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Chapter 4 · Expressions using Letter-Numbers

arithmetic का हर नियम algebra में क्यों चला आता है

From numbers to letter-numbers10 मिनट

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23 minus 10 गुणा 2: जवाब 26 है या 3? और (a plus 5) minus (a plus 2) का मान a जाने बिना कैसे निकलेगा?

मुख्य idea

letters के बारे में एक chapter, एक page चलकर ही, arithmetic दोहराने के लिए रुक जाता है — और यह मोड़ ही तर्क है, warm-up नहीं। letter-number एक ऐसा number है जिसकी पहचान रोक ली गई है, इसलिए जो भी नियम हर number के लिए सच है, वह उसके लिए अपने-आप मिल जाता है। यही वह इजाज़त है जिसे बाक़ी chapter ख़र्च करता है: इसी से तुम ऐसे expression को फिर से सजा पाते हो जिसे evaluate नहीं कर सकते, और इसी वजह से chapter में आगे कहीं भी letters के लिए किसी नए नियम की ज़रूरत नहीं पड़ती।

आपको क्या आना चाहिए

  • घटाने को किसी negative term के जोड़ की तरह फिर से लिखना, और बताना कि इससे expression पढ़ना आसान क्यों हो जाता है
  • terms का सुविधाजनक क्रम चुनकर किसी arithmetic expression को evaluate करना
  • ऐसा bracket हटाना जिसके आगे minus का चिह्न हो, और दूसरे रास्ते से जवाब जाँचना
  • distributive property को अपने शब्दों में कहना
  • समझाना कि सभी numbers के लिए साबित हुआ नियम letter-number पर क्यों लगाया जा सकता है
  • बताना कि किसी algebraic expression के value लेने का क्या मतलब है
  • पहले से कहना कि numbers की जगह letters आने के बाद कौन-से बदलाव फिर भी जायज़ रहेंगे, और क्यों

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
arithmetic expressionसिर्फ़ numbers से बना expressionअंकगणितीय व्यंजकPart I, §4.2, p.85 के heading में छपा
sum of termsपढ़ने का वह तरीक़ा जिसमें हर expression एक जोड़ है, negatives समेतपदों का योगPart I, §4.1, p.83 पर छपा और पूरे §4.2, pp.85–86 में इस्तेमाल हुआ
swappingदो numbers को किसी भी क्रम में जोड़ना, बिना कुल बदलेअदल-बदलPart I, §4.2, p.85 पर छपा, bold में
groupingnumbers को जिन भी गुच्छों में सुविधा हो, उनमें जोड़नासमूहनPart I, §4.2, p.85 पर छपा, bold में
distributive propertyकिसी जोड़ का multiple, multiples के जोड़ के बराबर होता हैबंटन गुणधर्मPart I, §4.2, p.85 पर छपा, bold में
bracketsवे चिह्न जो तय करते हैं कि expression का कौन-सा हिस्सा एक number की तरह लिया जाएकोष्ठकPart I, §4.2, p.85 पर छपा
negative signbracket या term के आगे लिखा minusऋण चिह्नPart I, §4.2, p.85 पर छपा
value (of an expression)वह number जिसका नाम expression लेता है, जब उसमें सब कुछ number होमानPart I, §4.2, pp.85–86 पर छपा
letter-numbernumber की जगह इस्तेमाल होने वाला letterअक्षर-संख्याPart I, §4.1, p.82 पर छपा
commutativity / associativityswapping और grouping के standard नामक्रमविनिमेयता / साहचर्यतायहाँ जोड़े गए शब्द; इस chapter में नहीं छपे, जो इनकी जगह दो सीधे-सादे English शब्द इस्तेमाल करता है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 की Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells Hindi छपाई से पढ़कर नहीं लिए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Algebra के अपने नियम हैं, इसीलिए वह कठिन है।" उसका अपना कोई नियम नहीं है। इस chapter में जो कुछ इस्तेमाल होता है, वह numbers के बारे में ऐसा तथ्य है जिससे student Chapter 2 में मिल चुका है।
  • "expression को फिर से तभी सजा सकते हैं जब पता हो कि numbers क्या हैं।" बिल्कुल उलटा। जो नियम हर number के लिए सच है, वह यह जाने बिना भी सच है कि number कौन-सा है — और ठीक इसी वजह से letters के आने के बाद भी वह टिका रहता है।
  • "minus एक काम है जो तुम करते हो, कोई चीज़ नहीं जो term साथ लेकर चलता है।" terms के जोड़ वाली पढ़ाई minus को term पर ले आती है। यही एक क़दम swapping को सुरक्षित बनाता है: 83 + 28 – 13 + 32 का क्रम सिर्फ़ इसलिए बदला जा सकता है कि –13 अपने चिह्न के साथ चलता है।
  • "आगे minus वाले bracket में बस bracket हट जाता है।" p.86 की columns की जोड़ी इसी को रोकने के लिए है: अंदर के हर term का चिह्न बदलता है, सिर्फ़ पहले का नहीं। ग़लत रूप एक बार दिखाओ, 68 – 18 + 13 = 63 पाओ, और उसे दोनों सही रास्तों के बगल में रखो।
  • "Grouping जवाब जल्दी पाने की एक तरकीब है।" है तो, लेकिन यहाँ असली बात यह है कि इसकी इजाज़त क्यों है।
  • "Swapping घटाने पर भी चलती है।" नहीं चलती: क्रम बदलने को जायज़ terms के जोड़ वाली पढ़ाई बनाती है, और वह इसलिए चलती है कि expression को पहले जोड़ में बदल दिया गया है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,409 शब्द

letter-numbers से मिलते ही, हम एक कदम पीछे लौटकर सीधा सादा हिसाब दोहराने लगते हैं। यह भटकना नहीं है, यही असली बात है। letter-number एक number ही है, बस उसकी पहचान छुपा ली गई है। इसलिए जो नियम हर number पर सच है, वह उस पर भी अपने आप सच है। यही वह इजाज़त है, जिस पर letters का पूरा हिसाब चलता है। यानी जो बात numbers पर एक बार पक्की हो गई, उसे letters के लिए दोबारा साबित नहीं करना पड़ता, वह पहले से पक्की है।

तो पहले वे नियम देख लेते हैं, एक एक करके, numbers पर। पहला व्यंजक, 23 minus 10 गुणा 2। इसे पदों का जोड़ मानते हैं, यानी हर पद अपने चिह्न समेत। पहला पद 23, दूसरा पद minus 10 गुणा 2, यानी minus 20। अब बस जोड़ना है, 23 और minus 20, कुल 3। minus कोई काम नहीं जो करना है, वह पद का अपना हिस्सा है, पद जहाँ जाए, minus उसके संग जाता है।

इससे हर व्यंजक एक ही तरह पढ़ा जाता है, सब कुछ जोड़, कुछ घटाना नहीं। कई बच्चे इसे बाएँ से दाएँ पढ़ते हैं, पहले 23 minus 10, यानी 13। फिर उसको 2 से गुणा, और जवाब आता है 26। तो सही कौन सा है, 26 या 3? यहाँ 10 गुणा 2 एक ही पद है, वह गुणा पूरा होकर ही जुड़ता या घटता है, इसलिए सही जवाब 3 है। पदों का जोड़ मान लें, तो यह उलझन आती ही नहीं, हर पद पहले अपना मान बना लेता है।

अब यह व्यंजक, 83 plus 28 minus 13 plus 32। इसके पद हैं 83, 28, minus 13 और 32। पहला नियम, अदल-बदल, जोड़ में पद किसी भी क्रम में रखो, जोड़ नहीं बदलता। इन पदों के सारे 24 क्रम आज़माए गए, और हर बार कुल 130 आया। पर अगर कोई बस numbers को इधर उधर करे, और plus minus वहीं छोड़ दे जहाँ छपे थे, तो 24 में से सिर्फ़ 6 क्रम सही निकलते हैं।

जैसे 83 plus 13 minus 28 plus 32, यह पहले 96, फिर minus 28 और plus 32, कुल 100, 130 नहीं। क्योंकि वहाँ minus अपने पद के संग नहीं चला। और घटाने में अदल-बदल नहीं चलता, minus 10 से 10 तक की 441 जोड़ियों में a minus b और b minus a बस 21 बार बराबर हैं, जब दोनों एक ही हों। दूसरा नियम, समूहन, जोड़ते वक्त पदों के जो गुच्छे आसान लगें, वैसे बना लो।

पहले 83 को minus 13 के संग रखो, बनता है 70। और 28 को 32 के संग, बनता है 60। अब 70 और 60, यानी 130, वही जवाब। मन में हिसाब का यही राज़ है, ऐसी जोड़ियाँ ढूँढो जो गोल numbers बनाएँ, फिर बाकी काम आसान है। पर यह करने की इजाज़त क्यों है? क्योंकि व्यंजक अब पूरा जोड़ है, और जोड़ में क्रम और गुच्छे दोनों अपनी मर्ज़ी के हो सकते हैं।

अब एक bracket, जिसके आगे minus लगा है, 68 minus, bracket में 18 plus 13। पहला रास्ता, पहले bracket के अंदर जोड़ो, 31, तो 68 और minus 31, यानी 37। दूसरा रास्ता, पहले bracket खोलो, तो 68, minus 18, और minus 13। अब 68 और minus 18 मिलकर 50, फिर उसमें minus 13, यानी 37। सोचो, 31 चीज़ें हटाना और पहले 18 हटाकर फिर 13 और हटाना, ये एक ही काम है, बस 2 बार में।

दोनों रास्ते एक ही जवाब पर पहुँचते हैं, और यह संयोग नहीं, दोनों को मिलना ही था। bracket के आगे का minus, अंदर के हर पद तक पहुँचता है, सिर्फ़ पहले तक नहीं। अब गलत तरीका एक बार देख लो, bracket हटाया, और बस पहले पद का चिह्न बदला। तो बनता है 68 minus 18 plus 13, यानी 63, जो 37 नहीं है। गिनकर देखा गया, 0 से 30 तक के हर a, b, c के 29791 मामलों में, a minus bracket b plus c, हर बार a minus b minus c के बराबर निकला।

और गलत तरीका, a minus b plus c, इनमें से सिर्फ़ 961 बार सही बैठा, ठीक तब जब c खुद 0 था। यानी नियम साफ़ है, minus वाला bracket खोलो, तो अंदर का हर पद अपना चिह्न बदलता है। अब एक सवाल, क्या घटाने में भी गुच्छे अपनी मर्ज़ी से बन सकते हैं? देखो, bracket 10 minus 5, फिर minus 2, यानी 3। और 10 minus, bracket 5 minus 2, यानी 7, जवाब अलग।

minus 10 से 10 तक के 9261 मामलों में, दोनों तरीके सिर्फ़ 441 बार मिले, जब आखिरी number 0 था। इसलिए गुच्छे बनाने से पहले, हर घटाने को minus वाले पद का जोड़ बना लो, तब समूहन पूरी तरह सुरक्षित है। तीसरा नियम, बंटन गुणधर्म, किसी जोड़ का गुणा, हर पद के गुणे का जोड़ है। जैसे 8 गुणा, bracket में 16 minus 6, अंदर पहले, तो 8 गुणा 10, यानी 80।

या बाँटकर, 8 गुणा 16, यानी 128, minus 8 गुणा 6, यानी 48, और फिर वही 80। ऐसे सोचो, 8 गुच्छे हैं, हर गुच्छे में 16 चीज़ें, और हर गुच्छे से 6 निकालीं, तो कुल 128 में से 48 निकलीं। इसलिए 20 plus 8 गुणा bracket 16 minus 6, कुल 100। और minus 10 से 10 तक के हर a, b, c पर, कुल 9261 मामलों में, a गुणा bracket b plus c, ठीक a गुणा b plus a गुणा c निकला।

एक आम गलती, बाहर का 8 बस पहले पद से गुणा हुआ, और 6 वैसे ही रह गया। तब बनता है 8 गुणा 16 minus 6, यानी 122, जबकि सही जवाब 80 है। गिनकर देखा, 9261 मामलों में यह गलत तरीका सिर्फ़ 861 बार सही बैठा, जब आखिरी पद 0 था या बाहर का number 1। तो गुणा करने वाला number, bracket के हर पद तक पहुँचता है, ठीक वैसे जैसे minus पहुँचता था।

अब बाकी व्यंजक, जो तुम्हारे हल करने के लिए छोड़े गए हैं। पहला, 34 minus 14 plus 20, पद 34, minus 14 और 20, तो 40। फिर 42 plus 15 minus, bracket में 8 minus 7, bracket खोलो, तो minus 8 और plus 7, कुल 56। यहाँ ध्यान रहे, अंदर का minus 7, बाहर के minus से plus 7 बन गया। और 7 गुणा 4 plus 9 गुणा 6, पहले गुणा, तो 28 और 54, कुल 82।

इनमें कहीं भी कोई नया नियम नहीं लगा, बस वही अदल-बदल, समूहन, bracket और बंटन। अब वापस letters पर। याद करो, बड़े भाई की उम्र a plus 3 थी, a की जगह 4 रखा तो 7, 10 रखा तो 13, और 23 रखा तो 26। यानी letter-number वाला व्यंजक भी एक मान लेता है, जैसे ही letter की जगह number आता है। पर क्या मान पता होने से पहले ही व्यंजक को बदला जा सकता है?

हाँ, और यही वह इजाज़त है, जो नियम हर number के लिए साबित है, वह हर letter-number के लिए पहले से साबित है। जैसे, bracket a plus 5, minus bracket a plus 2, दूसरा bracket खोलो, तो a, 5, minus a, minus 2। a और minus a मिलकर 0, और 5 और minus 2 मिलकर 3, तो पूरा व्यंजक 3 है, a चाहे जो हो। और बंटन से, 2 गुणा bracket a plus 3, बराबर 2 गुणा a plus 6।

अब minus 50 से 50 तक, सारे 101 मान रखकर देखो, दोनों बातें हर बार सच निकलती हैं। तो बीजगणित के अपने कोई नियम नहीं हैं, वे numbers के ही नियम हैं, बस उन numbers पर जिनकी पहचान छुपी है। ध्यान रहे, हमने कोई नया नियम letters के लिए नहीं बनाया, वही पुराने नियम लगाए, जो पहले numbers पर जाँचे जा चुके थे। और व्यंजक को बदलने के लिए numbers जानना ज़रूरी नहीं, क्योंकि नियम किसी भी number पर चलता है।

और अगर letters पर भी वही लापरवाही हो, bracket हटाया और बस a का चिह्न बदला? तब बनता है a plus 5 minus a plus 2, यानी हमेशा 7। अब वही 101 मान रखकर जाँचो, सही जवाब 3 से यह एक बार भी नहीं मिलता, 101 में से 0 बार। यानी letters पर कोई भी बदलाव जाँचना हो, तो कुछ numbers रखकर देखो, गलती तुरंत पकड़ी जाती है। याद रखो, हर व्यंजक पदों का जोड़ है, minus अपने पद के संग।

जोड़ में पद किसी भी क्रम में, किसी भी गुच्छे में रखो। minus वाला bracket खोलो, तो अंदर का हर पद चिह्न बदलता है। घटाना न अदल-बदल मानता है, न गुच्छे, इसलिए पहले उसे minus वाले पद का जोड़ बना लो। और गुणा, bracket के हर पद पर बँट जाता है। ये सब हर number पर सच हैं, इसलिए हर letter-number पर भी, कोई नया नियम नहीं चाहिए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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