PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Constructions and TilingsPrepShorts

Chapter 6 · Constructions and Tilings

angle को bisect करना, और 90° को आधा करके 45° पाना

Angles you can build without a protractor12 मिनट

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8 पंखुड़ियों वाला design बनाने बैठो, तो पंखुड़ियाँ आसान हैं - मुश्किल यह है कि उन्हें कहाँ रखें। जवाब 45 degree माँगता है, और 45 तो 90 का आधा।

मुख्य idea

chapter पहले कोई तरीक़ा थमाकर फिर उसके इस्तेमाल की जगह नहीं ढूँढ़ता; वह एक design से शुरू करता है जो उसे चाहिए, और design को ही गणित तय करने देता है। आठ भुजाओं वाली rosette अपनी भुजाओं को 45° के फ़ासले पर रहने को मजबूर करती है, 45° ऐसा angle नहीं जिसे कोई compass सीधे बना दे, और वहाँ तक पहुँचने का अकेला रास्ता है किसी ऐसी चीज़ को आधा करना जो पहले से तुम्हारे पास है। इसलिए आम सवाल — किसी भी angle को आधा कैसे करें? — इसलिए पूछा जाता है क्योंकि एक चित्र ने इसकी माँग की। और जवाब निकलता है segment वाला construction ही, नए कपड़ों में: बराबर भुजाएँ नापकर रखो ताकि दोनों triangles की तीनों भुजाएँ बराबर हों, SSS को काम करने दो, और आधा होना corresponding parts के रूप में अपने-आप निकल आता है। वही विचार, दूसरा इस्तेमाल।

आपको क्या आना चाहिए

  • आठ भुजाओं वाले design से यह निकालना कि उसकी सहायक lines 45° के फ़ासले पर होनी चाहिए
  • समझाना कि 45° तक सीधे बनाकर नहीं, आधा करके ही क्यों पहुँचना पड़ता है
  • triangles की उस जोड़ी का वर्णन करना जिसकी congruence किसी दिए गए angle को bisect कर देगी
  • समझाना कि OA = OB mark करना और बराबर arcs काटना उन triangles को SSS से congruent कैसे बनाता है
  • किसी भी बने हुए angle पर तीन क़दमों वाला bisection करना
  • 45° को 90° से बनाना, और उससे आठ भुजाओं वाली figure बनाना
  • जाँचना कि arcs को vertex की दूसरी तरफ़ काटने पर क्या होता है
  • बताना कि बार-बार bisection से कौन-से angles मिल सकते हैं और कौन-से नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
bisectionकिसी चीज़ को दो एक जैसे हिस्सों में काटनाद्विभाजन§6.1, Part II, p.137 में bold में छपा; pp.143–144 पर angles पर लागू
angle bisectorvertex से निकली वह ray जो angle को दो बराबर angles में बाँटती हैकोण समद्विभाजक§6.1, Part II, p.144 में छपा
supporting linesसिर्फ़ design को जगह पर रखने के लिए खींची गई lines, जो नतीजे से मिटा दी जाती हैंसहायक रेखाएँ§6.1, Part II, pp.140, 143 में छपा
SSS congruence conditionभुजाओं की तीन बराबर जोड़ियाँ, जो congruence को पक्का कर देती हैंभुजा-भुजा-भुजा (SSS) प्रतिबंध§6.1, Part II, pp.144, 147 में छपा
congruentऐसी दो figures के लिए कहा जाता है जो हिस्से-हिस्से में मिलती हैंसर्वांगसम§6.1, Part II, pp.143–144 में छपा
vertexवह कोने वाला point जहाँ angle की दोनों भुजाएँ मिलती हैंशीर्षबहुवचन vertices p.152 पर छपा है; एकवचन इस पाठ का शब्द है, और pp.143–144 पर chapter उस कोने को उसके letter O से ही बुलाता है
arcकिसी centre से तय radius पर बना circle का हिस्साचाप§6.1, Part II, pp.140, 144 में छपा
radiuscompass का वह खुलाव जिससे arc बनाया जाता हैत्रिज्या§6.1, Part II, pp.140, 144 में छपा
compassवह औज़ार जो घूमते हुए एक दूरी को थामे रखता हैपरकार§6.1, Part II, pp.143–144 में छपा
petalयहाँ बनने वाले designs की एक पत्ती जैसी आकृतिपंखुड़ी§6.1, Part II, pp.144–145 में छपा
Math Talkchapter का वह निशान जो ऐसे सवाल पर लगता है जिस पर बोलकर बहस करनी हैमैथ टॉक§6.1, Part II, p.144 में छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "angle को bisect करना segment को bisect करने से अलग हुनर है।" दोनों एक ही चाल हैं: बराबर लंबाइयाँ बनाओ ताकि दो triangles को congruent होना ही पड़े, फिर जो बराबरी चाहिए थी उसे congruence से पढ़ लो। यह बात ज़ोर से कहो; chapter की बनावट यही है।
  • "A और B से बने arcs की radius वही होनी चाहिए जिससे A और B mark किए गए।" ज़रूरी नहीं। chapter का step 2 बस इतना कहता है कि radius काफ़ी लंबी हो और दोनों arcs के लिए एक ही हो।
  • "C को भुजाओं के बीच ही होना चाहिए।" Question 3 ठीक इसी धारणा को हिलाने के लिए है। दोनों संभव crossing points और vertex collinear हैं, इसलिए line नहीं बदलती; बदलता यह है कि उस तरफ़ वाली ray किस angle के अंदर बैठती है।
  • "protractor से जल्दी हो जाता, इसलिए यह बस school की exercise है।" chapter p.140 से ख़ुद को दो औज़ारों तक सीमित रखे हुए है, और असली बात यह है कि नतीजा सटीक है, scale से पढ़ा हुआ नहीं।
  • "बार-बार bisection से मनचाहा कोई भी angle मिल जाएगा।" उससे आधों के आधे मिलते हैं। Question 4 वहाँ इसलिए रखा गया है कि student इस सीमा को पहचाने, इसलिए नहीं कि उसका जवाब "हाँ" दिया जाए।
  • "आठ भुजाओं का मतलब आठ अलग constructions।" एक point से होकर जाती चार lines आठ rays देती हैं। एक बार 90° बनाओ और दो बार bisect करो, पूरा ढाँचा मिल जाता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q4, Figure it Out · 3 Q6

पूरा transcript1,775 शब्द

एक design सोचो, 8 पतली पंखुड़ियाँ, सब एक जैसी, एक ही केंद्र से निकलती हुई। ऐसा कुछ दरवाज़ों पर खुदा हुआ या फ़र्श में जड़ा हुआ मिलता है। अब इसे बनाने बैठो, और मुश्किल तुरंत शुरू हो जाती है। पंखुड़ियाँ मुश्किल नहीं, वे arcs हैं, और arc तो compass बना ही देता है। मुश्किल यह है कि उन्हें रखें कहाँ। एक बिंदु के चारों ओर 8 चीज़ें बराबर दूरी पर, यह angles की माँग है, और हाथ में protractor नहीं।

तो चित्र को उसके ढाँचे तक उतारो। ऐसे हर design के नीचे कुछ सहायक lines होती हैं, जो बनाने में काम आती हैं और आख़िर में मिटा दी जाती हैं। यहाँ ये 4 सीधी lines हैं, सब केंद्र पर एक दूसरे को काटती हुई। कुछ लोग सोचते हैं कि जितनी arms, उतने अलग काम, यानी 8 अलग अलग काम करने होंगे। पर हर line केंद्र से दोनों तरफ़ जाती है, तो 4 lines से पूरी 8 rays मिल जाती हैं।

यानी सवाल पहले से छोटा हो गया, 8 नहीं, बस 4 lines। ये rays आपस में कितनी दूर होनी चाहिए? केंद्र के चारों ओर पूरा घूमो, तो 360 degree। यह design उसे 8 बराबर हिस्सों में बाँटता है, तो 360 को 8 से भाग, हर हिस्सा 45 degree। सभी 8 gaps 45 के, घूमकर पहली arm पर लौटने वाला आख़िरी gap भी। यह 45 किसी ने चुना नहीं, arms की गिनती 8 है, उसी ने इसे तय कर दिया।

तो पूरा design एक सवाल पर आ गया, 45 degree का angle बनाएँ कैसे? सीधे तो यह नहीं बनता। compass arcs बनाता है, और किसी arc में 45 degree छुपा हुआ नहीं मिलता। पर संख्या को देखो, 45 तो 90 का आधा है, और 90 degree का angle हम पहले से बना सकते हैं। तो design को 45 बनाने का तरीका नहीं चाहिए, उसे किसी चीज़ को आधा करने का तरीका चाहिए।

यहाँ 4 lines में से 2 आपस में 90 degree पर हैं, और बाकी 2 उनके बीच के आधे, 45 और 135 पर। यानी पूरे ढाँचे में 90 और उसके आधे के सिवा कुछ नहीं। सवाल को आम बना लो, सिर्फ़ 90 के लिए करना बर्बादी होगी। तुम्हें कोई भी angle दिया गया है, किसी और का बनाया हुआ, किसी भी नाप का, 2 arms एक कोने पर मिलते हुए, कोने का नाम O।

चाहिए O से निकलती वह ray जो angle को 2 बराबर हिस्सों में बाँटे, उसे angle bisector कहते हैं। न नापना, न scale से कुछ पढ़ना। बस compass और सीधी पट्टी, और जवाब सटीक, लगभग वाला नहीं। कुछ लोग सोचते हैं कि protractor से जल्दी हो जाता, तो यह बस स्कूल का अभ्यास है। पर protractor का जवाब scale से पढ़ा जाता है, यहाँ जवाब बनावट से आता है, पूरा सटीक।

कुछ भी बनाने से पहले सोचो, बात पक्की किस चीज़ से होगी। मान लो जवाब वाली ray पहले से खिंची है, उस पर कोई बिंदु लो, नाम C। अब कोने पर 2 triangles बैठे हैं, O से C तक की लंबाई दोनों में साझी, एक उसके इस ओर, एक उस ओर। अगर ये 2 triangles congruent हों, हर हिस्से में मेल खाते हों, तो बिंदु O पर के दोनों angles भी बराबर होंगे।

और 2 बराबर angles जो मिलकर पूरा angle बनाएँ, वही उसके 2 आधे हैं। तो चित्र बनाने का सवाल बदल गया, ऐसे 2 triangles बनाओ जो congruent होने को मजबूर हों। और 3 sides बराबर हों, तो congruent होना पक्का, यही SSS है। एक जोड़ी मुफ़्त मिली, O से C तक की लंबाई दोनों triangles में एक ही है। बाकी 2 जोड़ी हमें ख़ुद बनानी होंगी। कोने से शुरू करो, compass खोलो, और दोनों arms को कोने से एक ही दूरी पर काटो।

उन निशानों के नाम A और B, हमारे चित्र में दोनों कोने से 25 दूर। O से A और O से B बराबर, क्योंकि compass का फैलाव एक ही था, पहली जोड़ी पूरी। काग़ज़ पर अब 2 निशान हैं, और एक बिंदु O जो दोनों से बराबर दूर। अब 2 निशानों से बराबर दूर वाले सारे बिंदु एक line पर होते हैं, A B का perpendicular bisector। तो कोना O उस line पर पहले से है, पास नहीं, ठीक उसी पर।

और यही रुकने लायक बात है। angle को आधा करने वाली line वही है जो A B segment को आधा करती है। कुछ लोग मानते हैं कि angle को आधा करना segment को आधा करने से अलग हुनर है, पर यह वही चाल है। यानी कोई नया तरीका नहीं, segment को आधा करने वाला काम ही यहाँ angle को आधा करता है। जाँच में उस line के 31 बिंदु, हर एक A और B से बराबर दूर।

और उसके ठीक बगल के 62 बिंदुओं में से एक भी नहीं। line से ज़रा हटो, और बराबरी टूट जाती है। line के लिए 2 बिंदु चाहिए, और एक, O, हाथ में है। तो arcs को बस एक बिंदु और देना है। compass फिर खोलो, कोई भी फैलाव, बस A और B दोनों से एक ही, और इतना कि arcs मिल सकें। कुछ लोग सोचते हैं कि arcs का फैलाव वही होना चाहिए जो A और B लगाने में था।

ज़रूरी नहीं, और असल में वही फैलाव टालना चाहिए। उस फैलाव पर arcs के 2 कटानों में से 1 ख़ुद कोना O होता है, जो पहले से हाथ में है, यानी arc बेकार जाता है। और फैलाव छोटा हो तो arcs मिलते ही नहीं। A B की आधी लंबाई से ज़्यादा चाहिए, ठीक उतना हो तो arcs बस 1 बिंदु पर छूते हैं। उससे ज़्यादा हो तो 2 कटान, और दोनों उसी line पर।

A से एक arc, B से एक arc, जहाँ कटें वहाँ C। C, A और B से बराबर दूर, क्योंकि दोनों arcs का फैलाव एक था, दूसरी जोड़ी भी पूरी। देखो, 3 sides बराबर, triangles congruent, तो बिंदु O पर के 2 angles बराबर। आधा करने का कोई अलग कदम नहीं, वह ख़ुद निकल आया। दोनों आधे आगे की ओर खुलते हैं, और मिलकर पूरा angle बनाते हैं, न कम न ज़्यादा।

चित्र का angle कुछ ख़ास नहीं, 90 degree का भी नहीं, फिर भी तरीका चलता है। तो यह तरीका किसी ख़ास angle पर नहीं टिका। तो पूरा तरीका 3 कदम, और किसी भी angle पर चलता है। पहला, दोनों arms को कोने से एक ही दूरी पर काटो। दूसरा, उन निशानों से बराबर arcs लगाओ, जो C पर कटें। तीसरा, कोने से C तक line खींचो, बस हो गया। अब यही तरीका 90 degree के angle पर चलाओ।

दोनों arms पर बिंदु O से 15 दूर निशान, फिर बराबर arcs, फिर line। यहाँ 90 अब 45 और 45 के 2 बराबर angles बन गया, बिना कोई scale पढ़े। एक आधे पर फिर से यही करो, तो मिलेगा 22 दशमलव 5 degree। ढाँचे के लिए 45 ही काफ़ी है, 2 lines आपस में 90 degree पर, और उनके बीच के 2 angles आधे करो। यानी कुल 4 lines तैयार, और हर line की 2 rays, सब मिलाकर 8।

अब एक सवाल जो लोगों को उलझाता है, और उलझाना भी चाहिए। अगर arcs उल्टी ओर लगाओ, ताकि वे arms के बीच नहीं, कोने के पार पीछे की ओर कटें, तो क्या होगा? कई लोग मानते हैं कि C को हमेशा arms के बीच ही होना है। करके देखो, वही A और B, बड़ा फैलाव, और arcs कोने के पीछे कटते हैं। कोने से उस बिंदु तक line खींचो, तो वह वही पुरानी line निकलती है।

अब यह हैरानी की बात नहीं, दोनों कटान A और B से बराबर दूर, कोना भी, तो तीनों एक ही line पर, खींचने को बस एक line है। पर अगला हिस्सा ध्यान से देखो, यहीं आसान जवाब गलत हो जाता है। line वही है, पर पीछे वाली ray तुम्हारे angle के अंदर है ही नहीं, वह दोनों arms के गलत ओर है। वह सामने वाले angle को आधा करती है, जो नाप में उतना ही बड़ा है, पर दूसरा angle है।

कटान कोने के दोनों ओर कब पड़ते हैं? जब arcs का फैलाव निशानों की दूरी से बड़ा हो, 5 फैलावों में से ठीक वही 2, जो बड़े हैं। और फैलाव बराबर हो, तो एक कटान ख़ुद कोना, वही बेकार वाला arc। अब आधा करना मुफ़्त है, तो कहाँ कहाँ तक पहुँच सकते हो? और 90 से, 45, फिर 22 दशमलव 5, फिर 11 दशमलव 2 5, और आगे। कुछ लोग मानते हैं कि बार बार आधा करके कोई भी angle मिल जाएगा।

एक और शुरुआत जोड़ो, 3 बराबर sides वाला triangle, उसके 3 बराबर angles मिलकर 180, तो हर एक 60। अब आधा करने के अलावा जोड़ना और घटाना भी चलेगा। तो 15 भी, 7 दशमलव 5 भी, और 45 में 22 दशमलव 5 जोड़कर 67 दशमलव 5 भी, सब हाथ में। अब 65 दशमलव 5 degree बनाने की कोशिश करो, नहीं बनेगा, किसी भी रास्ते से। हर पहुँचने लायक angle 30 गुणा कोई पूरी संख्या है, फिर 2 या 4 या 8 या 16 जैसी किसी संख्या से भाग दिया हुआ।

और 65 दशमलव 5 उस साँचे में कभी नहीं बैठता, कितना भी आधा करो। पास ज़रूर पहुँच सकते हो, 60 में 90 को 4 बार आधा करके बना 5 दशमलव 6 2 5 जोड़ो। मिलता है 65 दशमलव 6 2 5, बस 1 बटा 8 degree ज़्यादा। और आधा करते जाओ तो चूक घटती है, स्तर 8 पर 1 बटा 128, पर 17 स्तरों तक भी चूक कभी ख़त्म नहीं होती।

अब 2 चीज़ें बनानी बाकी, और दोनों के औज़ार हाथ में। पहला वही फूल वाला design, आपस में 90 degree पर 2 lines, फिर दोनों angles आधे, और 4 lines तैयार। फिर हर पंखुड़ी के 2 arcs, और आख़िर में ढाँचा मिटाओ। दूसरा, एक square के अंदर 4 पंखुड़ियाँ, केंद्र पर मिलतीं और कोनों की ओर इशारा करतीं। हर पंखुड़ी 2 arcs से बनी, और arcs के केंद्र square की sides के बीच वाले बिंदु।

सबसे बड़ी पंखुड़ियाँ चाहिए, तो फैलाव तुम्हारी मर्ज़ी नहीं रहता, square की sides की ठीक आधी लंबाई, छोटा हो तो केंद्र तक नहीं पहुँचता, बड़ा हो तो square से बाहर। हर कोना ठीक 2 arcs पर पड़ता है, तो हर पंखुड़ी केंद्र से एक कोने तक। अब तुम्हारी बारी, कोई भी angle खींचो, उसे आधा करो, और फिर हर आधे को आधा करो। हर बार सोचो, कौन से 2 triangles congruent हैं, और कौन सी 3 sides बराबर।

अब 8 बराबर हिस्सों ने 45 माँगा, और 45 तो 90 का आधा। angle bisector वही line है जो A B को आधा करती है, कोना उस पर पहले से। बराबर निशान, बराबर arcs, साझी लंबाई, SSS, और आधा करना ख़ुद निकल आता है। पीछे कटे arcs वही line देते हैं, पर वह ray angle के बाहर। आधा करना बहुत दूर ले जाता है, पर हर angle तक नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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