किसी क्षेत्र को बिना ख़ाली जगह और बिना दोहराव के ढकने के लिए क्या चाहिए

0:00मैंने कोशिश की, नहीं बना, यह tiling के सवाल का जवाब नहीं है। कई लोग मानते हैं कि कुछ देर कोशिश की और नहीं बना, तो बन ही नहीं सकता। कोशिश नाकाम होना, और साबित करना कि कोई तरीका है ही नहीं, ये बिल्कुल अलग बातें हैं। tiling का मतलब, कोई खाना ख़ाली नहीं, और कोई खाना 2 बार नहीं ढका। कोई भी tile हो, शर्तें यही 2। tiles कितनी भी हों, जाँच बस इन्हीं 2 बातों की होती है।

0:30कोई ढकना 3 तरह से गलत हो सकता है। कोई खाना ख़ाली छूट जाए, कोई खाना 2 tiles के नीचे आ जाए, या कोई tile grid से बाहर लटक जाए। यहाँ हर तरीका इन्हीं 3 बातों पर जाँचा गया, आँख से नहीं, गिनकर। एक grid लो, 4 पंक्तियाँ, 6 स्तंभ, कुल 24 खाने। हर tile 2 खानों वाली, उसे खड़ी भी रख सकते हो, लेटी भी। तो पूरा ढकने को 12 tiles चाहिए।

1:01एक तरीका मिल गया, और जाँचा, वह सच में पूरा ढकता है। पर यह अकेला तरीका नहीं, हर संभव तरीका गिना तो पूरे 281। हर स्तंभ को ऊपर से खड़ी tiles से भरना भी उन्हीं में से एक है। कुछ लोग सोचते हैं कि tile जैसी खिंची है, वैसी ही रखनी है। ऐसा नहीं, उसे घुमा सकते हो, खड़ी या लेटी, दोनों चलती हैं। इसीलिए हर खाने के लिए tile की 2 दिशाएँ सोचनी पड़ती हैं।

1:31अब 5 गुणा 7 का grid, क्या यह पूरा ढक सकता है? खाने 35, और हर tile 2 खाने लेती है। tiles कितनी भी हों, ढके खाने हमेशा सम, और 35 विषम है, तो नहीं। और हर संभव तरीका गिनकर देखा, कुल शून्य। क्योंकि 2 के कितने भी जोड़े जोड़ो, कभी विषम नहीं बनता। जब पंक्तियाँ सम हों, तो हर स्तंभ को ऊपर से खड़ी tiles से भरते जाओ। यह तरीका 5 grids पर आज़माया गया, 4 गुणा 6, 6 गुणा 4, 4 गुणा 5, 6 गुणा 3, और 2 गुणा 9, हर बार चला।

2:13यह तरीका पंक्तियों के सम होने पर टिका है, और 5 गुणा 4 में पंक्तियाँ विषम, फिर भी वह लेटी tiles से ढक जाता है। यहाँ 4 पंक्तियाँ हों, तो हर स्तंभ में 2 खड़ी tiles ठीक बैठती हैं। और 6 स्तंभ, हर एक में 2, कुल 12, वही गिनती। पंक्तियाँ विषम हों, तो हर स्तंभ में 1 खाना बच जाता है, तब लेटी tiles से सोचना पड़ता है। अगर पंक्तियाँ या स्तंभ, कोई भी सम हो, तो tiles उसी दिशा में लगाओ।

2:46और अगर स्तंभ सम हों, तो हर पंक्ति को लेटी tiles से भरते जाओ, वैसे ही जैसे खड़ी tiles से स्तंभ। तो मुश्किल बस तब, जब दोनों विषम हों। जब दोनों विषम हों, तो गिनती फिर काम आती है। विषम गुणा विषम हमेशा विषम, 11 तक के सभी 36 जोड़ों में जाँचा। तो 3 गुणा 3, 5 गुणा 5, 7 गुणा 9, कोई भी पूरा नहीं ढकता। अब 5 गुणा 3 का grid, 15 खाने, विषम, तो वह तो नहीं ढकेगा।

3:20एक खाना निकालो, तो 14 बचते हैं, सम। अब गिनती चुप है, हाँ या ना, कुछ नहीं कहती। हम 3 तरह से खाना निकालते हैं, ऊपर का कोने वाला, दूसरी पंक्ति का बीच वाला, और ऊपर की पंक्ति का बीच वाला। हर एक में 14 खाने, यानी 7 tiles चाहिए। गिनती के हिसाब से ये 3 एक जैसे हैं, कोई फ़र्क नहीं दिखता। कुछ लोग मानते हैं कि खानों की गिनती सम हो, तो ढक ही जाएगा।

3:51गिनती का सम होना ज़रूरी है, पर काफ़ी नहीं, इनमें से एक region ढकता ही नहीं। यानी खाने विषम हों तो पक्का ना, पर सम हों तो भी हाँ तय नहीं। ऊपर की पंक्ति का बीच वाला खाना निकालो, और कोशिश करते रहो, बनता ही नहीं। पर क्यों नहीं बनता, यह गिनती नहीं बता सकती। और हार मान लेना सबूत नहीं है। हमें कुछ ऐसा चाहिए जो हर संभव तरीके के बारे में एक बार में बोले।

4:22अब चाल, खानों को ऐसे रंगो कि हर पड़ोसी अलग रंग का हो, सफ़ेद और काला, बारी बारी। ये रंग grid पर असल में नहीं हैं, यह हम अपनी तरफ़ से सवाल पर बिछाते हैं। और यह काम इसलिए करता है कि कोई भी tile इससे बच नहीं सकती। यह वैसा ही है जैसे खेल के board पर खाने, बारी बारी सफ़ेद और काले। अब 5 गुणा 3 grid के 4 कोने एक ही रंग के, सफ़ेद।

4:50तो सफ़ेद 8, और काले 7। एक कतार में सफ़ेद, काला, सफ़ेद, और अगली कतार उल्टी शुरू होती है। कारण सीधा है, tile हमेशा 2 पड़ोसी खानों को ढकती है। और रंग ऐसे बिछाए गए हैं कि पड़ोसी हमेशा अलग रंग के हों। तो tile कहीं भी जाए, एक सफ़ेद और एक काला लेना उसकी मजबूरी है। अब कोई भी tile कहीं भी रखो, खड़ी या लेटी। यहाँ सभी 22 जगहें गिनी गईं जहाँ tile बैठ सकती है, हर एक में 1 सफ़ेद और 1 काला।

5:25तो 7 tiles हों, तो 7 सफ़ेद और 7 काले, बराबर, और कोई रास्ता नहीं। अब regions के रंग गिनो, कोने वाला निकाला तो 7 और 7, दूसरी पंक्ति का बीच वाला, फिर 7 और 7। पर ऊपर की पंक्ति का बीच वाला खाना काला है, तो उसे निकालने पर बचे 8 सफ़ेद, और 6 काले। अब इन गिनतियों को गौर से पढ़ो, जवाब इन्हीं में है। देखो, 8 और 6 बराबर नहीं, और हर tiling को बराबरी चाहिए।

5:58तो कोई भी तरीका हो ही नहीं सकता, एक भी आज़माए बिना। यही सबूत है, कोशिश नहीं। न कोई कोशिश, न कोई गिनती तरीकों की, बस 2 संख्याएँ। फिर भी हर संभव तरीका गिनकर देखा गया। कोने वाले region के 15 तरीके, दूसरी पंक्ति वाले के 8, और ऊपर के बीच वाले के शून्य। रंगों ने जो एक line में कहा, पूरी खोज ने भी वही कहा। हाँ वाला जवाब आसान है, एक तरीका दिखा दिया, बात ख़त्म।

6:32ना वाला जवाब मुश्किल, उसके लिए सबूत चाहिए, जैसे रंगों की गिनती, या हर संभव तरीका जाँचना। और सबूत अक्सर हर तरीका जाँचने से बहुत छोटा होता है, एक line में बात ख़त्म। बाकी 2 regions में रंग 7 और 7, बराबर, तो रंगों से कोई जवाब नहीं मिलता। वहाँ खोज ने तरीके ढूँढे, 15 और 8, और हर एक का एक तरीका दिखाया जा सकता है। तो रंग एक जगह ना कहते हैं, और बाकी जगह चुप रहते हैं, दोनों बातें सच।

7:06यह वैसा ही है जैसे tangram में area, टुकड़े कैसे भी रखो, area नहीं बदलती। यहाँ सफ़ेद और काले का फ़र्क नहीं बदलता, चाहे tiles कैसे भी रखो, हर tile उसे वहीं छोड़ती है। ऐसी न बदलने वाली चीज़ ढूँढ लो, तो असंभव को साबित करने का रास्ता खुल जाता है। मज़े की बात, सवाल को उलझाने से वह हल हुआ। रंग जोड़ना सवाल को बड़ा बनाता है, पर एक ऐसी चीज़ भी बनाता है जिसे tiles बदल नहीं सकतीं।

7:36ऐसी चीज़ ढूँढना, यही इस हिस्से की असली सीख है। कौन से खाने निकालने पर यही मुसीबत आती है? यहाँ 15 खानों में से ठीक 7, और सारे काले। बाकी 8, सारे सफ़ेद, उनमें से कोई भी निकालो, तो region ढक जाता है। कोशिश में 1 खाना अकेला नहीं छूट सकता, क्योंकि तब बाकी 13, विषम। छूटते हैं 2 खाने, और ऐसे 28 जोड़े हो सकते हैं। हर जोड़े में दोनों सफ़ेद, वही रंग जो ज़्यादा है, रंगों वाला तर्क कोशिशों में पहले से छुपा है।

8:14यानी जो बात हार मानने वाले को महसूस हुई, उसका कारण भी यही रंग हैं। कुछ लोग सोचते हैं कि रंग बराबर हों, तो ढक जाएगा। नहीं, 6 खानों वाला एक जुड़ा हुआ region, 3 सफ़ेद, 3 काले, फिर भी एक भी तरीका नहीं। रंग किसी region को नामुमकिन बता सकते हैं, पर ढकने लायक कभी नहीं बताते। एक 8 गुणा 8 का board लो, और आमने सामने के 2 कोने निकालो।

8:44बचे 62 खाने, सम, गिनती चुप। पर दोनों कोने एक ही रंग के, तो बचे 30 और 32, बराबर नहीं, कोई tiling नहीं। जबकि पूरा board आराम से ढक जाता है। आमने सामने के कोने एक ही रंग के क्यों? हर कदम पर रंग बदलता है, और एक कोने से दूसरे तक पहुँचने के कदम सम हैं। बदलने की गिनती सम, तो रंग वापस वही, यानी दोनों कोने एक जैसे, और एक ही रंग के 2 खाने कम हो गए।

9:17और 62 खानों के हर संभव तरीके हाथ से जाँचने बैठो, तो उम्र निकल जाए। रंगों ने वही बात एक line में कह दी, 30 और 32 बराबर नहीं। यही सबूत की ताक़त है, वह हर संभव तरीके के बारे में एक बार में बोलता है, बिना किसी को आज़माए। एक और सवाल, 12 खानों का सीढ़ी जैसा region, और L जैसी tile, 3 खानों वाली। अब L वाली 4 tiles चाहिए, और तरीका ठीक 1 है।

9:47सीधी 3 खानों वाली tile से एक भी तरीका नहीं। यहाँ रंग 6 और 6, बराबर, तो रंगों ने कुछ नहीं बताया। हर सवाल के लिए अलग न बदलने वाली चीज़ ढूँढनी पड़ती है, एक रंग हर जगह काम नहीं करता। अब एक region नहीं, पूरी ज़मीन, एक ही आकृति की copies से। square, equilateral triangle और hexagon, ये 3 ऐसा कर सकते हैं। copies हर दिशा में बढ़ती जाती हैं, कहीं जगह नहीं छूटती, कहीं कुछ चढ़ता नहीं।

10:21regular polygons के कोने, triangle 60, square 90, pentagon 108, hexagon 120। एक बिंदु पर 6, 4, और 3 मिलते हैं, पर pentagon के 10 बटा 3, पूरी गिनती नहीं। देखो, 3 से 12 sides तक के 10 regular polygons में से बस 3, 4 और 6 sides वाले पूरे बैठते हैं। कुछ लोग मान लेते हैं कि हर regular polygon ज़मीन ढक लेता है। pentagon के कोने ही एक बिंदु पर पूरे नहीं बैठते, तो यह बात सही नहीं।

10:58यहाँ बस इतना कहा कि ये 3 ढकते हैं, और कौन कौन ढकता है, इसकी पूरी सूची का दावा नहीं। मधुमक्खियाँ अपना छत्ता hexagons से बनाती हैं। hexagons बिना जगह छोड़े ढकते हैं, और हर दीवार 2 खानों के बीच साझी। कुदरत में भी वही गणित, बिना नापे, बिना protractor के। tiling पुराना, ख़त्म हो चुका गणित लगता है। पर नहीं, नई tilings अब भी मिल रही हैं, कुछ तो बहुत हाल में।

11:29यह क्षेत्र अब भी ज़िंदा है, और सवाल अब भी खुले हैं। अब तुम्हारी बारी, कोई region बनाओ, पहले खाने गिनो, फिर रंग गिनो। गिनती या रंग ना कहें, तो सबूत पक्का, दोनों चुप रहें, तो फिर कोशिश करो। जैसे 4 गुणा 4 के board से कोई 2 पड़ोसी खाने निकालो, तो रंग क्या कहते हैं, और क्या सच में ढकता है? ज़मीन ढकने वाली इन आकृतियों के पीछे एक सीधा नियम है।

11:58एक बिंदु पर मिलने वाले कोनों का जोड़ ठीक 360 होना चाहिए। hexagon के 3 कोने, हर एक 120, जोड़ 360। नहीं बना, यह जवाब नहीं, सबूत चाहिए। खाने विषम, तो ढकना नामुमकिन। पड़ोसी अलग रंग, हर tile 1 सफ़ेद, 1 काला। रंग बराबर नहीं, तो कोई tiling नहीं, बिना आज़माए। रंग बराबर हों, तो सवाल अब भी खुला।