शब्द; किताब के अपने शब्द balanced और weighing scale हैं

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Part II का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए इस्तेमाल से पहले column जाँच लें — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • **"बराबर के चिह्न का मतलब है अब जवाब लिखो।"** पूरी शुरुआत इसी सोच के ख़िलाफ़ बनी है। सीधी छड़ कोई आदेश नहीं देती; वह एक स्थिति की ख़बर देती है। Section 2 को रुककर इस बदलाव को साफ़-साफ़ नाम देना चाहिए, क्योंकि आगे का हर क़दम उसी पर टिका है।
  • "expression और equation एक ही तरह की चीज़ हैं।" n तय करते ही 2n + 1 एक संख्या का नाम बन जाता है। 2n + 1 = 99 एक ऐसा दावा करता है जो ठीक एक n के लिए सच है और बाक़ी हर n के लिए झूठ। chapter परिभाषा को sequence वाले काम के ठीक बाद रखता है, ताकि फ़र्क़ ताज़ा रहे।
  • "जवाब हमेशा दाईं तरफ़ आता है।" 20 = y − 3 ठीक इसी वजह से p.167 पर छपा है, और आगे Example 16, 100 = x पर ख़त्म होता है। शुरू से ही equations को दोनों दिशाओं में पढ़ो।
  • "letter एक रहस्य का डिब्बा है जिसका अंदाज़ा लगाना है।" letter एक नाम है, जिसे सवाल लिखने वाला चुनता है — अंडे के लिए e, छल्ले के लिए y, position के लिए n। नाम देना एक फ़ैसला है, पहेली नहीं।
  • "अगर मैं इसे हल नहीं कर सकता, तो लिखने का कोई मतलब नहीं।" यह इस chapter की चाल का ठीक उलटा है। Jasmine का equation p.167 पर लिखा जाता है और उसे हल करने का कोई तरीक़ा p.168 से पहले मौजूद नहीं। उसे लिखना ही वह चीज़ है जो किसी तरीक़े को पाने लायक़ बनाती है।
  • "2n + 1 = 200 का बस कोई जवाब नहीं है।" यह बहुत रूखा है। 199 का आधा एक बिल्कुल ठीक संख्या है; जो नाकाम होती है वह यह माँग है कि इस sequence की कोई position पूर्ण संख्या हो। कारण को दावे से जोड़े रखो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Figure it Out Q3, End-of-Chapter Figure it Out Q16

पूरा transcript1,569 शब्द

बरसों से बराबर का निशान एक ही हुक्म देता आया है, बाईं तरफ़ हल करो, और जवाब दाईं तरफ़ लिखो। यहाँ यह आदत जान बूझकर तोड़नी है। बराबर का निशान हुक्म नहीं, एक दावा है। एक डंडा, ऊपर छल्ले पर 4 लिखा है, और दोनों सिरों पर 2 और 2। यह डंडा बिल्कुल सीधा लटकता है। दूसरा डंडा, छल्ले पर 7, एक तरफ़ 4, दूसरी तरफ़ 3, और यह झुक जाता है, 4 वाली तरफ़ नीचे।

झुकाव भी एक जानकारी है, जो तरफ़ नीचे जाती है, वही भारी है। दूसरे डंडे में 4 वाली तरफ़ नीचे, क्योंकि 4, 3 से ज़्यादा है। और सीधा लटकना इसी का ख़ास मौका है, जब कोई तरफ़ भारी नहीं। यहाँ 2 अलग बातें सिखाई जा रही हैं। छल्ले पर लिखी संख्या नीचे लटके पूरे वज़न का जोड़ है। और डंडा तभी सीधा, जब दोनों तरफ़ का वज़न बराबर हो। दूसरे डंडे का जोड़ ठीक 7 है, फिर भी वह झुकता है, तो सही जोड़ से डंडा सीधा नहीं होता।

एक और बात, डंडा सीधा और दोनों तरफ़ एक एक वज़न हो, तो छल्ला हमेशा सम, वज़न 1 से 29 तक हर एक पर यही निकलता है। और छल्ला छोटा हो या बड़ा, 2, 10 या 100, सीधा डंडा तीनों के नीचे बन जाता है। यानी एक चित्र से कई सच्ची बातें पढ़ी जा सकती हैं, बस चित्र को एक वाक्य की तरह देखना है। सीधे लटकते डंडे को देखकर उसे पढ़ें कैसे?

यह कोई जोड़ करने का हुक्म नहीं, एक वाक्य है, दोनों तरफ़ का वज़न बराबर है। डंडा कुछ करने को नहीं कहता, बस बताता है कि क्या सच है। अब छल्ले पर 16, एक डोरी पर पत्ता, कली, और फिर पत्ता, दूसरी पर एक फूल। पत्ते का वज़न 3, कली और फूल का पता नहीं। बस 2 बातें सच हैं, डंडा सीधा है, और कुल 16। यहाँ 2 चीज़ें नहीं पता, और 2 सच्ची बातें, देखते हैं काफ़ी हैं या नहीं।

डंडा सीधा, तो फूल का वज़न, पत्ता, कली और पत्ते के जोड़ के बराबर। और कुल 16, तो दोनों तरफ़ 8, 8। तो फूल 8, और कली 2, क्योंकि 3, 2 और 3 मिलकर 8। गौर करो, सिर्फ़ सीधा होना काफ़ी नहीं है, बहुत से जोड़े उसे पूरा करते हैं। और सिर्फ़ कुल 16 भी काफ़ी नहीं। दोनों बातें मिलकर बस 1 जवाब छोड़ती हैं। अब एक डंडा हाथ में, न छल्ला, न कुल।

बाईं तरफ़ 3 ब्रेड, दाईं तरफ़ 2 अंडे, और एक ब्रेड का वज़न 2। क्या ऊपर कोई जोड़ लिखा न हो, तब भी अंडे का वज़न निकल सकता है? ब्रेड मिलकर 2, 2, 2, यानी 6। डंडा सीधा, तो 2 अंडे भी 6, और हर अंडा 3। बस 1 वज़न यह करता है, और एक ब्रेड और जोड़ो, तो डंडा झुक जाता है। जाँच लो, अंडा 3, तो 3 और 3 मिलकर 6, और ब्रेड भी 6।

वाक्य सच है, और यही जाँच हर जवाब की कसौटी है। अंडे का वज़न नहीं पता, तो उसे एक नाम देते हैं, e। यह letter कोई पहेली वाला डिब्बा नहीं, जिसका अंदाज़ा लगाना हो, बस एक नाम है, जो लिखने वाला चुनता है। अंडे के लिए e, गोल चीज़ के लिए y, और तीलियों वाली जगह के लिए n। e की जगह कोई और letter भी चलता, नाम बस पहचान के लिए है।

तो डंडे का वाक्य, 2 जोड़ 2 जोड़ 2, बराबर e जोड़ e। या उल्टा लिखो, e जोड़ e, बराबर 2 जोड़ 2 जोड़ 2। और आख़िर में, 2 गुणा e बराबर 6। एक पूरा चित्र, एक छोटी सी line में। कुछ लोग मानते हैं कि जवाब हमेशा दाईं तरफ़ ही आता है। पर बराबर का निशान दोनों तरफ़ से पढ़ा जाता है, बाएँ से दाएँ, या दाएँ से बाएँ, बात वही।

इसलिए 6 बराबर 2 गुणा e भी उतना ही सही है, letter वाला हिस्सा दाईं तरफ़। एक और डंडा, एक तरफ़ 4 का तारा और 2 गोल चीज़ें, दूसरी तरफ़ कुल 16। गोल चीज़ का नाम y, तो 4 जोड़ 2 गुणा y, बराबर 16। y को 6 रखो, तो 4 जोड़ 12, यानी 16, बात सच, और 5 रखो तो 14, बात झूठ। यहाँ भी वही, पहले वाक्य लिखा, फिर संख्या ढूँढी।

अब तीलियों का एक सिलसिला, triangles की एक पट्टी। जगह 1 पर 1 triangle, 3 तीलियाँ, जगह 2 पर 2 triangles, 5 तीलियाँ, जगह 3 पर 3, और 7 तीलियाँ। और चौथी जगह पर, कुल 9 तीलियाँ। हर पट्टी में triangles एक दूसरे से सटे हुए, एक ऊपर की ओर, एक नीचे की ओर। हर नया triangle बस 2 तीलियाँ जोड़ता है, क्योंकि एक तीली बगल वाले triangle से साझी है।

अलग अलग बनाते तो 3, 6, 9, 12 तीलियाँ लगतीं। साझी तीली ही वह बचत है जो सिलसिले को यह रूप देती है। तो तीली गिनते समय साझी तीली को एक ही बार गिनो। इसे दूसरी तरह भी देख सकते हो, पहला triangle 3 तीलियाँ, फिर हर नया 2। तो जगह n पर, 3 जोड़ 2 गुणा, n घटा 1। यह वही गिनती है, जगह 1 से 59 तक हर जगह पर दोनों बराबर, एक भी फ़र्क नहीं।

अब हर गिनती को हल किए बिना, एक ही ढाँचे में रखा जाता है। और 2 गुणा 1 जोड़ 1, 2 गुणा 2 जोड़ 1, 2 गुणा 3 जोड़ 1। अब ढाँचा दिख रहा है, जगह n पर, 2 गुणा n जोड़ 1। जगह 1 से 59 तक हर जगह पर गिनती 2 गुणा n जोड़ 1 ही है, और हर बार विषम। क्योंकि 2 गुणा कुछ भी सम, और उसमें 1 जोड़ो तो विषम।

expression का काम, जगह n पर कितनी तीलियाँ हैं, यह बताना। जैसे जगह 10, तो 2 गुणा 10 जोड़ 1, यानी 21। यहाँ सवाल एक ही दिशा में चलता है, n से तीलियों की ओर। गिन गिनकर किसी बड़ी गिनती तक पहुँचना हो, तो पट्टी के बाद पट्टी बनानी पड़ेगी। पर expression पूरा सिलसिला एक line में रख देता है। इसीलिए उसे लिख लेना, गिन गिनकर बनाने से बेहतर है।

expression हर जगह पर अलग संख्या देता है, जगह 1 से 59 तक, 59 अलग गिनतियाँ। पर वह कुछ दावा नहीं करता, बस संख्या बताता है। अब सवाल उल्टा, किसी के पास ठीक 99 तीलियाँ हैं, कौन सी जगह बनेगी? यानी 2 गुणा n जोड़ 1, बराबर 99। यहाँ n हाथ में नहीं, उसे ढूँढना है। ऐसे वाक्य का नाम है equation। बराबर के निशान की बाईं तरफ़ LHS, और दाईं तरफ़ RHS।

इस equation में LHS है 2 गुणा n जोड़ 1, और RHS है 99। LHS और RHS बस दोनों तरफ़ के नाम हैं, इनमें कोई बड़ा या छोटा नहीं। expression और equation एक ही चीज़ लग सकती हैं, पर हैं नहीं। expression हर n पर एक संख्या देता है, बस। equation एक दावा है, जो जगह 1 से 500 तक बस 1 जगह पर सच है, और बाकी हर जगह झूठ।

solve करने का मतलब, वह n ढूँढना जिस पर दोनों तरफ़ एक ही संख्या हो। evaluate में n मिलता है और संख्या निकलती है, solve में संख्या मिलती है और n ढूँढना पड़ता है। इस सवाल का जवाब अभी खुला है, यहाँ बात बस यह है कि सवाल क्या पूछता है। कुछ लोग solve करने को अंदाज़ा लगाना समझते हैं, एक एक संख्या रखकर देखना। वह चलता तो है, पर धीमा, और बड़ी संख्याओं पर थका देता है।

ऐसे तरीके भी हैं जो n को सीधे ढूँढ लेते हैं, बिना अंदाज़े के। और अगर कोई कहे, ठीक 200 तीलियाँ चाहिए, तो? इस सिलसिले की हर गिनती विषम है, और 200 सम, तो कोई जगह 200 तीलियों वाली नहीं। जगह 1 से 1999 तक, एक भी जगह 200 तीलियों वाली नहीं निकलती। तो क्या 2 गुणा n जोड़ 1 बराबर 200, इसका कोई जवाब ही नहीं? जवाब है, 199 बटा 2, बस वह पूरी संख्या नहीं।

जगह पूरी संख्या होनी चाहिए, तो मना सिलसिला करता है, गणित नहीं। विषम गिनती हो, जैसे 201, तो जगह मिल जाती है, ठीक 1, जगह 100। यानी मुश्किल यह है कि संख्या 200 सम है, उसका बड़ा होना नहीं। कुछ लोग सोचते हैं कि जिसे हल न कर सको, उसे लिखने का क्या फ़ायदा। बात उल्टी है, पहले लिखा, तभी हल करने का तरीका किसी काम का हुआ। यानी पहले equation, और n बाद में, काम का क्रम ही उलट गया।

कुछ और equations, 3 गुणा x जोड़ 4, बराबर 7। अब 20 बराबर y घटा 3, यहाँ अकेली संख्या बाईं तरफ़ है। फिर a को 3 से भाग, बराबर 50। और 2 गुणा z जोड़ 4, बराबर 5 गुणा z घटा 14, यहाँ letters दोनों तरफ़। हर एक बस 1 पूरी संख्या पर सच है। जैसे y को 23 रखो, 23 घटा 3, यानी 20, बात सच। और z को 6 रखो, तो दोनों तरफ़ 16।

x को 1 रखो, तो 3 जोड़ 4, यानी 7, सच। और a को 150 रखो, 150 को 3 से भाग, 50, यह भी सच। और हर एक में, जवाब में 1 जोड़ो, तो बात झूठ हो जाती है। अब तुम्हारी बारी, कोई सीधा लटकता डंडा सोचो, और एक चीज़ का वज़न छुपा लो। उसे एक letter से नाम देकर equation लिखो, हल करने से पहले। फिर कोई संख्या रखकर देखो कि दोनों तरफ़ बराबर होते हैं या नहीं, और डंडा सीधा रहेगा या झुकेगा।

बराबर का निशान दावा है, हुक्म नहीं। जो नहीं पता, उसे एक letter से नाम देकर वाक्य लिखो। expression संख्या देता है, equation दावा करती है। solve करना, वह संख्या ढूँढना जिस पर दावा सच हो। और 200 तीलियाँ? मना सिलसिला करता है, गणित नहीं करता।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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