PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Constructions and TilingsPrepShorts

Chapter 6 · Constructions and Tilings

line के किसी चुने हुए point पर 90° का angle बनाना

Bisecting, and building a right angle10 मिनट

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line पर एक बिंदु O, और वहाँ 90 degree का angle - सिर्फ़ compass और बिना निशान वाली पट्टी से। इसके लिए नया तरीका नहीं चाहिए: यह segment का बीच ढूँढने वाला तरीका ही है, बस उल्टा चलाया हुआ।

मुख्य idea

यहाँ कोई दूसरा construction नहीं है। चुने हुए point O पर right angle, perpendicular-bisector वाला construction ही है, बस उलटा चलाया हुआ: segment देकर उसका बीच ढूँढ़वाने के बजाय, तुम्हें बीच दिया जाता है और तुम उसके चारों ओर एक segment बनाते हो। पूरा विचार यही उलटाव है, और इसका एक ऐसा फ़ायदा मिलता है जिसकी किसी को उम्मीद नहीं होती — क्योंकि O का bisector पर होना पहले से पता है, आधे arcs की ज़रूरत ही नहीं रहती। कौन-से आधे, और क्यों — यह देख पाना ही इसकी परीक्षा है कि तुमने पहला construction समझा था या सिर्फ़ उसका चित्र रट लिया था।

आपको क्या आना चाहिए

  • समस्या बताना: दी गई line के एक नाम वाले point पर right angle चाहिए
  • समझाना कि line को आगे बढ़ाकर O से दो बराबर दूरियाँ mark करना नई समस्या को पुरानी में क्यों बदल देता है
  • बताना कि बनाए गए segment का perpendicular bisector O से होकर ही क्यों गुज़रेगा
  • समझाना कि अब arcs की एक ही crossing जोड़ी क्यों काफ़ी है
  • compass और unmarked ruler से construction करना
  • पहचानना कि पिछले construction में arcs की दूसरी जोड़ी क्या कर रही थी, और यहाँ उसे क्यों छोड़ा जा सकता है
  • उसी उलटाव को line से बाहर पड़े point से perpendicular गिराने के लिए ढालना
  • पहचानना कि 90° का angle ही वह बीज है जिससे आगे 45° मिलता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
perpendicularright angle पर मिलनालंब§6.1, Part II, pp.137, 141, 142 में छपा
perpendicular bisectorवह line जो segment को आधा करती है और उससे ठीक सीधी मिलती हैलंब समद्विभाजक§6.1, Part II, p.137 में छपा, और पूरे pp.139–142 में इस्तेमाल
midpointsegment को दो बराबर आधों में बाँटने वाला pointमध्य-बिंदु§6.1, Part II, pp.137, 141 में छपा
arcकिसी centre से तय radius पर बना circle का हिस्साचाप§6.1, Part II, pp.139–141 में छपा
compassवह औज़ार जो घूमते हुए एक दूरी बनाए रखता हैपरकार§6.1, Part II, pp.139–141 में छपा
unmarked rulerसीधा किनारा जिस पर कोई scale नहींअंकनरहित रूलर§6.1, Part II, pp.139–140 में छपा
line segmentline का वह टुकड़ा जो दो नाम वाले points के बीच हैरेखाखंड§6.1, Part II, pp.139, 141 में छपा
bisectionकिसी चीज़ को दो एक जैसे हिस्सों में काटनाद्विभाजन§6.1, Part II, p.137 में bold में छपा
straight angleसीधी line के किसी point पर बना 180° का angleऋजु कोण§6.1, Part II, p.137 में छपा
ropeŚulba-Sūtra में compass की जगह इस्तेमाल होने वाली चीज़, आगे के सवाल में काम आती हैरस्सी§6.1, Part II, pp.142, 144 में छपा
foot of the perpendicularवह point जहाँ गिराया गया perpendicular line से मिलता हैलंब-पादइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — chapter p.155 पर बाहर के point वाला construction पूछता है पर उस point का नाम नहीं देता

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "यह एक नया construction है जिसे अलग से सीखना है।" यह वही पहला construction है, दूसरे सिरे से पढ़ा हुआ। अगर व्याख्या इसे नया बताकर रखती है, तो student एक विचार की जगह दो नुस्ख़े ढोएगा।
  • **"arcs ऊपर और नीचे दोनों बनाने ही होंगे।"** यहाँ इसकी ज़रूरत नहीं है। chapter p.141 पर यह सवाल साफ़-साफ़ पूछता है और जवाब नहीं में देता है, क्योंकि O बनाई जा रही line का पहले से पता point है।
  • "X और Y को O से किसी ख़ास दूरी पर होना चाहिए।" कोई भी खुलाव चलेगा; सिर्फ़ बराबरी मायने रखती है। जो students सोचते हैं कि कोई ख़ास लंबाई चाहिए, वे scale उठा लेंगे, जिसके ख़िलाफ़ chapter अभी-अभी तर्क दे चुका है।
  • "right angle A पर है।" वह O पर है। A बस दूसरा point है जो line की दिशा तय करता है।
  • "line के बाहर के point से होकर perpendicular के लिए फिर एक अलग तरीक़ा चाहिए।" Question 4, p.155 पर, तीसरी बार वही उलटाव है: line का ऐसा segment ढूँढ़ो जिसके दोनों सिरों से P बराबर दूर हो।
  • "right angles set square या protractor से आते हैं।" chapter ने p.140 के नीचे से आगे ख़ुद को दो औज़ारों तक सीमित कर लिया है, और उसके बाद का सब कुछ इस पाबंदी को मानता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7 Q4

पूरा transcript1,446 शब्द

काम यह है, एक line है और उस पर एक बिंदु O, और बिंदु O पर 90 degree का angle बनाना है, सिर्फ़ compass और बिना निशान वाली पट्टी से। क्या इसके लिए कोई नया तरीका सीखना पड़ेगा? नहीं, यह segment का बीच ढूँढने वाला तरीका ही है, बस उल्टी दिशा से चलाया हुआ। बीच ढूँढने में segment दिया होता है, और उसका बीच ढूँढना होता है। और perpendicular bisector ठीक वे बिंदु हैं जो segment के दोनों सिरों से बराबर दूर हों।

यहाँ उल्टा, बीच का बिंदु O दिया हुआ है, और उसके चारों ओर एक segment बनाना है। compass को किसी भी फैलाव पर खोलो, मान लो 9, और उसे बदलना नहीं। नोक बिंदु O पर, बाईं ओर line पर निशान X, दाईं ओर निशान Y, दोनों O से 9। अब XY एक segment है, 18 लंबा, और O ठीक उसका बीच। कोई ख़ास लंबाई ज़रूरी नहीं, 9 हो या कुछ और, बस दोनों तरफ़ एक जैसी।

बराबर कदम से O बीच क्यों बनता है? X और Y एक ही line पर, O के आर पार, और दोनों O से 9, तो XY का आधा इधर, आधा उधर। compass ने यहाँ कुछ पढ़ा नहीं, बस 9 इकाई की दूरी एक तरफ़ से उठाकर दूसरी तरफ़ रख दी। यही compass का असली काम है, दूरी पकड़े रखना, और यहाँ वही काफ़ी है। अगर एक तरफ़ कदम फिसलकर 8 रह गया, तो?

तो नया बीच O से 1 बटा 2 इकाई हट जाता है, और O अब बीच नहीं। इसीलिए compass का फैलाव बीच में बदलना नहीं, सारा तरीका इसी बराबरी पर टिका है। अब वही बात लगाओ, XY का perpendicular bisector वे बिंदु जो X और Y से बराबर दूर। O तो X से भी 9 दूर, Y से भी 9, तो O पहले से उसी line पर, एक भी arc खींचे बिना।

यही इस तरीके का छुपा फ़ायदा है। जाँचने के लिए एक जाली लो, 1681 बिंदु। इनमें से 41 बिंदु X और Y से बराबर दूर, और सारे O से होकर जाने वाली खड़ी line पर। और O उनमें से एक है, तो जो line हम ढूँढ रहे हैं, वह O से होकर जाती ही है। बीच ढूँढने वाला चित्र और यह चित्र बगल में रखो। ऊपर का आधा बिल्कुल एक जैसा, X और Y से arc, और उनका कटान।

नीचे वाली arcs की जोड़ी यहाँ गायब है, और इसकी वजह गिनती में छुपी है। एक line तय करने के लिए 2 बिंदु चाहिए। सिर्फ़ O से होकर पट्टी कई दिशाओं में घूम सकती है। पर एक और बिंदु A मिलते ही बस 1 दिशा बचती है, सीधी ऊपर। और हमारे पास O पहले से है, बस दूसरा बिंदु चाहिए। तो कितने नए कटान चाहिए, जब line के लिए 2 बिंदु चाहिए और 1, यानी O, पहले से है?

यहाँ 2 घटा 1, बस 1 कटान, यानी arcs की बस 1 जोड़ी, बीच ढूँढने की तरह 2 नहीं। आधे arcs बेकार हो गए, और क्यों हुए, यह समझना ही असली परीक्षा है। अब compass को 15 पर खोलो, नोक X पर, ऊपर एक arc, फिर नोक Y पर, वही फैलाव, एक और arc। दोनों arc A पर मिलते हैं, O से ठीक 12 ऊपर। इस ऊँचाई की वजह वर्गों में है, 9 का वर्ग 81, और 12 का वर्ग 144, जोड़ 225, यानी 15 का वर्ग।

अगर compass का फैलाव कदम से छोटा हो, तो arc मिलते ही नहीं। और 1 से 40 तक के फैलावों में से 31 चलते हैं, 10 से 40 तक वाले, और ठीक 9 पर arc बस बिंदु O पर छूते हैं। वजह वही, X और Y के बीच 18 की दूरी, दोनों arc की पहुँच मिलकर उससे ज़्यादा होनी चाहिए। अब O और A को पट्टी से जोड़ो। यही वह line है, और बिंदु O पर दोनों तरफ़ 90 degree का angle।

इसकी वजह यह है कि O और A, दोनों X और Y से बराबर दूर, तो दोनों XY के perpendicular bisector पर, और 2 बिंदु उस line को तय कर देते हैं। नीचे भी एक कटान बन सकता है, O से 12 नीचे, वह भी X और Y से 15 दूर। पर उसकी ज़रूरत नहीं, उससे भी वही line बनती है, उसका काम O पहले ही कर रहा है। बीच ढूँढते समय नीचे वाला कटान दूसरे बिंदु का काम करता है, यहाँ वह काम O के ज़िम्मे।

एक आम गलती, 90 degree का angle A पर समझना। यहाँ 90 degree बिंदु O पर है, A बस दूसरा बिंदु है जो line की दिशा तय करता है, A पर और Y पर के angle 90 नहीं। जाली पर भी यही दिखता है, बिंदु O पर दोनों ओर कोना ठीक 90, A पर और Y पर नहीं। अलग अलग कदम और फैलाव आज़माओ, कदम 9 पर फैलाव 15, कदम 5 पर फैलाव 13, कदम 12 पर फैलाव 13, और कदम 15 पर फैलाव 17।

कटान अलग अलग ऊँचाई पर, पहले 2 बार 12 पर, फिर 5 पर, फिर 8 पर। फिर भी सभी 4 बार वही line, O से सीधी ऊपर, और हर बार बिंदु O पर 90 degree। हर बार वर्ग बैठते हैं, कदम 5 और ऊँचाई 12 हो, तो वर्ग 25 और 144, जोड़ 169। कदम 12 और ऊँचाई 5 हो, तो वर्ग 144 और 25, जोड़ फिर 169, और कदम 15 और ऊँचाई 8 हो, तो वर्ग 225 और 64, जोड़ 289।

ये संख्याएँ बस हमारी जाली की सुविधा हैं, असली बात यह है कि कटान हर बार उसी खड़ी line पर आता है। और अगर A से होकर कोई तिरछी line खींच दी, तो? मान लो वह नीचे वाली line को O से 1 इकाई बगल में काटती है, वह बिंदु X से 10 दूर और Y से 8, बराबर नहीं, तो वह bisector नहीं। A से होकर बस एक ही line ऐसी है जिसका हर बिंदु X और Y से बराबर दूर, और वह O से होकर जाती है।

तो तरीका, कदम 1, compass के एक ही फैलाव से O के दोनों ओर X और Y। कदम 2, कदम से बड़ा फैलाव लेकर X और Y से एक एक arc, कटान A। कदम 3, O और A को जोड़ो, बिंदु O पर 90 degree का angle तैयार। न चाँदा, न गुनिया, 90 degree सिर्फ़ बराबर दूरियों से आया। यहाँ 2 अलग तरीके नहीं, एक ही बात है, बराबर दूर वाले बिंदु।

और इसलिए यह नापने से ज़्यादा भरोसेमंद है, कोई पढ़ाई नहीं, तो पढ़ाई की गलती भी नहीं। अब बिंदु line के बाहर हो, P, और P से line पर 90 degree वाली line चाहिए, तो? इशारा, line पर ऐसा segment ढूँढो जिसके दोनों सिरों से P बराबर दूर हो। यानी फिर से वही उल्टी चाल, पहले segment बनाओ, फिर उसकी बीच वाली line। नोक P पर, जो line से 12 ऊपर है, compass 13 पर, एक arc जो line को काटे।

वह line को 2 जगह काटता है, 2 और 12 पर, और दोनों P से ठीक 13 दूर। दोनों कटान P से बराबर दूर होंगे ही, क्योंकि दोनों एक ही arc पर हैं, और arc का हर बिंदु केंद्र P से उतना ही दूर। P दोनों कटानों से बराबर दूर, तो P उनके perpendicular bisector पर है, वही बात। कटानों का बीच 7 पर, और वहाँ से खड़ी line P से होकर जाती है, line पर 90 degree।

P से line तक यह दूरी 12, और line का कोई भी बिंदु P के इससे पास नहीं। P वाली खड़ी line, O वाली line नहीं, वह निशान 7 पर खड़ी है, बिंदु O पर नहीं। पर दोनों की दिशा एक, दोनों line पर 90 degree, एक दूसरे के समानांतर। यहाँ भी शर्त, P से arc का फैलाव 12 से बड़ा हो, 1 से 40 में से 28 फैलाव चलते हैं।

फिर वही उल्टी चाल, बराबर दूर वाले बिंदु, और कुछ नहीं। एक खुला सवाल, सोचो, अगर सिर्फ़ एक रस्सी हो, तो किसी बिंदु पर 90 degree कैसे बनाओगे? रस्सी भी compass की तरह एक दूरी पकड़ सकती है, तो यही तरीका वहाँ भी चल सकता है या नहीं, खुद आज़माओ। इसका जवाब हम यहाँ नहीं दे रहे, यह सवाल तुम्हारे लिए खुला है। angle भी आधे होते हैं, straight angle का आधा 90, और उसका भी आधा 45।

angle को ठीक आधा करने में भी बराबर दूरी ही काम करती है। बस वहाँ दूरियाँ angle की दोनों arms पर ली जाती हैं। बिंदु O पर 90 degree, बीच ढूँढने वाले तरीके को उल्टा चलाना है, बीच दिया है, segment बनाना है। कदम कोई भी, बस दोनों तरफ़ बराबर। O पहले से line पर है, इसलिए arcs की बस 1 जोड़ी। देखो, 90 degree बिंदु O पर बनता है, A पर नहीं।

बाहर के बिंदु से भी वही बात, line पर ऐसा segment ढूँढो जिसके दोनों सिरों से वह बराबर दूर हो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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