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Chapter 3 · Finding Common Ground

किसी संख्या के सारे factors उसके prime factorisation से पढ़ लेना

Prime factorisation12 मिनट

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क्या 840 का factor 28 है? भाग की ज़रूरत नहीं: 840 की prime कतार 2, 2, 2, 3, 5, 7 में से 2, 2 और 7 उठाओ, गुणा 28, और जो बचा, 2, 3, 5, वही उसका जोड़ीदार 30।

मुख्य idea

किसी संख्या का factor उस संख्या के prime factorisation में से काटे गए टुकड़े के सिवा और कुछ हो ही नहीं सकता — ऐसे टुकड़े के लिए chapter का शब्द subpart है। एक बार यह बात मान ली, तो सारे factors ढूँढ़ना ऐसी खोज नहीं रहती जिसमें गड़बड़ हो सकती है, बल्कि ऐसी गिनती बन जाती है जिसे तुम पूरा कर सकते हो और सही साबित कर सकते हो। और यह गिनती एक ऐसी बात खोलती है जो संख्या का आकार कभी नहीं बताता: उसके कितने factors हैं, यह उसके factorisation की बनावट तय करती है, यह नहीं कि संख्या कितनी बड़ी है। इसीलिए 121, जो 96 से बड़ी है, के factors कम हैं और factorisation छोटा है, और इसीलिए chapter आकार के बारे में एक दावा छापकर उसे एक ही उदाहरण से गिरा सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • भाग देकर नहीं, बल्कि factorisation देखकर तय करना कि primes का दिया गया गुणनफल दी गई संख्या को भाग देता है या नहीं
  • बताना कि जब कोई subpart बाहर निकाला जाए, तो जोड़ी का दूसरा हिस्सा क्या होगा
  • समझाना कि factorisation का subpart factor क्यों होना ही चाहिए
  • समझाना कि factorisation के बाहर की कोई चीज़ factor क्यों नहीं हो सकती — और पहचानना कि यह काम पिछले topic का नतीजा कहाँ कर रहा है
  • किसी संख्या के prime factors को एक भी नहीं, एक-एक, दो-दो, और इसी तरह आगे लेकर उसके हर factor की list बनाना
  • बताना कि उस list में 1 को अलग से क्यों डालना पड़ता है
  • पैटर्न पकड़ने वाले किसी दावे को परखना, ऐसा एक उदाहरण ढूँढ़कर जो उसे तोड़ दे
  • उदाहरण के साथ बताना कि बड़ी संख्या का factorisation लंबा होना या उसके factors ज़्यादा होना ज़रूरी क्यों नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
subpartकिसी factorisation में से काटकर आपस में गुणा किए गए टुकड़े के लिए chapter का शब्दउपभाग§3.1, Part II, p.51 में, single quotes में छपा, और बाक़ी पूरे chapter में इस्तेमाल हुआ
factorवह संख्या जो दी गई संख्या को पूरा-पूरा भाग देगुणनखंडकक्षा 6; Part II के p.47 से इस्तेमाल, और यहाँ इस्तेमाल से ही परिभाषित
prime factorisationसंख्या को primes के गुणनफल के रूप में दोबारा लिखनाअभाज्य गुणनखंडन§3.1, Part II, p.49 में bold subheading की तरह छपा
reorderकिसी गुणनफल में primes को फिर से जमाना, जिससे गुणनफल नहीं बदलतापुनः क्रमित करना§3.1, Part II, p.50 में छपा
combinationकुछ prime factors को चुनने के लिए chapter का शब्दसंचय225 वाली गिनती में तीन बार छपा, §3.1, Part II, p.51
conjectureबिना proof या जाँच के रखा गया दावाअनुमान§3.1, Part II, p.52 में एक side box में छपा; Conjecture and generalisation: what mathematicians mean by those words में खोलकर समझाया गया
counterexampleएक ऐसा उदाहरण जो दावे को ग़लत दिखा देप्रत्युदाहरणउसी side box में छपा, §3.1, Part II, p.52
divisor-counting ruleहर prime की दोहराव-गिनती में एक जोड़ो और सबको गुणा करोगुणनखंडों की संख्या का नियमएक shortcut के लिए इस पाठ का अपना नाम, जिसे यह chapter कभी नहीं छापता — वह गिनकर दिखाता है (पूरे बीस pages, pp.47–66, खोलकर पढ़े गए)
proper factorसंख्या ख़ुद को छोड़कर उसका कोई भी factorउचित गुणनखंडइस पाठ का अपना शब्द, इस chapter में नहीं छपा; इसे सिर्फ़ तब इस्तेमाल करें जब व्याख्या को यह फ़र्क़ करना हो

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part II का Hindi संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था, इसलिए उस column की किसी चीज़ को Hindi संस्करण से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "factorisation का हर subpart factor है — इसलिए 3 × 3 × 3, 840 का factor है।" यह subpart है ही नहीं। 840 के factorisation में सिर्फ़ एक 3 है, इसलिए उसमें से ऐसे तीन नहीं काटे जा सकते। subpart शब्द यहाँ बहुत सटीक काम कर रहा है: कोई prime उतनी ही बार लिया जा सकता है जितनी बार वह सच में मौजूद है। उसका ख़त्म हो जाना साफ़ दिखाओ।
  • "फिर भी कोई ऐसा factor मिल सकता है जो संख्या के अपने primes से न बना हो।" नहीं मिल सकता, और ठीक यहीं पिछले topic का फ़ायदा मिलता है: अगर factorisation तय न होता, तो दूसरे primes से बना factor सोचा जा सकता था।
  • "चार primes हों तो उनमें से दो चुनने के चार तरीक़े हैं।" 225 = 3 × 3 × 5 × 5 के चार prime factors हैं और जोड़ी से सिर्फ़ तीन अलग गुणनफल बनते हैं, क्योंकि 3 × 3, 3 × 5 और 5 × 5 से सारी संभावनाएँ ख़त्म हो जाती हैं और दोनों 3 आपस में बदले जा सकते हैं। दोहराव सिमट जाते हैं। जो गिनती copies को अलग-अलग मानती है, वह दोहराई हुई entries और बढ़ी हुई गिनती देती है।
  • "1 असल में factor नहीं है।" है, वह list में आता है, और वह अकेली entry है जो किसी लंबाई वाला subpart नहीं — वह तब मिलता है जब एक भी prime न लिया जाए। इसी वजह से किताब उसे अलग से जोड़ती है।
  • "बड़ी संख्या के factors ज़्यादा होने ही चाहिए।" 121 को 96 के सामने रखो, और यह धारणा एक line में ख़त्म हो जाती है। यह बात भी इसे ख़त्म करती है कि किसी भी आकार के prime के ठीक दो factors होते हैं।
  • "जो दावा उन उदाहरणों पर चलता है जिन्हें मैंने आज़माया, वह सच है।" जब तक हर हालत के लिए तर्क न दिया जाए, वह conjecture है। किताब Anshu का दावा ठीक इसीलिए छापती है क्योंकि वह मानने लायक़ लगता है और फिर भी ग़लत है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q1

पूरा transcript1,540 शब्द

एक सवाल, क्या 840 का factor 28 है? एक तरीका है, 840 को 28 से भाग करके देखो, कुछ बचता है या नहीं। यह चलता है, पर बड़ी संख्याओं में हर बार लंबा भाग करना धीमा है, और गलती की गुंजाइश भी। पर एक बेहतर तरीका है, जिसमें भाग की ज़रूरत ही नहीं, सिर्फ़ prime factorisation देखना है। पहले 840 को primes में तोड़ो, 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 7।

इसे primes की एक कतार समझो, कुल 6, और गुणा का क्रम हम जैसे चाहें बदल सकते हैं। कतार में से 2, 2 और 7 उठाओ, इनका गुणा 28। बचे 2, 3 और 5, इनका गुणा 30। यानी 840 बराबर 28 गुणा 30, तो 28 factor है, बिना किसी भाग के। कतार में से उठाए गए ऐसे टुकड़े को, और उसके गुणा को, subpart कहते हैं। और जो बचा, वह अपने आप जोड़ीदार factor है, 28 का जोड़ीदार 30।

और उल्टा भी, 30 को उठाओ, तो बचे 2, 2, 7, यानी 28, जोड़ी वही, बस देखने की दिशा बदली। यानी एक factor मिला, तो उसका जोड़ीदार मुफ़्त। अब तेज़ जाँच, 2 गुणा 7, यानी 14, कतार में 2 भी है, 7 भी, तो factor, और जोड़ीदार 60। यहाँ 2 गुणा 2 गुणा 2, यानी 8, कतार में 2 की गिनती पूरे 3 है, तो factor, जोड़ीदार 105। अब तीसरी जाँच, 3 गुणा 3 गुणा 3, यानी 27, यह कैसा रहेगा?

कतार में 3 सिर्फ़ 1 बार है, और 27 को 3 बार चाहिए। पहला 3 उठाया, फिर दूसरा ढूँढा, और 3 खत्म, 27 बन ही नहीं सकता। भाग करके पक्का करो, 840 बराबर 27 गुणा 31, और 3 बचे। नियम, कोई prime उतनी ही बार ले सकते हो, जितनी बार वह कतार में है। और 2 और आज़माओ, पहला 56, यानी 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7, कतार में सारे 2 और 7 मौजूद, तो factor, और जोड़ीदार 15।

दूसरा 16, यानी 4 बार 2, पर कतार में 2 सिर्फ़ 3 बार, चौथा 2 मिलता ही नहीं। तो 16 factor नहीं, भाग से भी, 840 बराबर 16 गुणा 52, और 8 बचे। और 11, क्या 840 का factor 11 है? कतार देखो, 2, 3, 5, 7, इसमें 11 है ही नहीं, एक बार भी नहीं। तो 11 कट ही नहीं सकता, factor नहीं, और भाग भी यही कहता है, 840 बराबर 11 गुणा 76, और 4 बचे।

यानी factor न होने की वजह, या तो कोई prime कतार में है ही नहीं, या है पर कम बार। हर तरह का चुनाव आज़माओ, 2, 3, 5, 7 में से हर एक 0 से 3 बार तक, कुल 256 चुनाव। सभी 256 में, कटकर निकलना और 840 को पूरा बाँटना, एक ही बात निकली। जैसे 2 को 2 बार और 7 को एक बार लो, यानी 28, कटता है, और बाँटता भी है, पर 3 को 2 बार, यानी 9, न कटता, न बाँटता।

और इनमें 32 चुनाव कतार से कटते हैं। एक दिशा साफ़ है, हर subpart factor है, क्योंकि बचे हुए primes उसका जोड़ीदार बनाते हैं। पर उल्टी दिशा, क्या हर factor किसी न किसी subpart से बनता है, कोई बाहर तो नहीं रह जाता? मान लो कोई factor है, उसका जोड़ीदार भी है, और दोनों का गुणा 840। दोनों को primes में तोड़ो, दोनों की कतारें मिलाकर, 840 की एक prime कतार बनती है।

और 840 की prime कतार हर बार एक ही आती है, यही बात यहाँ बोझ उठा रही है। इसलिए उस factor के primes, 840 की कतार से ही कटे हैं, कोई बाहर का prime नहीं आ सकता। पक्का करने को, 2 से 500 तक हर संख्या के subparts बनाओ, और अलग से सारे factors भी। सभी 499 संख्याओं में, दोनों सूचियाँ बिल्कुल एक। अब factor ढूँढना अंधी तलाश नहीं, एक गिनती है जिसे पूरा किया जा सकता है।

अब 225, 5 से भाग, 45, फिर 5 से, 9, फिर 3 से, 3। यानी 225 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5, 4 primes की कतार। अब सारे factors, बिना किसी को छोड़े, एक तरीके से, पहले 0 primes, फिर 1, फिर 2, और आगे। एक भी prime न लो, गुणा 1। एक एक करके, 3, 5। अब primes की जोड़ियाँ, 9, 15, 25। कोई कहेगा, 4 में से 2 चुनने के तो 6 तरीके हैं।

पर दोनों 3 एक जैसे हैं, दोनों 5 भी, इसलिए गुणनफल सिर्फ़ 3 अलग। देखो, 3 एक संग, 45, 75। चारों एक संग, 225, यानी पूरी संख्या खुद, जिसका जोड़ीदार 1 है। कुल मिलाकर 9 factors, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225। अब इन 9 को जोड़ियों में रखो, हर factor के संग उसका जोड़ीदार। यहाँ 1 और 225, 3 और 75, 5 और 45, 9 और 25, और 15 और 15।

आखिरी जोड़ी में 15 खुद अपना जोड़ीदार है, क्योंकि 15 गुणा 15, 225। इसलिए 5 जोड़ियाँ, पर factors 9, विषम गिनती, बीच का 15 सिर्फ़ एक बार गिना गया। कोई कहेगा, 1 तो असली factor नहीं। है, 1 हर संख्या को पूरा बाँटता है, और सूची में उसकी जगह पक्की है। पर वह किसी prime से नहीं बनता, कोई prime न उठाने से बनता है, इसलिए उसे अलग से जोड़ना पड़ता है।

अब एक ऐसी संख्या, जिसकी कतार में कोई prime दोहराया न हो, 105, बराबर 3 गुणा 5 गुणा 7। एक भी नहीं, 1, एक एक करके, 3, 5, 7। और 2 एक संग, 15, 21, 35, और सारे 3 एक संग, 105। कुल 8, और यहाँ कुछ नहीं सिकुड़ा, 2 चुनने के 3 तरीके, और 3 अलग गुणनफल। एक और, 90, बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5, इसमें 3 दोहराया है।

कोई नहीं, 1, एक एक, 2, 3, 5। अब 2 एक संग, 6, 9, 10, 15, ध्यान रखो, 2 गुणा 3 पहले 3 से बने या दूसरे से, 6 एक ही बार लिखा। देखो, 3 एक संग, 18, 30, 45, और चारों, 90, कुल 12 factors। अब खुद करो, 5 संख्याएँ, पहले उनकी कतारें। यहाँ 90 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5, 105 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 7, 132 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 11।

और 360 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5, और 840 वही, 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 7। गिनो, हर एक के कितने factors? अब 90 के 12, 105 के 8, 132 के 12। तरीका वही, पहले कतार, फिर 0, 1, 2 primes एक संग, हर गुणनफल एक ही बार गिनो। देखो, 360 के 24, और 840 के 32, अगर तुम्हारी गिनती कुछ और आई, तो कहीं कुछ छूटा या दोहराया।

हर prime के लिए चुनाव, उसे 0 बार लो, 1 बार, और जितनी बार वह है, यानी उसकी गिनती से एक ज़्यादा चुनाव। यहाँ 360 में 2 की गिनती 3, फिर 3 की गिनती 2, और 5 की एक, तो 4 गुणा 3 गुणा 2, यानी 24। और 840 में, 2 को 0, 1, 2 या 3 बार ले सकते हो, 4 चुनाव, और 3, 5, 7 में हर एक को 0 या 1 बार, 2 चुनाव।

अब 840 में, 4 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2, यानी 32, और 225 में, 3 गुणा 3, यानी 9। देखो, 2 से 500 तक, सभी 499 संख्याओं में यह नियम गिनती से मेल खाता है। एक लुभावना दावा, संख्या जितनी बड़ी, उसकी prime कतार उतनी लंबी। यहाँ 96 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3, पूरे 6 primes। और 121, जो 96 से बड़ा है, बराबर 11 गुणा 11, सिर्फ़ 2 primes।

एक उदाहरण काफ़ी है, दावा गलत, ऐसे उदाहरण को उल्टा उदाहरण कहते हैं। factors भी, 121 के सिर्फ़ 3, 1, 11, 121, और 96 के 12। अब 97 की कतार में सिर्फ़ 97, कुछ न लो तो 1, उसे लो तो 97, और कोई चुनाव नहीं। और 1000 तक के सभी 168 primes, 97 हो या 997, हर एक के factors ठीक 2। यानी factors की गिनती संख्या के size से नहीं, उसकी prime कतार की बनावट से तय होती है।

देखो, 100 तक सबसे ज़्यादा factors, 12, और यह 5 संख्याओं के पास, 60, 72, 84, 90, 96। इनकी कतारों में छोटे primes बार बार आते हैं, इसलिए चुनाव ज़्यादा। बनावट का मतलब देखो, 60 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 5, 90 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5, 132 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 11। इन सब में एक prime 2 बार, और बाकी 2 primes एक एक बार, primes अलग, पर बनावट एक।

और सबके factors, ठीक 12, संख्याएँ छोटी बड़ी, पर गिनती एक, 3 गुणा 2 गुणा 2। एक झलक, वही काट, एक संग 2 संख्याओं में। यहाँ 840 और 225, दोनों की कतारों में साझा, एक 3 और एक 5। तो साझे factors, 1, 3, 5, 15, वही टुकड़े जो दोनों कतारों से कट सकें। prime कतार से कटा हर टुकड़ा factor है, और बचा हुआ उसका जोड़ीदार। factor की जाँच के लिए भाग नहीं, बस देखो कि वह कतार से कटता है या नहीं।

कोई और factor नहीं हो सकता, क्योंकि संख्या की prime कतार हर बार एक ही आती है। कोई prime उतनी ही बार, जितनी बार वह कतार में है। और 0, 1, 2, और आगे primes एक संग, और 1 अलग से, तो सूची पूरी। factors की गिनती बनावट से, size से नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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