PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 7, Finding the Unknown
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हर सीधा डंडा एक ही बात कहता है - दोनों तरफ़ बराबर - और इतना जानना अनजान वज़न निकालने के लिए काफ़ी है, बिना कोई letter लिखे।
मुख्य idea
इनमें से हर लटकी figure को एक भी letter लिखे बिना सुलझाया जा सकता है — पर सबको एक ही तरीक़े से नहीं, और इन दो तरह की figures के बीच का फ़ासला ही वह चीज़ है जिस पर §7.1 खड़ा है। Figs. 7.1 से 7.5 छल्ले पर लिखे एक कुल के नीचे लटकती हैं, इसलिए उसे आधा करके अंदर की ओर बढ़ने से वे सुलझ जाती हैं, और यह साधारण arithmetic है। Figs. 7.6 से 7.8 छल्ला हटा देती हैं, फिर भी अकेली सीधी छड़ जवाब ढोती है; Fig. 7.7 में तुम इसकी जगह हर डोरी से एक मिलता-जुलता तारा काट सकते हो, और यही वह नई चाल है जो पहले ही दिख जाती है। फिर दो पलड़ों वाले तराज़ू आते हैं, और Fig. 7.10 से आगे बोरे एक साथ दोनों पलड़ों पर खड़े होते हैं, जहाँ एक तरफ़ के अंदर काम करने से कहीं नहीं पहुँचते। जो कहीं पहुँचाता है वह एक छूट है जो पन्ना संकेत के रूप में देता है: हर पलड़े से बराबर भार उतार लो, तो संतुलन बना रहता है। §7.2, Part II के p.169 पर सीधे इन्हीं तस्वीरों पर लौटता है और उन्हें ठीक इसी रेखा पर बाँटता है — कुछ ने अपना जवाब सीधे दे दिया, बाक़ियों को बराबर हटाने वाली बात चाहिए थी — और symbols दूसरे समूह के लिए ही लिखे जाते हैं।
आपको क्या आना चाहिए
- लटकी figure से अज्ञात भार निकालना, और बताना कि किस क़दम ने असली काम किया
- इस बात का इस्तेमाल करना कि दोनों तरफ़ से बराबर हटाने पर बराबरी बनी रहती है
- ऐसी figure सँभालना जिसमें अज्ञात दोनों तरफ़ है, हर तरफ़ से उसकी एक मिलती-जुलती प्रति हटाकर
- नतीजों को जोड़ते चलना: figure में पहले मिले अज्ञात से बाद वाले को खोलना
- एक के अंदर एक लटकी छड़ पढ़ना, जहाँ एक शाखा ख़ुद दो चीज़ों वाली छड़ है
- समझाना कि वही तर्क क्यों चलता है, चाहे संख्याएँ 5 और 7 हों या 90 और 500
- उस तर्क में, जो जवाब को मजबूर करता है, और उस अंदाज़े में, जो संयोग से किसी जवाब पर जा गिरता है, फ़र्क़ करना
- बताना कि तस्वीरों वाला यह तरीक़ा अब भी क्या नहीं कर सकता, और आगे symbols क्यों चाहिए
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| weighing scale | वह लटकने वाला यंत्र, और बाद में दो पलड़ों वाला तराज़ू, जिससे chapter तर्क करता है | तुला | Part II, §7.1, p.164 पर छपा |
| balanced | उस तराज़ू के लिए कहा जाता है जिसके दोनों तरफ़ बराबर हैं, इसलिए वह झुकता नहीं | संतुलित | Part II, §7.1, p.165 पर छपा |
| plate | दो पलड़ों वाले तराज़ू के दो पलड़ों में से एक | पलड़ा | Part II, §7.1, pp.165–166 पर छपा |
| unknown weight | वह भार जो figure तुम्हें नहीं बताती | अज्ञात भार | Part II, §7.1, pp.164–165 पर छपा |
| sack | दो पलड़ों वाले तराज़ू पर बार-बार आने वाली अज्ञात चीज़ | बोरा | Part II, §7.1, p.165 पर छपा |
| units of weight | वह बिना बताई इकाई जिसमें छल्ले की संख्याएँ गिनती हैं | भार के मात्रक | Part II, §7.1, p.164 पर छपा |
| equal weights | वे मिलती-जुलती मात्राएँ जो दोनों तरफ़ से एक साथ उतारी जा सकती हैं | बराबर भार | Part II, §7.1, p.165 पर छपा |
| letter-number | किसी ऐसी संख्या की जगह इस्तेमाल हुआ letter जिसका मान अभी पता नहीं | अक्षर-संख्या | Part II, §7.1, p.167 पर छपा, और फिर p.168 पर — p.167 इसी brief के दायरे में आता है, इसलिए p.168 का हवाला एक पन्ना देर से था |
| Math Talk | chapter का निशान, उस सवाल के लिए जिस पर ज़ोर से बहस करनी है | गणित चर्चा | Part II, §7.1, pp.165, 168 पर छपा |
| hanger | Figs. 7.1 से 7.8 की छड़-और-डोरी वाली figure के लिए इस पाठ का शब्द | झूला-दंड | इस पाठ का शब्द; किताब यहाँ weighing scale के अलावा किसी यंत्र का नाम नहीं लेती |
| stripping | दोनों तरफ़ से मिलती-जुलती चीज़ें हटाने के लिए इस पाठ का छोटा नाम | हटाना | इस पाठ का छोटा नाम; किताब की क्रिया remove है |
| two-pan scale | हर तरफ़ एक लटके पलड़े वाला तराज़ू, जैसा Figs. 7.9 से 7.12 में बना है | दो-पलड़ा तुला | इस पाठ का जोड़ा हुआ शब्द; किताब weighing scale और plate छापती है, और हटाने वाली चाल को इस पूरे chapter में कहीं कोई अपना नाम नहीं देती — सभी 28 छपे पन्ने, 164 से 191 तक, देखे और पढ़े गए |
हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Part II का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "अज्ञात को तब तक संख्याएँ आज़माकर ढूँढ़ते हैं जब तक कोई बैठ न जाए।" §7.1 में कुछ भी इस तरह नहीं चलता, और chapter §7.2 की शुरुआत में यह बात ज़ोर से कहता है, जब वह इन figures की तुलना trial and error से करता है (Part II, §7.2, p.169). हर figure अपना जवाब मजबूर करती है।
- "सीधी छड़ का मतलब है कि हर तरफ़ छल्ले की संख्या का आधा भार है।" Figs. 7.1–7.5 के hangers के लिए यह सच है, जहाँ छड़ सीधी बनी है और छल्ला कुल देता है — और इसे इसी रूप में कहना ठीक है। पर आम तौर पर "balanced" का मतलब यह नहीं है: p.164 की शुरुआती तस्वीर 4 और 3 को 7 लिखे छल्ले के नीचे लटकाती है, और वह झुक जाती है। आधा करना छड़ के सीधे होने का नतीजा है, यंत्र की परिभाषा नहीं।
- "Fig. 7.10 को अलग विचार चाहिए क्योंकि बोरे दोनों पलड़ों पर हैं।" उसे वही विचार एक बार और चाहिए। किताब का संकेत भी यही कहता है।
- "बड़ी संख्याओं के लिए अलग तरीक़ा चाहिए।" Fig. 7.12 में 90 बनाम 60 है, साथ में 500 kg का block, और चाल बिल्कुल Fig. 7.9 जैसी है। अगर समझाते वक़्त यह कठिन दिखे, तो इसे छापने की बात ही खो जाती है।
- "जवाब सही है क्योंकि वह पूर्ण संख्या निकला।" यहाँ पूर्ण संख्या वाले जवाब लेखकों का चुनाव हैं, सबूत नहीं। p.165 का निर्देश कारण माँगता है, साफ़-सुथरा मान नहीं।
- "एक बार तस्वीरें आ गईं तो algebra भी आ जाएगा।" अभी नहीं। तस्वीरें हर चाल के लिए एक भौतिक बहाना देती हैं; §7.2 को वही चालें बराबर के चिह्न के मतलब से साबित करनी होती हैं, बिना किसी तराज़ू के सहारे।
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पूरा transcript1,674 शब्द
हर सीधा डंडा एक वाक्य है, वह बस एक बात कहता है, दोनों तरफ़ बराबर। यहाँ हर चित्र का अनजान वज़न निकालना है, और वह भी बिना कोई letter लिखे। पहले छल्ले वाले डंडे, फिर बिना छल्ले के डंडे, और आख़िर में ऐसा तराज़ू जिसके दोनों पलड़ों पर अनजान बोरी है। पर सभी चित्र एक ही तरीके से नहीं खुलते, और यही फ़र्क यहाँ असली बात है। छल्ले पर लिखी संख्या नीचे लटके पूरे वज़न का जोड़ है, और डंडा सीधा तभी लटकता है, जब दोनों तरफ़ बराबर वज़न हो।
इन दोनों बातों को मिलाओ, तो सीधे डंडे के नीचे, छल्ले की संख्या का ठीक आधा हर तरफ़ जाता है। पर ध्यान रहे, आधा आधा होना डंडे के सीधे होने का नतीजा है, उसकी परिभाषा नहीं। यहाँ 4 और 3 वाला डंडा 7 के छल्ले के नीचे लटके, तो वह झुकता है, क्योंकि 7 विषम है और तरफ़ें 1 से अलग हैं। पहला चित्र, छल्ले पर 16, तो डंडा सीधा है, इसलिए हर तरफ़ 8।
एक तरफ़ बस एक फूल लटका है, तो फूल का वज़न सीधे 8। दूसरी तरफ़ पत्ता, कली, पत्ता, और हर पत्ता 3 का, तो पत्तों के बाद कली के लिए 2 बचते हैं। जाँच लो, 3 जमा 2 जमा 3, यानी 8, और फूल भी 8, डंडा सीधा रहता है। अगला चित्र, छल्ला 24, तो हर तरफ़ 12। बाईं तरफ़ तारा मछली, धारीदार मछली, और फिर तारा मछली, और हर तारा मछली का वज़न 2।
तो धारीदार मछली का वज़न, 12 घटा 2 घटा 2, यानी 8। अब दाईं तरफ़ देखो, धारीदार और सलेटी मछली मिलकर 12, धारीदार 8 की, तो सलेटी 4 की। पर अगर दाईं तरफ़ से शुरू करते, तो क्या होता? धारीदार और सलेटी मिलकर 12, और पूरी संख्याओं में ऐसे 11 जोड़े बनते हैं, उनमें से कोई एक चुनने का कोई कारण नहीं। बाईं तरफ़ ने धारीदार को 8 पर बाँधा, और फिर उसी ने सलेटी का ताला खोला।
यहाँ एक अनजान ने दूसरे अनजान का ताला खोला, पहले धारीदार मछली मिली, फिर उसी से सलेटी। यह पहला चित्र है जो 2 कदमों में खुलता है, सीढ़ी की तरह, एक पायदान के बाद दूसरा। अब छल्ला 8, बाईं तरफ़ एक गेंद, और दाईं तरफ़ एक छोटा डंडा, जिस पर 2 एक जैसे डिब्बे लटके हैं। बड़ा डंडा सीधा है, तो हर तरफ़ 4, इसलिए गेंद का वज़न 4। छोटा डंडा भी सीधा लटका है, तो उसका 4 दोनों डिब्बों में बराबर बँटता है, हर डिब्बा 2।
जाँचो, डिब्बे 2 और 2, यानी 4, और गेंद भी 4। यानी डंडे पर लटकी चीज़ ख़ुद एक डंडा हो सकती है, और उसके नीचे भी बाईं और दाईं तरफ़ें। और वह छोटा डंडा भी अपना एक अलग वाक्य कहता है, कि उसके दोनों डिब्बे बराबर। इसलिए ऐसे चित्र में हर डंडे का वाक्य अलग अलग पढ़ना पड़ता है, बड़े का भी और छोटे का भी। अगला, छल्ला 18, हर तरफ़ 9।
बाईं तरफ़ सूरज 5 का, और उसके नीचे 4 बादल, तो बादलों के लिए 4 बचे, हर बादल 1 का। दाईं तरफ़ 3 बिजलियाँ, और उनका कुल 9, तो हर बिजली 3 की। जाँच, 5 जमा 4 बार 1, यानी 9, और 3 बार 3 भी 9। अब छल्ले पर 40, तो हर तरफ़ 20। इस बार दाईं तरफ़ से शुरू करो, वहाँ 4 मुकुट मिलकर 20, तो हर मुकुट 5 का।
अब बाईं तरफ़ एक मुकुट और 5 रत्न, 20 में से मुकुट के 5 गए, 15 बचे, हर रत्न 3 का। जाँचो, 5 जमा 5 बार 3, यानी 20, और 4 बार 5 भी 20। और अगर बाईं तरफ़ से शुरू करते, तो? मुकुट और 5 रत्न मिलकर 20, यह 3 तरह से हो सकता है, 15 और 1, 10 और 2, या 5 और 3। दाईं तरफ़ के मुकुट इनमें से बस 1 को चुनते हैं, मुकुट 5, रत्न 3।
यहाँ पहले दाईं तरफ़ खोलनी पड़ी, क्योंकि बाईं तरफ़ 2 अनजान इकट्ठे हैं, और दाईं तरफ़ बस एक। कौन सी तरफ़ पहले खुले, यह चित्र ख़ुद बता देता है, वह तरफ़ जहाँ बस एक अनजान बचा हो। इन सभी चित्रों में कोई नई चाल नहीं लगी, बस छल्ले का आधा किया, और फिर घटाते गए। यह वही पुराना हिसाब है, जोड़ना, घटाना और भाग, जो बरसों से आता है। अब छल्ला ही न हो, तो आधा किसका करोगे?
डंडा हाथ में पकड़ा है, नीचे का कुल वज़न कहीं लिखा नहीं, बस इतना पता है कि डंडा सीधा लटक रहा है। फिर भी यह एक बात काफ़ी है, क्योंकि सीधा डंडा कहता है, दोनों तरफ़ बराबर। बाईं तरफ़ 4 तारे, हर एक 4 का, कुल 16। दाईं तरफ़ एक गोल चीज़, बीच में एक तारा, और फिर एक गोल चीज़। तो गोल चीज़ें मिलकर 16 घटा 4, यानी 12, और हर गोल चीज़ 6 की।
पर एक और रास्ता है, दोनों तरफ़ से एक एक तारा हटाओ। डंडा फिर भी सीधा रहता है, अब बाईं तरफ़ 3 तारे, कुल 12, और दाईं तरफ़ बस 2 गोल चीज़ें। गोल चीज़ फिर भी 6 की, पर तरीका अलग है, दोनों तरफ़ से बराबर चीज़ हटाना। एक ही चित्र, 2 रास्ते, और दोनों एक ही जवाब पर पहुँचे। अलग अलग तरीके आज़माना, और फिर आपस में मिलाकर देखना कि कौन सा छोटा पड़ा, यही गणित की असली बातचीत है।
एक और हाथ वाला डंडा, बाईं तरफ़ तरबूज़ 10 का, दाईं तरफ़ केला, संतरा 4 का, और फिर केला। और 10 में से संतरे के 4 गए, तो 2 केले मिलकर 6, यानी हर केला 3 का। जाँचो, 3 जमा 4 जमा 3, यानी 10, तरबूज़ के बराबर। अब 2 पलड़ों वाला तराज़ू, बोरियाँ और किलो के बाट। यहाँ अनजान बोरी दोनों पलड़ों पर भी हो सकती है, और तब किसी एक पलड़े के अंदर हिसाब करने से कुछ नहीं मिलता।
पर तराज़ू का सीधा रहना भी वही बात कहता है, दोनों पलड़े बराबर। बाएँ पलड़े पर एक बोरी और 2 किलो, दाएँ पलड़े पर 10 किलो और 2 किलो। दोनों पलड़ों से 2 किलो हटाओ, तराज़ू फिर भी बराबर रहता है। अब बाएँ बस एक बोरी, और दाएँ 10 किलो। जाँचो, 10 जमा 2, यानी 12, और दाएँ भी 12। बराबर वज़न दोनों पलड़ों से हटाओ, तो संतुलन बना रहता है।
यह नई अनुमति है, और तराज़ू वाला पूरा काम इसी पर टिका है। पर किसी एक ही पलड़े से हटाया, तो तराज़ू तुरंत झुक जाता है, और फिर उससे कोई बात पक्की नहीं होती। अब बाएँ 2 बोरियाँ, दाएँ 14 किलो और एक बोरी, और सभी बोरियाँ एक बराबर। जब बोरी दोनों पलड़ों पर है, तो रास्ता क्या है? हर पलड़े से एक बोरी हटाओ, बचा, एक बोरी बराबर 14 किलो।
जाँचो, बाएँ 2 बार 14, यानी 28, दाएँ 14 जमा 14, वह भी 28। कुछ लोग सोचते हैं कि जब बोरी दोनों पलड़ों पर हो, तो कोई और तरीका चाहिए। नहीं, वही चाल, बस एक बार और, इस बार बाट की जगह बोरी हटाई। आख़िर बोरी भी एक वज़न ही है, बस उसकी संख्या अभी अनजान है। बाएँ 5 बोरियाँ, दाएँ 10 किलो के 2 बाट, 1 किलो का एक बाट, और 2 बोरियाँ।
दोनों पलड़ों से 2 बोरियाँ हटाओ, बाएँ 3 बोरियाँ, दाएँ 21 किलो। अब 3 बोरियाँ 21 किलो, तो हर बोरी 7 किलो। अब जाँच, 5 बार 7, यानी 35, और दाएँ 21 जमा 2 बार 7, वह भी 35। इशारा यही है, चीज़ें ऐसे हटाओ कि बोरियाँ बस एक पलड़े पर रह जाएँ, और दूसरे पर बस किलो। उसके बाद काम बस भाग का है, किलो को बोरियों की संख्या से बाँटो।
अब बड़ी संख्याएँ, बाएँ 90 बोरियाँ और 50 किलो, दाएँ 60 बोरियाँ और 500 किलो। दोनों पलड़ों से 60 बोरियाँ हटाओ, फिर दोनों से 50 किलो। अब बाएँ 30 बोरियाँ, और दाएँ 450 किलो, तो हर बोरी 15 किलो। जाँचो, 90 बार 15, यानी 1350, जमा 50, यानी 1400, और दाएँ 900 जमा 500, वह भी 1400। कुछ लोग सोचते हैं कि बड़ी संख्याओं को कोई बड़ा तरीका चाहिए। तरीका बिल्कुल वही, बस संख्याएँ बड़ी, और यह चित्र इसी बात को दिखाने के लिए है।
और बोरियाँ दाएँ पलड़े पर भी बच सकती हैं, इसमें कोई दिक्कत नहीं। बाएँ एक बोरी और 30 किलो, दाएँ 3 बोरियाँ और 6 किलो। दोनों से एक बोरी और 6 किलो हटाओ, दाएँ 2 बोरियाँ, बाएँ 24 किलो, तो हर बोरी 12 किलो। जाँचो, 12 जमा 30, यानी 42, और दाएँ 36 जमा 6, वह भी 42। सभी 5 तराज़ू एक ही 2 चालों से खुले। पहले दोनों पलड़ों का साझा हिस्सा हटाओ, बोरियाँ भी और किलो भी, फिर जो बचा, उसका भाग करो।
कुछ लोग अंदाज़े से संख्या रखकर देखते हैं, और जो बैठ जाए, वही जवाब मान लेते हैं। पर यहाँ हर जवाब तर्क से मजबूर है, हर कदम पर संतुलन बचा, इसलिए आख़िरी पंक्ति भी सच है। और हर तराज़ू पर, 0 से 1000 तक बस 1 वज़न बैठता है। जवाब पूरी संख्या आया, इसलिए सही है, ऐसा मत मानना। पूरी संख्याएँ बस चित्र बनाने वालों की पसंद हैं, सबूत नहीं।
जैसे 7 बोरियाँ बराबर 20 किलो और 4 बोरियाँ हों, तो वही दोनों चालें, और हर बोरी 20 बटा 3 किलो। इसीलिए जवाब अकेला काफ़ी नहीं, उसके पीछे की वजह भी बतानी है, हर कदम की। दोस्तों से बात करो, किसने कौन सा रास्ता लिया, और क्यों, और किसका रास्ता छोटा पड़ा। तस्वीरें आ गईं, तो algebra भी आ गया, ऐसा मानना ठीक नहीं। तस्वीर हर चाल को एक सहारा देती है, बराबर वज़न हटाओ, और तराज़ू ख़ुद दिखाता है कि संतुलन बचा।
यही चालें बराबर के निशान के मतलब से भी साबित हो सकती हैं, बिना किसी तराज़ू के। अब तुम्हारी बारी, एक तराज़ू बनाओ, दोनों पलड़ों पर बोरियाँ और बाट। साझा हिस्सा हटाओ, भाग करो, और हर कदम पर बताओ कि संतुलन क्यों बना रहा। आख़िर में जवाब वापस रखकर जाँचो कि दोनों पलड़े सच में बराबर हैं। छल्ले वाले डंडे, छल्ले का आधा करो, और अंदर की ओर घटाते जाओ।
शुरू उस तरफ़ से करो जहाँ बस एक अनजान हो। छल्ला न हो, तो भी सीधा डंडा काफ़ी है। दोनों पलड़ों से बराबर हटाओ, संतुलन बना रहता है। साझा हिस्सा हटाओ, फिर भाग करो, संख्या छोटी हो या बड़ी। और हर जवाब के पीछे तर्क, अंदाज़ा नहीं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- An equation is a claim of equality, not an instruction to computeकक्षा 7 · Ch 7, Finding the Unknown
- Comparing two expressions by reasoning, not by evaluatingकक्षा 7 · Ch 2, Arithmetic Expressions
आगे फिर कहाँ आता है
- Doing the same thing to both sides preserves equalityकक्षा 7 · Ch 7, Finding the Unknown