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Chapter 7 · Finding the Unknown

अज्ञात को क़दम-दर-क़दम अकेला करना

Solving equations systematically13 मिनट

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हिस्से को उस पार ले जाओ और निशान बदलो - यह कोई नया नियम नहीं, बस दोनों तरफ़ वाली चाल है, बीच की एक line मिटाकर।

मुख्य idea

वह छोटा रास्ता जो सबको याद रहता है — उस पार ले जाओ और चिह्न बदल दो — असल में बराबर के चिह्न को पार करने का कोई नियम है ही नहीं। यह हर तरफ़ एक ही काम करने का दो-line वाला रूप है, जिसकी बीच वाली line मिटा दी गई है। यह chapter इस मामले में अनोखा है कि वह एक रूप को दूसरे से बदलने के बजाय दोनों रूप बगल-बगल के columns में छापता है, और इसकी वजह तुरंत दिख जाती है: जिस student के पास सिर्फ़ छोटा रास्ता है, वह बड़े आराम से किसी factor को ऐसे "खिसका" देगा मानो वह term हो, और जिन ग़लतियों को chapter आगे ढूँढ़ने को कहता है, उनमें से ज़्यादातर यही हैं — छोटा रास्ता अपने कारण से कट गया।

आपको क्या आना चाहिए

  • ऐसा equation हल करना जिसमें अज्ञात दोनों तरफ़ हो, पहले उसे एक तरफ़ इकट्ठा करके
  • अज्ञात को अकेला करते समय घटाए गए negative पद को सही ढंग से सँभालना
  • एक ही हल का पूरा रूप और छोटा रूप बगल-बगल रखना, और बताना कि कौन-सी line छोड़ी गई
  • term, factor और divisor के लिए छोटे रास्ते को चलाने वाली तीनों छपी observations बताना
  • समझाना कि term खिसकने पर उसका चिह्न क्यों बदलता है, पर factor का क्यों नहीं
  • bracket वाला equation कम से कम दो अलग रास्तों से हल करना
  • ऐसा equation बनाना जिसका कोई हल न हो, और ऐसा जिसका हल शून्य हो
  • मिले हुए मान की जाँच करना और बताना कि जाँच क्या तय करती है और क्या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
additive inverseवह संख्या जिसे दी गई संख्या में जोड़ने पर शून्य मिलता हैयोज्य प्रतिलोमPart II, §7.2, p.173 पर छपा
termexpression का वह टुकड़ा जो बाक़ी से जोड़ या घटाव से जुड़ा हैपदPart II, §7.2, pp.169, 173 पर छपा
factorगुणनफल का वह टुकड़ा जो बाक़ी से गुणा से जुड़ा हैगुणनखंडPart II, §7.2, pp.169, 173 पर छपा
divisorवह संख्या जिससे किसी expression को भाग दिया जा रहा हैभाजकPart II, §7.2, p.173 पर छपा
productगुणा का नतीजा, और वह रूप जो किसी एक तरफ़ का हो सकता हैगुणनफलPart II, §7.2, p.173 पर छपा
quotientभाग का नतीजा, और वह रूप जो किसी एक तरफ़ का हो सकता हैभागफलPart II, §7.2, p.173 पर छपा
inverse operationsऐसे operations जो एक-दूसरे को उलट देते हैंप्रतिलोम संक्रियाएँPart II, §7.2, pp.169, 172 पर छपा
letter-numberकिसी ऐसी संख्या की जगह इस्तेमाल हुआ letter जिसका मान अभी पता नहींअक्षर-संख्याPart II, §7.1, p.167 पर छपा, और फिर §7.2, p.168 और §7.3, p.181 में
no solutionऐसे equation के लिए कहा जाता है जिसे letter का कोई भी मान सच नहीं बना सकताकोई हल नहींPart II, §7.2, p.172 पर छपा
simplifyingहल करने से पहले किसी एक तरफ़ को छोटे, बराबर रूप में फिर से लिखनासरलीकरणPart II, §7.2, p.177 पर छपा
transpositionterm को बराबर के चिह्न के पार ले जाने का, दूसरी जगहों पर चलने वाला आम नामपक्षांतरणइस chapter में नहीं छपा — सभी 28 छपे पन्ने, 164 से 191 तक, देखे और पढ़े गए; chapter इस चाल को term हटाना कहकर बताता है और कभी इसे नाम नहीं देता
isolating the unknownletter को एक तरफ़ अकेला कर देनाअज्ञात को अलग करनाइस पाठ का वाक्यांश; किताब इसकी जगह एक तरफ़ सिर्फ़ अज्ञात को रहने देने को कहती है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Part II का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "उस पार ले जाओ और चिह्न बदल दो।" जितना यह कहता है उतना सही है, और chapter आख़िर में ठीक यही रूप लिखता भी है — पर उसे निकालने के बाद ही। व्याख्या में हर बार यह निकालना ज़ोर से कहो, क्योंकि चिह्न का पलटना हर तरफ़ से एक ही term घटाने का नतीजा है, किसी line को पार करने का नियम नहीं।
  • "तो factor भी खिसकने पर चिह्न बदलता है।" यही वह ग़लत सामान्यीकरण है जिसकी ओर छोटा रास्ता ले जाता है, और observation (b) इसे रोकने के लिए छपी है: 2y = 14 बन जाता है y = 14 ÷ 2, न कि y = 14 − 2. Error card 3, p.181 पर, ठीक यही ग़लती करता है: 2v − 4 = 6 में 2 बाईं तरफ़ से भाग के रूप में निकलता है, क्योंकि 2v, v बन जाता है, और दाईं तरफ़ घटाव के रूप में आ पड़ता है, क्योंकि 6, 6 − 2 बन जाता है। Card 1 यही अलगाव term के साथ करता है, और उलटी दिशा में — वहाँ term बराबर के चिह्न को पार करता है और पलटने के बजाय अपना चिह्न बनाए रखता है। बताओ कि हर card किस तरफ़ से चूकता है; उन्हें "एक जैसा" कहने से समझाने वाला card 1 को ऐसे चिह्न के रूप में बता सकता है जो ग़लती से बदल गया, जो उसके किए का ठीक उलटा है।
  • "negative को घटाना, घटाने जैसा ही है।" Example 5, 61 − (−5) = 66 पर टिका है। उस क़दम पर धीमे चलो।
  • "हल करने के लिए operations का एक सही क्रम होता है।" Example 10 तीन क्रम बगल-बगल छापता है और तीनों चलते हैं। मायने यह रखता है कि हर line अपने ऊपर वाली line से, हर तरफ़ लगाए गए किसी operation से निकले।
  • "हर equation का हल होता है।" सवाल 2, p.172 पर, ऐसा equation माँगता है जिसका हल न हो, और 5s = 3s, जो सवाल 1 में है, वह हल रखता है जिसे students सबसे ज़्यादा लिखने से मना करते हैं, यानी शून्य। दोनों व्याख्या में आने चाहिए।
  • "सरल करना और हल करना एक ही क़दम है।" Column 3 (Example 10 का) bracket खोलकर गुणा करने से शुरू होता है — इससे एक तरफ़ का रूप बदलता है, और दूसरी तरफ़ कोई operation नहीं लगता। एक तरफ़ को फिर से लिखने और दोनों तरफ़ लगाई गई चाल में फ़र्क़ करो।
  • "जवाब मिलते ही मेरा काम ख़त्म।" chapter Example 5 के बाद और फिर Example 6 के बाद जाँच का सवाल रखता है। जाँच में बस एक बार रखकर देखना पड़ता है, और यह ठीक वही चिह्न की चूकें पकड़ती है जिनके बारे में यह topic है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 2 Q5, End-of-Chapter Figure it Out Q11, End-of-Chapter Figure it Out Q17, End-of-Chapter Figure it Out Q18, End-of-Chapter Figure it Out Q19

पूरा transcript1,663 शब्द

हर equation पर एक ही चाल चलती है, दोनों तरफ़ एक ही क्रिया। अब एक जाना पहचाना छोटा रास्ता, हिस्से को उस पार ले जाओ, और उसका निशान बदलो। यह छोटा रास्ता कोई नया नियम नहीं, वही पुरानी चाल है, बस बीच की एक line मिटा दी गई है। अनजान बस एक तरफ़ हो, तो 2 चालें काफ़ी हैं, पहले जोड़ना या घटाना, फिर भाग। यहाँ अनजान दोनों तरफ़ भी है, ऋण संख्याएँ भी हैं, और कोष्ठक भी।

यहाँ 11 गुणा y, जोड़ ऋण 5, बराबर 61। बाईं तरफ़ से ऋण 5 हटाना है, तो दोनों तरफ़ से ऋण 5 घटाओ। बाईं तरफ़ ऋण 5 घटा ऋण 5, यानी 0, बचा बस 11 गुणा y। दाईं तरफ़ 61 घटा ऋण 5, यानी 66। कुछ लोग ऋण 5 घटाने को 5 घटाना समझ लेते हैं। तब 61 घटा 5, यानी 56 आता है, और उसके बाद सब ग़लत। ऋण संख्या घटाओ, तो दाईं तरफ़ बढ़ती है, घटती नहीं, यहीं धीमे चलना है।

अब 11 गुणा y, बराबर 66, और सीधे दिखता है, 11 गुणा 6, बराबर 66। या दोनों तरफ़ 11 से भाग करो, वही y बराबर 6। जाँच, 11 गुणा 6, घटा 5, यानी 61, ठीक दाईं तरफ़। और y बराबर 5 या 7 रखो, तो दोनों तरफ़ नहीं मिलतीं। अब अनजान दोनों तरफ़, 6 गुणा y जोड़ 7, बराबर 4 गुणा y जोड़ 21। पहले y को एक तरफ़ इकट्ठा करो, दोनों तरफ़ से 4 गुणा y घटाओ।

तो बचता है, 2 गुणा y जोड़ 7, बराबर 21। दोनों तरफ़ से 7 घटाओ, 2 गुणा y, बराबर 14। दोनों तरफ़ 2 से भाग करो, y बराबर 7। हर line का हल अलग से निकालो, तो 4 की 4 lines का हल, y बराबर 7। जाँच, 6 गुणा 7 जोड़ 7, यानी 49, और 4 गुणा 7 जोड़ 21, वह भी 49, और 6 या 8 पर दोनों तरफ़ अलग।

जब अनजान दोनों तरफ़ हो, तो पहला काम उसे किसी एक तरफ़ इकट्ठा करना है। उसके बाद वही पुराना काम बचता है, पहले जोड़ घटाना, फिर भाग। अब यही हल 2 columns में लिखो, बगल बगल। बाएँ column में हर क्रिया अपनी line में, दोनों तरफ़ लिखी है। दाएँ column में बस नतीजे, बाएँ में 7 lines, दाएँ में 4। बायाँ column ऊपर से पढ़ो, पहले equation, फिर एक line, दोनों तरफ़ से 4 गुणा y घटाओ।

फिर नतीजा, 2 गुणा y जोड़ 7, बराबर 21, और उसके नीचे, दोनों तरफ़ से 7 घटाओ। फिर 2 गुणा y बराबर 14, उसके नीचे, दोनों तरफ़ 2 से भाग करो, और आख़िर में y बराबर 7। बाएँ column से वे 3 lines मिटाओ जिनमें बस क्रिया लिखी है। जो बचा, वह ठीक दाएँ column जैसा, 4 की 4 lines एक जैसी। यानी छोटे रास्ते में कोई कदम नहीं छूटा, बस बीच की lines छूटी हैं।

पहले वाले equation पर भी यही करो, 11 गुणा y, जोड़ ऋण 5, बराबर 61। छोटे column में 3 lines, लंबे में 5, और छोटी वाली हर line से, y बराबर 6। यहाँ मिटाई गई lines में एक घटाना है, और एक भाग, और छोटे रास्ते में वह भाग बस 66 बटा 11 बनकर दिखता है। छोटे रास्ते में, 2 गुणा y जोड़ 7, बराबर 21, सीधे बनता है, 2 गुणा y, बराबर 21 घटा 7।

लगता है जैसे जोड़ 7, उस पार जाकर घटा 7 बन गया। पर असल में वहाँ होता क्या है? दोनों तरफ़ से 7 घटता है, बाईं तरफ़ 7 जोड़ ऋण 7, यानी 0। और दाईं तरफ़ 21 घटा 7, यानी 14। निशान का बदलना दोनों तरफ़ से घटाने का नतीजा है, बराबर का निशान पार करने का कोई नियम नहीं। पहली बात, जोड़ से जुड़ा हिस्सा उस पार जाकर अपना योज्य प्रतिलोम बनता है।

योज्य प्रतिलोम यानी वह संख्या, जो जोड़ने पर 0 दे, जैसे 7 का ऋण 7। दूसरी बात, 2 गुणा y, बराबर 14। यहाँ 2 गुणा से जुड़ा है, तो वह उस पार भाग बनकर जाता है, y बराबर 14 बटा 2, यानी 7। क्योंकि असल में यह दोनों तरफ़ 2 से भाग ही है। कुछ लोग यहाँ भी निशान बदल देते हैं, y बराबर 14 घटा 2, यानी 12। पर 2 गुणा 12, यानी 24, 14 नहीं।

ग़लत और सही नियम बस एक हालत में मिलते हैं, जब दाईं तरफ़ 4 हो, ऋण 100 से 100 तक बस 1 बार, इसीलिए यह ग़लती कभी कभी बच निकलती है। अगली बात, u बटा 15, बराबर 6। यहाँ 15 से भाग है, तो दोनों तरफ़ 15 से गुणा करो, u बराबर 6 गुणा 15, यानी 90। जाँच, 90 बटा 15, यानी 6, और 6 जोड़ 15 करते, तो 21 आता, जो नहीं चलता।

u बटा 15 को 15 से गुणा करो, तो ऊपर नीचे के 15 कट जाते हैं, और बाईं तरफ़ बचा बस u। दाईं तरफ़ वही गुणा, 6 गुणा 15। यानी भाग वाला हिस्सा उस पार गुणा बनकर इसलिए जाता है, क्योंकि असल में यह दोनों तरफ़ 15 से गुणा ही है। तो जोड़ वाला हिस्सा निशान बदलकर जाता है, और गुणा वाला हिस्सा उल्टी क्रिया बनकर। पर दोनों की जड़ में एक ही बात, दोनों तरफ़ उल्टी क्रिया, और वही बात हर छोटे रास्ते की वजह है।

अब एक बड़ा equation, 28 गुणा, x जोड़ 4, जोड़ 300, बराबर 1000। इसे हल करने का सही क्रम कौन सा है? देखते हैं, 3 अलग रास्तों से। पहला रास्ता, दोनों तरफ़ से 300 घटाओ, 28 गुणा, x जोड़ 4, बराबर 700। दोनों तरफ़ 28 से भाग करो, x जोड़ 4, बराबर 25। दोनों तरफ़ से 4 घटाओ, x बराबर 21। दूसरा रास्ता, 28, 300 और 1000, ये सभी 4 से बँटते हैं, 7, 75 और 250।

पूरे equation को 4 से भाग करो, 7 गुणा, x जोड़ 4, जोड़ 75, बराबर 250। पूरे equation को भाग करना, यानी हर तरफ़ का हर हिस्सा बाँटना, कोष्ठक वाला भी, और 300 भी, किसी एक को छोड़ा तो बात टूटी। और 75 घटाओ, 7 गुणा, x जोड़ 4, बराबर 175, फिर 7 से भाग, x जोड़ 4 बराबर 25, और x बराबर 21। अगला रास्ता, पहले कोष्ठक खोलो, 28 गुणा 4, यानी 112, और 112 जोड़ 300, यानी 412।

तो 28 गुणा x जोड़ 412, बराबर 1000। अब 412 घटाओ, 28 गुणा x बराबर 588, और 588 बटा 28, यानी 21। देखो, 3 रास्ते, और सब 21 पर पहुँचे। हर रास्ते की हर line अलग से हल करो, कुल 12 lines, और सभी 12 का हल 21। जाँच, 21 जोड़ 4, यानी 25, 28 गुणा 25, यानी 700, और 700 जोड़ 300, यानी 1000। कुछ लोग सोचते हैं कि हल करने का एक ही सही क्रम होता है।

पर यहाँ 3 क्रम, और सब सही। ज़रूरी बस इतना कि हर line ऊपर वाली line से, दोनों तरफ़ एक ही क्रिया करके बने। एक और फ़र्क, कोष्ठक खोलना दोनों तरफ़ वाली क्रिया नहीं, बस एक तरफ़ का रूप बदलना है। खुला और बंद रूप, ऋण 20 से 20 तक हर x पर, कुल 41 जगह, एक ही मान देते हैं। इसलिए उसके लिए दूसरी तरफ़ कुछ भी नहीं करना पड़ता।

क्या हर equation का कोई हल होता ही है? x जोड़ 4, बराबर x जोड़ 5, कोई संख्या इसे सच नहीं कर सकती। दोनों तरफ़ हर जगह 1 का फ़र्क है, ऋण 500 से 500 तक, 1001 संख्याओं में से एक भी नहीं चलती। चाहे x कुछ भी हो, बाईं तरफ़ हमेशा दाईं तरफ़ से ठीक 1 कम रहती है, इसलिए वे कभी नहीं मिलतीं। यानी कभी कभी हल ढूँढने का नतीजा ख़ाली आता है, और वह भी एक जवाब है।

अब 5 गुणा s, बराबर 3 गुणा s। दोनों तरफ़ से 3 गुणा s घटाओ, 2 गुणा s, बराबर 0, तो s बराबर 0। यह हल है, हल का न होना नहीं, और ऋण 500 से 500 तक की 1001 संख्याओं में अकेला यही, 0। और 5 गुणा s, बराबर 5 गुणा s, यह हर संख्या पर सच है। कुछ लोग सोचते हैं कि जवाब मिल गया, तो काम ख़त्म।

यहाँ 3 गुणा u घटा 7, बराबर 2 गुणा u जोड़ 3, इसका हल 10, और दोनों तरफ़ 23। और 9 रखो, तो 20 और 21, नहीं मिलते, जाँच की कीमत बस एक संख्या बदलना। एक और, 4 गुणा, m जोड़ 6, घटा 8, बराबर 2 गुणा m घटा 4। कोष्ठक खोलो, बाईं तरफ़ 4 गुणा m जोड़ 16। दोनों तरफ़ से 2 गुणा m घटाओ, फिर 16, फिर 2 से भाग, m बराबर ऋण 10।

जाँच, दोनों तरफ़ ऋण 24। अब छोटे रास्ते की ग़लतियाँ, जो तब होती हैं जब वजह भूल जाती है। अब 3 गुणा x घटा 10, बराबर 35, कोई 10 को उस पार ले गया, पर घटा ही रहने दिया, 35 घटा 10, यानी 25। तो x बराबर 25 बटा 3, वापस रखो, तो बाईं तरफ़ 15, 35 नहीं। सही, 35 जोड़ 10, यानी 45, और x बराबर 15। देखो, 2 गुणा v घटा 4, बराबर 6, इसका हल 5।

पर अगर गुणा वाले 2 को जोड़ घटाने वाला हिस्सा मान लें, तो दाईं तरफ़ 6 घटा 2, यानी 4, फिर v घटा 4 बराबर 4, और v बराबर 8। यहाँ 8 वापस रखो, बाईं तरफ़ 12, 6 नहीं। ये ग़लतियाँ उल्टी दिशाओं में चूकती हैं, 25 बटा 3, 15 से कम, और 8, 5 से ज़्यादा। पर दोनों की जड़ एक, हिस्सा उस पार गया, दोनों तरफ़ वाली चाल के बिना।

इसलिए हर छोटी line के पीछे, मिटाई हुई line मन में पढ़ो, और जो line लिख न सको, वह छोटा रास्ता मत लो। अब तुम्हारी बारी, छोटे रास्ते वाला कोई हल लो, और हर कदम के बीच की मिटाई हुई line वापस लिखो। फिर ऐसा equation बनाओ जिसका कोई हल न हो, और एक ऐसा जिसका हल 0 हो। और हर हल को वापस रखकर जाँचो। उस पार ले जाओ और निशान बदलो, यह दोनों तरफ़ वाली चाल है, बीच की line मिटाकर।

जोड़ वाला हिस्सा योज्य प्रतिलोम बनकर जाता है। गुणा वाला हिस्सा भाग बनकर, और भाग वाला गुणा बनकर, निशान बदलकर नहीं। एक equation के कई रास्ते, सब एक ही हल पर। कोई हल न होना भी जवाब है, और शून्य भी एक सच्चा हल।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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