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Chapter 3 · Finding Common Ground

HCF: हर prime की सबसे कम गिनती लो

HCF and LCM from the factorisations14 मिनट

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12 फ़ुट गुणा 16 फ़ुट का फ़र्श, कम से कम चौकोर टाइलों में: टाइल की भुजा दोनों को पूरा बाँटे, यानी साझा factor, और सबसे बड़ी हो, यानी HCF, 4 फ़ुट, 12 टाइलें।

मुख्य idea

highest common factor ऐसी चीज़ नहीं जिसे दो lists लिखकर और उनकी तुलना करके ढूँढ़ा जाए — यह ऐसी चीज़ है जिसे तुम एक-एक prime करके बनाते हो। common factor को एक साथ दोनों factorisations का subpart होना पड़ता है, इसलिए हर prime के लिए, जिस संख्या में उसकी copies कम हैं, वही एक छत तय करती है। हर prime को उसकी छत तक ले जाओ और उससे आगे नहीं, तो दोनों का ऐसा factor मिलता है जिससे बड़ा कोई नहीं हो सकता: जवाब तय होता है, खोजा नहीं जाता। और छत वाला तर्क सिर्फ़ prime factorisations पर चलता है — chapter 72 और 144 वाले अपने चालाक सवाल में इसी सीमा को असली बात बनाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • "सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा" वाला सवाल पहचानना और बताना कि वह common factor का सवाल क्यों है
  • बताना कि दो संख्याओं का highest common factor क्या है, और chapter उसे जो दूसरा नाम देता है वह भी
  • समझाना कि tiling और packing वाले सवालों में सबसे बड़ा common factor ही क्यों चाहिए
  • दोनों factorisations के subparts मिलाकर दो संख्याओं के common factors की list बनाना
  • वह हालत पहचानना जिसमें अकेला common factor 1 है, और बताना कि तब factorisations कैसे दिखते हैं
  • हर साझा prime के लिए उसकी दोनों गिनतियों में से छोटी लेकर सीधे HCF निकालना
  • यही तरीक़ा तीन संख्याओं तक बढ़ाना
  • समझाना कि दो composite splits में कुछ साझा न होना HCF के बारे में बिल्कुल भी सबूत क्यों नहीं है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
common factorवह संख्या जो दी गई दोनों संख्याओं का factor होसामान्य गुणनखंडchapter के पहले page से छपा, §3.1, Part II, p.47
Highest Common Factor (HCF)common factors में सबसे बड़ामहत्तम समापवर्तक§3.1, Part II, p.48 में bold में छपा
Greatest Common Divisor (GCD)वही राशि, उसके दूसरे नाम सेमहत्तम समापवर्तक§3.1, Part II, p.48 में, HCF के ठीक बाद छपा
subpartकिसी factorisation में से काटकर आपस में गुणा किया गया टुकड़ाउपभाग§3.1, Part II, p.51 में छपा
common primesवे primes जो दोनों factorisations में आते हैंउभयनिष्ठ अभाज्य§3.1, Part II, p.54 में, Example 5 में छपा
minimumकिसी prime की दोनों गिनतियों में से छोटी, जितनी HCF ले सकता हैन्यूनतम§3.1, Part II, p.54 में छपा
prime factorisationसंख्या को primes के गुणनफल के रूप में दोबारा लिखनाअभाज्य गुणनखंडन§3.1, Part II, p.49 में bold subheading की तरह छपा
co-primeऐसी दो संख्याओं के लिए कहा जाता है जिनका अकेला common factor 1 होसह-अभाज्य§3.3, Part II, p.59 में छपा — इस topic के बाद, पर section 9 जिस हालत का वर्णन करता है उसका नाम यही है
exponentकोई prime कितनी बार दोहराया गया, उसकी गिनतीघातांकअगर इस्तेमाल हो तो इस पाठ का अपना शब्द; यह chapter दोहराए गए primes को पूरा लिखता है और कहीं कोई घात वाली notation नहीं छापता (पूरे बीस pages, pp.47–66, खोलकर पढ़े गए)
common groundदो factorisations के साझा हिस्से के लिए chapter की अपनी शीर्षक वाली छविसाझा आधारchapter के शीर्षक के रूप में छपा, Part II, p.47

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part II का Hindi संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए उस column की किसी चीज़ को Hindi संस्करण से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर दोनों splits में कोई टुकड़ा साझा नहीं, तो संख्याओं का कोई common factor नहीं।" p.54 वाला सवाल ठीक इसी ग़लती को खोलने के लिए बना है। 6 × 12 और 8 × 18 में ऊपर से कुछ साझा नहीं, और 72, 144 को पूरा-पूरा भाग देता है। Example 3 बिल्कुल वैसा ही तर्क लगता है और सिर्फ़ इसलिए सही है कि वहाँ दोनों splits primes में थे। दोनों को अगल-बगल दिखाओ; पूरा सबक़ इसी फ़र्क़ में है।
  • "HCF का मतलब है factors के दोनों sets की list बनाना और सबसे बड़ा मेल चुनना।" chapter यहीं से शुरू करता है और ठीक इसी को छोड़ देता है, उस कारण से जो वह साफ़ बताता है: lists लंबी हो जाती हैं और entries छूट जाती हैं।
  • "जो prime ज़्यादा बार आता है वह लो, क्योंकि हमें highest common factor चाहिए।" शब्द highest पूरे बने factor पर लगता है, हर prime की गिनती पर नहीं। हर prime की छत वह संख्या तय करती है जिसके पास वह कम बार है। ज़्यादा लेने से ऐसी चीज़ बनेगी जो दोनों का factor ही नहीं रहेगी — और इसलिए common factor भी नहीं, highest होना तो दूर की बात।
  • "छत हमेशा एक ही संख्या देती है।" Example 5 में 3 की छत 750 देती है और 5 की छत 225. तुलना हर prime के लिए अलग-अलग, स्वतंत्र रूप से होती है।
  • "अगर HCF 1 है तो संख्याओं में कोई factor साझा नहीं।" उनमें factor 1 साझा है। chapter इस बारे में सावधान है: वह कहता है कि 1 अकेला common factor है और वही HCF भी है।
  • "सबसे बड़ी tile तो ज़ाहिर तौर पर सही है।" किताब पढ़ने वाले से इसका कारण बताने को कहती है और ख़ुद नहीं बताती। इस पर एक वाक्य कहना ठीक है: बड़ी tile यानी कम tiles, और सबसे कम tiles ही शर्त थी। इसे जोड़े गए तर्क की तरह रखो, page से पढ़ी गई बात की तरह नहीं।
  • "HCF का मतलब सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए बनता है।" chapter कहता है कि सभी factorisations में न्यूनतम लेने वाला यही तरीक़ा तीन या ज़्यादा संख्याओं पर भी चलता है, और एक exercise item एक साथ तीन संख्याओं का HCF माँगता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 6 Q6, Figure it Out · 6 Q7

पूरा transcript1,693 शब्द

एक फ़र्श है, 12 फ़ुट चौड़ा, 16 फ़ुट लंबा, और इसे चौकोर टाइलों से ढकना है। सारी टाइलें एक ही नाप की, हर टाइल की भुजा पूरे फ़ुट में, और टाइलें कम से कम। तो टाइल कितनी बड़ी हो? पहले 3 फ़ुट की टाइल आज़माओ, 12 फ़ुट वाली दीवार पर पूरी बैठती है, कुछ नहीं बचता। पर 16 फ़ुट वाली दीवार पर, 5 टाइलें बिछाकर भी, 1 फ़ुट की पट्टी खाली रह जाती है।

यानी भुजा को 12 को भी पूरा बाँटना है, और 16 को भी, वह दोनों का factor हो। यहाँ 12 के factors, 1, 2, 3, 4, 6, 12। और 16 के factors, 1, 2, 4, 8, 16। जो दोनों सूचियों में हैं, 1, 2, 4, बस इतनी ही टाइलें फ़र्श पर पूरी बैठेंगी। अब 1 फ़ुट की टाइल, 192 टाइलें लगेंगी। देखो, 2 फ़ुट की, 48 टाइलें। और 4 फ़ुट की, सिर्फ़ 12, चौड़ाई में 3, लंबाई में 4।

जाँच के लिए, फ़र्श का क्षेत्रफल, 12 गुणा 16, यानी 192 वर्ग फ़ुट। यहाँ 192 टाइलें हर एक 1 वर्ग फ़ुट, 48 टाइलें हर एक 4 वर्ग फ़ुट, 12 टाइलें हर एक 16 वर्ग फ़ुट, हर बार पूरा 192। सबसे बड़ी ही क्यों, क्योंकि बड़ी टाइल हर बार ज़्यादा फ़र्श ढकती है, तो कम टाइलें लगती हैं। और शर्त यही थी, कम से कम टाइलें, तो जवाब है, साझे factors में सबसे बड़ा, 4 फ़ुट।

साझे factors में सबसे बड़े को कहते हैं highest common factor, छोटा नाम HCF। इसका एक और नाम है, greatest common divisor, यानी GCD, हिंदी में महत्तम समापवर्तक। और 12 और 16 का HCF, 4। अब वही सवाल, नए रूप में, एक खेत से 84 किलो चावल, दूसरे से 108 किलो। हर बोरी का वज़न बराबर, पूरे किलो में, कोई बोरी 2 खेतों का चावल न मिलाए, और बोरियाँ कम से कम।

अब 84 और 108 के साझे factors, 1, 2, 3, 4, 6, 12, और सबसे बड़ा 12। देखो, 12 किलो की बोरियाँ, एक खेत से 7, दूसरे से 9, कुल 16। यहाँ 6 किलो की लेते, तो 14 और 18, कुल 32। फ़र्श हो या बोरियाँ, सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा, यानी HCF। एक खेल, कूदने वाला 0 से चलता है, हर छलाँग बराबर लंबी, और 2 खज़ाने, 14 पर और 30 पर।

कौन सी छलाँग दोनों खज़ानों पर उतरेगी? छलाँग को 14 भी बाँटना है और 30 भी, तो 1, 2, सबसे लंबी 2। खज़ाने 7 और 11 पर, सिर्फ़ 1 की छलाँग, हर खाने पर रुकना पड़ेगा। और 30 और 50 पर, 1, 2, 5, 10, सबसे लंबी 10। अब 28 और 42 पर, 1, 2, 7, 14, सबसे लंबी 14। क्या सबसे लंबी छलाँग हमेशा HCF ही होती है? देखो, 1 से 119 तक, खज़ाने कहीं भी रखो, सभी 14161 जोड़ियाँ जाँचीं, हर बार वही।

और वजह साफ़ है, छलाँग को दोनों दूरियाँ पूरी बाँटनी हैं, यानी साझा factor, और सबसे लंबी, यानी सबसे बड़ा। एक तरीका है, दोनों के factors की सूचियाँ बनाओ, और मिलाओ। पर 400 और 2500 लो, दोनों के 15, 15 factors, कुल 30 चीज़ें लिखनी हैं, जवाब 100 के लिए। सूचियाँ लंबी होती हैं, और कोई न कोई factor छूट जाता है, इसलिए यह तरीका छोड़ना होगा। किसी संख्या के factors, ठीक उसकी prime कतार से कटे टुकड़े होते हैं, यानी subparts।

तो साझा factor वह टुकड़ा है, जो दोनों कतारों से एक संग कट सके। यहाँ 45 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5, और 75 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 5। दोनों में एक 3 घेरो, फिर एक 5, फिर 3 और 5 एक संग। और 1 को मिलाकर, साझे factors 1, 3, 5, 15, और HCF 15। अब 112 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7, और 84 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 7।

घेरे बनते हैं, 2, फिर 7, फिर 2 गुणा 2, फिर 2 गुणा 7, और आखिर में 2 गुणा 2 गुणा 7। यानी 5 घेरे, 1 मिलाकर 6 साझे factors, 1, 2, 4, 7, 14, 28, और HCF 28। देखो, 96 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3, और 275 बराबर 5 गुणा 5 गुणा 11। कोई prime दोनों कतारों में नहीं, एक भी घेरा नहीं बनता।

इसका मतलब यह नहीं कि कुछ भी साझा नहीं, 1 दोनों का factor है, और वही अकेला साझा factor, तो 1 ही HCF है। जिन संख्याओं का 1 ही अकेला साझा factor हो, उन्हें co-prime कहते हैं। घेरे बनाना भी लंबा है, अब सीधे गिनो, हर prime कितनी बार है। यहाँ 30 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 5, और 72 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3।

पहले 2 की बारी, 30 में 1 बार, 72 में 3 बार, कम वाली गिनती रखो, यानी 1। फिर 3 की बारी, 30 में 1 बार, 72 में 2 बार, तो 1 रखो। आखिर में 5 की बारी, 30 में 1 बार, 72 में एक भी नहीं, रखो कुछ नहीं। तो HCF, 2 गुणा 3, यानी 6, और सूचियाँ मिलाकर भी यही आता है। कम वाली गिनती ही क्यों? और 2 को 2 बार लो, बनता 4, पर 30 को 4 से बाँटो, तो 2 बचता है।

अब 3 को 2 बार लो, बनता 9, और 30 में 3 बचता है। यानी जिसके पास कम हैं, वही छत तय करता है, उससे ऊपर गए, तो वह उस संख्या का factor ही नहीं रहा। कोई सोचेगा, highest चाहिए, तो ज़्यादा वाली गिनती लो। ज़्यादा वाली लो, 72 से 2 के सारे और 3 के सारे, 30 से 5, बनता 360। और 360 तो न 30 को बाँटता है, न 72 को, साझा factor ही नहीं, highest तो दूर की बात।

highest शब्द पूरे जवाब के लिए है, हर prime की गिनती के लिए नहीं। हर prime को उसकी छत तक ले जाओ, उससे आगे नहीं, तो जो बना, वह दोनों का factor है। और उससे बड़ा कोई साझा factor हो ही नहीं सकता, क्योंकि उसे किसी prime की छत तोड़नी पड़ेगी। देखो, 1 से 159 तक, सभी 25281 जोड़ियों में, यह नियम और सूचियों वाला तरीका, एक ही जवाब देते हैं।

अब भारी सवाल, 225 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5। और 750 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5। छत कौन तय करेगा? यहाँ 3 की बारी, 225 में 2 बार, 750 में 1 बार, तो यहाँ 750 छत है, 1 रखो। और 5 की बारी, 225 में 2 बार, 750 में 3 बार, तो यहाँ 225 छत है, 2 रखो। ध्यान रखो, छत हर बार एक ही संख्या नहीं देती, तुलना हर prime पर अलग होती है।

HCF, 3 गुणा 5 गुणा 5, यानी 75। यही नियम 3 संख्याओं पर, 42, 75 और 24। अब 42 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 7, 75 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 5, 24 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3। सबमें मौजूद prime सिर्फ़ 3, इसलिए HCF 3। देखो, 42 और 24 अकेले होते, तो HCF 6, पर 75 में 2 नहीं, इसलिए 2 बाहर। यहाँ 1 से 39 तक, 3 संख्याओं के सभी 59319 समूहों में भी, नियम और सूचियाँ एक ही जवाब देते हैं।

हर prime की छत, सब संख्याओं में सबसे कम गिनती। अब खुद करो, 50 और 60, 140 और 275, 77 और 725, 370 और 592, 81 और 243। जवाब, 10, 5, 1, 74, 81। पहला करके देखो, 50 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 5, 60 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 5। और 2, एक बार और 2 बार, रखो एक, 3, 50 में है ही नहीं, 5, 2 बार और एक बार, रखो एक।

HCF, 2 गुणा 5, यानी 10। अब 77 बराबर 7 गुणा 11, 725 बराबर 5 गुणा 5 गुणा 29, कोई prime साझा नहीं, co-prime, तो 1 ही HCF। देखो, 81 में 3 की गिनती 4, 243 में उसकी गिनती 5, छत 4, यानी HCF पूरा 81। जब एक संख्या दूसरी को पूरा बाँटे, जैसे 243 बराबर 81 गुणा 3, तो HCF वह छोटी संख्या खुद। यहाँ 370 बराबर 2 गुणा 5 गुणा 37, और 592 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 37।

और 2 दोनों में दिखता है, और लगता है काम खत्म, पर 37 भी दोनों में है, बड़ा prime, आसानी से छूट जाता है। HCF, 2 गुणा 37, यानी 74। और ये, 24 और 180, फिर 42, 75 और 24, फिर 240 और 378, फिर 400 और 2500, फिर 300 और 800। जवाब, 12, 3, 6, 100, 100, और सभी 10 पर नियम और सूचियाँ एक। अब एक चाल वाला सवाल, 72 बराबर 6 गुणा 12, और 144 बराबर 8 गुणा 18।

कोई टुकड़ा मेल नहीं खाता, 6 और 12 एक तरफ़, 8 और 18 दूसरी तरफ़। तो क्या 1 ही इनका अकेला साझा factor है? बिल्कुल नहीं, 144 बराबर 72 गुणा 2, यानी 72 खुद 144 को बाँटता है। तो HCF है 72, जो 1 से बहुत दूर है। गड़बड़ कहाँ, 6, 12, 8, 18, इनमें कोई prime नहीं, इनके factors 4, 6, 4, 6। अब primes में तोड़ो, 72 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3, और 144 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3।

कम वाली गिनती, 2 की 3, 3 की 2, गुणा करो, 72। अब 96 और 275 में कतारें primes की थीं, इसलिए कोई मेल न होना, सच में HCF 1 था, यहाँ कतारें primes की थी ही नहीं। देखो, 306 और 36 को बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या, 306 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 17, 36 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3। हर prime की छत देखो, 2 की गिनती 1, 3 की गिनती 2, और 17 छोड़ो, वह 36 में है ही नहीं, तो HCF 18।

एक डिब्बा, 12 गुणा 18 गुणा 36, बराबर घनों से भरना है, घन की भुजा 1, 2, 3, 6 हो सकती है। सबसे बड़ी 6, और तब कुल 36 घन। सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा चाहिए, तो HCF चाहिए, यानी highest common factor। साझा factor वह टुकड़ा है, जो दोनों prime कतारों से कट सके। हर prime की गिनती, जिसके पास कम है, वही छत। छत हर prime पर अलग संख्या से आ सकती है, और 3 या ज़्यादा संख्याओं पर भी यही नियम।

और यह सब सिर्फ़ prime कतारों पर चलता है, बाकी टुकड़ों पर नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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