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Chapter 7 · Finding the Unknown

किसी स्थिति से equation बनाना

Solving equations systematically14 मिनट

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equation हल करना आसान हिस्सा है - मुश्किल यह तय करना है कि letter किस चीज़ की संख्या है, और वह फ़ैसला शब्दों में, लिखने से पहले होता है।

मुख्य idea

शाब्दिक सवाल का कठिन हिस्सा कभी हल करना नहीं था; कठिन हिस्सा था यह तय करना कि letter किस चीज़ के लिए खड़ा होगा। यह chapter उस चुनाव को दिखने लायक़ बनाता है — एक ही party के budget पर तीन students की कोशिशें बगल-बगल छापकर — और चौंकाने वाली बात यह है कि तीनों अलग-अलग रास्ते अपनाते हैं, जिनमें दो अलग-अलग equations हैं और एक में letter की ज़रूरत ही नहीं, और सब सही हैं। किसी स्थिति का कोई एक सही equation नहीं होता। किसी modelling को सही यह बात बनाती है कि उसकी हर line वापस कहानी में पढ़ी जा सके, और यह मान लेने के बाद उलटा काम भी साफ़ हो जाता है: किसी को एक equation थमाओ और पूछो कि वह किस कहानी से आया हो सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • तय करना कि अज्ञात letter किस चीज़ को दर्शाएगा, और कुछ भी लिखने से पहले वह चुनाव शब्दों में कहना
  • एक-एक क़दम करके बताई गई स्थिति के लिए expression बनाना
  • दिखाना कि एक ही pattern की दो अलग गिनतियाँ एक ही expression देती हैं
  • एक स्थिति के लिए दो अलग पर बराबर सही equations बनाना, और उनके जवाबों का मेल बैठाना
  • हल किए गए मान को वापस स्थिति में पढ़ना और उसी सवाल का जवाब देना जो असल में पूछा गया था
  • दो अज्ञातों वाली स्थिति को, एक को दूसरे के रूप में लिखकर, एक अज्ञात तक घटाना
  • बताए गए हल वाले कई equations लिखना, और equations की ऐसी कड़ी बनाना जिनका हल एक ही हो
  • कोई अकेला equation दिया हो, तो ऐसी स्थिति गढ़ना जिसका वह model हो सकता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
unknownवह राशि जो स्थिति तुम्हें नहीं देती, और जिसे तुम एक letter से नाम देते होअज्ञात राशिपूरे Part II, §7.2, pp.174–180 में छपा
letter-numberकिसी ऐसी संख्या की जगह इस्तेमाल हुआ letter जिसका मान अभी पता नहींअक्षर-संख्याPart II, §7.2, p.179 पर छपा
expressionसंख्याओं, letters और operations से बना formulaव्यंजकPart II, §7.2, pp.175, 178 पर छपा
equationएक लिखी हुई line जो दावा करती है कि दो expressions एक ही संख्या का नाम हैंसमीकरणPart II, §7.1, p.167 पर छपा
solutionletter का वह मान जिसके लिए दावा सच निकलता हैहलPart II, §7.2, pp.179–180 पर छपा
position numberबढ़ते pattern में किसी arrangement की जगह; किताब यहाँ Step k लिखती हैस्थान संख्याPart II, §7.1, pp.166–167 पर छपा; p.174 का tile pattern इसकी जगह Step इस्तेमाल करता है
fixed amountऐसा शुल्क जो इससे नहीं बदलता कि कितनी चीज़ें ख़रीदी गईंनियत राशिPart II, §7.2, p.175 पर छपा
cost per unitहर अकेली चीज़ पर लगने वाला शुल्कप्रति इकाई लागतPart II, §7.2, p.180 पर छपा
modelling (algebraically)बताई गई स्थिति को equation में बदलनाबीजीय निदर्शनPart II, §7.2, p.178 पर algebraically modeling के रूप में छपा
chains of equationsequations की एक कतार, हर एक अपने ऊपर वाले से, हर तरफ़ लगाए गए एक operation से बनासमीकरण-श्रृंखलाPart II, §7.2, p.180 पर छपा
word problemगद्य में दी गई स्थिति का, दूसरी जगहों पर चलने वाला आम नामशाब्दिक समस्याइस chapter में नहीं छपा — सभी 28 छपे पन्ने, 164 से 191 तक, देखे और पढ़े गए; यहाँ मोटे अक्षरों वाला उपशीर्षक "Solving Problems" है
naming the unknownequation लिखने से पहले शब्दों में तय करना कि letter किस चीज़ के लिए खड़ा होगाअज्ञात का नामकरणउस क़दम के लिए इस पाठ का वाक्यांश जिसे chapter pp.175–176 पर तीन बार करके दिखाता है, बिना नाम दिए

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Part II का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर सवाल का एक ही सही equation होता है।" इस topic का सबसे ज़रूरी सुधार, और chapter इसके इर्द-गिर्द पूरा एक पन्ना बनाता है। Mahesh का 25p + 50 = 500 और Srikanth का 25(f + 5) = 450 एक ही कहानी से निकले अलग-अलग equations हैं, और Fatima ने इनमें से कोई भी लिखे बिना उसे हल कर लिया।
  • "letter हमेशा उसी चीज़ के लिए खड़ा होता है जो सवाल पूछता है।" Mahesh का p लोगों की संख्या है, पर सवाल दोस्तों के बारे में पूछता है। उसका जवाब, 18, तब तक सवाल का जवाब नहीं है जब तक उसमें से 5 न घटाए जाएँ। मान को वापस कहानी में पढ़ना एक अलग क़दम है, और यहीं नंबर कटते हैं।
  • "शाब्दिक सवाल keywords ढूँढ़कर हल होता है।" pp.174–180 पर कुछ भी इस तरह नहीं चलता। Fatima का चित्र किसी भी letter से पहले आता है, और Riyaz की table एक-एक निर्देश से expression बनाती है।
  • "दो अज्ञातों के लिए दो letters चाहिए।" Example 12 दो letters लिखता है, देखता है कि आगे नहीं बढ़ सकता, और एक पर लौट आता है। Ramesh की गिनती को y + 30 के रूप में लिखना ही पूरी चाल है। यह कक्षा 7 की एक असली सीमा है, जिसे chapter ख़ुद कहता है, कोई छोटा रास्ता नहीं।
  • "pattern को अलग तरह से गिनने पर अलग formula मिलता है।" अलग दिखने वाला मिलता है। Method 1, k + k + k + 1 पर पहुँचता है और Method 2, k + (2k + 1) पर; दोनों सरल होकर 3k + 1 बनते हैं। उनका मेल होना ही चाहिए, यही असली बात है।
  • "equation बनाना बिना किसी सामग्री का खेल है।" p.180 की कड़ियाँ इसी वजह से ऐसा नहीं हैं: कड़ी के हर equation का हल एक ही है, इसलिए पढ़ने वाला नीचे की line से हल पढ़कर जान सकता है कि वह ऊपर तक हर जगह सही है। यह वही पहले वाला गुण है, दूसरे सिरे से देखा हुआ।
  • "3k + 1 = 100 का जवाब ज़ाहिर तौर पर है, क्योंकि 100 एक अच्छी संख्या है।" यहाँ है, पर chapter के exercises में इसी जैसा सवाल जान-बूझकर पहुँच में आने वाले और न आने वाले लक्ष्यों को मिलाता है (Part II, §7.4 के बाद वाला exercise block, p.188, सवाल 16). पहुँच जाँचनी पड़ती है, मान नहीं ली जाती।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q3, End-of-Chapter Figure it Out Q2, End-of-Chapter Figure it Out Q6, End-of-Chapter Figure it Out Q7, End-of-Chapter Figure it Out Q8, End-of-Chapter Figure it Out Q9, End-of-Chapter Figure it Out Q12, End-of-Chapter Figure it Out Q13, End-of-Chapter Figure it Out Q14, End-of-Chapter Figure it Out Q20

पूरा transcript1,786 शब्द

अक्सर equation हाथ में मिलता है, और काम बस उसे हल करना होता है। अब उल्टा, हाथ में एक कहानी है, और equation हमें ख़ुद बनाना है। और मुश्किल हिस्सा हल करना नहीं, मुश्किल यह तय करना है कि letter किस चीज़ का नाम होगा। एक T जैसी आकृति में टाइलें, एक आड़ी पंक्ति, और उसके बीच से नीचे लटकती एक पूँछ। कदम 1 पर 4 टाइलें, कदम 2 पर 7, कदम 3 पर 10, और कदम 4 पर 13।

तो कदम k पर कितनी टाइलें होंगी? पहला तरीका, हर ढाँचे को 3 बराबर हिस्सों में बाँटो, और बीच की एक टाइल अलग। कदम k पर बाईं भुजा k, दाईं भुजा k, पूँछ k, और बीच की 1 टाइल। यानी k जोड़ k जोड़ k जोड़ 1, यानी 3 गुणा k जोड़ 1। टाइल टाइल गिनकर देखो, 50 में से 50 कदमों पर यह बँटवारा ठीक बैठता है, न कोई टाइल दोहराई गई, न कोई छूटी।

दूसरा तरीका, छोटी पूँछ अलग करो, k टाइलें, और बाकी पूरी पंक्ति, 2 गुणा k जोड़ 1। तो k जोड़, 2 गुणा k जोड़ 1, और यह बँटवारा भी 50 में से 50 कदमों पर ठीक। दिखने में अलग, पर जोड़ो तो वही 3 गुणा k जोड़ 1। कदम 3 पर देखो, पहली गिनती, 3 जोड़ 3 जोड़ 3 जोड़ 1, यानी 10। दूसरी गिनती, पूँछ की 3, और पंक्ति की 7, यानी फिर 10।

टाइलें वही 10, बस अलग टुकड़ों में काटकर गिनी गईं। कुछ लोग सोचते हैं कि अलग तरह से गिनो, तो अलग सूत्र मिलेगा। पर टाइलें वही हैं, बस गिनने का रास्ता अलग, तो expression बस दिखने में अलग आता है। और जब 2 रास्ते एक ही जगह पहुँचें, तो भरोसा बढ़ता है कि expression ठीक बना। क्या किसी कदम पर ठीक 100 टाइलें होंगी? यहाँ 3 गुणा k जोड़ 1, बराबर 100, दोनों तरफ़ से 1 घटाओ, 3 गुणा k बराबर 99, और k बराबर 33।

पर 101 टाइलें, कदम 1 से 1000 तक किसी भी कदम पर नहीं। और 1 से 100 तक की 100 संख्याओं में से बस 33 किसी कदम पर मिलती हैं, इसलिए पहुँच जाँचनी पड़ती है, मान नहीं ली जाती। अब एक कहानी, एक नाव पर थैलों के वज़न की सीमा 500 किलो है। नाव में 50 किलो का औज़ारों का डिब्बा हमेशा रहता है। हर सवारी 25 किलो का एक थैला लाती है, न कम, न ज़्यादा।

एक परिवार के 5 लोग जा रहे हैं, और वे दोस्तों को भी बुलाना चाहते हैं, कितने दोस्त आ सकते हैं? पहला तरीका, कोई letter नहीं, बस एक कच्चा चित्र। थैलों का वज़न, और डिब्बे का वज़न, और नीचे, 25 गुणा एक ख़ाली खाना, जोड़ 50। वह ख़ाली खाना वही जगह है, जहाँ letter अभी आया नहीं। अब 500 में से डिब्बे के 50 पहले हटाओ, बचे 450। अब 450 किलो में 25 किलो वाले थैले कितने आएँगे, 450 बटा 25, यानी 18।

तो नाव पर 18 सवारियाँ, उनमें 5 परिवार के, तो दोस्त 13। दूसरा तरीका, letter p, नाव पर कुल सवारियाँ। देखो, 25 गुणा p जोड़ 50, बराबर 500, और p बराबर 18। पर ध्यान रहे, सवाल दोस्तों का है, और p दोस्त नहीं, कुल लोग हैं। अगला तरीका, letter f, सीधे दोस्तों की संख्या। तो नाव पर f जोड़ 5 लोग, और 25 गुणा, f जोड़ 5, बराबर 450। हल, f बराबर 13, और यह सीधे सवाल का जवाब है।

कुछ लोग सोचते हैं कि हर कहानी का एक ही सही equation होता है। यहाँ 2 अलग equations, और एक तरीका बिना किसी equation के, और सब सही। जाँच, 25 गुणा 18 जोड़ 50, यानी 500, और 25 गुणा, 13 जोड़ 5, यानी 450। हर संख्या पर देखो, शून्य से 40 तक, 41 की 41 जगह, एक equation तभी सच जब दूसरा, यानी कहानी के बारे में वे एक ही बात कहते हैं।

कुछ लोग सोचते हैं कि letter हमेशा वही होता है जो सवाल पूछता है। p बराबर 18 मिला, पर 18 जवाब नहीं, उसमें से परिवार के 5 घटाने पर 13। हल निकालने के बाद उसे वापस कहानी में पढ़ना एक अलग कदम है, और ग़लती अक्सर यहीं होती है। इसलिए कुछ भी लिखने से पहले, शब्दों में तय करो कि letter किसका नाम है। कुल सवारियाँ, या बस दोस्त, यह चुनाव तुम्हारा है, पर उसे लिखकर रखो, ताकि आख़िर में जवाब सही चीज़ का हो।

अब 2 पानी की टंकियाँ। पहली में 4000 लीटर, और हर महीने 650 लीटर और आता है। दूसरी टंकी में 5050 लीटर, और हर महीने 500 लीटर। कितने महीनों बाद दोनों में बराबर पानी होगा? यहाँ भी पहले तय करो कि letter m किसका नाम है, महीनों की संख्या का, पानी की मात्रा का नहीं। अगर letter m को पानी की मात्रा का नाम देते, तो equation बिल्कुल अलग दिखता, और जवाब भी किसी और चीज़ का होता।

अब letter m, यानी महीनों की संख्या, तो 4000 जोड़ 650 गुणा m, बराबर 5050 जोड़ 500 गुणा m। दोनों तरफ़ से 500 गुणा m घटाओ, और 4000 भी, 150 गुणा m बराबर 1050। m बराबर 7, और तब दोनों में 8550 लीटर। जाँच, 650 गुणा 7, यानी 4550, और 4000 जोड़ 4550, यानी 8550, दूसरी तरफ़ 500 गुणा 7, यानी 3500, और 5050 जोड़ 3500, वह भी 8550। महीने 0 से 6 तक, हर महीने पहली टंकी पीछे, 7 में से 7 बार।

और महीने 8 से 12 तक हर महीने आगे, 5 में से 5 बार। यह equation ठीक उस पल को पकड़ता है, जब दोनों बराबर होती हैं। अब एक खेल, कोई संख्या मन में सोचो। उसमें से 3 घटाओ, फिर 4 से गुणा करो, फिर 8 जोड़ो। किसी ने बताया, 24, तो शुरू वाली संख्या क्या है? एक एक निर्देश पर expression बनाओ, सोची हुई संख्या x। यहाँ 3 घटाओ, x घटा 3, 4 से गुणा, 4 गुणा x घटा 12, 8 जोड़ो, 4 गुणा x घटा 4।

और 4 गुणा x घटा 4, बराबर 4 गुणा, x घटा 1, ऋण 50 से 50 तक हर x पर, 101 की 101 बार। अब 4 गुणा, x घटा 1, बराबर 24, दोनों तरफ़ 4 से भाग करो, x घटा 1, बराबर 6। और x बराबर 7। जाँच, 7 घटा 3, यानी 4, 4 से गुणा, 16, और 8 जोड़ो, 24, ठीक वही जो बताया गया। नियम भी मिल गया, बताई गई संख्या का चौथाई लो, और 1 जोड़ो, 101 में से 101 बार शुरू वाली संख्या लौट आती है।

कुछ लोग सवाल में ख़ास शब्द ढूँढकर equation बनाते हैं। पर यहाँ expression एक एक निर्देश पर बना, और नाव वाले सवाल में letter से पहले चित्र बना। एक और खेल, कोई भी संख्या सोचो, उसे दुगुना करो, 10 जोड़ो, और आधा करो। फिर शुरू वाली संख्या घटाओ, और 3 जोड़ो, जवाब हमेशा 8। x से लिखो, 2 गुणा x जोड़ 10, आधा करो तो x जोड़ 5, x घटाओ तो बचा 5, और 3 जोड़ो, 8।

मान लो 7 सोचा, दुगुना 14, 10 जोड़ो तो 24, आधा 12, 7 घटाओ तो 5, और 3 जोड़ो, 8। शुरू वाली संख्या अपने आप कट जाती है, ऋण 50 से 50 तक, 101 की 101 बार जवाब 8। अब 60 कंचे, 2 हिस्सों में, और बड़ा हिस्सा छोटे से 30 ज़्यादा। और 2 letters लो, x जोड़ y, बराबर 60, और x बराबर y जोड़ 30। पहली बात अकेले 61 बँटवारे होने देती है, शून्य से 60 तक, दूसरी मिलाओ तो बस 1।

पर हल करने की चाल अभी बस एक letter वाले equations पर चलती है। तो एक letter से काम चलाओ, छोटा हिस्सा y, और बड़ा हिस्सा y जोड़ 30। y जोड़, y जोड़ 30, बराबर 60, यानी 2 गुणा y जोड़ 30, बराबर 60। दोनों तरफ़ से 30 घटाओ, 2 गुणा y बराबर 30, y बराबर 15, और बड़ा हिस्सा 45। जाँच, 15 जोड़ 45, यानी 60, और 45 घटा 15, यानी 30।

कुछ लोग सोचते हैं कि 2 अनजान हों, तो 2 letters चाहिए ही। पर एक को दूसरे के रूप में लिखो, तो एक ही letter काफ़ी है, यही पूरी चाल है। अब उल्टा खेल, ऐसे equations बनाओ जिनका हल y बराबर 5 हो। जैसे y जोड़ 1, बराबर 6, या 3 गुणा y, बराबर 15, और इनका हल 5। कोई भी equation बनाओ, बस शर्त इतनी कि y बराबर 5 रखने पर दोनों तरफ़ सच में बराबर निकलें, और फिर अपना तरीका दोस्तों से मिलाओ।

y जोड़ 1 बराबर 6 से शुरू करो, और हर कदम पर दोनों तरफ़ एक ही क्रिया। ऋण 1 से गुणा, ऋण y घटा 1, बराबर ऋण 6। y जोड़ो, ऋण 1, बराबर y घटा 6, फिर 6 जोड़ो, 5 बराबर y। दूसरी कड़ी, 3 गुणा y बराबर 15, 6 जोड़ो, 3 गुणा y जोड़ 6, बराबर 21। अब 3 से भाग करो, y जोड़ 2, बराबर 7, फिर 2 घटाओ, y बराबर 5।

दोनों कड़ियों की 8 की 8 lines का हल 5। कुछ लोग सोचते हैं कि equation बनाना बस एक खेल है, जिसमें सीखने को कुछ नहीं। पर कड़ी की हर line का हल एक ही, इसलिए नीचे वाली line से हल पढ़ो, और वह पूरी कड़ी में ऊपर तक सच। यह दोनों तरफ़ एक क्रिया वाली बात ही है, बस उल्टी तरफ़ से देखी गई। यह कड़ी ऊपर की ओर भी चलती है, y बराबर 5 से, 4 से गुणा, फिर 1 जोड़ो।

मिला, 4 गुणा y जोड़ 1, बराबर 21, और 4 गुणा 5 जोड़ 1, यानी 21, हल अब भी 5। आख़िर में, बिना कहानी का एक equation, 100 गुणा x जोड़ 75, बराबर 250। कहानी बनाओ, 75 वह हिस्सा जो नहीं बदलता, और 100 किसी चीज़ की गिनती। जैसे एक टंकी में पहले से 75 लीटर, फिर 100 बाल्टियाँ, हर एक में x लीटर, और टंकी 250 पर भर गई।

इसे हल भी करो, 250 घटा 75, यानी 175, और x बराबर 175 बटा 100, यानी 7 बटा 4 लीटर। जाँच, 100 गुणा 7 बटा 4, जोड़ 75, यानी 250। एक equation की कई कहानियाँ हो सकती हैं, और हर कहानी में letter का मतलब अलग। तो किसी equation को सही बनाने वाली बात यह है, कि उसकी हर line कहानी में वापस पढ़ी जा सके। कहानी से equation, और equation से कहानी, दोनों दिशाओं में वही पढ़ना काम आता है।

अब तुम्हारी बारी, नाव वाली कहानी के लिए एक और equation बनाओ, किसी अलग चीज़ को letter बनाकर। फिर अपना एक संख्या वाला खेल बनाओ, जिसमें शुरू वाली संख्या आख़िर में कट जाए, और x से साबित करो कि क्यों। पहले शब्दों में तय करो कि letter किसका नाम है। एक कहानी के कई सही equations हो सकते हैं, और एक ढाँचे की कई सही गिनतियाँ। हल निकालकर उसे कहानी में वापस पढ़ो, और वही जवाब लिखो जो पूछा गया है।

एक अनजान को दूसरे के रूप में लिखो, तो एक letter काफ़ी। और कड़ी की हर line का हल एक ही रहता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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