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Chapter 4 · Expressions using Letter-Numbers

pattern को ऐसे formula में बदलना जो आगे का बता सके

Algebra as a language for patterns11 मिनट

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एक मशीन, 2 numbers अंदर, 1 number बाहर, और नियम छुपा हुआ। 4 जोड़ियाँ देखकर क्या नियम पक्का हो जाता है?

मुख्य idea

formula लिखना तभी फ़ायदेमंद है जब वह उन cases का जवाब दे जिन्हें किसी ने जाँचा नहीं। इसीलिए chapter का तरीक़ा कभी symbols से शुरू नहीं होता: पहले आम शब्दों में बताओ कि चीज़ कैसे बढ़ती है, फिर उस quantity का नाम रखो जो बदलती है, और सिर्फ़ तब उसे लिखो। और जो नियम दिखाए गए cases पर fit बैठता है, वह एक candidate है, नतीजा नहीं — इसीलिए जब matchstick वाले pattern से अलग-अलग दिखने वाले दो formulas निकलते हैं, तो chapter उन्हें और steps पर test नहीं करता, बल्कि एक को सरल करके दूसरा बना देता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • कोई भी symbol लिखने से पहले बढ़ते pattern का शब्दों में वर्णन करना
  • किसी pattern के general term का expression लिखना, letter ख़ुद चुनकर और यह बताकर कि वह क्या गिनता है
  • candidate formula को दिए गए हर case पर test करना, और बताना कि उन tests में पास होना अभी proof क्यों नहीं है
  • formula से ऐसे case का जवाब देना जो बनाए गए cases से बहुत आगे हो
  • multiples की मदद से वे positions लिखना जहाँ दोहराया जाने वाला कोई design आता है
  • उलटी तरफ़ जाना: कोई position दी हो, तो भाग के शेषफल से तय करना कि दोहराए जाने वाले pattern का कौन-सा item वहाँ बैठा है
  • सरल करके दिखाना कि एक ही pattern के लिए अलग-अलग तरीक़ों से बने दो formulas बराबर हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
formulaभविष्यवाणी के लिए इस्तेमाल होने वाला, expression की तरह लिखा कोई आम रिश्तासूत्रPart I, §4.1, p.84 पर छपा; §4.5 में p.95 से काम का शब्द
patternऐसी नियमितता जिसे list के बजाय एक नियम की तरह कहा जा सकेपैटर्न / प्रतिरूपPart I, §4.1, p.81 पर छपा, और फिर p.82 पर matchstick Ls के लिए; §4.5 में p.95 से काम का शब्द
number machinechapter का साधन: ऊपर दो inputs, नीचे एक output, हर बार वही operationsसंख्या यंत्रPart I, §4.5, p.95 पर छपा
positionsequence या दोहराए जाने वाले pattern में कोई item कहाँ बैठा है, एक से गिनकरस्थानPart I, §4.3, p.86 पर छपा, number sequence में किसी जगह के लिए; §4.5 में p.97 से दोहराए जाने वाले border वाले अर्थ में
multipleकिसी पूरी संख्या से गुणा करके मिलने वाला numberगुणजPart I, §4.3, p.86 पर छपा; §4.5, p.97 में design की positions के लिए इस्तेमाल हुआ
quotientभाग देने पर जो मिलता है, शेष को छोड़करभागफलPart I, §4.5, p.97 पर छपा
remainderभाग देने के बाद जो बच जाता हैशेषफलPart I, §4.5, p.97 पर छपा
stepबढ़ते pattern का एक चरण, एक से गिना हुआचरणPart I, §4.5, p.100 पर छपा
letter-numbernumber की जगह इस्तेमाल होने वाला letterअक्षर-संख्याPart I, §4.1, p.82 पर छपा
general termकिसी अनिश्चित position की entry, letter के साथ लिखी हुईव्यापक पदयहाँ जोड़ा गया वाक्यांश; chapter nth term और nth occurrence कहता है, पर यह मिला हुआ वाक्यांश इस chapter में नहीं छापता

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 की Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells Hindi छपाई से पढ़कर नहीं लिए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर कोई नियम मुझे दिखाए गए cases पर fit बैठता है, तो वही नियम है।" p.96 पर machines की दूसरी row एक जीता-जागता case है: कई नियम चार जोड़ियों पर fit बैठते हैं। fit होना candidate ढूँढ़ने का तरीक़ा है; काम पूरा करने का नहीं। chapter ख़ुद matchstick वाले सवाल को और testing से तय करने से मना करता है, और इसके बजाय सरल करता है।
  • "formula पहले आता है और शब्द उसकी व्याख्या हैं।" §4.5 अपने ढंग से इसका उलटा कहकर शुरू होता है, और section का हर हल किया हुआ pattern letter आने से पहले रिश्ते को आम भाषा में बताता है।
  • "n मतलब जवाब।" 3n में letter यह गिनता है कि design का कौन-सी बार दिखना चाहिए, और expression position देता है। दोनों को मिला देना दोहराए जाने वाले pattern के सवालों की सबसे आम ग़लती है: 3n – 1 में, n = 41 से position 122 मिलती है, 122वीं बार दिखना नहीं।
  • "अलग-अलग दिखने वाले दो formulas का मतलब है हममें से कोई ग़लत है।" 3 + 2 × (y – 1) और 2y + 1 एक ही formula हैं। Simplification ही test है, और यह ठीक §4.4 की वजह से मिलता है।
  • "Step 33 का मतलब 33 triangles बनाना।" पूरे section की बात ही यह है कि ऐसा नहीं है। Step 108 जल्दी पूछ लो, class को महसूस करने दो कि drawing बेतुकी होती जा रही है, और सिर्फ़ तब formula बनाओ।
  • "pattern 2 से बढ़ता है, इसलिए formula 2y है।" यह सबसे आम ग़लत अंदाज़ा है और दिखाने लायक़ है: 2y, 2 देता है Step 1 पर, जबकि तस्वीर में साफ़-साफ़ 3 हैं। बढ़त सही पकड़ना सिर्फ़ एक हिस्सा है — शुरुआत भी सही होनी चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.5 Q4, Figure it Out · 4.5 Q11, Figure it Out · 4.5 Q12, Figure it Out · 4.5 Q13, Figure it Out · 4.5 Q14

पूरा transcript1,656 शब्द

एक मशीन सोचो, ऊपर से 2 numbers डालो, नीचे से एक number निकलता है, और अंदर क्या होता है, यह छुपा है। बस इतना पता है कि मशीन हर जोड़ी के संग एक ही काम करती है। कुछ जोड़ियाँ और उनके नतीजे दिखाए गए हैं, 5 और 2 से 8, 8 और 1 से 15, 9 और 11 से 7, 10 और 10 से 10। और पाँचवीं मशीन में 6 और 4 डाले गए हैं, पर नतीजे का डिब्बा खाली है।

नियम लिखना तभी काम का है जब वह उन मामलों का जवाब दे जो किसी ने जाँचे ही नहीं, वरना छपी जोड़ियाँ ही काफ़ी थीं। तो सवाल है, नियम क्या है, और उससे बड़ा सवाल, एक नियम लिखने का फ़ायदा क्या है? पहले नियम को सीधे शब्दों में समझते हैं, letters बाद में आएँगे। पहले number का दुगना, उसमें से दूसरा number घटाओ, जैसे 5 का दुगना 10, minus 2, यानी 8।

अब नाम रखो, पहला number a और दूसरा b, तो नियम है 2 a minus b। यहाँ क्रम मायने रखता है, 9 और फिर 11 से 7 आता है, पर 11 और फिर 9 से 13। यानी तरीका यह है, पहले बढ़त या काम को शब्दों में समझो, फिर जो बदलता है उसका नाम रखो, और तब व्यंजक बनाओ। अब 2 a minus b को हर छपी जोड़ी पर आज़माओ, नतीजे आते हैं 8, 15, 7, 10, ठीक वही जो छपे थे।

तो खाली डिब्बे के लिए, 6 का दुगना 12, minus 4, यानी 8। पर क्या अब यह नियम पक्का हो गया? नहीं, जो नियम दिखाए गए मामलों पर बैठ जाए, वह एक उम्मीदवार है, नतीजा नहीं। असली सवाल यह है कि कितने अलग नियम इन्हीं मामलों पर बैठ सकते हैं। एक और कतार की मशीनें, 5 और 2 से 5, 8 और 1 से 7, 9 और 11 से 18, 10 और 10 से 18।

अब नियमों का एक पूरा परिवार लो, a के कुछ गुना, b के कुछ गुना, a गुणा b के कुछ गुना, और एक अकेला number। हर हिस्से का गुणांक minus 15 से 15 तक, तो कुल 923521 नियम। इनमें से सिर्फ़ 1 नियम चारों जोड़ियों पर बैठता है, a plus b minus 2। जाँचो, 5 plus 2 minus 2 है 5, 8 plus 1 minus 2 है 7, 9 plus 11 minus 2 है 18, और 10 plus 10 minus 2 भी 18।

यानी इस परिवार के अंदर, 4 जोड़ियाँ काफ़ी थीं, पर यह हर बार नहीं होता। नीचे की कतार में सिर्फ़ 3 जोड़ियाँ छपी हैं, 4 और 1 से 5, 6 और 0 से 1, 3 और 2 से 7, और 10 और 3 वाला डिब्बा खाली है। a गुणा b plus 1 आज़माओ, 4 plus 1, 0 plus 1, 6 plus 1, तीनों सही, और खाली डिब्बे में 31। पर 13 minus a का दुगना भी तीनों पर बैठता है, और वह खाली डिब्बे में देता है -7।

उसी परिवार में ऐसे 3 नियम हैं, और खाली डिब्बे के लिए वे minus 7, 31 और 69 देते हैं। तो सही नियम कौन सा है? छपे हुए मामले यह तय नहीं कर सकते, बैठ जाना उम्मीदवार ढूँढने का तरीका है, बात खत्म करने का नहीं। अब तुम खुद एक मशीन बनाओ, नियम छुपाओ, कुछ जोड़ियाँ दिखाओ, और देखो कि दोस्त कितनी जोड़ियों के बाद पकड़ पाता है। अब एक दीवार की किनारी, उस पर टाइलें, 3 डिज़ाइन बार बार, A, B, C, फिर A, B, C।

पहले शब्दों में, हर 3 जगह के बाद वही डिज़ाइन लौटता है। जैसे जगह 7 पर फिर A आता है, क्योंकि 6 जगहों में पूरा चक्कर 2 बार पूरा हो चुका। अब पूछो, कोई डिज़ाइन कहाँ कहाँ आता है, और किसी दूर की जगह पर कौन सा डिज़ाइन है। डिज़ाइन C कहाँ है, जगह 3, 6, 9, 12, 15, 18। शब्दों में, C हमेशा 3 के गुणजों पर आता है।

अब जो बदलता है उसका नाम रखो, C का कौन सा आना, यह number n है। तो C का वह आना जिसे n गिनता है, जगह 3 n पर होता है, n बराबर 1 पर 3, n बराबर 2 पर 6। B कहाँ है, जगह 2, 5, 8, 11, 14, हर बार C से एक कदम पहले। इसलिए B का नियम 3 n minus 1। और A, C से 2 कदम पहले, तो 3 n minus 2।

n को 1 से 100 तक चलाओ, तीनों नियम पहली 300 जगहों में से हर एक पर सही डिज़ाइन देते हैं। एक ही नियम, बस खिसका हुआ, नए नियम ढूँढने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। एक आम उलझन, 3 n में n जगह नहीं है, n बताता है कि कौन सा आना चाहिए। B के नियम में n बराबर 41 रखो, तो 3 गुणा 41 minus 1, यानी जगह 122।

और गिनकर देखो, जगह 1 से 122 तक, B ठीक 41 बार आता है। जो n और जगह को मिला दे, वह B के 122 बार आने की जगह ढूँढने लगेगा, जो बिल्कुल अलग और बहुत दूर है। तो letter गिनता है कि कौन सा, और पूरा व्यंजक बताता है कि कहाँ। अब उल्टा चलो, जगह 148 पर कौन सा डिज़ाइन है? जगह को 3 से भाग करो, और शेष देखो, शेष 1 तो A, शेष 2 तो B, और शेष 0 तो C।

जगह 99, भागफल 33, शेष 0, तो C। जगह 122, भागफल 40, शेष 2, तो B। और जगह 148, भागफल 49, शेष 1, तो A। शेष वाला यह नियम पहली 300 जगहों में से हर एक पर सही निकला। अब तीलियों से त्रिभुजों की एक पट्टी, हर नया त्रिभुज पिछले से एक भुजा बाँटता है। चित्र में गिनती देखें, पहले कदम में 3 तीलियाँ, फिर 5, 7, 9, 11, 13।

अगर 3 त्रिभुज अलग अलग बनाओ तो 9 तीलियाँ लगतीं, पर पट्टी में सिर्फ़ 7, क्योंकि बाँटी हुई भुजा एक ही बार गिनी जाती है। अब सवाल, कदम 108 में कितनी तीलियाँ? सच में 108 त्रिभुज बनाकर गिनना बेतुका लगता है, और यही वह जगह है जहाँ नियम की कीमत है। पहले शब्दों में, शुरुआत 3 तीलियों से, और हर अगले कदम पर 2 तीलियाँ और जुड़ती हैं। यानी पहला कदम 3, दूसरा 3 plus 2, तीसरा 3 plus 2 plus 2।

अब कदम का नाम y रखो, तो कदम y पर कितने 2 जुड़े? जितना y, उससे एक कम, क्योंकि पहले कदम पर कोई 2 नहीं जुड़ा। जैसे कदम 4 पर 3 बार 2 जुड़ा, तो 3 plus 6, यानी 9, और चित्र में भी 9। कदम 5 पर 4 बार 2, तो 3 plus 8, यानी 11, जो पट्टी गिनकर भी आता है। इसलिए नियम है 3 plus 2 गुणा bracket y minus 1, और यह पहले 6 कदमों पर चित्र की गिनती से मेल खाता है।

सबसे आम गलत अंदाज़ा यह है, हर कदम पर 2 बढ़ता है, तो नियम 2 y। पर कदम 1 पर 2 y कहता है 2, जबकि चित्र में साफ़ 3 तीलियाँ हैं। और 1 से 500 तक के हर कदम पर यह ठीक 1 कम रहता है। यह अंदाज़ा इसलिए लुभाता है कि इसमें बढ़त बिल्कुल सही है, हर कदम पर 2 ही जुड़ता है। यानी बढ़त सही पकड़ना आधा काम है, शुरुआत भी सही होनी चाहिए।

अब दूसरी तरह देखो, पहले कदम की 3 तीलियाँ असल में 1 plus 2 हैं। तो हर कदम पर y बार 2, और शुरू का 1, यानी 2 y plus 1। अब 2 नियम हैं, दिखने में अलग, क्या इनमें से कोई गलत है? और कदम आज़माने से यह तय नहीं होगा, इसे सरल करो। bracket खोलो, तो 3 plus 2 y minus 2, और 3 minus 2 है 1, तो बनता है 2 y plus 1, वही नियम।

यानी ये एक ही नियम हैं, 2 रास्तों से पहुँचे, और 1 से 500 तक हर कदम पर बराबर भी निकलते हैं। अब तीलियों को दिशा से बाँटो, कुछ सीधी लेटी हुई, कुछ तिरछी। कदम 2 में 2 लेटी और 3 तिरछी। कदम 3 में 3 और 4, कदम 4 में 4 और 5। तो कदम y पर y लेटी तीलियाँ और y plus 1 तिरछी, यह 1 से 200 तक हर कदम पर चित्र से गिनकर सही निकला।

तिरछी तीलियाँ एक ज़्यादा इसलिए हैं कि हर त्रिभुज उन्हें आपस में बाँटता है, और पट्टी के दोनों सिरों पर एक एक बचती है। जोड़ो, y plus y plus 1, यानी 2 y plus 1, तीसरा रास्ता, वही नियम। अब वह काम जिसके लिए नियम बनाया था, वे कदम जो किसी ने बनाए ही नहीं। कदम 33, तो 2 गुणा 33 plus 1, यानी 67 तीलियाँ। कदम 84, तो 169।

और कदम 108, तो 217 तीलियाँ, बिना एक भी त्रिभुज बनाए। और जाँच के लिए पट्टी को सच में उतना लंबा बनाकर गिना गया, तीनों गिनतियाँ मेल खाती हैं। और यह भरोसा किसी जाँच से नहीं आया, 3 अलग रास्तों से एक ही नियम तक पहुँचे, और सरल करने ने दिखाया कि वे एक ही हैं। नियम लिखने की कीमत यही है, वह उन मामलों का जवाब देता है जिन्हें किसी ने जाँचा ही नहीं।

अब उल्टा सवाल, किस कदम में ठीक 67 तीलियाँ लगती हैं? नियम 2 y plus 1 है, तो पहले 1 हटाओ, 66 बचे, फिर आधा करो, यानी कदम 33। इसी तरह 217 तीलियाँ, 1 हटाओ और आधा करो, कदम 108। और क्या कोई कदम ठीक 100 तीलियों का हो सकता है? नहीं, क्योंकि 2 y plus 1 हमेशा विषम है, और 1 से 500 तक हर कदम की गिनती सच में विषम निकली।

यानी नियम सिर्फ़ आगे का जवाब नहीं देता, वह यह भी बताता है कि कौन सी गिनती कभी आ ही नहीं सकती। याद रखो, पहले शब्दों में समझो कि चीज़ कैसे बढ़ती है, फिर बदलने वाली चीज़ का नाम रखो, और तब व्यंजक बनाओ। जो नियम दिखाए मामलों पर बैठ जाए, वह उम्मीदवार है, नतीजा नहीं। letter गिनता है कि कौन सा आना, व्यंजक बताता है कि कहाँ। दोहराते pattern में जगह से डिज़ाइन, शेष से मिलता है।

और 2 अलग दिखते नियम एक हैं या नहीं, यह सरल करके देखो, और कदम आज़माकर नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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