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Chapter 3 · Finding Common Ground

एक ही division ladder से HCF और LCM दोनों निकालना

Patterns, properties, and a faster procedure12 मिनट

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84 और 180 को पहले 2 से, फिर 2 से, फिर 3 से भाग करो, नीचे 7 और 15 बचते हैं, जिनमें कुछ साझा नहीं: बाईं ओर का स्तंभ गुणा करो, HCF 12, और पूरा L गुणा करो, LCM 1260।

मुख्य idea

एक के नीचे एक भाग वाला layout पहले सीखे दो तरीक़ों के साथ याद करने वाला कोई तीसरा तरीक़ा नहीं है — यह वही दोनों तरीक़े हैं, एक ही काग़ज़ पर एक साथ चलते हुए। हर क़दम पर दोनों संख्याओं से एक common factor अलग करने से primes दो ढेरों में बँट जाते हैं: जो primes दोनों संख्याओं के पास हैं वे बाएँ column में पहुँचते हैं, और जो बिना साझा किए बचा वह सबसे नीचे वाली row में। इसलिए बाएँ column का गुणनफल HCF है और पूरी L-आकृति — column और नीचे वाली row — का गुणनफल LCM, एक ही हिसाब से। यह देख लेना ही Guna के shortcut को चालाकी नहीं, जायज़ बनाता है: तर्क में कहीं भी यह ज़रूरी नहीं था कि divisor prime हो, बस यह कि वह दोनों को भाग दे।

आपको क्या आना चाहिए

  • एक के नीचे एक भाग वाला layout पढ़ना और बताना कि हर row और हर divisor क्या दर्ज करता है
  • अगला क़दम लेने की शर्त और रुकने की शर्त बताना
  • दो या तीन अंकों वाली संख्याओं की जोड़ी के लिए layout चलाना
  • पूरे हुए layout से HCF पढ़ना, और समझाना कि बायाँ column उसे क्यों देता है
  • उसी पूरे हुए layout से LCM पढ़ना, और समझाना कि नीचे वाली row को शामिल करना क्यों ज़रूरी है
  • समझाना कि एक ही क़दम में बड़े common factor से भाग देने की इजाज़त क्यों है
  • पहले से बताना कि अगर divisors किसी और क्रम में चुने जाएँ तो दोनों जवाबों का क्या होगा, और उस अनुमान को जाँचना
  • किसी दी गई जोड़ी के लिए layout और दो अलग factorisations में से चुनना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
division methodवह layout जिसमें हर divisor बाईं तरफ़ और हर quotient नीचे लिखा जाता हैविभाजन विधि§3.1, Part II, p.50 में bold में छपा, और §3.3, p.61 में जोड़ियों तक बढ़ाया गया
quotientएक भाग का नतीजा, अगली row पर लिखा हुआभागफल§3.3, Part II, p.61 में छपा
common prime factorऐसा prime जो दोनों संख्याओं को भाग दे, और इसलिए जोड़ी से अलग किया जा सकेउभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड§3.3, Part II, p.61 में छपा
common factorवह संख्या जो दी गई दोनों संख्याओं को भाग दे, prime हो या नहींसामान्य गुणनखंडपूरे chapter में छपा, और फिर §3.3, Part II, p.62 में
Highest Common Factor (HCF)common factors में सबसे बड़ामहत्तम समापवर्तक§3.1, Part II, p.48 में bold में छपा
Lowest Common Multiple (LCM)common multiples में सबसे छोटालघुत्तम समापवर्त्य§3.2, Part II, p.56 में bold में छपा
procedureक़दम-दर-क़दम चलाए जा सकने वाले लिखे हुए तरीक़े के लिए chapter का शब्दप्रक्रियाsubheading "Efficient Procedures for HCF and LCM" में छपा, §3.3, Part II, p.60
division ladderसंख्याओं की जोड़ी पर इस्तेमाल होने वाले एक के नीचे एक layout के लिए इस पाठ का नामविभाजन सीढ़ीइस पाठ का अपना नाम; chapter एक संख्या वाले रूप के लिए "division method" छापता है और जोड़ी वाले रूप को अपना कोई अलग नाम नहीं देता (पूरे बीस pages, pp.47–66, खोलकर पढ़े गए)
the Lबाएँ column और नीचे वाली row के लिए इस पाठ का छोटा नाम, जिनका गुणनफल LCM हैअंग्रेज़ी अक्षर L का आकारइस पाठ का अपना छोटा नाम, इस chapter में नहीं छपा — पर किताब p.61 पर LCM वाले layouts के चारों ओर नीले रंग में ठीक यही आकृति बनाती है (p.61 खोलकर जाँचा गया)

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part II का Hindi संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए उस column की किसी चीज़ को Hindi संस्करण से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "यह layout एक नया नियम है जो सीखना पड़ेगा।" यह पहले से बने दो नियमों का हिसाब-किताब है। बाईं तरफ़ लिखा हर divisor एक ऐसा factor है जो दोनों संख्याओं में अब भी साझा है; इसलिए column साझा हिस्सा है और कुछ नहीं। एक बार layout के बगल में दोनों अलग factorisations दिखा दो, और बात साफ़ हो जाती है।
  • "divisor का prime होना ज़रूरी है।" chapter के अपने दो पात्र यह बात तोड़ते हैं और chapter उनका साथ देता है: कोई भी common factor अलग किया जा सकता है, और 50 और 10 prime नहीं हैं। सच बस इतना होना चाहिए कि divisor दोनों संख्याओं को भाग दे। prime divisors सुरक्षित पहली पसंद इसलिए हैं कि उनसे आगे निकल जाने का ख़तरा नहीं, इसलिए नहीं कि बड़े divisors ग़लत हैं।
  • "divisor के अलग चुनाव अलग जवाब देते हैं।" वे अलग ladders देते हैं और वही दो जवाब। यह वही स्थिरता है जो chapter Breaking a number down to primes, and why the result is unique में मिल चुका है, और section 10 की interactive तस्वीर इसे दिखाने के लिए ही है।
  • "HCF की तरह LCM भी divisors का गुणनफल है।" तब तो 300 और 150 से दोनों के लिए 150 मिलता। आख़िरी row हर वह prime लिए हुए है जो कभी साझा नहीं हुआ, और उसे छोड़ने से ठीक वही primes छूट जाते हैं।
  • "जैसे ही दोनों में से कोई एक संख्या prime हो जाए, रुक सकते हो।" रुकते तब हो जब जोड़ी में कोई common factor न बचे। 300 और 150 वाले layout में आख़िरी row 2, 1 है — 3 से भाग अब भी मुमकिन था, 6, 3 पर, हालाँकि 3 prime है।
  • "layout हमेशा ज़्यादा तेज़ होता है।" जिस जोड़ी में कोई factor साझा ही नहीं, उसके लिए यह फ़ौरन रुक जाता है और HCF के 1 होने के सिवा लगभग कुछ नहीं बताता; तब भी LCM के लिए गुणनफल चाहिए। बताओ कि इसे कब इस्तेमाल करना है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 6 Q3

पूरा transcript1,568 शब्द

एक ढाँचा, बाईं ओर 2, सामने 84 और 180, फिर 2, सामने 42 और 90। फिर 3, सामने 21 और 45, और सबसे नीचे 7 और 15। यह ढाँचा क्या कर रहा है, और इससे क्या पढ़ा जा सकता है? हर कदम पर, बाईं ओर ऐसी संख्या, जो दोनों को पूरा बाँटे, और दोनों को उससे भाग करो। पहला कदम, 84 भी सम, 180 भी सम, तो 2 दोनों को बाँटता है, भागफल 42 और 90, अगली पंक्ति में।

यहाँ 42 और 90 भी दोनों सम, फिर 2, भागफल 21 और 45। और 21 और 45 दोनों को 3 बाँटता है, भागफल 7 और 15। हर पंक्ति पर जोड़ी छोटी होती जाती है, और बाईं ओर का स्तंभ लंबा। इसे भाग की सीढ़ी कहेंगे, बाईं ओर भाजकों का स्तंभ, और नीचे आखिरी पंक्ति। रुकना कब है, जब नीचे की जोड़ी में कुछ भी साझा न बचे। अब 7 और 15, जहाँ 15 बराबर 3 गुणा 5, और 7 से कुछ साझा नहीं, तो सीढ़ी पूरी।

अगर नीचे की जोड़ी में कुछ साझा होता, तो एक और कदम मुमकिन होता, इसलिए रुकने का मतलब, साझा सब निकल चुका। बाईं ओर का स्तंभ गुणा करो, 2 गुणा 2 गुणा 3, यानी 12। अब संकेत देखो, 84 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 7, और 180 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 15। साझा हिस्सा 2 गुणा 2 गुणा 3, यानी HCF है 12, और सूचियाँ मिलाकर भी 12।

हर भाजक दोनों को बाँटता है, इसलिए स्तंभ में सिर्फ़ साझे primes आते हैं। और सीढ़ी तभी रुकती है, जब कुछ साझा न बचे, इसलिए सारे साझे primes स्तंभ में आ चुके। सिर्फ़ साझे, और सारे साझे, यही तो HCF है, हर prime की कम वाली गिनती। नीचे की पंक्ति भी कुछ कहती है, 12 गुणा 7, यानी 84, और 12 गुणा 15, यानी 180। यानी हर संख्या, स्तंभ गुणा अपना बचा हुआ हिस्सा, और बचे हुए हिस्सों में कुछ साझा नहीं।

क्रम बदलो, पहले 3 से, 28 और 60, फिर 2 से, 14 और 30, फिर 2 से, 7 और 15। या एक ही झटके में 12 से, सीधे 7 और 15, नीचे की पंक्ति वही। अब स्तंभ के संग नीचे की पंक्ति भी लो, L का आकार, 12 गुणा 7 गुणा 15। यानी 1260, और यही 84 और 180 का LCM, गुणजों पर चलकर भी 1260। LCM को चाहिए, साझा हिस्सा एक बार, और हर संख्या का बचा हुआ हिस्सा भी।

primes के गुणा के रूप में देखो, HCF है 2 गुणा 2 गुणा 3, और LCM है 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 7 गुणा 3 गुणा 5। देखो, 84 का बचा हिस्सा 7, और 180 का 15, LCM में दोनों चाहिए, वरना वह 84 या 180 का गुणज ही नहीं रहेगा। साझा हिस्सा स्तंभ में है, बचे हुए 7 और 15 नीचे, और दोनों में कुछ साझा नहीं, तो सीधा गुणा।

अब 300 और 150, पहले 2 से, 150 और 75। फिर 5 से, 30 और 15, फिर 5 से, 6 और 3। अब 6 और 3, इनमें 3 तो prime है, तो क्या यहीं रुक जाएँ? नहीं, रुकने का नियम prime देखना नहीं, साझा देखना है, और 3 दोनों को बाँटता है, 6 को भी और 3 को भी। तो 3 से भाग करो, 2 और 1, अब कुछ साझा नहीं।

स्तंभ, 2 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 3, यानी HCF है 150। L में, 150 गुणा 2 गुणा 1, यानी LCM है 300। अगर कोई नीचे की पंक्ति भूल जाए, तो LCM भी 150 बताएगा, पर असली LCM है 300। अब 630 और 770, पहले 2 से, 315 और 385, फिर 5 से, 63 और 77। फिर 7 से, 9 और 11, जहाँ 9 बराबर 3 गुणा 3, और 11 prime, कुछ साझा नहीं, सीढ़ी पूरी।

स्तंभ, 2 गुणा 5 गुणा 7, तो HCF है 70। L में, 70 गुणा 9 गुणा 11, तो LCM है 6930। यहाँ 770 का 11, कभी 630 को नहीं बाँटता, इसलिए वह बाईं ओर आ ही नहीं सकता, सीधा नीचे की पंक्ति में पहुँचता है। कोई 9 और 11 पर 3 से एक और कदम लेना चाहेगा। पर 3 से 11 नहीं बँटता, यह सीढ़ी का कदम नहीं, हर कदम दोनों को बाँटे, यही शर्त है।

गुणा वैसे भी वही रहता, 3 गुणा 3 गुणा 11, यानी 99, और 9 गुणा 11 भी 99, तो नीचे की पंक्ति पर ही रुको। अब अलग अलग तोड़कर मिलाओ, 300 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5, और 150 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5। कम वाली गिनतियाँ, 150, ज़्यादा वाली, 300, सीढ़ी वाले जवाब ही। और 630 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 7, और 770 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 7 गुणा 11।

कम वाली, 2 गुणा 5 गुणा 7, यानी 70, ज़्यादा वाली, 6930, फिर वही। अब 300 और 150 की नीचे की पंक्ति, 2 और 1, यानी 300 बराबर 150 गुणा 2, और 150 बराबर 150 गुणा 1। नीचे 1 दिखे, तो एक संख्या दूसरी को बाँटती है, और LCM बड़ी संख्या खुद, 300। देखो, 1 से 99 तक, सभी 9801 जोड़ियों पर सीढ़ी चलाई, स्तंभ हर बार HCF, और L हर बार LCM।

और हर बार नीचे की जोड़ी में कुछ साझा नहीं, और हर संख्या, स्तंभ गुणा अपना हिस्सा। एक छोटा रास्ता, 300 और 150 को सीधे 50 से भाग करो, 6 और 3। फिर 3 से, 2 और 1। HCF है 50 गुणा 3, यानी 150, और LCM है 50 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 1, यानी 300, वही जवाब, कम कदमों में। एक और, 630 और 770 को पहले 10 से, 63 और 77, फिर 7 से, 9 और 11।

HCF है 70, और LCM है 6930, फिर वही। पर 50 और 10 तो prime नहीं, 50 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 5, और 10 बराबर 2 गुणा 5। कोई बात नहीं, पूरी दलील में कहीं prime की ज़रूरत नहीं है, सिर्फ़ इतनी कि भाजक दोनों को बाँटे। जैसे 42 और 90 पर 4 आज़माओ, 42 में 2 बचता है, 90 में भी 2, कदम नामंज़ूर, बड़ा भाजक चुनो, तो जाँच ज़रूरी।

primes से चलना सुरक्षित है, क्योंकि उनसे आगे निकल जाने का डर नहीं, पर वे नियम नहीं। तो क्या अलग भाजक चुनने से अलग जवाब आ सकते हैं? यहाँ 300 और 150 की सीढ़ी कुल 44 तरीकों से बन सकती है, और 630 और 770 की 13 तरीकों से। हर तरीके में, स्तंभ 150 और L का गुणा 300, या स्तंभ 70 और L का 6930, सीढ़ियाँ अलग, जवाब एक।

कुछ रास्ते देखो, 300 और 150 को 6 से, फिर 25 से, नीचे 2 और 1। या सीधे 150 से, एक ही कदम, नीचे फिर 2 और 1, स्तंभ में अकेला 150, यानी HCF। और 630 और 770 को 2 से, फिर 35 से, नीचे 9 और 11। अब 1 से 60 तक, सभी 3600 जोड़ियों के हर संभव रास्ते पर जाँचा, HCF और LCM कभी नहीं बदले। क्योंकि हर रास्ता वही साझे primes निकालता है, बस अलग गुच्छों में।

हर रास्ता HCF को टुकड़ों में बाँटने का एक तरीका है, 300 और 150 के सभी 44 रास्तों का गुणा 150, और 630 और 770 के सभी 13 का 70। और 84 और 180 के कुल 8 रास्ते, 12 को टुकड़ों में बाँटने के उतने ही तरीके। अब खुद करो, 90 और 150। देखो, 2 से, 3 से, 5 से, नीचे 3 और 5, कुछ साझा नहीं। तो HCF है 30, और LCM है 450।

और अगर 30 सूझ जाए, तो एक ही कदम, सीधे 3 और 5। और 84 और 132। यहाँ 2 से, फिर 2 से, फिर 3 से, नीचे 7 और 11। अलग तोड़ो, 84 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 7, और 132 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 11, साझा 2 गुणा 2 गुणा 3, बचे 7 और 11। HCF है 12, और LCM है 12 गुणा 7 गुणा 11, यानी 924।

एक नई जोड़ी, 120 और 168। और 2 से, 60 और 84, फिर 2 से, 30 और 42, फिर 2 से, 15 और 21। अब 15 और 21 को 3 बाँटता है, तो 5 और 7, और 5 और 7 में कुछ साझा नहीं। स्तंभ में 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3, तो HCF है 24, और L में 24 गुणा 5 गुणा 7, तो LCM है 840। और 45 और 75, 3 से, 15 और 25, फिर 5 से, 3 और 5।

HCF है 3 गुणा 5, यानी 15, और LCM है 15 गुणा 3 गुणा 5, यानी 225। और जब कुछ साझा ही न हो, जैसे 8 और 15, तो सीढ़ी का पहला कदम भी नहीं उठता। HCF सिर्फ़ 1, और LCM सीधा गुणा, 120, यहाँ सीढ़ी से कुछ नया नहीं मिलता। यह सीढ़ी कोई तीसरा तरीका नहीं, वही 2 नियम हैं, एक संग, एक ही पन्ने पर। कब कौन सा, बहुत सारे साझे primes हों, तो सीढ़ी तेज़, कुछ साझा न हो, तो सीधा गुणा काफ़ी।

हर कदम primes को 2 ढेरों में छाँटता है, जो दोनों के पास हैं, और जो सिर्फ़ एक के पास। साझे primes बाईं ओर इकट्ठे होते हैं, बचे हुए नीचे, और दोनों जवाब एक ही हिसाब से। हर कदम, ऐसा भाजक जो दोनों को बाँटे। रुको तब, जब नीचे की जोड़ी में कुछ साझा न बचे। बाईं ओर का स्तंभ गुणा करो, HCF। स्तंभ और नीचे की पंक्ति, पूरा L, गुणा करो, LCM।

नीचे की पंक्ति में 1 दिखे, तो बड़ी संख्या ही LCM। भाजक prime हों या नहीं, रास्ता कोई भी, जवाब वही।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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