PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Constructions and TilingsPrepShorts

Chapter 6 · Constructions and Tilings

regular hexagons, और किसी point के चारों ओर के angles का जोड़ 360° ही क्यों होना चाहिए

Angles you can build without a protractor12 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

12 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 7 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

6 बराबर sides से hexagon regular नहीं बनता - angles भी बराबर चाहिए।

मुख्य idea

chapter hexagon से कभी सीधे नहीं भिड़ता। वह सवाल को उलट देता है — यह पूछने के बजाय कि regular hexagon के angles कितने हैं, वह पूछता है कि क्या 60° के छह कोने एक ही point के चारों ओर समा सकते हैं — और जवाब एक ऐसी कसौटी से देता है जिसका hexagons से कोई लेना-देना ही नहीं: अगर angles के किसी समूह का जोड़ 360° है, तो उनके कोनों को एक point पर ऐसे लाया जा सकता है कि न कुछ एक-दूसरे पर चढ़े और न कुछ खुला छूटे। फिर hexagon बनाया नहीं जाता, बल्कि निकाला जाता है। और उसी पन्ने की 70° वाली पहेली यह दिखाने के लिए है कि कसौटी कोई औपचारिकता नहीं: कोई टुकड़ा फ़िट होगा या नहीं, यह आँख नहीं, हिसाब तय करता है, और जो टुकड़ा लगभग ठीक दिखता है वह 20° ज़्यादा बड़ा है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि polygon को regular क्या बनाता है, और regular 3-gon और 4-gon के नाम बताना
  • बताना कि chapter regular hexagon तक क्यों पहुँच पाता है और regular pentagon को आगे के लिए क्यों टाल देता है
  • उन छह triangles का वर्णन करना जिनमें regular hexagon अपने centre से बँटता है
  • उलटाव समझाना: छह congruent equilateral triangles मानकर देखो कि वे क्या बनाते हैं
  • 360° वाली कसौटी से तय करना कि कोई दिया गया angle बताई गई ख़ाली जगह भरता है या नहीं
  • किसी point के चारों ओर angles के फ़िट होने की कसौटी अपने शब्दों में बताना
  • समझाना कि छह 60° angles बिल्कुल ठीक क्यों फ़िट होते हैं, और hexagon का हर लंबा diagonal सीधा क्यों निकलता है
  • 60° और 120° की मदद से बताई गई भुजा-लंबाई का regular hexagon बनाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
regular polygonऐसा polygon जिसकी सभी भुजाएँ बराबर और सभी angles बराबर होंसम बहुभुज§6.1, Part II, p.151 में छपा, और फिर §6.2 "Tiling" में p.161 पर — p.161 §6.2 (pp.155–162) के अंदर है, §6.1 के नहीं
regular hexagonछह भुजाओं वाला regular polygonसम षट्भुज§6.1, Part II, pp.151–153 में छपा
regular pentagonपाँच भुजाओं वाला regular polygon, जिसे यहाँ आगे के सालों के लिए टाल दिया गया हैसम पंचभुज§6.1, Part II, p.151 में छपा
equilateral triangleतीन बराबर भुजाओं वाला triangle, और इसलिए तीन 60° angles वालासमबाहु त्रिभुज§6.1, Part II, pp.151–153 में, और SUMMARY, p.163 में छपा
congruentऐसी figures के लिए कहा जाता है जो हिस्से-हिस्से में मिलती हैंसर्वांगसम§6.1, Part II, pp.151–152 में छपा
complete angleकिसी point के चारों ओर पूरा चक्करसंपूर्ण कोण§6.1, Part II, p.152 में छपा
degreeangle की इकाई, जिसकी परिभाषा यहाँ complete angle से दी गई हैअंश§6.1, Part II, p.152 में छपा
gap angleकिसी point के चारों ओर टुकड़े रखने के बाद खुला बचा angleरिक्ति कोण§6.1, Part II, p.152 में छपा
sidelengthकिसी regular polygon की भुजाओं की साझा लंबाईभुजा-लंबाई§6.1, Part II, pp.151–153 में छपा
6-pointed star§6.1 के आख़िर में regular hexagon पर बना ताराषट्कोणीय तारा§6.1, Part II, p.154 में छपा
rotational symmetryकुछ घुमाने के बाद अपने-आप से मिल जाने का गुणघूर्णी सममितिp.154, §6.1, Part II पर छपा — उस पन्ने की छवि पर जाँचा गया, क्योंकि दोनों शब्द line break के दोनों ओर पड़ते हैं और निकाले गए text में साथ नहीं आते
interior anglepolygon के किसी कोने पर उसके अंदर का angleअंतःकोणइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — chapter hexagon के angles की बात इस विशेषण के बिना करता है (p.152)

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर hexagon की छहों भुजाएँ बराबर हैं तो वह regular है।" बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं — p.151 की परिभाषा बराबर angles भी माँगती है, और student आसानी से बराबर भुजाओं वाला ऐसा hexagon बना सकता है जो पिचका हुआ हो।
  • "किसी point के चारों ओर छह triangles हमेशा बंद हो जाते हैं।" वे इसलिए बंद होते हैं कि 6 × 60 संयोग से ठीक 360 है। triangle बदलो तो हिसाब बिगड़ जाता है। ख़ाली जगह वाली पहेली यही दिखाने के लिए रखी गई है।
  • "अगर कोई टुकड़ा फ़िट होता दिखता है, तो वह फ़िट होता है।" 70° वाला टुकड़ा 50° की ख़ाली जगह के सामने ठीक-ठाक लगता है और 20° बाहर है। जोड़ करो।
  • "pentagon के लिए बस compass की कोई ज़्यादा चतुर तरकीब चाहिए।" chapter उसे तब तक टालता है जब तक triangles और पाँच भुजाओं वाली figures बेहतर न समझ ली जाएँ, और उसे आगे के सालों पर छोड़ देता है। इस टालने की बात ईमानदारी से बताओ, यह जताए बिना कि यह असंभव है या आसान।
  • "AOD सीधी line है क्योंकि वैसी दिखती है।" वह सीधी है क्योंकि 60 + 60 + 60 = 180। chapter ठीक यही कारण माँगता है।
  • "120° एक नया construction है।" वह वही है जो 60° angle के बग़ल में line पर बचता है। एक construction, दो angles।
  • "360° वाली कसौटी hexagons के बारे में है।" वह किसी point पर angles के बारे में है, और यही विचार तीन पन्ने बाद तय करेगा कि कोई आकृति plane को tile कर सकती है या नहीं। इस संबंध की ओर इशारा करो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7 Q1, Figure it Out · 7 Q3

पूरा transcript1,651 शब्द

एक regular polygon वह है जिसकी सारी sides बराबर हों, और सारे angles भी बराबर। यहाँ 3 sides वाला, यानी equilateral triangle, और 4 sides वाला, यानी square, दोनों compass से सीधे बनते हैं। अगला सवाल, 5 और 6 sides वाले regular polygons, यानी pentagon और hexagon। करके देखो, बराबर sides वाला pentagon और hexagon बनाने की कोशिश करो। जल्दी पता चलता है कि sides बराबर रखना आसान है, angles बराबर रखना मुश्किल।

यही मुश्किल पूरे सवाल की चाबी है। कुछ लोग मानते हैं कि 6 बराबर sides हों, तो hexagon regular है। हमारे चित्र का hexagon देखो, सभी 6 sides 5 की, वह बंद भी होता है, और ख़ुद को कहीं काटता भी नहीं। पर उसके कोने अलग अलग, 2 तो 90 degree के, और एक भी 120 का नहीं, जितना regular hexagon में होना चाहिए। इसे ऐसे सोचो, बराबर लंबाई की 6 तीलियाँ, कोनों पर ढीले जोड़ से जुड़ी हुई।

इस ढाँचे को दबाओ, तो तीलियाँ वही रहती हैं, पर कोने खुलते और सिकुड़ते हैं। इसीलिए regular कहने के लिए sides और angles भी बराबर चाहिए। pentagon को अभी रहने देते हैं, उसके लिए triangles की और गहरी समझ चाहिए। पर hexagon अभी हाथ में आ सकता है। क्यों, यह थोड़ी देर में साफ़ हो जाएगा। एक regular hexagon लो, बीच का बिंदु O, और कोनों के नाम A से F तक।

O से हर कोने तक line खींचो, तो hexagon 6 triangles में बँट जाता है। और 3 लंबी diagonals भी खिंच जाती हैं, A से D तक, B से E तक, और C से F तक। यह चित्र बस दिखाता है कि hexagon अंदर से कैसा है, पर यह नहीं बताता कि वह बनेगा कैसे। अब सवाल को उल्टा करके देखो। सवाल यह नहीं कि hexagon के angles क्या हैं।

सवाल यह है, क्या 6 equilateral triangles एक बिंदु के चारों ओर, बिना जगह छोड़े और बिना एक दूसरे पर चढ़े, बैठ सकते हैं? सवाल उल्टा करने से फ़ायदा क्या? hexagon का कोना बिना नापे पता नहीं चलता, और नापना हमें मना है। पर equilateral triangle हम बना सकते हैं, उसका हर कोना 60, compass से सीधा। और जोड़ हम काग़ज़ पर जाँच सकते हैं, तो सवाल वहाँ ले गए जहाँ औज़ार हैं।

equilateral triangle के 3 angles बराबर, और मिलकर 180। तो 180 को 3 बराबर हिस्सों में बाँटो, हर कोना 60। अगर बैठ गए, तो बाहर का किनारा 6 बराबर sides वाला, क्योंकि बाहर की हर लंबाई किसी equilateral triangle की ही एक लंबाई है। और hexagon का हर कोना 2 triangles के कोनों से बना, 60 और 60। तो पूरा सवाल बस बीच वाले बिंदु पर टिका है। एक पूरा चक्कर 360 degree, असल में degree को ऐसे ही तय किया गया है।

तो बीच में 6 कोने, हर एक 60, कुल 6 गुणा 60, यानी 360। ठीक पूरा चक्कर, न कम, न ज़्यादा। यह भी देखो, hexagon का कोई angle नापा नहीं गया, बस बीच वाले बिंदु का हिसाब हुआ। नियम यह है, एक बिंदु पर angles का जोड़ ठीक 360 हो, तो उनके कोने वहाँ बिना एक दूसरे पर चढ़े और बिना ख़ाली जगह छोड़े बैठ जाते हैं। इस नियम में hexagon का नाम तक नहीं, यह बस एक बिंदु पर angles की बात है।

कुछ लोग मानते हैं कि 6 triangles तो हमेशा बंद हो जाते हैं, पर यह बस इसलिए कि 6 गुणा 60 ठीक 360 है। wedge का angle बदलकर देखो, 50, 60, 70, 72 और 90। इनमें से पूरे चक्कर को पूरी गिनती में भरते हैं बस 60, 72 और 90। पर इनमें equilateral triangle का कोना बस 60 है, तो triangles वाला hexagon बस 60 से। यानी पूरा चक्कर भरना एक बात है, equilateral होना दूसरी, hexagon को दोनों मिलते हैं।

और 50 के wedges लो, 7 रखो तो 350, यानी 10 कम, और एक और रखो तो 400, ज़्यादा। अब 70 में भी यही, 5 रखो तो 350, 10 कम, एक और तो 420। पर 5 wedges 72 के, या 4 wedges 90 के, ठीक 360, कोई जगह नहीं बचती। pentagon को भी बीच से 5 triangles में बाँट सकते हैं, हर एक बीच में 72, और वे पूरा चक्कर भरते हैं।

पर यह angle 72 है, 60 नहीं, तो ये triangles equilateral नहीं, उनकी बाहर वाली लंबाई बीच की दूरी से अलग। इसीलिए pentagon मुफ़्त में नहीं मिलता, जैसे hexagon मिल गया। अब एक पहेली, बिंदु O को घेरे हुए wedges, उनके angles 40, 60, 50, 30, 40 और 90। एक जगह ख़ाली है, और पास में 70 degree का एक टुकड़ा रखा है। देखने में लगता है कि बैठ जाएगा, पर क्या सच में बैठेगा?

जोड़ते चलो, 40, 100, 150, 180, 220 और 310। यानी लगे हुए wedges 310, और ख़ाली जगह 360 में से 310 घटाकर 50। देखो, 70 का टुकड़ा 50 से 20 ज़्यादा चौड़ा है, वह अंदर जा ही नहीं सकता। जो टुकड़ा देखने में ठीक लगे, वह ठीक बैठे, यह ज़रूरी नहीं। देखने में 70 का टुकड़ा 50 के आसपास लगता है, पर फ़र्क पूरा 20 degree का है। यहाँ फ़ैसला हिसाब करता है, आँख नहीं।

तो कोई टुकड़ा रखने से पहले, जोड़ करो। wedges का क्रम बदलकर देखो, 3 क्रम लेकर देखो, हर बार ख़ाली जगह 50। यहाँ 30 का टुकड़ा थोड़ी जगह छोड़ता है, 50 का ठीक बैठता है, और 70 का चढ़ जाता है। जोड़ ही सब तय करता है, क्रम नहीं। वापस hexagon पर, 6 गुणा 60 ठीक 360, तो 6 equilateral triangles बीच में ठीक बैठ जाते हैं। पहले कोने को बीच के चारों ओर 60 degree घुमाओ, 6 बार, तो वह वापस अपनी जगह पर, उससे पहले नहीं।

सभी 6 कोने बीच से बराबर दूर, बाहर की सभी 6 sides वही लंबाई, सभी 6 triangles equilateral। अब hexagon का हर कोना देखो, वहाँ 2 triangles मिलते हैं, 60 और 60, कुल 120। सभी 6 कोनों पर यही, तो सभी angles बराबर, sides पहले से बराबर, hexagon regular है। hexagon को बनाया नहीं, निकाला गया, triangles के बैठने से। और A से D वाली diagonal सीधी क्यों है? क्योंकि सीधी दिखती है, यह जवाब नहीं है।

बीच के बिंदु O पर, A से D तक 3 angles एक के बाद एक, 60, 60, 60, कुल 180, और 180 का angle एक सीधी line है। B से E तक, C से F तक, सब यही, और कोनों का कोई दूसरा जोड़ा बीच से सीधा नहीं जाता। और 6 ही क्यों? regular polygon को बीच से triangles में बाँटो, हर triangle का बीच वाला angle, 360 को sides की गिनती से भाग।

अब 3 sides पर 120, 4 पर 90, 5 पर 72, 6 पर 60, 8 पर 45, 12 पर 30। देखो, 12 sides तक के इन सब में बस 6 पर 60, तो बस hexagon के triangles equilateral, pentagon का 72 है, 60 नहीं। तो regular polygons के कोने, triangle का 60, square का 90, pentagon का 108, और hexagon का 120। यहाँ 90 और 60 से आधा करके, जोड़कर, घटाकर, 60, 90 और 120 मिल जाते हैं, पर 108 नहीं।

तो pentagon के लिए कोई और रास्ता चाहिए। यह नहीं कह रहे कि pentagon बन ही नहीं सकता, बस इन 2 बीजों और इन तरीकों से नहीं। कुछ लोग सोचते हैं कि 120 के लिए अलग तरीका चाहिए। नहीं, 60 बनाओ, और उसी line पर बगल में 120 अपने आप, क्योंकि दोनों मिलकर 180। एक तरीका, 2 angles। hexagon के सभी 6 कोने बीच से बराबर दूर, यानी एक circle पर।

और उस circle का फैलाव ठीक hexagon के किनारे जितना, क्योंकि हर triangle equilateral है। इसीलिए compass की एक ही setting से पूरा hexagon बन जाता है। अब एक hexagon बनाओ, जिसके हर किनारे की लंबाई 4 हो। compass को 4 पर खोलो, एक circle बनाओ, और उसी फैलाव से circle पर कदम रखते जाओ। और 6 कदम में तुम वापस शुरू पर, उससे पहले नहीं, और हर कदम hexagon का एक किनारा।

अब 5 वाला भी वैसे ही, बस फैलाव 5। यह क्यों चलता है? हर कदम, और बीच से उसके 2 सिरों तक की 2 दूरियाँ, 3 बराबर लंबाइयाँ, यानी equilateral triangle। हर triangle बीच में 60 लेता है, 6 कदम, 6 गुणा 60, पूरा चक्कर। यानी यहाँ भी वही बिंदु वाला नियम काम कर रहा है। अब hexagon के हर किनारे पर बाहर की ओर एक नोक बनाओ, 6 नोकों वाला तारा।

क्या हर नोक वाला triangle equilateral है? हिसाब से हाँ, सभी 6, हर नोक पर 60। और नोकों के सिरे ख़ुद एक बड़ा regular hexagon बनाते हैं, 60 घुमाओ तो हर नोक अगली की जगह पर। यानी तारा घुमाने पर अपने आप पर ही बैठ जाता है। ऐसा इसलिए, अंदर के hexagon के कोने पर, किनारे को आगे बढ़ाओ तो सीधी line, 180 में से 120 hexagon ने लिया। बचा 60, तो नोक के triangle के नीचे वाले 2 angles, दोनों 60।

और triangle के angles मिलकर 180, तो नोक पर भी 60, यानी equilateral। एक बात साफ़ रहे, यह नियम एक बिंदु पर angles का है। कौन सी आकृतियाँ पूरी ज़मीन ढक सकती हैं, वह अलग सवाल है, और उसका सबूत भी अलग। तो इस नियम को उससे बड़ा मत बनाओ, जितना वह सच में कहता है। अब तुम्हारी बारी, कोई भी angles लो, उन्हें जोड़ो, और काटने से पहले तय करो कि वे एक बिंदु पर बैठेंगे या नहीं।

जोड़ 360 से कम तो ख़ाली जगह, ज़्यादा तो चढ़ जाएँगे, और ठीक 360 तो पूरा। जैसे 4 बार 90, जोड़ 360, तो 4 squares एक कोने पर ठीक बैठेंगे। पूरी कहानी देखो, सवाल उल्टा किया, hexagon नहीं, एक बिंदु पर triangles। नियम एक बिंदु का, जोड़ ठीक 360 तो ठीक बैठना। फिर सब अपने आप, हर कोना 120, diagonals सीधी, और बनाने को बस एक फैलाव। regular मतलब sides भी बराबर, angles भी।

एक बिंदु पर angles का जोड़ 360, तो वे ठीक बैठते हैं। देखो, 6 गुणा 60 ठीक 360, इसलिए hexagon, हर कोना 120, diagonals सीधी। ख़ाली जगह 50, टुकड़ा 70, हिसाब आँख से पहले। एक फैलाव, एक circle, 6 कदम, और hexagon तैयार।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab