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Chapter 3 · Finding Common Ground

Conjecture और generalisation: गणितज्ञ इन शब्दों से क्या मतलब लेते हैं

Patterns, properties, and a faster procedure14 मिनट

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दावा: संख्या जितनी बड़ी, उसकी prime कतार उतनी लंबी। पर 121 = 11 गुणा 11, और 96 में पूरे 6 primes: एक जोड़ी ने दावा खत्म कर डाला।

मुख्य idea

यह chapter चुपचाप एक ऐसी बात सिखाता है जो factors के बारे में है ही नहीं: कि गणित के किसी दावे का एक दर्जा होता है, और तुम कौन-सा दर्जा माँग रहे हो, यह बताना दावा करने का ही हिस्सा है। conjecture ऐसी चीज़ है जिसके पक्ष में अभी तक किसी ने तर्क नहीं दिया, और एक अड़ियल उदाहरण उसे ख़त्म कर देता है। general statement वह है जिसके बारे में तर्क दिया जा चुका है कि वह हर हालत पर लागू होता है, और इसीलिए जिस पल chapter को ऐसा कथन चाहिए, एक अक्षर आ जाता है। और chapter अपने सबसे बड़े नतीजे पर वही करता है जो कहता है: वह page पर एक जोड़ी हल करता है, पढ़ने वाले को खोजने के लिए तीन और देता है, चारों में दिखने वाले pattern का नाम लेता है — HCF गुणा LCM बार-बार गुणनफल पर आ टिकता है — और फिर भी इस खोज को ऊँचा दर्जा देने से इनकार करता है। वह कहता है कि observations उस ओर इशारा करते हैं, एक संकेत छापता है, और पढ़ने वाले से तर्क देने को कहता है। फिर वह और भी हिम्मत वाला काम करता है, और पूछता है कि क्या यही दावा तीन संख्याओं तक खींचे जाने पर भी टिकता है, बिना जवाब बताए।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि कोई दावा स्थापित तथ्य न होकर conjecture किस वजह से है
  • एक ऐसा उदाहरण देकर किसी दिए गए conjecture को ग़लत साबित करना जहाँ वह नाकाम हो
  • बताना कि general statement क्या दावा करता है, और उसे कमाने के लिए क्या चाहिए होगा
  • समझाना कि दो संख्याओं का LCM उनके गुणनफल से कभी बड़ा क्यों नहीं हो सकता
  • एक हल की हुई जोड़ी पर दिखाना कि गुणनफल को LCM से भाग देने पर HCF मिलता है
  • बताना कि किसी जोड़ी का HCF, उसका LCM और उसका गुणनफल आपस में कैसे जुड़े हैं, और यह उसी सावधानी से कहना जो chapter बरतता है
  • chapter के संकेत को इतना आगे ले जाना कि समझा सको कि दो संख्याओं के लिए यह संबंध क्यों सही है
  • परखना कि क्या यह संबंध तीन संख्याओं पर टिकता है, और जाँच जो दिखाती है वह ईमानदारी से बताना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
conjectureऐसा दावा जो किसी के उसके पक्ष में तर्क देने या उसे जाँचने से पहले रखा गया होअनुमानएक side box में single quotes में छपा, §3.1, Part II, p.52, और फिर SUMMARY, p.65 में
counterexampleएक ऐसा उदाहरण जिसमें दावा नाकाम हो, जो उसे ख़त्म करने के लिए काफ़ी हैप्रत्युदाहरणउसी side box में छपा, §3.1, Part II, p.52
verificationकिसी दावे को हालतों पर जाँचनासत्यापनउसी side box में छपा, §3.1, Part II, p.52
general statementऐसा दावा जो बताई गई तरह की हर हालत पर लागू होने का दावा करेव्यापक कथन§3.3, Part II, p.58 में bold में छपा
generalisationऐसे दावे तक पहुँचने का कामव्यापकीकरण§3.3, Part II, p.58 में bold में छपा, और SUMMARY, p.65 में
proofऐसा तर्क जो किसी दावे को एक साथ हर हालत के लिए तय कर देउपपत्ति§3.1, Part II, p.52 में छपा और फिर §3.3, Part II, p.63 में; क्रिया prove §3.3, Part II, p.62 में छपी है
explanationproof के साथ दिया गया chapter का नरम शब्दव्याख्या§3.3, Part II, pp.59 और 63 में छपा
propertyएक ही संख्याओं से जुड़ी राशियों के बीच का ऐसा संबंध जो सही रहता हैगुणधर्मsubheading "Property Involving both the HCF and the LCM" में छपा, §3.3, Part II, p.62
relationवह कड़ी जो chapter के अनुसार किसी जोड़ी के गुणनफल को उसके HCF और LCM से बाँधती हैसंबंध§3.3, Part II, p.62 में छपा
theoremऐसा दावा जो prove हो चुका होप्रमेयइस पाठ का अपना शब्द; यह chapter इसे कभी नहीं छापता, proof और general statement पर रुक जाता है (पूरे बीस pages, pp.47–66, खोलकर पढ़े गए)

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part II का Hindi संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए उस column की किसी चीज़ को Hindi संस्करण से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "conjecture एक ग़लत अंदाज़ा है।" यह एक अनसुलझा दावा है। कुछ conjectures सच हैं और prove नहीं हुए; Anshu वाला ग़लत निकला। शब्द में ख़ुद कुछ नहीं जो बताए कि कौन-सा। chapter का दूसरा box साफ़ कहता है कि पढ़ने वाले को अपने conjectures बनाने की उम्मीद रखनी चाहिए, जो अजीब सलाह होती अगर शब्द का मतलब ग़लती होता।
  • "बहुत सारे उदाहरण किसी दावे को सच बना देते हैं।" वे उसे prove करने की कोशिश के लायक़ बनाते हैं। chapter HCF-गुणा-LCM वाले संबंध पर एक जोड़ी हल करता है, पढ़ने वाले के लिए तीन और रखता है, चारों में दिखने वाले pattern का नाम लेता है, और फिर भी उसे तय बात कहने से इनकार करता है।
  • "एक counterexample दावे को सिर्फ़ कमज़ोर करता है।" वह उसे ख़त्म कर देता है, एक आम दावे के रूप में। दावा किसी संकरे रूप में बच सकता है — Anshu वाला सिर्फ़ एक ही prime की powers के लिए टिकता है, और एक ही primes से बनी संख्याओं पर भी टूट जाता है — पर जैसा कहा गया था, वह वाक्य ख़त्म है।
  • "HCF × LCM = गुणनफल कितनी भी संख्याओं के लिए सही है।" सही नहीं है। यह सबसे संभावित ग़लती है जो कोई व्याख्या यहाँ करेगी, क्योंकि दो संख्याओं वाला रूप इतना साफ़-सुथरा है और chapter का अपना सवाल यह छलाँग लगाने का न्योता देता है। 2, 3 और 4 इसे तय कर देते हैं। तीन संख्याओं वाली हालत को चौंकाने वाले नतीजे वाले प्रयोग की तरह रखो, और कभी भी बताए गए नियम की तरह नहीं।
  • "संख्याएँ काफ़ी बड़ी हों तो LCM गुणनफल से बड़ा हो सकता है।" कभी नहीं हो सकता: गुणनफल पहले से एक common multiple है, और LCM उनमें सबसे छोटा है। आकार का कोई लेना-देना नहीं, इसीलिए chapter पढ़ने वाले को उदाहरणों पर रुकने नहीं देता बल्कि आगे कारण या proof माँगता है।
  • "chapter संबंध को prove करता है।" वह proof की ओर एक संकेत देता है और पढ़ने वाले से proof माँगता है। अगर व्याख्या तर्क दे — और उसे देना चाहिए — तो उसे कहना होगा कि यह व्याख्या वही कर रही है जो किताब ने माँगा, किताब नहीं बोल रही।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,693 शब्द

एक दावा, संख्या जितनी बड़ी, उसकी prime कतार उतनी लंबी। क्या यह सच है? पहले उदाहरण, 4 में 2 primes, 8 में 3, 16 में 4, संख्या बढ़ी, कतार भी बढ़ी। और बहुत सी जोड़ियों पर यह चलता भी है, दावा बेतुका नहीं, समझदारी भरा है। अब 96, बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3, पूरे 6 primes। और 121, जो 96 से बड़ा है, बराबर 11 गुणा 11, सिर्फ़ 2 primes।

बस, एक जोड़ी ने दावा खत्म कर डाला। ऐसा दावा, जिसके पक्ष में अभी किसी ने दलील नहीं दी, अनुमान कहलाता है, अंग्रेज़ी में conjecture। उसे उदाहरणों पर जाँचना, सत्यापन, जैसे अभी 4, 8 और 16 पर जाँचा। और जो एक उदाहरण उसे गिरा दे, प्रत्युदाहरण, यानी counterexample, जैसे 96 और 121। एक प्रत्युदाहरण काफ़ी है, दावे को, हर संख्या वाले दावे के रूप में, खत्म करने के लिए। पर सहमत उदाहरण कितने भी हों, वे दावे को साबित नहीं करते, बस आज़माने लायक बनाते हैं।

एक मशहूर पैटर्न, n गुणा n, जमा n, जमा 41, n को शून्य से शुरू करो। यहाँ शून्य से 39 तक, सभी 40 बार, जवाब prime निकलता है, लगता है पक्का नियम मिल गया। पर n बराबर 40 पर, जवाब 1681, और वह 41 गुणा 41, prime नहीं। और 40 सहमत उदाहरण, फिर भी दावा झूठा, इसलिए उदाहरण गिनना सबूत नहीं। एक और अनुमान, LCM हमेशा दोनों संख्याओं से बड़ा होता है।

अब 3 और 24, LCM है 24, बड़ी संख्या के बराबर, बड़ा नहीं, एक प्रत्युदाहरण, दावा खत्म। दावा छोटा करके बच सकता है, सिर्फ़ 2 की घातें लो, 2, 4, 8, और ऐसे ही 1024 तक, कुल 10। प्रत्युदाहरण पूरा दावा गिराता है, पर उसका छोटा रूप फिर भी बच सकता है। इनमें बड़ी संख्या की कतार हमेशा लंबी, सभी 9 तुलनाओं में, क्योंकि यहाँ बड़ा होने का एक ही तरीका है, एक 2 और जोड़ना।

अनुमान का मतलब गलत अंदाज़ा नहीं, बस ऐसा दावा जो अभी तय नहीं हुआ। कुछ अनुमान सच निकलते हैं, कुछ झूठ, शब्द से पता नहीं चलता कि कौन सा। काम करते हुए तुम्हारे मन में भी अनुमान आएँगे, उन पर सोचो, उन्हें सबके सामने रखो, यही गणित की पहली चाल है। दूसरे छोर पर, व्यापक कथन, ऐसा दावा जिसके लिए दलील दी गई है कि हर मामले में सच। जैसे, HCF जोड़ी की एक संख्या खुद, ठीक तब जब एक दूसरी को बाँटे, 1 से 99 तक सभी 9801 जोड़ियाँ सहमत।

और वजह भी, छोटी संख्या बड़ी को बाँटे, तो छोटी खुद साझा factor, और उससे बड़ा साझा factor हो नहीं सकता। letter में, n और 5 गुणा n, HCF n खुद। देखो, 200 तक हर n पर जाँचा, 200 बार सही, पर letter वाली एक पंक्ति हर n के लिए एक संग बोलती है। letter का मतलब कोई भी संख्या, इसलिए उस पर बनी दलील हर संख्या पर एक संग लागू।

अनुमान पर एक दलील बाकी है, व्यापक कथन वह दलील चुका चुका है। अब एक नया सवाल, जोड़ी का LCM बड़ा, या उनका गुणा? पहले उदाहरण, 4 और 6, LCM है 12, गुणा 24। यहाँ 7 और 11, LCM है 77, गुणा भी 77, बराबर। वजह, गुणा खुद एक साझा गुणज है, दोनों उसे बाँटते हैं। और LCM सबसे छोटा साझा गुणज है, तो वह गुणा से बड़ा हो ही नहीं सकता।

सभी 9801 जोड़ियाँ सहमत, पर यहाँ जाँच नहीं, दलील काम कर रही है, संख्याएँ कितनी भी बड़ी हों। सिर्फ़ उदाहरणों तक यह अनुमान, दलील मिलते ही व्यापक कथन बन गया, दर्जा बदला, दावा वही। और बराबर कब, ठीक तब, जब जोड़ी co-prime हो, कुछ साझा न हो। वजह, co-prime हों तो कोई prime साझा नहीं, तो LCM को हर prime उसकी पूरी गिनती में चाहिए, यानी पूरा गुणा। यह बात भी सभी 9801 जोड़ियों पर सहमत।

अब गहराई में, 105 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 7, 95 बराबर 5 गुणा 19। LCM, हर prime की ज़्यादा वाली गिनती, 3 गुणा 5 गुणा 7 गुणा 19, यानी 1995। गुणा, 105 गुणा 95, यानी 9975, primes में 3 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 7 गुणा 19। यानी गुणा बराबर LCM गुणा 5, एक 5 बचा। तो यह बची हुई संख्या 5 असल में है क्या? और जोड़ियों पर देखो, 45 और 105, LCM है 315, गुणा 4725।

गुणा बटा LCM, बराबर 15। और 275 बराबर 5 गुणा 5 गुणा 11, और 352 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 11, साझा सिर्फ़ 11। LCM है 8800, गुणा 96800, और गुणा बटा LCM, बराबर 11। अब 222 और 370, LCM है 1110, और दोनों का गुणा 82140 है। गुणा बटा LCM, बराबर 74। बचे हुए 5, 15, 11 और 74, और इन जोड़ियों के HCF भी 5, 15, 11 और 74, ठीक वही।

पक्का करो, 45 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5, और 105 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 7, साझा 3 गुणा 5, यानी 15। देखो, 222 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 37, और 370 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 37, साझा 2 गुणा 37, यानी 74। यहाँ 4 जोड़ियाँ, 4 बार वही बात, HCF गुणा LCM, बराबर गुणा। संबंध, HCF गुणा LCM, बराबर दोनों संख्याओं का गुणा। पर सावधानी से, अभी यह वह है जिसकी ओर उदाहरण इशारा करते हैं, अनुमान, पक्की बात नहीं।

और 1 से 99 तक सभी 9801 जोड़ियों पर सही, फिर भी यह सबूत नहीं, संख्याएँ 99 पर खत्म नहीं होतीं। तो दलील चाहिए, जो हर जोड़ी के लिए एक संग बोले। एक और जोड़ी पर आज़माओ, 12 और 18, HCF है 6, LCM है 36। अब 6 गुणा 36, यानी 216, और 12 गुणा 18 भी 216। संकेत, primes को 2 ढेरों में छाँटो, जो दोनों में हैं, और जो सिर्फ़ एक में।

फिर देखो, हर तरह का prime HCF में कहाँ पहुँचता है, LCM में कहाँ, और गुणा में कहाँ। साझा prime, HCF उसकी कम वाली गिनती लेता है। LCM उसकी ज़्यादा वाली गिनती। जैसे किसी prime की गिनती एक संख्या में 3, दूसरी में 1, तो HCF में 1, LCM में 3, मिलाकर 4, और गुणा में भी 4। कम वाली और ज़्यादा वाली मिलाकर, दोनों गिनतियाँ पूरी, और गुणा में भी ठीक इतनी ही।

जो prime सिर्फ़ एक संख्या में है, HCF में उसकी गिनती शून्य। LCM में उसकी पूरी गिनती, और गुणा में भी वही, फिर बराबर। देखो, 105 और 95 पर, साझा 5, HCF में 1 बार, LCM में 1 बार, गुणा में 2 बार। और 3, 7, 19, LCM में एक एक बार, गुणा में भी एक एक बार, HCF में कभी नहीं। यानी हर prime के लिए, HCF की गिनती जमा LCM की गिनती, बराबर दोनों संख्याओं की गिनतियाँ जोड़कर।

और जब हर prime बराबर, तो पूरे गुणनफल भी बराबर, HCF गुणा LCM, बराबर गुणा, हर जोड़ी पर। हर prime पर यह गिनती, सभी 9801 जोड़ियों में जाँची। अब दलील है, तो अनुमान से व्यापक कथन, 2 संख्याओं के लिए। यहाँ 275 और 352 पर भी छाँटो, साझा 11, HCF में एक बार, LCM में एक बार, गुणा में 2 बार। और 5 की गिनती 2, सिर्फ़ 275 में, 2 की गिनती 5, सिर्फ़ 352 में, ये सब सिर्फ़ LCM में, पूरी गिनती के संग।

अब यह संबंध काम का, HCF है 6, LCM है 72, और एक संख्या 18, दूसरी क्या? गुणा बराबर 6 गुणा 72, तो दूसरी संख्या, 6 गुणा 72 बटा 18, यानी 24। जाँचो, 18 और 24, HCF है 6, LCM है 72, ठीक। उल्टा चलाओ, HCF है 1 और LCM है 66, तो गुणा भी 66। अब 66 को co-prime जोड़ी के गुणा में तोड़ो, 1 और 66, फिर 2 और 33, फिर 3 और 22, फिर 6 और 11।

और 2 अलग primes, HCF है 1, तो LCM उनका गुणा, 50 से छोटे 15 primes की सभी 105 जोड़ियों में। देखो, 3 तरह के जवाब, LCM गुणा से छोटा या बराबर, हमेशा, सभी 9801 जोड़ियाँ। LCM गुणा के बराबर, कभी कभी, सिर्फ़ co-prime जोड़ियों पर। LCM बड़ी संख्या से छोटा, कभी नहीं, एक भी जोड़ी नहीं, क्योंकि LCM बड़ी संख्या का गुणज है। अब असली परीक्षा, क्या यह 3 संख्याओं पर भी चलता है?

यहाँ 2 संख्याओं वाली बात इतनी साफ़ है, कि मन करता है सीधा मान लें, पर पहले आज़माओ। अब 2, 3 और 4, HCF है 1, LCM है 12। गुणा 24, और 1 गुणा 12, यानी 12, जो 24 नहीं। एक प्रत्युदाहरण, और 3 संख्याओं पर यह दावा खत्म। जवाब जाँच से निकलता है, और वह जवाब है, नहीं, हमेशा नहीं। पर 2, 3 और 5 लो, HCF है 1, LCM है 30, और गुणा भी 30, बराबर।

अब 3, 4 और 5 पर, 1 गुणा 60, बराबर 60, चलता है, पर 4, 6 और 9 पर, HCF है 1, LCM है 36, गुणा 216, नहीं चलता। यानी कभी चलता है, कभी नहीं। कब, ठीक तब, जब कोई भी 2 संख्याएँ आपस में कुछ साझा न करें, 1 से 20 तक सभी 8000 क्रमबद्ध तिकड़ियों में यही। देखो, 2, 3, 5 में कोई 2 संख्याएँ कुछ साझा नहीं करतीं, पर 2, 3, 4 में, 2 और 4 के बीच 2 साझा है।

सिर्फ़ तीनों के HCF का एक होना काफ़ी नहीं, जैसे 6, 10 और 15, इनका HCF बस 1, LCM बराबर 30, पर गुणा 900। वजह वही छँटाई, 2, 3, 4 में, 2 की गिनतियाँ हैं 1, शून्य, और 2। HCF लेता है कम वाली, शून्य, LCM लेता है ज़्यादा वाली, 2, मिलाकर 2, पर गुणा में 3। यहाँ 3 संख्याओं में बीच वाली गिनती न HCF लेता है, न LCM, वह खो जाती है।

तो ईमानदार जवाब, 2 संख्याओं पर, हमेशा, और दलील के संग। और 3 संख्याओं पर, कभी कभी, ठीक तब जब कोई 2 कुछ साझा न करें। हमेशा, कभी कभी, या कभी नहीं, दावे के संग यह बताना भी दावे का हिस्सा है। अनुमान, ऐसा दावा जिस पर अभी दलील नहीं, सच भी हो सकता है, झूठ भी। एक प्रत्युदाहरण उसे खत्म कर डालता है, कितने भी सहमत उदाहरण उसे साबित नहीं करते।

व्यापक कथन, हर मामले के लिए दलील, और letter उसकी भाषा। अब 2 संख्याओं पर, HCF गुणा LCM बराबर गुणा, क्योंकि हर prime की गिनतियाँ पूरी बैठती हैं। HCF, LCM और एक संख्या पता हों, तो संबंध से दूसरी संख्या निकल आती है। देखो, 3 संख्याओं पर यह हमेशा नहीं, 2, 3, 4 काफ़ी है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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