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Chapter 3 · Finding Common Ground

LCM: हर prime की सबसे ज़्यादा गिनती लो

HCF and LCM from the factorisations13 मिनट

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6 सेंटीमीटर और 8 सेंटीमीटर की पट्टियों की दो झालरें पहली बार बराबर लंबाई पर कहाँ खत्म होती हैं? दोनों के साझा गुणजों में सबसे छोटा, यानी LCM, 24 सेंटीमीटर।

मुख्य idea

LCM वाला तर्क HCF वाले तर्क को उल्टा चलाना है, और यह पलटाव बताए जाने के बजाय देखे जाने लायक़ है। common factor को दोनों factorisations के अंदर समाना पड़ता है, इसलिए हर prime की छत वह संख्या तय करती है जिसके पास उसकी copies कम हैं। common multiple को दोनों factorisations को अपने अंदर रखना पड़ता है, इसलिए यहाँ हर prime की माँग वह संख्या तय करती है जिसे वह ज़्यादा चाहिए — और ठीक उतनी copies देना, एक भी ज़्यादा नहीं, दोनों माँगें एक साथ पूरी करने का सबसे सस्ता तरीक़ा है। नामों का फ़र्क़ भी इसी तस्वीर से निकलता है: common factors संख्याओं से बड़े नहीं हो सकते, इसलिए उनमें सबसे बड़ा (highest) मौजूद होता है; common multiples बिना अंत के चलते जाते हैं, इसलिए उनमें कोई सबसे बड़ा नहीं, और दिलचस्प छोर सबसे छोटा (least) है।

आपको क्या आना चाहिए

  • "दो दोहराई जाने वाली चीज़ें कब एक साथ आती हैं" वाला सवाल पहचानना और बताना कि वह common multiple का सवाल क्यों है
  • बताना कि दो संख्याओं का lowest common multiple क्या है
  • समझाना कि कोई सबसे बड़ा common multiple क्यों नहीं होता, और इसी वजह से सबसे छोटा वाला काम का छोर क्यों है
  • बताना कि किसी multiple के factorisation में क्या-क्या होना ज़रूरी है, और एक उदाहरण पर इसे जाँचना
  • हर वह prime देकर common multiple बनाना जिसकी किसी भी संख्या को ज़रूरत है
  • मौजूद हर prime के लिए उसकी दोनों गिनतियों में से बड़ी लेकर सीधे LCM निकालना
  • बताना कि किसी prime की ज़्यादा copies देने से भी common multiple क्यों मिलता है, और फिर वह सबसे छोटा क्यों नहीं रहता
  • यही तरीक़ा तीन संख्याओं तक बढ़ाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
multipleसंख्या को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर जो मिलता हैगुणजकक्षा 6; §3.2, Part II, pp.55–58 में पूरे समय इस्तेमाल
common multipleवह संख्या जिसे दी गई दोनों संख्याएँ पूरा-पूरा भाग देंसामान्य गुणज§3.2, Part II, p.55 में छपा
Lowest Common Multiple (LCM)common multiples में सबसे छोटालघुत्तम समापवर्त्य§3.2, Part II, p.56 में bold में छपा
occurrencesकोई factorisation किसी prime की कितनी copies रखता है, इसके लिए chapter का शब्दआवृत्तियाँ§3.2, Part II, pp.57–58 में बार-बार छपा
maximumकिसी prime की दोनों गिनतियों में से बड़ी, जो LCM को लेनी ही होगीअधिकतम§3.2, Part II, p.58 में छपा
subpartकिसी factorisation में से काटकर आपस में गुणा किया गया टुकड़ाउपभाग§3.1, Part II, p.51 में छपा, और §3.2 में फिर इस्तेमाल
toranकपड़े की पट्टियों से बनी वह सजावट जिससे section शुरू होता हैतोरण§3.2, Part II, p.55 में छपा
gajakदूसरे सवाल वाली मिठाई, तिल, गुड़ और घी से बनीगजक§3.2, Part II, p.55 में छपा
leastएक ही छोर के लिए chapter जो तीन शब्द देता है उनमें से एक, lowest और smallest के साथन्यूनतमतीनों एक साथ §3.2, Part II, p.56 में छपे, और section के शीर्षक में Least है
largest common multipleवह चीज़ जिसके बारे में section पूछता है, और जो कोई संख्या नहीं हो सकतीमहत्तम सामान्य गुणज§3.2, Part II, p.55 में, तोरण वाले सवाल को ख़त्म करने वाले प्रश्न में छपा

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part II का Hindi संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए उस column की किसी चीज़ को Hindi संस्करण से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "LCM दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है।" 7 और 11 के लिए होता है, और 6 और 8 के लिए नहीं, जहाँ गुणनफल 48 है और जवाब 24. गुणनफल हमेशा एक common multiple होता है — इसीलिए LCM उससे बड़ा कभी नहीं हो सकता — लेकिन साझा primes उसमें दो बार गिने जाते हैं। 6 × 8 और 24 को अगल-बगल दिखाओ।
  • "HCF की तरह छोटी गिनती लो।" शर्त पलट गई है। HCF में, बहुत बार लिया गया prime किसी एक संख्या से बाहर हो जाता है; LCM में, बहुत कम बार लिया गया prime किसी एक संख्या को अपने अंदर नहीं रख पाता। दोनों नाकामियाँ एक-दूसरे के बगल में दिखाओ।
  • "ज़्यादा copies ज़्यादा सुरक्षित रहेंगी।" ज़्यादा copies से भी common multiple मिलता है — किताब ऐसे दो छापती है और तीसरे को सवाल की तरह रखती है — बस वह सबसे छोटा नहीं रहता। शब्द lowest ही पूरी शर्त है।
  • "सबसे छोटे की तरह कोई सबसे बड़ा common multiple भी होना चाहिए।" नहीं होता: किसी भी common multiple को दुगुना करो और दूसरा मिल जाता है। section इन्हीं शब्दों में सबसे बड़े के बारे में पूछता है और सवाल खुला छोड़ देता है; जो व्याख्या इसे छोड़ देती है वह chapter का सबसे अच्छा न्योता गँवा देती है।
  • "LCM में आने के लिए prime का दोनों संख्याओं में होना ज़रूरी है।" ज़रूरी नहीं। 5 सिर्फ़ 360 में आता है और फिर भी 96 और 360 के LCM में होना चाहिए, क्योंकि उसके बिना नतीजा 360 का multiple नहीं रहता। समझाते समय सावधानी: p.57 पर इस क़दम को शुरू करने वाला किताब का वाक्य 2, 3 और 5 को दोनों संख्याओं में मौजूद बताता है, जो 5 के बारे में सच नहीं — ठीक नीचे वाला हिसाब साफ़ कर देता है कि मतलब उन primes से है जो दोनों संख्याओं में कुल मिलाकर आते हैं। वाक्य को छपे रूप में मत दोहराओ; सही शर्त बताओ।
  • "LCM हमेशा दोनों संख्याओं से बड़ा होता है।" वह हर एक से कम-से-कम बराबर होता है, और जब भी छोटी संख्या बड़ी को भाग देती है, वह बड़ी संख्या के बराबर होता है — यही वह बात है जिससे What HCF and LCM do for consecutive, even, and co-prime numbers शुरू होता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 6 Q1, Figure it Out · 6 Q2, Figure it Out · 6 Q5, Figure it Out · 6 Q8, Figure it Out · 6 Q9, Figure it Out · 6 Q12, Figure it Out · 6 Q13

पूरा transcript1,701 शब्द

कागज़ की पट्टियों से 2 झालरें बनानी हैं, एक में हर पट्टी 6 सेंटीमीटर, दूसरी में 8 सेंटीमीटर। पट्टियाँ सिरे से सिरा जोड़ी जाती हैं, और दोनों झालरें ठीक बराबर लंबाई पर खत्म होनी हैं। सबसे छोटी ऐसी लंबाई क्या है? पहली झालर की लंबाइयाँ, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54। दूसरी की, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72। दोनों सूचियों में 24 और 48 आते हैं, और पहला मेल 24 सेंटीमीटर पर।

यानी पहली झालर में 6 की 4 पट्टियाँ, दूसरी में 8 की 3 पट्टियाँ। सबसे छोटी मिल गई, पर क्या कोई सबसे बड़ी साझा लंबाई भी है? सूचियाँ आगे बढ़ाओ, मेल आते जाते हैं, 24, 48, 72, 96, 120, और आगे भी। किसी भी साझे गुणज को 2 से गुणा करो, फिर साझा गुणज, 1000 तक के सभी 41 जाँचे, हर बार यही। तो सबसे बड़ा साझा गुणज होता ही नहीं, सूची कभी खत्म नहीं होती।

factors में उल्टा है, साझे factors संख्याओं से बड़े नहीं हो सकते, इसलिए सबसे बड़ा मिलता है। गुणज बढ़ते ही जाते हैं, इसलिए यहाँ काम का छोर सबसे छोटा है, सबसे बड़ा नहीं। एक दुकान हर 7 दिन पर मुफ़्त मिठाई बाँटती है, और एक ग्राहक हर 10 दिन पर आता है। किसी एक दिन दोनों बातें एक संग हुईं, अब ढूँढना है कि अगली बार कब होंगी। यहाँ 7 के गुणज, 7, 14, और आगे, 10 के, 10, 20, और आगे, दोनों सूचियाँ बढ़ाते जाओ।

पहला मेल, दिन 70। और 70 ही क्यों, 7 एक prime, और 10 बराबर 2 गुणा 5, कोई prime साझा नहीं। तो हर prime किसी एक से आता है, और LCM सीधा गुणा, 7 गुणा 10, यानी 70। साझे गुणजों में सबसे छोटे को कहते हैं lowest common multiple, छोटा नाम LCM, हिंदी में लघुत्तम समापवर्त्य। अब 6 और 8 का LCM है 24, और 7 और 10 का 70।

यह गिनती का खेल है, 1, 2, 3 गिनते जाओ, 4 के गुणज पर ताली, 6 के गुणज पर चुटकी। ढूँढना है वह पहली संख्या, जिस पर ताली भी बजे और चुटकी भी। देखो, 12, यानी 4 और 6 का LCM। यहाँ 7 और 11 के साथ यही खेल, तो पहली दोहरी आवाज़ 77 पर। और 14 और 30 पर, 210, और 15 और 55 पर, 165। सबमें, पहली दोहरी आवाज़ ठीक LCM पर आती है।

क्या पहली दोहरी आवाज़ हमेशा LCM पर ही आती है? हाँ, क्योंकि दोहरी आवाज़ वहीं, जहाँ संख्या दोनों का गुणज हो, और पहली, यानी सबसे छोटी। अब 1 से 99 तक, सभी 9801 जोड़ियों पर जाँचा, हर बार वही। पर सूचियाँ लिखना धीमा है, 210 तक पहुँचने को 14 के 15 गुणज, और 30 के 7। यानी 210 पर पहुँचकर ही पता चलता है, कि वह 14 गुणा 15 भी है, और 30 गुणा 7 भी, बीच की हर संख्या लिखनी पड़ती है।

देखो, 165 तक, 15 के 11 गुणज, 55 के 3, वही दिक्कत जो factors की सूचियों में होती है। कोई कहेगा, बस दोनों को गुणा कर लो। यहाँ 6 गुणा 8, यानी 48, साझा गुणज तो है, पर LCM है 24, और 48 उसका 2 गुणा। और 7 और 11 पर गुणा ही LCM है, 77, पर हर बार नहीं। गुणा हमेशा एक साझा गुणज देता है, 1 से 99 तक सभी 9801 जोड़ियों में, इसलिए LCM उससे बड़ा कभी नहीं।

गुणा वाली गलती कहाँ से आई, 6 बराबर 2 गुणा 3, और 8 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2। अब 48 की कतार, 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3, इसमें 2 की गिनती 4। पर 8 में 2 की गिनती सिर्फ़ 3, गुणा ने 6 वाला 2 भी गिन लिया, तो एक 2 फ़ालतू, उसे हटाओ, तो 24। अब primes की ओर, कोई गुणज अपनी संख्या की पूरी prime कतार अपने अंदर रखता है।

देखो, 36 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3, और 648 बराबर 36 गुणा 18। यहाँ 648 की कतार, 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3, इसमें 36 की पूरी कतार बैठी है, और बचा 2 गुणा 3 गुणा 3, यानी 18। और 2 से 100 तक हर संख्या, और उसके पहले 30 गुणज, सभी 2970 में संख्या की कतार अंदर मिली। और उल्टा भी, 1000 तक 36 की कतार ठीक 27 संख्याओं में बैठती है, और वे सब 36 के गुणज।

तो साझा गुणज वह, जिसकी कतार में दोनों संख्याओं की कतारें समा जाएँ। अब 14 बराबर 2 गुणा 7, और 35 बराबर 5 गुणा 7। देखो, 14 की माँग, एक 2 और एक 7, और 35 की माँग, एक 5 और एक 7। सबसे छोटा डिब्बा बनाओ, जिसमें दोनों कतारें समा जाएँ, दोनों की माँग पूरी हो। यहाँ 2 गुणा 7 गुणा 5 गुणा 7 गुणा 3, यानी 1470, और 2 गुणा 2 गुणा 5 गुणा 7 गुणा 7 गुणा 11, यानी 10780, दोनों में 14 भी है, 35 भी।

और 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 7, यानी 210, क्या यह भी साझा गुणज है? हाँ, 210 बराबर 14 गुणा 15, और 35 गुणा 6। ये सब सही हैं, बस ज़रूरत से बड़े, इनमें फ़ालतू primes हैं। अब सिर्फ़ ज़रूरी primes लो, एक 2, एक 5 और एक 7, यानी 70। इसमें 2 गुणा 7 है, और 5 गुणा 7 भी, 7 एक ही बार, पर दोनों के काम आता है।

और 70 में से 5 निकालो, बचा 14, उसमें 35 नहीं समाता। अब 2 निकालो, बचा 35, उसमें 14 नहीं समाता। देखो, 7 निकालो, बचा 10, उसमें कोई भी नहीं। इसलिए 70 सबसे छोटा, बड़े वाले फ़ालतू, छोटे वाले टूटे हुए। अब बड़ा उदाहरण, 96 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3। और 360 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5।

पहले 2 की बारी, 96 में 5 बार, 360 में 3 बार, ज़्यादा वाली गिनती लो, यानी 5। फिर 3 की बारी, 96 में 1 बार, 360 में 2 बार, तो 2 लो। आखिर में 5 की बारी, 96 में एक भी नहीं, 360 में 1 बार, तो 1 लो। ध्यान रखो, 5 सिर्फ़ 360 में है, 96 में नहीं, फिर भी उसे लेना पड़ेगा। यहाँ 5 हटाओ, तो बनता 288, और वह 360 का गुणज नहीं।

यानी कोई prime किसी भी एक संख्या में हो, तो LCM में आएगा। तो LCM में, 5 बार 2, 2 बार 3, और एक 5, यानी 1440। और 96 के गुणजों पर चलकर देखो, पहला जो 360 का भी गुणज हो, वह भी निकलता है 1440। HCF को दोनों के अंदर समाना होता है, इसलिए कम वाली गिनती, जिसके पास कम, वही छत। LCM को दोनों को अपने अंदर रखना है, इसलिए ज़्यादा वाली गिनती, जिसकी माँग ज़्यादा, वही तय करता है।

HCF में ज़्यादा गिनती लेते, तो जवाब किसी संख्या में समाता नहीं, LCM में कम गिनती लेते, तो कोई संख्या जवाब में समाती नहीं। यहाँ कम वाली गिनती लो, तो बनता 24, जो न 96 का गुणज, न 360 का। कोई सोचेगा, एक 2 और डालो, ज़्यादा सुरक्षित रहेगा। अब 1440 गुणा 2, यानी 2880, साझा गुणज तो है। पर सबसे छोटा नहीं रहा, और माँगा था सबसे छोटा, पूरी शर्त इसी एक शब्द में है।

नियम, हर prime जो किसी भी संख्या में हो, उसकी सबसे बड़ी गिनती लो, और गुणा करो। देखो, 1 से 99 तक सभी 9801 जोड़ियाँ, और 1 से 30 तक 3 संख्याओं के सभी 27000 समूह, नियम और गुणजों की सीढ़ी हर बार एक। अब 3 संख्याएँ, 105 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 7, और 195 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 13, और 65 बराबर 5 गुणा 13। primes आते हैं 3, 5, 7 और 13, और हर एक किसी भी संख्या में ज़्यादा से ज़्यादा एक बार।

यहाँ 5 सबमें है, 13 सिर्फ़ 195 और 65 में, 7 सिर्फ़ 105 में, फिर भी हर एक आएगा, एक एक बार। तो LCM बनता है 3 गुणा 5 गुणा 7 गुणा 13, यानी 1365। खुद करो, 30 और 72, 36 और 54, 222 और 370। और 30 और 72 में, 2 की सबसे बड़ी गिनती 3, फिर 3 की 2, और 5 की एक, तो 360। अब 36 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3, और 54 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3, तो 2 की गिनती 2, और 3 की गिनती 3, तो 108।

देखो, 222 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 37, और 370 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 37, सब एक एक बार, तो 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 37, यानी 1110। कोई सोचेगा, LCM हमेशा दोनों संख्याओं से बड़ा होता है। यहाँ 12 और 36 लो, इनका LCM है 36, यानी बड़ी संख्या खुद। ऐसा ठीक तब होता है, जब छोटी संख्या बड़ी को बाँटे, 1 से 99 तक सभी 9801 जोड़ियों पर जाँचा।

कुछ जानवर, पहले 3 फाटकों से बराबर बँटकर निकलते हैं, फिर 5 से, फिर 7 से, कुल 200 से कम। गिनती 3, 5 और 7 का साझा गुणज हो, इनका LCM है 105, और 200 से कम ऐसी गिनती सिर्फ़ यही। अगली ऐसी गिनती, 105 गुणा 2, यानी 210, जो 200 से आगे निकल गई। अब 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 और 10, इन सबका LCM निकालो।

और 2 की सबसे बड़ी गिनती 8 से, 3 की 9 से, 5 की एक, तो 8 गुणा 9 गुणा 5, यानी 360। और अगर 7 भी सूची में होता, तो उसे भी लेना पड़ता, और जवाब बनता 2520। एक और, सबसे छोटी संख्या जिसे 3, 4, 5 और 7 बाँटें, पर 11 से भाग करने पर 10 बचे। पहले LCM निकालो, वह है 420, फिर उसके गुणज आज़माओ। अब 420 को 11 से भाग करो, 2 बचता है, और हर अगले गुणज पर शेष 2 बढ़ता है, 2, 4, 6, 8, 10।

देखो, 420 गुणा 5, यानी 2100, पहला जो 11 से भाग पर 10 छोड़ता है। कब मिलेंगे, ऐसे सवाल का जवाब LCM, यानी lowest common multiple। साझे गुणज कभी खत्म नहीं होते, इसलिए सबसे छोटा ही काम का। गुणज की prime कतार में, संख्या की पूरी कतार समाती है। हर prime जो किसी भी संख्या में हो, उसकी सबसे बड़ी गिनती, न कम, न ज़्यादा। कोई prime किसी एक ही संख्या में हो, तब भी LCM में आता है।

HCF में कम वाली गिनती, LCM में ज़्यादा वाली, एक ही तस्वीर, उल्टी दिशा।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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