PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 10, The Other Side of ZeroPrepShorts

Chapter 10 · The Other Side of Zero

Integer grids, और कुल हर बार एक ही क्यों आता है

Integers in the world, in puzzles, and in history11 मिनट

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बीच में ख़ाली खाने वाला एक square, और उसकी हर row और हर column का जोड़ एक ही। एक खेल, जिसमें आप कुछ भी चुनें, जोड़ हर बार minus 1। ये इत्तफ़ाक़ है, या जादू?

मुख्य idea

इस section की दोनों पहेलियाँ जादू जैसी लगती हैं, और दोनों में से कोई जादू नहीं है: हर grid को किसी के छूने से पहले ही ऐसा बनाया गया था कि वह वैसा ही बर्ताव करे। फिर भी दोनों एक ही तरह से नहीं बने, और उन्हें एक मान लेना ग़लती होगी। strike-out grid का कुल हमेशा एक ही आता है क्योंकि उसे एक row number में एक column number जोड़कर बनाया गया था — इसलिए आप उसमें से कोई भी रास्ता लें, आप हर row number एक बार और हर column number एक बार इकट्ठा करते हैं, और कुल आपके चुनना शुरू करने से पहले ही तय हो चुका था। खोखला grid एक अलग शर्त पर चलता है, जो उसकी दो बाहरी पंक्तियों और दो बाहरी स्तंभों पर लगती है, और वह row-plus-column table नहीं है। दोनों में जो साझा है वह सबक़ है: जो आपके चुनावों का गुण लगता है, वह असल में इस बात का गुण है कि grid कैसे बनाया गया, और इसीलिए आप ख़ुद एक बना सकते हैं और जवाब पहले से जान सकते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • किनारे वाले grid में एक पंक्ति और एक स्तंभ का योग निकालिए और उनकी तुलना कीजिए
  • बताइए कि section का border sum क्या है, और दिए गए grid के लिए उसे निकालिए
  • आधे भरे grid को इस तरह पूरा कीजिए कि चारों border sums मेल खाएँ
  • बताइए कि कौन-से grids एक ही जवाब पर मजबूर हैं और कौन-से कई जवाब मानते हैं, और क्यों
  • किसी grid पर strike-out प्रक्रिया पूरी कीजिए और घेरी गई संख्याओं का कुल निकालिए
  • grid जिन row और column numbers से बना है उन्हें पहचानकर, खेलने से पहले ही कुल बताइए
  • समझाइए कि यह प्रक्रिया हमेशा हर पंक्ति और हर स्तंभ से एक ही entry क्यों चुनती है
  • किसी भी तरह का grid, ज़रूरी कुल के हिसाब से, बनाइए
  • दोहराए जाने वाले token pattern का मान, उसकी अवधि और हर अवधि का मान ढूँढ़कर, निकालिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
border sumदोनों बाहरी पंक्तियों में से हर एक और दोनों बाहरी स्तंभों में से हर एक का साझा कुलसीमा योग§10.4, p.263 पर छपा और परिभाषित
hollow integer gridऐसे वर्गाकार grid का किताब में नाम जिसका बीच वाला ख़ाना ख़ाली होखोखला पूर्णांक ग्रिड§10.4, p.263 पर उप-शीर्षक के रूप में छपा
gridintegers की वह वर्गाकार व्यवस्था जिस पर दोनों पहेलियाँ रखी गई हैंग्रिड§10.4, p.263 पर छपा
rowख़ानों की एक आड़ी lineपंक्ति§10.4, p.263 पर छपा
columnख़ानों की एक खड़ी lineस्तंभ§10.4, p.263 पर छपा
strike outपूरी पंक्ति और पूरे स्तंभ पर line खींचकर उन्हें खेल से हटा देनाकाट देना§10.4, p.264 पर छपा
circleकिसी entry को चुनना, वह चाल जो काटने के साथ बारी-बारी से आती हैघेरना§10.4, p.264 पर छपा
border integer square puzzleपहली तरह की उस पहेली का किताब में नाम जिसे आप ख़ुद बनाते हैंसीमा पूर्णांक वर्ग पहेली§10.4, p.264 पर छपा
addition tableऐसा grid जिसकी हर entry एक row number और एक column number का योग होयोग सारणीइस chapter में नहीं छपा; उस ढाँचे के लिए इस brief का नाम जिसे किताब पढ़ने वाले से ख़ुद खोजने को कहती है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं देखा गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Grid जादुई है।" वह बनाया गया है। section का पूरा मोल "यह हमेशा चलता है" की जगह "इसके साथ यह किया गया था" रखने में है, और किताब यह सवाल सीधे पूछती है।
  • "Border sum किनारे की सारी संख्याओं का योग है।" नहीं है: यह हर अकेली बाहरी पंक्ति और हर अकेले बाहरी स्तंभ का कुल है, और चारों कोनों वाली entries उनमें से दो-दो कुलों में गिनी जाती हैं। इसमें ग़लती से section का हर अभ्यास ग़लत निकलता है।
  • "अगर मैं grid पूरा कर लूँ, तो मेरा जवाब ही जवाब है।" तीन पहेली वाले grids में से दो के कई तरह से पूरे होने के रास्ते हैं। जो student एक ढूँढ़कर सोचता है कि उसने इकलौता ढूँढ़ लिया, वह section का दूसरा सवाल चूक गया।
  • "Strike-out वाले खेल में बड़ी संख्याएँ चुनने से कुल बड़ा आता है।" कुल वही आता है। कक्षा को इसे हराने की कोशिश करने दीजिए और नाकाम होने दीजिए; वही नाकामी section 8 की प्रेरणा है।
  • "Strike-out का कुल एक पंक्ति और एक स्तंभ का योग है।" वह चारों row numbers और चारों column numbers का योग है, क्योंकि प्रक्रिया हर पंक्ति और हर स्तंभ से एक entry लेती है। यह दिखाना section 9 है।
  • "सामान्य युग की शुरुआत के पार वर्षों को पीछे गिनना सीधा घटाना है।" नहीं है, और chapter वह संकेत छापता है जो बताता है क्यों: 1 CE से पहले का वर्ष 1 BCE है, और उनके बीच कोई वर्ष 0 नहीं। जो गिनती उस सीमा को पार करती है, वह एक साल कम निकलती है, जब तक आप इसका ध्यान न रखें। जो गिनती उसकी एक ही तरफ़ रहती है उस पर कोई असर नहीं होता, इसीलिए सवाल के सिर्फ़ एक हिस्से को संकेत की ज़रूरत है।
  • "सौ tokens का मान निकालने के लिए सौ tokens गिनने पड़ते हैं।" दोहराया जाने वाला खंड ढूँढ़िए, उसका मान निकालिए, और खंड गिनिए। सवाल खंड को ही परख रहा है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 13 Q1, Figure it Out · 13 Q2, Figure it Out · 13 Q3, Figure it Out · 13 Q4, Figure it Out · 13 Q5, Figure it Out · 14 Q1, Figure it Out · 14 Q2, Figure it Out · 14 Q3, Figure it Out · 15 Q9

पूरा transcript1,666 शब्द

ये 9 खानों का एक square है, और इसके बीच का खाना ख़ाली है। वहाँ 0 भी नहीं लिखा, वो बिल्कुल ख़ाली है, और उसे ख़ाली ही रहना है। बाहर की तरफ़ 8 संख्याएँ हैं। ऊपर की row में 4, minus 1 और minus 3 हैं। बीच की row के किनारों पर minus 3 और 1 हैं। नीचे की row में minus 1, minus 1 और 2 हैं। ऊपर की row जोड़िए।

4 में minus 1 और minus 3 जोड़ने पर 0 आता है। अब नीचे की row जोड़िए। minus 1, minus 1 और 2 का जोड़ भी 0 है। 2 row, और दोनों का जोड़ 0। ये इत्तफ़ाक़ हो सकता था, पर है नहीं, और इसकी वजह ही इस पूरे video का विषय है। बायाँ column ऊपर से नीचे पढ़िए। 4, minus 3 और minus 1, और जोड़ फिर 0। और दायाँ column।

minus 3, 1 और 2, जोड़ फिर से 0। 4 जोड़, और हर एक 0। इस साझा संख्या का एक नाम है, border sum। अब एक दूसरा square, बिल्कुल अलग संख्याओं के साथ। ऊपर 5, minus 3 और minus 5 हैं। किनारों पर 0 और minus 5 हैं, और नीचे minus 8, minus 2 और 7। इसका border sum क्या है? इसके 4 जोड़ हैं minus 3, minus 3, minus 3 और minus 3।

ऊपर 5, minus 3 और minus 5 मिलकर minus 3। नीचे minus 8, minus 2 और 7 मिलकर minus 3। और बायाँ column, 5, 0 और minus 8, वो भी minus 3। संख्याएँ अलग, जवाब अलग, पर वही अजीब सहमति। और ये square सिर्फ़ minus 3 पर बैठता है, किसी और border sum पर नहीं। आगे बढ़ने से पहले वो एक ग़लती, जो इस तरह की हर पहेली बिगाड़ देती है।

border sum, किनारे की सारी 8 संख्याओं का जोड़ नहीं है। पहले square में वो 8 संख्याएँ मिलकर minus 2 होती हैं, जबकि उसका border sum 0 था। तो ये फ़र्क़ कहाँ से आया? ये फ़र्क़ कोनों से आता है। हर कोना एक row में भी है और एक column में भी, इसलिए 4 lines में उसकी गिनती 2 बार होती है। 4 lines में 12 जगहें हैं, पर खाने सिर्फ़ 8 हैं।

border sum एक row है, या एक column, अकेले लिया हुआ। और बीच का ख़ाली खाना किसी भी गिनी जाने वाली row या column में नहीं है। इसीलिए उसे ख़ाली छोड़ा गया है। अब इस पहेली को उल्टा करके देखिए। square देकर उसका border sum पूछने की जगह, अब आपको border sum दिया गया है, और square का ज़्यादातर हिस्सा ग़ायब है। ऊपर बाएँ 6, उसके बगल में 8, बीच में दाईं ओर minus 5, और नीचे बीच में minus 2 है।

border sum minus 2 होना चाहिए। जहाँ सबसे ज़्यादा है, वहाँ से शुरू कीजिए। ऊपर की row में 6 और 8, यानी 14, तो आख़िरी खाना minus 16 होना चाहिए। इससे एक कोना भर गया, और कोना भरते ही एक column खुल जाता है। दाएँ column में minus 16 और minus 5, यानी minus 21, तो नीचे दाएँ 19। अब नीचे की row में 19 और minus 2 हैं, तो नीचे बाएँ minus 19 आता है।

और बायाँ column, 6 और minus 19 के साथ, बीच में 11 माँगता है। हर ख़ाली खाना उस कोने से तय हुआ जो अभी-अभी भरा था। इस square का बस 1 ही जवाब है। अब इसकी जाँच कीजिए। ऊपर 6, 8 और minus 16, दाएँ minus 16, minus 5 और 19, और हर line का जोड़ minus 2 ही आता है। पर हर square ऐसा नहीं होता। ये एक और है।

ऊपर बाएँ minus 10, नीचे बाएँ 9, बीच में दाईं ओर minus 5, और border sum 4 होना चाहिए। बाएँ column में 3 में से 2 खाने पहले से हैं, तो बीच बाएँ 5 पर तय है। यहाँ तक सब पहले जैसा। और फिर ये रुक जाता है। ऊपर दाएँ कोने में कुछ भी चुनिए, बाक़ी square आपकी पसंद के हिसाब से बन जाता है। minus 20 से 20 तक के हर चुनाव से एक पूरा square बनता है, यानी सिर्फ़ इसी दायरे में 41 अलग जवाब।

फ़र्क़ संख्याओं में नहीं है। तो फिर कहाँ है? फ़र्क़ इसमें है कि शुरू में कितने खाने दिए गए थे। 8 खाने भरने हैं और 4 शर्तें पूरी करनी हैं, इसलिए 4 दिए हुए खाने चाहिए। जो square तय था, उसमें 4 खाने दिए थे। इसमें 3 हैं, और एक चुनाव खुला रह जाता है। अब दूसरी पहेली, और ये एक खेल है। ये 16 संख्याओं का square है, 4 rows और 4 columns।

कोई भी संख्या घेरिए। फिर उसकी पूरी row और पूरा column काट दीजिए, वो खेल से बाहर हो गए। बची हुई कोई संख्या घेरिए, और उसकी row और column भी काट दीजिए। जब तक कुछ बचा है, ऐसा करते रहिए। आप 4 संख्याएँ घेरेंगे, और खेल है उनका जोड़। हर चाल एक row और एक column हटाती है, इसलिए 4 चालों में board ख़त्म हो जाता है, और आख़िरी चाल में कोई चुनाव बचता ही नहीं।

पहले minus 1 घेरिए, फिर 9, फिर minus 7, और आख़िर में minus 2। इन चारों का जोड़ minus 1 है। अब फिर से खेलिए, और इस बार बेहतर करने की कोशिश कीजिए। 9 से शुरू कीजिए, जो board की सबसे बड़ी संख्या है। उसकी row और उसका column बाहर। अगली minus 5 लीजिए। फिर 2, और फिर minus 7, क्योंकि 2 चालों के बाद ज़्यादा चुनाव बचता ही नहीं।

9, minus 5, 2 और minus 7 का जोड़ फिर से minus 1 है। तीसरा रास्ता आज़माइए, और चौथा भी। बड़ी संख्याओं के पीछे जाइए, या छोटी के, या आँखें बंद करके चुनिए, हर बार minus 1। इस board को खेलने के 24 अलग तरीके हैं, और हर एक का जोड़ minus 1 है। तो ये जोड़ आपके चुनने का था ही नहीं। वो खेल शुरू होने से पहले ही तय हो चुका था।

square की ऊपर वाली row देखिए, उसमें 3, 4, 0 और 9 हैं। अब दूसरी row, minus 2, minus 1, minus 5 और 4। ये ऊपर वाली row ही है, हर संख्या में से 5 घटाकर। तीसरी row, ऊपर वाली में से 2 घटाकर बनी है। और आख़िरी row, ऊपर वाली में से 10 घटाकर। यानी square की हर संख्या, एक column number और एक row number का जोड़ है।

आड़े में 3, 4, 0 और 9, और खड़े में 0, minus 5, minus 2 और minus 10। एक खाना जाँचिए। दूसरी row का minus 1, column number 4 और row number minus 5 का जोड़ है। ये जोड़ की एक सारणी है, और शुरू से थी। अब देखिए कि खेल के नियम आपके साथ असल में क्या करते हैं। जैसे ही आप कोई संख्या घेरते हैं, उसकी पूरी row board से चली जाती है।

तो एक ही row से 2 बार कभी नहीं घेरा जा सकता। columns के साथ भी यही है। 4 घेरे, 4 अलग rows, और 4 अलग columns। यानी घेरी गई हर संख्या एक row number और एक column number का जोड़ है, और कुल मिलाकर हर row number एक बार आता है, और हर column number भी एक बार। इसलिए कुल जोड़ है 4 row numbers और 4 column numbers का जोड़, चाहे आपने कोई भी 4 खाने लिए हों।

3, 4, 0 और 9 का जोड़ 16 है। 0, minus 5, minus 2 और minus 10 का जोड़ minus 17 है। 16 और minus 17 मिलकर minus 1। तो क्या कोई रास्ता कुछ और दे सकता है? नहीं, क्योंकि हर रास्ता वही 8 संख्याएँ जोड़ता है, बस अलग क्रम में। ये उसी तरह का एक और board है, और इसमें कुछ गड़बड़ है। ऊपर 7, 10, 13 और 16 हैं, और हर row अपने ऊपर वाली row में से 9 घटाकर बनी है।

सिवाय एक जगह के। नीचे की row का दूसरा खाना minus 17 होना चाहिए, पर वहाँ minus 7 लिखा है। ये खाना पकड़ा कैसे? हर row को अपने ऊपर वाली row से मिलाइए, और देखिए कौन-सी जगह pattern तोड़ती है। बस एक अंक का फ़र्क़, और उसके साथ खेल काम करना बंद कर देता है। 24 में से 18 रास्ते अब भी minus 8 देते हैं। पर उस एक खाने से गुज़रने वाले 6 रास्ते plus 2 देते हैं।

वो खाना 10 ज़्यादा है, इसलिए उससे गुज़रने वाला हर रास्ता भी 10 ज़्यादा आता है। तो ये खेल जादू नहीं है, और मज़बूत भी नहीं। ये इसलिए चलता है कि किसी ने इसे चलने के लिए बनाया, और एक ग़लत खाना इसे तोड़ने के लिए काफ़ी है। एक और चीज़, जो पहले से तय है। ये token की एक line है। 3 हरे, फिर 2 लाल, फिर 3 हरे, फिर 2 लाल, और ऐसे ही आगे।

हर हरा token plus 1 है, और हर लाल minus 1। line में 100 token हैं। पूरी line का मोल क्या है? आप एक-एक करके गिन सकते हैं। पर बेहतर है कि वो टुकड़ा ढूँढिए जो दोहराता है। एक-एक करके गिनने में 100 कदम लगते हैं, और बीच में एक भी चूक पूरा जवाब बिगाड़ देती है। 3 हरे और 2 लाल, यानी 5 token, जिनका मोल 3 में से 2 घटाकर 1 है।

100 token ऐसे 20 टुकड़े हैं, तो line का मोल 20 है। 60 हरे, 40 लाल, और आपको 5 से आगे गिनना ही नहीं पड़ा। इस सब के नीचे यही एक विचार है। जो आपके चुनाव की ख़ूबी लग रही थी, वो असल में चीज़ के बनने के तरीके की ख़ूबी निकली। तो ख़ुद एक बनाइए। columns के लिए 4 संख्याएँ और rows के लिए 4 संख्याएँ चुनिए, उन्हें जोड़कर square भरिए, और किसी को दे दीजिए।

वो कुछ भी घेरे, उसका जोड़ आपकी 8 संख्याओं के जोड़ पर ही आएगा, और ये आपको उसके चुनने से पहले पता था। दूसरी पहेली के लिए, पहले border sum चुनिए और अंदर की तरफ़ काम कीजिए। याद रखिए, square को बाँधने के लिए 4 दिए हुए खाने चाहिए। यही फ़र्क़ है एक जादू और गणित में। जादू को हर बार करके दिखाना पड़ता है, पर ये आप किसी को सौंप सकते हैं, और ये फिर भी चलेगा।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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