Brahmagupta के नियम, और दुनिया को उन्हें मानने में कितना समय लगा

0:00Negative संख्याएँ गणितज्ञों ने नहीं बनाईं। इन्हें हिसाब रखने वाले लोगों ने लिखना शुरू किया, और बहुत पहले शुरू किया। अगर आपको किसी का कुछ लौटाना है, तो उसे लिखना पड़ेगा। और उसे अपने पास की चीज़ों से अलग पहचानना भी पड़ेगा। ये काम की मुश्किल थी, सिद्धांत की नहीं। और व्यापारियों ने इसे किसी rule के लिखे जाने से सदियों पहले हल कर लिया था। तो ये कहानी किसी बड़े विचार से शुरू नहीं होती।

0:26ये एक बही-खाते से शुरू होती है। मुश्किल हिस्सा बाद में आता है, और वो वैसा नहीं है जैसा आप सोचेंगे। एक बहुत पुराने गणित के ग्रंथ में, जिसकी उम्र 1800 साल से ऊपर है, संख्याएँ गिनती की डंडियों से रखी जाती थीं। एक रंग की डंडियाँ एक तरह की मात्रा के लिए, और दूसरे रंग की उसकी उल्टी मात्रा के लिए। लाल और काली। अब नीचे के token देखिए।

0:53हरा token plus 1 का है, और लाल token minus 1 का। एक हरा और एक लाल साथ रखिए, तो मिलकर 0 बनते हैं, ठीक वैसे ही जैसे 2 और minus 2 मिलकर 0। वही विचार, वही तस्वीर, और बीच में 1800 से ज़्यादा साल। जो model आप आज class में इस्तेमाल करते हैं, वो कोई नया तरीका नहीं है। वो लगभग वही सबसे पुराना तरीका है। इससे भी पुराना एक ग्रंथ है, राज-काज और अर्थव्यवस्था पर।

1:24उसमें उधार और जमा का लंबा हिसाब है, क्योंकि जो राज्य कर वसूलता है और मज़दूरी देता है, उसके पास और कोई रास्ता नहीं। और उसमें एक ध्यान देने लायक़ बात है। वो हिसाब को 0 से नीचे जाने देता है, और उसे एक असली स्थिति मानता है, ग़लती नहीं। ये उस दिन से 900 साल से भी ज़्यादा पहले की बात है, जब ऐसी चीज़ को जोड़ने का rule लिखा गया।

1:48900 से ज़्यादा साल तक लोग एक ऐसी संख्या इस्तेमाल करते रहे, जिसका कोई rule नहीं था। इससे गणित के बनने के क्रम के बारे में क्या पता चलता है? पहले इस्तेमाल आता है, rule बाद में। बाद में, एक पुरानी हाथ से लिखी पोथी एक ऐसा काम करती है जो आज अजीब लगता है। वो negative संख्या को, उसके पीछे एक छोटा निशान लगाकर लिखती है, आगे नहीं। minus 5 नहीं।

2:16पहले 5, फिर वो निशान। निशान आगे लगे या पीछे, वो संख्या 5 के साथ मिलकर 0 ही बनाती है। संख्या का बर्ताव नहीं बदलता। यहाँ एक बात समझ आती है। आगे लिखा minus का चिह्न, बस एक चलन है, इससे ज़्यादा कुछ नहीं। किसी ने वो चुना। किसी और ने कुछ और चुना, और उनका हिसाब भी हमारे जितना ही सही चलता था। लिखने का तरीका, संख्या नहीं है।

2:44और फिर rules आते हैं, एक गणितज्ञ के हाथों। तब तक negative मात्राएँ 900 से ज़्यादा सालों से इस्तेमाल हो रही थीं। तो ये कोई खोज नहीं थी। ये संख्याएँ सबके पास पहले से थीं। जो नया था, वो एक फ़ैसला था। positive संख्याएँ, negative संख्याएँ और 0, एक ही तरह की चीज़ हैं। जोड़ना, घटाना, गुणा और भाग, सबके लिए rules, और हर तरह की संख्या के लिए। 3 तरह की चीज़ें नहीं, 3 अलग rules और उनके बीच अपवादों की list के साथ।

3:17एक तरह, rules का एक set, और हर operation सबके लिए। पर एक फ़ैसला इतना ज़रूरी क्यों था? क्योंकि अपवादों वाला rule हर बार याद रखना पड़ता है। बिना अपवाद वाला rule, हर बार ख़ुद से निकाला जा सकता है, और वो कभी धोखा नहीं देता। ये खोज नहीं, फ़ैसला था। और इसी वजह से वो rules आज भी rules हैं। जोड़ने के 5 rules हैं, और हर एक को आप एक उदाहरण से सीधे पढ़ सकते हैं।

3:48पहला rule, जब दोनों संख्याएँ positive हों। 2 और 3 मिलकर 5। आकार जोड़िए, चिह्न वही रखिए। दूसरा rule, जब दोनों संख्याएँ negative हों। minus 2 और minus 3 मिलकर minus 5। फिर आकार जोड़िए, और चिह्न फिर वही। अब एक positive और एक negative। minus 5 और 3 मिलकर minus 2। बड़े आकार में से छोटा घटाइए, और चिह्न बड़े वाले का रखिए। इसी rule के 2 और उदाहरण हैं।

4:232 और minus 3 मिलकर minus 1, और minus 3 और 5 मिलकर 2। एक संख्या और उसका inverse। 2 और minus 2 मिलकर 0। और एक संख्या और 0। minus 2 और 0 मिलकर minus 2, और 0 और 0 मिलकर 0। कुछ नहीं बदलता। यानी 8 उदाहरण, और 5 rules। ध्यान दीजिए, rule 3 के पास 3 उदाहरण हैं और rule 5 के पास 2। rules एक-एक उदाहरण वाले नहीं हैं, उदाहरणों से पढ़े जाते हैं।

4:58फिर घटाने के 5 और rules हैं। बड़े में से छोटा: 3 में से 2 घटाइए, 1 बचता है। छोटे में से बड़ा: 2 में से 3 घटाइए, minus 1। एक negative घटाना: 2 में से minus 3 घटाइए, और 5 आता है। अगर आपने इसे एक trick की तरह सीखा है, तो यहीं से ये trick नहीं रहता। संख्या में से वही संख्या: 2 में से 2, 0। और minus 2 में से minus 2, वो भी 0।

5:28और 0 वाले: minus 2 में से 0, minus 2। 0 में से 0, 0। और 0 में से minus 2, 2। कुल 10 rules। क्या इन्हें रटना पड़ेगा? सुनने में बहुत लगता है। पर ये 10 ज़्यादा देर 10 नहीं रहने वाले। रटने से पहले, हर एक को number line पर जाँचा जा सकता है। सबसे अटपटा वाला लीजिए, minus 3 को 2 में से घटाना। घटाने का मतलब है बाईं ओर चलना।

6:02तो negative मात्रा घटाने का मतलब है negative दूरी बाईं ओर चलना, यानी दाईं ओर। 2 से शुरू कीजिए। 3 कदम दाईं ओर। और 5 पर पहुँचिए। तुलना के लिए, 2 में से 3 घटाने पर 3 कदम बाईं ओर, minus 1 तक। अब एक और उदाहरण लीजिए, minus 2 में से minus 2। minus 2 से शुरू कीजिए, 2 कदम दाईं ओर, और 0 पर पहुँचिए। कोई नई तस्वीर नहीं चाहिए थी।

6:32वही line, और rule उसी से निकल आता है। यही फ़र्क़ है सच्चे rule में, और सिर्फ़ माने गए rule में। अब rules फिर से गिनिए। हर घटाना एक जोड़ है। 3 घटाना, minus 3 जोड़ना है। और minus 3 घटाना, 3 जोड़ना है। तो 10 में से 5 कभी अलग rules थे ही नहीं। वो पहले वाले 5 ही थे, दूसरे कपड़ों में। और पहले 5 भी सिमट जाते हैं।

7:00एक जैसे चिह्न, तो आकार जोड़िए और चिह्न रखिए। अलग चिह्न, तो बड़े आकार में से छोटा घटाइए और बड़े का चिह्न रखिए। बस इतना ही। minus 5 और 3 के चिह्न अलग हैं। 5 में से 3, यानी 2, और चिह्न बड़े का, तो minus 2। अब 2 में से minus 3 इसी वाक्य से कीजिए। ये 2 और 3 जोड़ना है, चिह्न एक जैसे, तो आकार जोड़िए, 5।

7:29inverse वाला और 0 वाला उदाहरण इस वाक्य के अपवाद नहीं हैं। उन्हें इसमें डालिए, और सही जवाब अपने आप निकलता है। और ठीक यही उन rules का दावा था। संख्याओं के 3 समूह नहीं, जिनके बीच कोई समझौता हो। एक समूह, एक rule, और कोई ख़ास अपवाद नहीं। कुछ भी अलग नहीं रखा गया, इसलिए अलग से याद रखने को भी कुछ नहीं बचा। positive, negative और 0, यानी 3 तरह की संख्याएँ, और उनकी सारी 9 जोड़ियाँ उसी एक rule से गुज़रती हैं।

8:03ऐसे system का आज एक नाम है, और ये शब्द आपको कुछ साल बाद फिर मिलेगा। इसे ring कहते हैं। इसके बारे में यहाँ बस इतना ही, क्योंकि इसकी परिभाषा के लिए अभी और गणित चाहिए। पर वो चीज़ ख़ुद आपके पास पहले से है। आप अब तक उसी के अंदर काम कर रहे थे। तो बाक़ी दुनिया को इसे मानने में कितना समय लगा? ये विचार 300 साल के अंदर दूर के इलाक़ों तक पहुँच गए।

8:30और rules के 500 साल से भी ज़्यादा बाद, उससे भी दूर तक। सफ़र धीमा था, ये ठीक है। पर असली संख्या ये है। rules के 1000 साल से भी ज़्यादा बाद, वहाँ एक गणितज्ञ ने इन्हें absurd कहा, यानी बेतुका। तब तक ये संख्याएँ वहाँ पहुँचे हुए 400 से ज़्यादा साल हो चुके थे। 300 और 500 साल, ये सफ़र का समय है। पर 1000 साल से ज़्यादा, ये कुछ और है।

8:58ये ग़ायब नहीं थीं, अनजान भी नहीं थीं। इन्हें ठुकराया जा रहा था। रुकावट कभी जानकारी की नहीं थी। तो रुकावट क्या थी? negative संख्या कोई ऐसी चीज़ नहीं जिसे मेज़ पर रखा जा सके। आप 3 सेब की तरफ़ इशारा कर सकते हैं, पर minus 3 सेब की तरफ़ नहीं। तो आपत्ति ये थी कि ये असली संख्याएँ हैं ही नहीं, बस उधार की बात करने का एक तरीका हैं।

9:26ये आपत्ति समझ में आती है। minus 3 को हाथ में नहीं पकड़ा जा सकता। पर क्या किसी संख्या को पकड़ा जाना ज़रूरी है? और इसका जवाब वही है जो rules पहले ही दे चुके थे। ये संख्याओं की तरह बर्ताव करती हैं, एक ही rules के set में, बिना किसी अपवाद के। 3 और minus 3 मिलकर 0, हर बार। बस यही एक कसौटी है। किसी चीज़ की तरफ़ इशारा करने की ज़रूरत नहीं।

9:54अब आपकी बारी। 10 rules में से हर एक का अपना एक उदाहरण बनाइए, और उसे number line पर चलकर जाँचिए। फिर देखिए कि आपका हर उदाहरण उसी एक वाक्य से निकलता है या नहीं। और जब ये मान लिया, तो आप संख्याओं की जगह letters लिखना शुरू कर सकते हैं। उस विषय को algebra कहते हैं, और ये सब वहीं जाता है।