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Chapter 3 · Finding Common Ground

क्रमागत, सम और co-prime संख्याओं के लिए HCF और LCM क्या करते हैं

Patterns, properties, and a faster procedure13 मिनट

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6 और 18 का HCF है 6, जोड़ी की एक संख्या खुद: ऐसा ठीक तब होता है जब छोटी संख्या बड़ी को बाँटे, और 1 से 99 तक की सभी 9801 जोड़ियों पर यही।

मुख्य idea

यह section याद करने लायक़ ख़ास हालतों की list जैसा दिखता है, पर है नहीं। इसका हर pattern — दो क्रमागत संख्याओं का HCF, दो सम संख्याओं का HCF, दोनों संख्याओं को दुगुना करने पर क्या होता है — पहले से बने दो नियमों से एक-दो line में निकल आता है: HCF के लिए सबसे कम गिनती, LCM के लिए सबसे ज़्यादा गिनती। और यह बात साबित करने के लिए section patterns के बीच एक जाल बिछाता है। 14 × 6 और 14 × 9 दोनों 14 के multiples हैं, और उनका HCF 14 नहीं, 42 है। साझा गुणक एक common factor है; वह highest है या नहीं, यह इस पर टिका है कि बचे हुए दो गुणकों में अब भी कुछ साझा है या नहीं। pattern पकड़ना आसान आधा हिस्सा है; यह ठीक-ठीक बताना कि वह कब लागू होता है, वह आधा हिस्सा है जिसकी तैयारी यह section कराता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बिना list बनाए बताना कि किन जोड़ियों का HCF जोड़ी की ही कोई एक संख्या होता है, और यही LCM के लिए भी
  • ऐसी जोड़ी को एक अक्षर से लिखना
  • दो क्रमागत संख्याओं, दो क्रमागत सम संख्याओं, दो क्रमागत विषम संख्याओं, दो सम संख्याओं, और दो co-prime संख्याओं के HCF के बारे में एक आम दावा बताना और उसका बचाव करना
  • 3 के दो multiples, दो क्रमागत सम संख्याओं, दो क्रमागत संख्याओं, और दो co-prime संख्याओं के LCM के बारे में एक आम दावा बताना और उसका बचाव करना
  • दोनों संख्याओं को दुगुना करने का HCF पर असर पहले से बताना, और factorisations से उसे समझाना
  • अगर दो संख्याएँ एक साझा गुणक गुणा कुछ के रूप में लिखी हों, तो तय करना कि वह गुणक HCF है या नहीं
  • बताना कि साझा गुणक ही पूरा जवाब हो, इसके लिए बचे हुए दो गुणकों के बारे में क्या सच होना चाहिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
general statementऐसा दावा जो सिर्फ़ जाँची गई हालतों पर नहीं, हर हालत पर लागू होने का दावा करेव्यापक कथन§3.3, Part II, p.58 में bold में छपा
generalisationऐसे दावे तक पहुँचने का कामव्यापकीकरण§3.3, Part II, p.58 में bold में छपा; Conjecture and generalisation: what mathematicians mean by those words में खोलकर समझाया गया
consecutiveगिनती के क्रम में, या सम संख्याओं में, या विषम संख्याओं में एक-दूसरे के ठीक बगल वालीक्रमागत§3.3, Part II, p.59 में छपा
co-primeऐसी दो संख्याओं के लिए कहा जाता है जिनका अकेला common factor 1 होसह-अभाज्य§3.3, Part II, p.59 में छपा
common multiplierवह साझा factor जिसके multiple के रूप में दोनों संख्याएँ लिखी जाती हैंउभयनिष्ठ गुणक§3.3, Part II, p.60 में छपा
algebraसंख्या की जगह अक्षर इस्तेमाल करना ताकि दावा एक साथ हर हालत पर लागू होबीजगणित§3.3, Part II, p.58 में छपा
multipleसंख्या को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर जो मिलता हैगुणजकक्षा 6; §3.3, Part II, pp.58–60 में पूरे समय इस्तेमाल
factorवह संख्या जो दी गई संख्या को पूरा-पूरा भाग देगुणनखंडकक्षा 6; पूरे chapter में इस्तेमाल
difference argumentयह दिखाना कि दो संख्याओं में कुछ साझा नहीं, यह देखकर कि उनके अंतर में common factor को किसे भाग देना होगाअंतर से तर्कतर्क की एक ऐसी line के लिए इस पाठ का अपना नाम जिसका chapter न्योता तो देता है पर जिसे कभी छापता नहीं (पूरे बीस pages, pp.47–66, खोलकर पढ़े गए)
counterexampleएक ऐसा उदाहरण जो दावे को ग़लत दिखा देप्रत्युदाहरण§3.1, Part II, p.52 में छपा, और वह औज़ार जिसकी इस section को बार-बार ज़रूरत पड़ती है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part II का Hindi संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए उस column की किसी चीज़ को Hindi संस्करण से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर दोनों संख्याएँ 14 के multiples हैं तो 14 उनका HCF है।" छपा हुआ counterexample 14 × 6 और 14 × 9 है। साझा गुणक हमेशा एक common factor होता है; वह highest तभी होता है जब बचे हुए हिस्सों में कुछ साझा न हो। इस topic का यह अकेला सबसे ज़रूरी सुधार है, और chapter पूरा हिस्सा इसी के इर्द-गिर्द बनाता है।
  • "दो सम संख्याओं का HCF 2 होता है।" उनका HCF सम होता है। 12 और 18 से 6 मिलता है; 20 और 30 से 10. सटीक रूप — ठीक 2 — दो क्रमागत सम संख्याओं का है, और इन दोनों कथनों का फ़र्क़ ही वह चीज़ है जिसे exercise परख रही है।
  • "क्रमागत संख्याएँ काफ़ी बड़ी हों तो उनमें कोई factor साझा हो सकता है।" आकार का कोई लेना-देना नहीं। कोई भी common factor उनके बीच के अंतर में समाना चाहिए, और अंतर 1 है। इसे इसी तरह कहो — पर ध्यान रहे कि chapter कारण ख़ुद नहीं देता बल्कि पढ़ने वाले से ढूँढ़ने को कहता है, इसलिए तर्क को चलते हुए तर्क की तरह रखो, उद्धरण की तरह नहीं।
  • "दोनों संख्याएँ दुगुनी करने से LCM भी दुगुना हो जाता है।" होता है, पर इसे चुपके से मत घुसाओ — किताब यहाँ सिर्फ़ HCF के बारे में पूछती है। अगर व्याख्या इसे उठाए, तो अपने अलग extension के रूप में उठाए और छपी हुई जोड़ी पर जाँचे: 270 और 50 बनाम 540 और 100.
  • "जो pattern मेरे तीन उदाहरणों पर चलता है वह तथ्य है।" यह section ठीक उल्टी आदत डालता है। इसकी हर हालत के साथ जुड़ा निर्देश यह है कि कारण ढूँढ़ो, सिर्फ़ और मेल खाते उदाहरण नहीं।
  • "अक्षर n बात को मुश्किल बना देता है।" यही "मैंने छह जोड़ियाँ जाँचीं" को "यह सभी जोड़ियों पर लागू है" में बदलता है। chapter algebra यहाँ ठीक इसी वजह से लाता है और यह बात कहता भी है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q2, Figure it Out · 5 Q3, Figure it Out · 6 Q4, Figure it Out · 6 Q10

पूरा transcript1,598 शब्द

यहाँ 6 और 18 का HCF क्या है? और 6, यानी जोड़ी की एक संख्या खुद, क्योंकि 18 बराबर 6 गुणा 3। यहाँ 6, 18 का factor भी है, और 18, 6 का गुणज भी, एक सौदा जिसमें दोनों खुश। ऐसी और जोड़ियाँ ढूँढो, और फिर सोचो, इन सबमें साझा बात क्या है। जवाब, जब छोटी संख्या बड़ी को पूरा बाँटे, तब HCF छोटी संख्या खुद। अब 1 से 99 तक, सभी 9801 जोड़ियों पर जाँचा, ठीक तभी, और कभी नहीं।

ऐसा दावा, जो हर जोड़ी पर लागू हो, सिर्फ़ जाँची हुई जोड़ियों पर नहीं, उसे व्यापक कथन कहते हैं। और उदाहरणों से ऐसे कथन तक पहुँचना, व्यापकीकरण, पहले उदाहरण, फिर कथन, फिर उसकी वजह। अब संख्या की जगह एक letter लो, कोई भी संख्या n, और उसका 5 गुणा। n और 5 गुणा n का HCF, n खुद, 1 से 200 तक हर n पर जाँचा, 200 में से 200।

m हो, तो जोड़ीदार 3 गुणा m, और 7 गुणा k हो, तो जोड़ीदार k खुद, दोनों में HCF छोटी वाली। देखो, 7 गुणा k का जोड़ीदार 14 गुणा k भी हो सकता है, तब HCF है 7 गुणा k खुद, 200 में से 200 बार। letter का फ़ायदा, कुछ जोड़ियाँ जाँचीं से, हर जोड़ी पर सच है, तक पहुँचना। अब लगातार संख्याएँ, जैसे 8 और 9, इनका HCF? यहाँ 1, क्योंकि 8 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2, और 9 बराबर 3 गुणा 3, कुछ साझा नहीं।

n और n जमा 1, n को 1 से 999 तक लेकर, हर बार HCF निकला 1, सभी 999 में। वजह, जो factor दोनों को बाँटता है, वह उनके बीच के अंतर को भी बाँटता है। और 1 से 99 तक, छोटी बड़ी की सभी 4851 जोड़ियों में, HCF ने अंतर को पूरा बाँटा। लगातार संख्याओं का अंतर 1, और 1 को सिर्फ़ 1 बाँटता है, इसलिए HCF सिर्फ़ 1।

संख्याएँ कितनी भी बड़ी हों, फ़र्क नहीं पड़ता, बात सिर्फ़ अंतर की है। बड़ी लगातार संख्याएँ, 999 और 1000, HCF फिर भी 1। अब 91 और 98, अंतर 7, तो HCF वही हो सकता है जो 7 को बाँटे, 1 या 7। अब 91 बराबर 7 गुणा 13, और 98 बराबर 2 गुणा 7 गुणा 7, तो HCF है 7, ठीक अंतर जितना। अब लगातार सम संख्याएँ, जैसे 10 और 12, अंतर 2।

HCF को 2 बाँटना है, तो वह 1 या 2, और दोनों सम हैं, इसलिए ठीक 2। देखो, 1 से 500 तक हर n पर, 2 गुणा n और उसके अगले सम का HCF, हर बार 2, सभी 500। लगातार विषम संख्याएँ, अंतर फिर 2, पर इनमें से कोई सम नहीं। जैसे 15 और 17, HCF सिर्फ़ 1, और इसलिए LCM सीधा गुणा, 255। तो 2 इन्हें बाँट नहीं सकता, और HCF सिर्फ़ 1, हर बार, 500 में से 500।

पहले उदाहरण, 4 और 6, फिर 8 और 10, फिर 14 और 16, हर जोड़ी का HCF है 2। यहाँ 3 उदाहरण, सब सहमत, लगता है दावा पक्का, हर 2 सम संख्याओं का HCF है 2। पर ध्यान रखो, ये सब लगातार सम हैं, उदाहरण एक ही तरह के चुने, तो दावा उनसे आगे नहीं जाता। कोई कहेगा, 2 सम संख्याओं का HCF हमेशा 2 ही होगा। और 12 और 18 लो, इनका HCF है 6, और 20 और 30 का है 10।

सही कथन, HCF सम होता है, 100 तक सम संख्याओं की सभी 2500 जोड़ियों में यही। वजह नियम से, दोनों की prime कतार में कम से कम एक 2, तो कम वाली गिनती भी कम से कम एक, HCF सम। सहमत उदाहरण कितने भी हों, सबूत नहीं बनते, पर एक उल्टा उदाहरण पूरा दावा गिरा देता है। और ठीक 2 वाला कथन, सिर्फ़ लगातार सम संख्याओं पर, वह ज़्यादा पक्का दावा है।

जिन 2 संख्याओं का अकेला साझा factor हो 1, वे co-prime। और उनका LCM, सीधा गुणा, 1 से 99 तक सभी 9801 जोड़ियों में, HCF का 1 होना ठीक तभी, जब LCM गुणा के बराबर। co-prime का मतलब prime नहीं, 8 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2, और 15 बराबर 3 गुणा 5, दोनों में कोई prime नहीं। फिर भी कुछ साझा नहीं, HCF सिर्फ़ 1, और LCM सीधा गुणा, 120।

अब यही सवाल LCM से, 3 और 24 का LCM है 24, जोड़ी की बड़ी संख्या खुद। ठीक तब, जब छोटी बड़ी को बाँटे, सभी 9801 जोड़ियों पर जाँचा। letter से, n और 8 गुणा n का LCM है 8 गुणा n, 200 में से 200 बार। अब 3 के 2 गुणज लो, उनका LCM भी 3 का गुणज, 33 तक की सभी 1089 जोड़ियों में। वजह, दोनों कतारों में 3 है, और LCM हर prime की ज़्यादा वाली गिनती लेता है, तो 3 आएगा ही।

पर इससे आगे कुछ तय नहीं, 6 और 9 का LCM है 18, और 6 और 12 का है 12। लगातार सम, 4 और 6 का LCM है 12, और 10 और 12 का है 60। वजह देखो, 10 बराबर 2 गुणा 5, और 12 बराबर 2 गुणा 6, और 5 और 6 लगातार, कुछ साझा नहीं। तो LCM, एक 2, फिर 5, फिर 6, यानी 60। हर बार गुणा का आधा, 500 में से 500 बार, क्योंकि साझा 2 सिर्फ़ एक बार गिना जाता है।

लगातार संख्याएँ, 8 और 9 का LCM है 72, सीधा गुणा। देखो, 1 से 999 तक सभी 999 बार, क्योंकि कुछ साझा नहीं, तो कुछ दोहराया नहीं। यानी LCM के कथन 2 ढेरों में, एक दूसरी को बाँटे, तो बड़ी वाली, कुछ साझा न हो, तो गुणा। और 3 के गुणजों वाला कथन किसी ढेर में नहीं, वह सिर्फ़ इतना कहता है कि जवाब में 3 होगा। अब एक प्रयोग, दोनों संख्याओं को 2 से गुणा करो, HCF का क्या होगा?

यहाँ 270 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5, और 50 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 5। साझा, एक 2 और एक 5, तो HCF है 10। अब 540 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5, और 100 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 5 गुणा 5। दोनों में एक एक नया 2 आया, और वह साझे हिस्से में जुड़ गया, तो HCF हुआ 20।

और 1 से 99 तक की सभी 9801 जोड़ियों में, दोनों को 2 से गुणा करने पर HCF भी 2 गुणा। नियम से देखो, हर संख्या में 2 की गिनती एक बढ़ी, तो कम वाली गिनती भी एक बढ़ी, और ज़्यादा वाली भी। और हमारी अपनी जाँच, LCM भी 2 गुणा होता है, 1350 से 2700। अब एक जाल, 14 गुणा 6, और 14 गुणा 9, दोनों 14 के गुणज।

तो क्या इनका HCF है 14? primes में खोलो, 14 गुणा 6, यानी 2 गुणा 7 गुणा 2 गुणा 3, और 14 गुणा 9, यानी 2 गुणा 7 गुणा 3 गुणा 3। अब 2 गुणा 7, यानी 14, दोनों में है, पर रुको, बचे हुए 6 और 9 में भी एक 3 साझा है। तो HCF बनता है 14 गुणा 3, यानी 42, और 14 नहीं। नियम से पक्का करो, 84 में 2 की गिनती 2, फिर 3 की एक, और 7 की एक।

देखो, 126 में 2 की एक, 3 की गिनती 2, और 7 की एक। और LCM, ज़्यादा वाली गिनतियाँ, 2 बार 2, फिर 2 बार 3, और एक 7, यानी 252। कम वाली गिनतियाँ, एक 2, एक 3, एक 7, गुणा 42, वही जवाब। साझा गुणक हमेशा एक साझा factor है। पर वह HCF तभी है, जब बचे हुए गुणकों में कुछ साझा न हो, वरना जो साझा बचा, वह भी HCF में जुड़ता है।

यहाँ 4 जोड़ियाँ, 18 गुणा 10 और 18 गुणा 15, फिर 10 गुणा 38 और 10 गुणा 21। और 5 गुणा 13 और 5 गुणा 20, फिर 12 गुणा 16 और 12 गुणा 20। यानी पहली 180 और 270, दूसरी 380 और 210, तीसरी 65 और 100, चौथी 192 और 240। किनमें साझा गुणक ही HCF है? पहली जोड़ी में, बचे 10 और 15, साझा 5, तो HCF है 90।

दूसरी, 38 और 21 में कुछ साझा नहीं, तो HCF रहा 10, तीसरी में 13 और 20, तो HCF रहा 5। और चौथी जोड़ी में, 16 और 20, साझा 4, तो HCF है 48। यानी 4 में से 2 में गुणक ही HCF, ठीक वहीं, जहाँ बचे हुए co-prime। नियम, k गुणा a और k गुणा b का HCF, k गुणा, a और b का HCF। इसलिए वह k के बराबर ठीक तब, जब a और b co-prime हों।

k को 20 तक, a और b को 30 तक लेकर, सभी 18000 चुनावों पर जाँचा, हर बार सही। एक पहेली, ऐसी जोड़ी जिसका HCF हो 1 और LCM हो 66। co-prime हैं, तो गुणा ही LCM, यानी 66 को 2 co-prime टुकड़ों में बाँटो, 1 और 66, फिर 2 और 33, फिर 3 और 22, और 6 और 11। अब 66 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 11, हर prime पूरा का पूरा किसी एक तरफ़ जाएगा, बँट नहीं सकता, वरना साझा हो जाएगा।

देखो, 3 primes, हर एक के 2 रास्ते, क्रम से 8 तरीके, यानी कुल 4 जोड़ियाँ। यहाँ 2 अलग primes, उनका LCM कहाँ बैठेगा? जैसे 3 और 5, इनका LCM है 15। वे co-prime हैं, तो LCM उनका गुणा, दोनों से बड़ा, 50 से छोटे 15 primes की सभी 105 जोड़ियों में। एक संख्या दूसरी को बाँटे, तो HCF छोटी, LCM बड़ी। साझा factor अंतर को भी बाँटता है, इसलिए लगातार संख्याओं का HCF सिर्फ़ 1।

और 2 सम संख्याओं का HCF सम, ठीक 2 सिर्फ़ लगातार सम में। साझा गुणक HCF तभी, जब बचे हुए co-prime हों। हर पैटर्न पर, पहले उदाहरण, फिर कथन, फिर वजह, वजह के बिना कथन अधूरा। पैटर्न देखना आधा काम, कब सच है, यह कहना बाकी आधा।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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