योज्य प्रतिलोम (additive inverse), और यह हर घटाने को जोड़ में कैसे बदल देता है

0:00कोई इमारत के दरवाज़े पर खड़ा है, floor 0 पर, और lift में ग़लत बटन दबा देता है। ग़लती से plus 3 दब गया। lift खाने-पीने की जगह और कला केंद्र से होते हुए कॉमिक्स की दुकान पर रुकती है, floor plus 3 पर। पर कहीं जाना था ही नहीं। रुकना तो दरवाज़े पर ही था। तो अब ग़लती ठीक करने के लिए कौन सा बटन दबाएँ? minus 3। lift 3 floor नीचे आती है, कला केंद्र और खाने-पीने की जगह से होते हुए, वापस दरवाज़े पर, यानी 0 पर।

0:34दोनों दबाव साथ लिखें तो, bracket में plus 3, जोड़ bracket में minus 3, बराबर 0। ये 2 दबाव मिलकर कुछ भी नहीं करते। lift वहीं है जहाँ से चली थी। ये बात छोटी लगती है। पर आगे का पूरा हिसाब इसी पर टिका है। हर संख्या का एक जोड़ीदार होता है। ऐसी संख्या, जिसे उसमें जोड़ें तो जवाब 0 आए। इस जोड़ीदार का नाम है inverse। plus 3 का inverse minus 3 है, क्योंकि plus 3 में minus 3 जोड़ें, तो 0।

1:10ध्यान दीजिए कि ये परिभाषा किस बारे में है। ये इस बारे में नहीं है कि संख्या कैसी दिखती है, बल्कि इस बारे में कि दोनों मिलकर कितना बनाते हैं। ये फ़र्क़ थोड़ी देर में बहुत काम आएगा, इसलिए एक बार फिर। inverse वो है जिसे जोड़ने पर 0 आए, उस पर लगा sign नहीं। अब उल्टी तरफ़ से कोशिश कीजिए, दरवाज़े के नीचे से। ग़लती से minus 4 दब गया, और lift भूत-घर पर है, floor minus 4 पर।

1:40वापस कौन सा बटन लाएगा? plus 4। लिखें तो, bracket में minus 4, जोड़ bracket में plus 4, बराबर 0। वही ढाँचा है, बस signs की जगह बदल गई। तो minus 4 का inverse plus 4 है। इससे पता चलता है कि ये रिश्ता दोनों तरफ़ चलता है। अगर एक संख्या दूसरी का inverse है, तो दूसरी भी पहली का inverse है। ये दोनों बराबर के जोड़ीदार हैं। इनमें कोई असली नहीं है, और कोई नक़ल नहीं।

2:15अब 6 संख्याएँ हैं। हर एक का जोड़ीदार लिखिए। plus 4 का inverse minus 4 है। minus 4 का plus 4। और minus 3 का plus 3। फिर आता है 0। इसे थोड़ी देर के लिए अलग रखिए। plus 2 का inverse minus 2 है, और minus 1 का plus 1। अब तीसरी संख्या फिर देखिए। minus 3 का inverse plus 3 है, और उसके आगे plus का sign है।

2:42तो inverse का मतलब आगे minus लगा देना नहीं है। ये नियम हर positive पर चलता है, पर हर negative पर ग़लत निकलता है। जाँचने का सही तरीका वही परिभाषा है। minus 3 में plus 3 जोड़िए, तो 0, इसलिए ये जोड़ी सही है। अब 4-4 संख्याओं की 2 पंक्तियाँ हैं। ऊपर plus 5, minus 7, minus 8 और plus 9, और नीचे minus 9, plus 8, minus 5 और plus 7।

3:13क्या हर ऊपर वाली संख्या को नीचे उसके जोड़ीदार से मिला सकते हैं? plus 5 का जोड़ीदार minus 5 है, जो नीचे तीसरी जगह पर है। minus 7 का जोड़ीदार plus 7 है, चौथी जगह पर। minus 8 का plus 8, दूसरी जगह पर। और plus 9 का जोड़ीदार minus 9 है, जो सबसे पहली जगह पर है। 4 में से एक भी जोड़ी सीधे ऊपर-नीचे नहीं है। इसलिए हर बार जोड़ीदार ढूँढना पड़ता है, और ढूँढने का तरीका वही परिभाषा है।

3:46अब 0, जो उस सूची में सबसे अटपटा था। इस पर रुकना ज़रूरी है। 0 में क्या जोड़ें कि जवाब 0 आए? इसका जवाब भी 0 ही है। आप पहले से वहीं हैं। जो चाल चाहिए, वो कोई चाल ही नहीं है। तो 0 अपना जोड़ीदार ख़ुद है। और सारी संख्याओं में सिर्फ़ 0 ही ऐसी संख्या है। ये कोई अपवाद नहीं है, और न ही बाद में जोड़ा गया नियम।

4:14परिभाषा में 0 डालिए, तो जवाब में 0 ही निकलता है। कभी-कभी कहा जाता है कि 0 का कोई inverse नहीं होता। पर 0 में 0 जोड़ने से 0 आता है, और परिभाषा बस इतना ही माँगती है। बाक़ी हर संख्या कहीं न कहीं है, और उसे घर लौटने के लिए चलना पड़ता है। 0 पहले से घर पर है। inverse को कहने के 2 तरीके हैं, और आख़िर में दोनों एक ही बात निकलते हैं।

4:40पहला तरीका वही है जिससे शुरुआत हुई थी। आपने कोई चाल चली, और inverse उसे मिटा देता है। ये कहीं से भी काम करता है। कला केंद्र से ग़लती से plus 3 दबा, तो lift खेल-कूद पर पहुँची, और minus 3 उसे वापस कला केंद्र ले आया। दूसरा तरीका जगह के बारे में है। आप किसी floor पर खड़े हैं, और inverse वो चाल है जो आपको घर, यानी दरवाज़े तक ले आए।

5:06आइसक्रीम वाले floor, plus 4 से minus 4 दबाइए। वीडियो गेम वाले floor, minus 2 से plus 2 दबाइए। दोनों बार lift दरवाज़े पर रुकती है। यानी किसी भी floor से घर का रास्ता उसी floor का inverse है। चाल को मिटाना हो या किसी जगह से लौटना हो, संख्या वही रहती है। अब एक पुराना सिरा पकड़ते हैं, जो पहले खुला छूट गया था। खान में minus 200 मीटर से ज़मीन के ऊपर plus 2000 मीटर तक का सफ़र plus 2200 निकला था।

5:40उसे घटाने की तरह लिखा गया था, plus 2000 में से minus 200 घटाइए। और plus 2000 में plus 200 जोड़ने पर भी ठीक यही जवाब आया, plus 2200। अब दोनों की दूसरी संख्या देखिए, minus 200 और plus 200। ये दोनों एक-दूसरे के inverse हैं। एक जोड़ी का मिल जाना कोई सबूत नहीं है। पर ये एक बहुत अच्छा सुराग है, और अब इसकी वजह ढूँढी जा सकती है।

6:09एक सफ़र लीजिए, और उसे एक ख़ास जगह पर तोड़िए। शुरुआत 2 पर है, और मंज़िल minus 3 पर। number line पर सीधे पढ़ें, तो ये minus 5 की चाल है। बाईं ओर 5 कदम, और आप पहुँच गए। अब दूसरे रास्ते से चलिए। पहले 2 से वापस 0 तक। ये हिस्सा minus 2 है, जो 2 का inverse है। फिर 0 से minus 3 तक। ये हिस्सा बस minus 3 है, क्योंकि शुरुआत 0 से हुई।

6:41minus 2 में minus 3 जोड़िए, तो minus 5, यानी वही जवाब जो सीधे पढ़ने पर मिला था। और जो लिखा गया है उसे देखिए। इसमें कहीं भी घटाना नहीं है, सिर्फ़ जोड़ है। ध्यान दीजिए कि दोनों हिस्से एक ही दिशा में चलते हैं, बाईं ओर। ये संख्याओं का संयोग नहीं था, और तोड़ने की जगह का भी नहीं। हर सफ़र 0 पर तोड़ा जा सकता है, क्योंकि हर संख्या का एक जोड़ीदार है जो उसे 0 तक ले आता है।

7:12तो किसी भी 2 संख्याओं के लिए, A में से B घटाना वही है जो A में B का inverse जोड़ना। देखिए क्या बदलता है और क्या नहीं। पहली संख्या बिल्कुल नहीं बदलती। घटाना जोड़ बन जाता है, और दूसरी संख्या अपने जोड़ीदार में बदल जाती है। इसके अलावा कुछ नहीं हिलता। बदलती सिर्फ़ दूसरी संख्या है। पहली को छूने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती। यहीं पर घटाना एक अलग काम नहीं रह जाता।

7:40अब वो बस कहने का एक तरीका है। ये तब भी चलता है जब दोनों संख्याएँ negative हों। minus 5 में से minus 8 घटाइए। यानी minus 8 से minus 5 तक का सफ़र। अब इस सफ़र को 0 पर तोड़िए। minus 8 से 0 तक plus 8, जो minus 8 का inverse है। फिर 0 से minus 5 तक minus 5। तो ये बन जाता है minus 5 में plus 8 जोड़ना, और जवाब plus 3।

8:12सीधे गिनें तो भी minus 8 से minus 5 तक दाईं ओर 3 कदम हैं। अब एक आम ग़लती। minus 3 में से plus 8 घटाने को कोई minus 3 में plus 8 जोड़ना समझ ले, तो जवाब plus 5 आएगा। पर जोड़ना inverse को है, उसी संख्या को नहीं। plus 8 का inverse minus 8 है, और सही जवाब minus 11 है। 2 minus signs मिलकर plus बन जाते हैं, ये नियम भी इसी से निकलता है।

8:41वो शुरुआत नहीं, नतीजा है। ये बात उल्टी दिशा में भी चलती है, और उससे कुछ नया पता चलता है। A में B जोड़ना वही है जो A में से B का inverse घटाना। plus 8 में plus 2 जोड़िए, तो plus 10। और plus 8 में से minus 2 घटाइए, तो भी plus 10। यानी हर जोड़ को घटाने की तरह भी लिखा जा सकता है। कोई ऐसा करना नहीं चाहेगा।

9:08पर इससे पता चलता है कि जोड़ और घटाना असल में 2 अलग काम नहीं हैं। काम एक ही है, बस दूसरी संख्या लिखने का तरीका अलग है। अब 4 सवाल, और इन सबके लिए जो चाहिए वो आपके पास है। plus 7 में से plus 5 घटाइए। plus 5 का inverse minus 5 है, तो plus 7 में minus 5 जोड़िए, जवाब plus 2। minus 3 में से plus 8 घटाइए।

9:35ये बनता है minus 3 में minus 8 जोड़ना, जवाब minus 11। plus 8 में से minus 2 घटाइए। minus 2 का inverse plus 2 है, तो plus 8 में plus 2 जोड़िए, जवाब plus 10। plus 6 में से minus 9 घटाइए। plus 6 में plus 9 जोड़िए, जवाब plus 15। और यही उस सुराग की वजह है। आख़िरी 2 जवाब पहली संख्या से बड़े निकले, क्योंकि उनकी दूसरी संख्या negative थी, और उसका inverse positive है।

10:07पहले 2 में दूसरी संख्या positive थी, तो उसका inverse negative था, और जवाब पहली संख्या से छोटा आया। हिसाब से पहले ही inverse देखकर बताया जा सकता है कि जवाब बढ़ेगा या घटेगा। आख़िर में, इस विचार का पूरा नाम। इसे additive inverse भी कहते हैं। विचार वही है, नाम थोड़ा लंबा है। लंबा नाम बस ये बताता है कि ये किस काम का inverse है, यानी जोड़ का।

10:347 का additive inverse minus 7 है। और minus 543 का additive inverse plus 543 है। minus 543 को number line पर बनाने की ज़रूरत नहीं है। अब ये जगह का नहीं, हिसाब का सवाल बन चुका है। तो हर संख्या का एक जोड़ीदार है जो उसके साथ 0 बनाता है, और किसी संख्या को घटाना उसके inverse को जोड़ना है। आगे negative संख्याओं को घटाने के जो नियम मिलेंगे, वो सब इसी एक बात को अलग-अलग तरह से कहते हैं।