PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 4, Another Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

पहले अंदाज़ा लगाइए, ताकि ग़लत जवाब दिख जाए

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धरती का चक्कर 365.2422 दिन, कैलेंडर 365 दिन: हर साल 0.2422 दिन की कमी। छोटी लगती है - पर 100 साल में 24.22 दिन, और 400 साल में 96.88 दिन।

मुख्य idea

हर calendar साल के आख़िर में लटका रह जाने वाला दिन का 0.2422 हिस्सा chapter का यह प्रदर्शन है कि "इतना छोटा कि फ़र्क़ न पड़े" किसी संख्या के बारे में नहीं, किसी पैमाने के बारे में दावा है: इसे एक सदी तक चलाइए और यह तीन हफ़्तों से ज़्यादा हो जाता है। इसके बाद आने वाले leap year के तीन नियम calendar की फ़ुटकर जानकारी नहीं — ये तीन अनुमान हैं, और हर एक की जाँच एक ही तरह होती है: गिनो कि योजना कितना देती है, गिनो कि पृथ्वी को असल में कितना चाहिए, और घटाओ। तीनों चूके। पहले दो इतने चूके कि उन्हें फेंककर बदल दिया गया; तीसरा अब भी हज़ार साल में दिन के दो-दशांश से पीछे है, और उसे बनाने वाले यह जानते थे, क्योंकि उन्होंने घटाव किया था और फिर तय किया था कि इतना बचा हुआ अंतर सहने लायक़ है। किसी जवाब पर भरोसा करने से पहले उसका आकार आँकना — यही आदत यह section सिखा रहा है, और यही आदत आपको एक का भी मान निकाले बिना छह व्यंजकों को क्रम में लगाने देती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाइए कि किसी छोटे decimal को तब तक नज़रअंदाज़ क्यों नहीं किया जा सकता जब तक पता न हो कि उसे किससे गुणा किया जाएगा
  • 365-दिन वाले calendar की जमा होती कमी को 100, 1000 और 10,000 सालों में निकालिए
  • chapter के तीनों leap-year निर्णय-वृक्षों पर चलिए और किसी दिए हुए साल को उनसे वर्गीकृत कीजिए
  • calendar सालों के किसी बताए हुए दौर में कितने दिन होते हैं, इसे व्यंजक की तरह लिखिए
  • कोई योजना जितना देती है उसकी तुलना असल ज़रूरत से कीजिए, और बताइए कि वह ज़्यादा देती है या कम
  • किसी जाने हुए product या quotient का पैमाना बदलकर, दोबारा गुणा किए बिना, नए का जवाब दीजिए
  • products और quotients के एक समूह को सिर्फ़ हर factor की 1 के मुक़ाबले स्थिति से आकार के क्रम में लगाइए
  • किसी जवाब की बारीक जाँच से पहले आँकिए कि वह विश्वसनीय है या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
leap yearऐसा calendar साल जिसे एक अतिरिक्त दिन दिया गया होअधिवर्ष§4.4 में छपा, Part II, pp.88, 91
calendar yearcalendar के हिसाब से गिना गया साल, पृथ्वी के असली चक्कर के मुक़ाबलेकैलेंडर वर्ष§4.4 में छपा, Part II, pp.88–92
Gregorian calendarवह calendar जिसका यह section वर्णन कर रहा है, शुरू में एक बार नाम लिया गयाग्रेगोरियन कैलेंडर§4.4 में छपा, Part II, p.88
revolutionहमारे ग्रह का सूर्य के चारों ओर एक पूरा चक्करपरिक्रमण§4.4 में छपा, Part II, pp.88–91
divisible byवह जाँच जिस पर हर निर्णय-वृक्ष शाखाओं में बँटता हैसे विभाज्य§4.4 में छपा, Part II, pp.89–92
adjustmentनियम में हर अगले सुधार के लिए किताब का शब्दसमायोजन§4.4 में छपा, Part II, pp.88, 90, 92
expressionकिसी गिनती का लिखा हुआ सूत्र, जिसका मान बाद में निकाला जाता हैव्यंजक§4.4 में छपा, Part II, pp.89–90
overcompensateग़लती से ज़्यादा सुधार कर देना, जैसा चार-साल वाला नियम करता हैअति-संशोधन करना§4.4 में छपा, Part II, p.89
increasing orderवह क्रम जो आख़िरी exercise माँगता हैबढ़ते क्रम में§4.4, "Figure it Out" Q11 में छपा, Part II, p.95
productगुणा का नतीजा, जिसका आकार Q10 और Q11 में आँका जाता हैगुणनफल§4.4, "Figure it Out" में छपा, Part II, pp.94–95
quotientभाग का नतीजा, उसी तरह आँका गयाभागफल§4.3 में छपा, Part II, pp.84–87
estimateकिसी जवाब को ठीक-ठीक निकालने से पहले मोटे तौर पर आँकना कि वह कितना बड़ा होगाआकलनइस chapter में नहीं छपा — section इसी अभ्यास पर बना है पर यह शब्द कभी इस्तेमाल नहीं करता
order of magnitudeदो जवाबों के बीच दस की कितनी घातों का फ़ासला है — इस पाठ का शब्दपरिमाण-कोटिइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा
sanity checkदोनों जोड़ों की तुलना वाला वह क़दम जो section चार बार उठाता है — इस पाठ का शब्दतर्कसंगति जाँचइस पाठ का शब्द; किताब यह क़दम उठाती है पर उसे नाम नहीं देती

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "छोटे decimal को नज़रअंदाज़ किया जा सकता है।" section इसी को ग़लत साबित करने के लिए है। 0.2422 छोटा है; 0.2422 गुणा हज़ार 242.2 दिनों का खिसकाव है — लगभग आठ महीने। कोई संख्या नगण्य है या नहीं, यह पूरी तरह इस पर निर्भर है कि उसे किससे गुणा किया जाएगा।
  • "हर चौथा साल leap year होता है।" सिर्फ़ तीन योजनाओं में से पहली के तहत। chapter उस नियम को दो बार बदलता है और तीन-स्तरीय जाँच पर ख़त्म होता है। जो व्याख्या पहले वृक्ष पर रुक जाए, वह वही नियम पढ़ाती है जिसे सुधारने में chapter चार पन्ने लगाता है।
  • "आख़िरी नियम बिल्कुल सटीक है।" नहीं है, और किताब यह कहती है: हज़ार साल में calendar अब भी लगभग दिन के दो-दशांश से पीछे रह जाता है, और calendar बनाने वालों ने इसके साथ जीना तय किया। Gregorian नियम को पूरी तरह सटीक बताना section का नतीजा फेंक देना है।
  • "आँकना वह है जो आप तब करते हैं जब हिसाब करने का मन न हो।" इस section में अनुमान ही बताता है कि सटीक हिसाब करने लायक़ है या नहीं और उसका जवाब भरोसे लायक़ है या नहीं। दोनों जोड़ हमेशा निकाले जाते हैं; आकार का आकलन तय करता है कि उनका क्या मतलब निकाला जाए।
  • "जाँचने का मतलब है वही जोड़ दोबारा करना।" chapter कभी कोई जोड़ दोबारा नहीं करता। वह एक ही मात्रा को दो स्वतंत्र रास्तों से निकालता है — योजना कितने दिन देती है, पृथ्वी को कितने दिन चाहिए — और तुलना करता है। यही ग़लती को दिखने लायक़ बनाता है।
  • "Q11 के लिए calculator चाहिए।" इसके लिए एक अवलोकन चाहिए: 7.9682 से गुणा करने पर बड़ा होता है, 0.942368 से गुणा करने पर ज़रा-सा छोटा, और भाग देने पर हर एक का उलटा होता है। सिर्फ़ इसी से छहों व्यंजक क्रम में लगाए जा सकते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q11

पूरा transcript1,811 शब्द

कैलेंडर का साल खत्म, आखिरी दिन भी बीत गया, पर धरती अभी सूरज का चक्कर पूरा नहीं कर पाई। कितनी पीछे है, और क्या इतनी कमी की परवाह करनी चाहिए? धरती का एक चक्कर, 365 दशमलव 2 4 2 2 दिन, और कैलेंडर गिनता है, 365 दिन। हर साल बचता है, 0 दशमलव 2 4 2 2 दिन। घंटों में, 0 दशमलव 2 4 2 2 गुणा 24, बराबर 5 दशमलव 8 1 2 8 घंटे, एक दिन के चौथाई से भी कम।

इतनी छोटी संख्या, इसे छोड़ ही क्यों न दें? पहले इसे 100 से गुणा करो, 100 सालों में कमी, 24 दशमलव 2 2 दिन। यह 21 दिन से ज़्यादा, यानी 3 हफ़्तों से भी ज़्यादा। यहाँ 1000 साल में कमी, 242 दशमलव 2 दिन, और 10000 साल में कमी, 2,422 दिन। संख्या वही, 0 दशमलव 2 4 2 2, बदला सिर्फ़ गुणक, हर कदम पर 10 गुना। तो छोटा होना संख्या का गुण नहीं, यह इस पर टिका है कि उसे किससे गुणा करोगे।

कैलेंडर अगर न सुधरे, तो मौसम धीरे धीरे तारीखों से खिसकते जाएँगे। और 400 सालों में ही, 96 दशमलव 8 8 दिन का फ़र्क, 90 दिन से ज़्यादा, यानी 3 महीने से ऊपर। तो कुछ जोड़ना होगा, पर कितना, और कब, यही अगले अंदाज़ों का काम है। पहला अंदाज़ा, हर चौथे साल एक दिन जोड़ो, 366 दिन का लंबा साल, जिसे लीप साल कहते हैं। साल 1 से 8 तक, दिन, 365, 365, 365, 366, 365, 365, 365, 366।

नियम एक सवालों का पेड़, सिर्फ़ 1 सवाल, 4 से पूरा बँटता है, और 2 सिरे, हाँ तो 366, नहीं तो 365। जाँच, 2 तरफ़ से गिनो, नियम कितने दिन देता है, और धरती को कितने चाहिए। अब 4 सालों में नियम देता है, 4 गुणा 365, और 1, यानी 1461 दिन। धरती को चाहिए, 4 गुणा 365 दशमलव 2 4 2 2, यानी 1460 दशमलव 9 6 8 8 दिन।

नियम 0 दशमलव 0 3 1 2 दिन ज़्यादा दे रहा है, ज़रूरत से ज़्यादा सुधार। घंटों में, 0 दशमलव 7 4 8 8 घंटे, 1 घंटे से भी कम, छोटा सा फ़र्क। देखो, 100 सालों में, 4 से बँटने वाले साल, 25। नियम देता है 36,525 दिन, धरती को चाहिए 36,524 दिन, और ऊपर से 0 दशमलव 2 2। फ़र्क 0 दशमलव 7 8 दिन ज़्यादा, और यह वही छोटी गलती है, 25 गुणा 0 दशमलव 0 3 1 2, घंटों में 18 दशमलव 7 2।

जाँचना मतलब एक ही जोड़ बार बार करना नहीं। एक ही चीज़ को 2 अलग रास्तों से निकालो, नियम क्या देता है, ज़रूरत क्या है, फिर घटाओ, गलती वहीं दिखती है। दूसरा अंदाज़ा, पहला नियम ज़्यादा देता है, तो 100 से बँटने वाले साल में, जोड़ा हुआ दिन हटाओ। अब पेड़ में 2 सवाल, पहले 100, फिर 4, और 3 सिरे। गिनती को गिनकर नहीं, व्यंजक से निकालो, 100 बटा 4, घटा 100 बटा 100।

यानी 25 घटा 1, बराबर 24 लंबे साल, और 76 छोटे। एक एक साल गिनकर जाँचो, 1 से 100 तक, लंबे साल फिर 24, व्यंजक और गिनती, दोनों एक ही जवाब। अब नियम देता है 36,524 दिन, ज़रूरत वही, 36,524 दिन, और ऊपर से 0 दशमलव 2 2। इस बार 0 दशमलव 2 2 दिन कम, पहले नियम में ज़्यादा, इसमें कम। एक दिन हटाया, और फ़र्क ठीक 1 दिन खिसका, 0 दशमलव 7 8 ज़्यादा से 0 दशमलव 2 2 कम।

पर 400 ही क्यों, कोई और संख्या क्यों नहीं? दूसरा नियम हर सदी 0 दशमलव 2 2 दिन कम, तो 4 सदियों में, 4 गुणा, 0 दशमलव 8 8 दिन कम। यह लगभग 1 दिन, तो 400वें साल एक दिन वापस, और 1 में से 0 दशमलव 8 8 निकालो, तो बचा 0 दशमलव 1 2 ज़्यादा। अगला अंदाज़ा, अब थोड़ा कम है, तो 400 से बँटने वाले साल में, दिन वापस जोड़ो।

पेड़ में अब 3 सवाल, पहले 400, फिर 100, फिर 4, और 4 सिरे। गिनती का 100वाँ साल, पहले नियम में लंबा, दूसरे में छोटा, तीसरे में छोटा। और 400वाँ साल, लंबा, छोटा, फिर लंबा। पहले और दूसरे नियम में पहला फ़र्क, साल 100 पर, दूसरे और तीसरे में, साल 400 पर। यहाँ 400 सालों में लंबे साल, 400 बटा 4, घटा 400 बटा 100, जोड़ 400 बटा 400, यानी 97, दूसरे नियम में 96।

नियम देता है 146097 दिन, ज़रूरत 146096 दशमलव 8 8। फ़र्क सिर्फ़ 0 दशमलव 1 2 दिन ज़्यादा। इन्हीं 400 सालों में, पहला नियम 3 दशमलव 1 2 ज़्यादा देता, और दूसरा 0 दशमलव 8 8 कम। गिनती का 300वाँ साल, पहले नियम में लंबा, दूसरे में छोटा, तीसरे में छोटा, क्योंकि 300, 400 से नहीं बँटता। और 1200वाँ साल, लंबा, छोटा, फिर लंबा, क्योंकि 1200, 400 से बँट जाता है।

और गिनती का दूसरा साल, सब नियमों में छोटा, 4 से ही नहीं बँटता। अब 1000 साल, 4 टोलियों में बाँटो, हर साल ठीक एक टोली में। अब 400 से बँटने वाले, 2, 100 से पर 400 से नहीं, 8। देखो, 4 से बँटने वाले, पर 100 से नहीं, 240, और बाकी सब, 750। लंबे साल, 2 और 240, कुल 242। नियम देता है 3,65,242 दिन, ज़रूरत 3,65,242 दिन, और ऊपर से 0 दशमलव 2।

1000 साल बाद भी, फ़र्क सिर्फ़ 0 दशमलव 2 दिन कम। यानी आखिरी नियम भी पूरा सही नहीं, पर घटाकर देखो, तो इतनी कमी चल सकती है। इन्हीं 1000 सालों में पहला नियम, 250 लंबे साल, और 7 दशमलव 8 दिन ज़्यादा। दूसरा नियम, 240 लंबे साल, 2 दशमलव 2 दिन कम। और तीसरा, सिर्फ़ 0 दशमलव 2 कम, 7 दशमलव 8 से 0 दशमलव 2 तक, हर सुधार ने फ़र्क घटाया।

एक और नज़र, हर नियम का औसत साल कितना लंबा? पहले का 365 दशमलव 2 5 दिन, दूसरे का 365 दशमलव 2 4, तीसरे का 365 दशमलव 2 4 2 5। असली 365 दशमलव 2 4 2 2 से फ़र्क, 0 दशमलव 0 0 7 8, फिर 0 दशमलव 0 0 2 2, फिर 0 दशमलव 0 0 0 3। हर साल 0 दशमलव 0 0 0 3 का फ़र्क, तो एक पूरा दिन खिसकने में 3000 से ज़्यादा साल, यानी 1 बटा 0 दशमलव 0 0 0 3, 3333 से ऊपर।

और 10000 सालों में क्या होगा? लंबे साल, 10000 बटा 4, घटा 10000 बटा 100, जोड़ 10000 बटा 400, यानी 2425। नियम देता है 36,52,425 दिन, ज़रूरत 36,52,422। इस बार 3 दिन ज़्यादा। एक बात उलटी दिखती है, 1000 साल में कम, 10000 में ज़्यादा। कारण, 10000 में 400 साल के पूरे 25 चक्कर, हर एक में 0 दशमलव 1 2 ज़्यादा, कुल 3 दिन। पर 1000 साल, 400 साल के पूरे चक्करों में नहीं बँटते, इसलिए वहाँ हिसाब अधूरे चक्कर पर रुकता है।

एक सुझाव, 3200 से बँटने वाले साल में भी, जोड़ा हुआ दिन हटाओ। यहाँ 10000 साल के अंदर ऐसे साल 3, यानी 3 दिन कम, और फ़र्क बचा 0। जाँच, 3200 सालों में, तीसरा नियम 8 चक्कर, 0 दशमलव 9 6 ज़्यादा, नए नियम से 0 दशमलव 0 4 कम। यह भी एक अंदाज़ा ही है, और इसकी जाँच भी वैसे ही, देने और चाहिए का फ़र्क। और 400 से 4000 तक, पूरे चक्करों वाली 10 लंबाइयाँ, हर एक में नया नियम पुराने से बेहतर।

पर अधूरे चक्करों पर यह क्रम उलट भी सकता है, 4000 से नीचे 22 लंबाइयों पर तीसरा नियम दूसरे से ज़्यादा चूकता है, 452 साल से 596 साल के बीच। हर नियम एक अंदाज़ा है, और हर बार जाँच बताती है, कितना चूका, और किस तरफ़। अब अंदाज़े की आदत, एक पैमाने पर। अब 3 दशमलव 1 से 3 दशमलव 2 तक, 10 बराबर कदम, हर कदम 0 दशमलव 0 1।

बीच वाला निशान 3 दशमलव 1 5, और तीर उससे एक कदम आगे, यानी 3 दशमलव 1 6। दूसरा पैमाना, 2 दशमलव 1 5 से 2 दशमलव 1 7 तक, हर कदम 0 दशमलव 0 0 2। बीच वाला निशान 2 दशमलव 1 6, तीर फिर एक कदम आगे, 2 दशमलव 1 6 2। दोनों पैमाने बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं, पर पहले का कदम दूसरे का 5 गुना, सिरे पढ़े बिना अंदाज़ा गलत।

एक अलमारी, 160 सेंटीमीटर लंबी, और 80 किताबें, हर एक 2 दशमलव 5 सेंटीमीटर मोटी। चाहिए, 80 गुणा 2 दशमलव 5, बराबर 200 सेंटीमीटर, जगह से ज़्यादा। आएँगी कितनी, 160 को 2 दशमलव 5 से भाग, 64 किताबें। जगह 40 सेंटीमीटर कम पड़ी, यानी 16 किताबें बाहर, और 64 जोड़ 16, पूरी 80। यह भाग पता है, 756 बटा 36, बराबर 21। तो 75 दशमलव 6 को 36 से भाग, 2 दशमलव 1, और 756 को 3 दशमलव 6 से भाग, 210, बिना नया भाग किए।

और 7 दशमलव 5 6 को 0 दशमलव 3 6 से भाग, 21, और अब 75 दशमलव 6 को 0 दशमलव 0 3 6 से भाग, 2100, भाज्य और भाजक कितना खिसके, बस इतना देखो। अब 245 दशमलव 0 5 से बने व्यंजक, 7 दशमलव 9 6 8 2 और 0 दशमलव 9 4 2 3 6 8 से गुणा और भाग। क्रम में लगाने के लिए कैलकुलेटर चाहिए? नहीं, बस देखो कि दूसरी संख्या 1 के किस तरफ़ है, 7 दशमलव 9 6 8 2 है 1 से बड़ा, 0 दशमलव 9 4 2 3 6 8 है 1 से छोटा।

देखो, 1 से बड़े से गुणा बढ़ाता है, भाग घटाता है, 1 से छोटे से उल्टा। तो छोटे से बड़ा, पहले 245 दशमलव 0 5 को 7 दशमलव 9 6 8 2 से भाग, फिर 245 दशमलव 0 5 गुणा 0 दशमलव 9 4 2 3 6 8। उसके बाद खुद 245 दशमलव 0 5, फिर 245 दशमलव 0 5 को 0 दशमलव 9 4 2 3 6 8 से भाग, और सबसे बड़ा, 245 दशमलव 0 5 गुणा 7 दशमलव 9 6 8 2।

आकार का अंदाज़ा, 7 दशमलव 9 6 8 2 लगभग 8, तो गुणनफल 8 गुणा 245 दशमलव 0 5 से थोड़ा कम, यानी 1960 दशमलव 4 से थोड़ा कम। और भाग, 30 और 31 के बीच, 245 दशमलव 0 5 को 8 से भाग के पास, जो है 30 दशमलव 6 3 1 2 5। और 1 के पास वाली संख्या, 0 दशमलव 9 4 2 3 6 8, उससे गुणा हो, तो जवाब 230 और 245 दशमलव 0 5 के बीच, भाग हो, तो 245 दशमलव 0 5 और 261 के बीच।

अंदाज़ा आलस नहीं, वही बताता है कि पक्का हिसाब करने लायक है या नहीं, और उसका जवाब भरोसे लायक है या नहीं। छोटा दशमलव तभी छोड़ो, जब पता हो किससे गुणा होगा, 0 दशमलव 2 4 2 2, 100 सालों में 3 हफ़्ते से ज़्यादा। हर नियम की जाँच, 2 रास्ते, नियम क्या देता है, धरती को क्या चाहिए, फिर घटाओ। हर चौथे साल, फिर 100 पर हटाओ, फिर 400 पर वापस, हर बार फ़र्क छोटा, पर शून्य नहीं।

आखिरी नियम 1000 साल में सिर्फ़ 0 दशमलव 2 दिन कम, 10000 में 3 दिन ज़्यादा। गुणा या भाग से पहले, देखो दूसरी संख्या 1 के किस तरफ़, जवाब का आकार वहीं से।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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