Integers को क्रम से बिछाना, और −8, −2 से छोटा क्यों है

0:00फिर से वही इमारत है, और इस बार उसमें 4 लोग हैं, 4 अलग दुकानों में। एक कला केंद्र में है, एक खेल-कूद में, एक सिनेमा में, और एक खिलौनों की दुकान में। इनमें से सबसे नीचे कौन है? floors इमारत से पढ़िए। कला केंद्र plus 2 है, खेल-कूद plus 5, सिनेमा minus 3, और खिलौनों की दुकान minus 1। सबसे नीचे वो है जो सिनेमा में है, minus 3 पर।

0:30नीचे से ऊपर क्रम है सिनेमा, खिलौने, कला केंद्र, और खेल-कूद। ध्यान दीजिए कि ये जवाब कोई हिसाब लगाकर नहीं मिला। बस देखा गया कि कौन सी जगह नीचे है। अब 2 floors की तुलना कीजिए, plus 3 और plus 4 की। plus 3 वाला floor नीचे है। इसलिए plus 3, plus 4 से कम है। पुरानी आदत भी यही कहती है, क्योंकि 3 छोटा है और 4 बड़ा। तो दरवाज़े के ऊपर नीचे वाला floor ही छोटी संख्या वाला floor है।

1:06दरवाज़े के ऊपर ये हर जोड़ी में सच है। जो संख्या छोटी है वो नीचे है, और जो नीचे है वो कम है। यानी अब तक 2 अलग बातें एक साथ चल रही थीं, संख्या का आकार और उसकी जगह। दोनों ने हमेशा एक ही जवाब दिया। अब नीचे चलिए, और minus 3 और minus 4 की तुलना कीजिए। पुरानी आदत कहेगी कि 4 बड़ा है, तो minus 4 भी ज़्यादा होगा।

1:33पर इमारत देखिए। minus 3 सिनेमा है, और minus 4 भूत-घर, जो सिनेमा से भी एक floor नीचे है। इसलिए minus 4, minus 3 से कम है। जो नीचे है, वही कम है। यही बात minus 8 और minus 2 पर भी लागू होती है। 8 बड़ा दिखता है, पर minus 8 तक पहुँचने के लिए minus 2 से 6 floor और नीचे जाना पड़ता है। एक आसान जाँच हमेशा काम करती है।

2:03दोनों में से किस तक पहुँचने के लिए और नीचे जाना पड़ता है? वही कम है। दरवाज़े के नीचे आकार और जगह हर जोड़ी में उल्टा जवाब देते हैं। जिसका आकार बड़ा है, वो और नीचे है। तो असल में कम होने का मतलब क्या था, आकार या जगह? जवाब है जगह। कम का मतलब हमेशा यही था, कि तस्वीर में कौन नीचे है। जब तस्वीर 0 पर रुक जाती थी, तो नीचे वाली संख्या छोटी भी होती थी।

2:35इसलिए ये फ़र्क़ कभी दिखा ही नहीं। तस्वीर को 0 से आगे बढ़ाते ही दोनों बातें अलग हो जाती हैं। और तभी पता चलता है कि हम असल में किस बात पर चल रहे थे। निशान वही रहते हैं। minus 4 और minus 3 के बीच कम वाला निशान लगता है, जिसकी नोक minus 4 की तरफ़ है। और ज़्यादा होने का मतलब भी यही है, तस्वीर में ऊपर होना।

2:59minus 3, minus 4 से ज़्यादा है, क्योंकि वो ऊपर है। इससे 2 नियम तुरंत निकलते हैं। पहला, हर negative संख्या 0 से नीचे है, इसलिए 0 से कम है। दूसरा, हर positive संख्या 0 से ऊपर है, इसलिए 0 से ज़्यादा है। दोनों को मिलाइए, तो हर negative संख्या हर positive संख्या से कम है, चाहे उसका आकार कितना भी बड़ा हो। और 0 अब सबसे छोटी संख्या नहीं रहा।

3:28वो तस्वीर के बीच में है, उसके नीचे 5 floors हैं और ऊपर 6। negative संख्याएँ भी उतनी ही फैली हैं जितनी positive। minus 1 दरवाज़े के ठीक नीचे है, और minus 5 सबसे नीचे। अब इमारत से दीवारें, दुकानें और lift हटा दीजिए। बचता है बस एक खड़ा रास्ता, जिस पर बराबर दूरी पर निशान हैं। उसके दोनों सिरों पर तीर हैं, क्योंकि वो ऊपर और नीचे दोनों तरफ़ आगे चलता है।

3:598 निशानों को नाम दिए गए हैं, नीचे से ऊपर A से लेकर H तक। इनमें से बस 4 जगहों पर संख्या लिखी है। E पर plus 1, D पर minus 1, उनके बीच वाले निशान पर 0, और सबसे नीचे A पर minus 12 लिखा है। बाक़ी नामों की संख्या गिनकर निकालनी है। निशान बराबर दूरी पर हैं, इसलिए हर निशान एक floor है। A minus 12 पर है, और B उससे 3 निशान ऊपर है।

4:30तो B है minus 9। C, B से 3 निशान और ऊपर है, तो C है minus 6। ऊपर की तरफ़, F ठीक E के ऊपर वाला निशान है। E plus 1 है, तो F है plus 2। G, F से 4 निशान ऊपर है, तो G है plus 6। और H, G से 5 निशान ऊपर है, यानी plus 11। जाँच के लिए 0 से भी गिनिए। H, 0 वाले निशान से 11 निशान ऊपर है, तो फिर से plus 11 ही आता है।

5:02अब 4 और floors ख़ुद लगाइए, minus 7, minus 4, plus 3, और minus 10। हर एक को 0 से गिनकर उसकी जगह पर रखिए। minus 10, A से बस 2 निशान ऊपर आता है, और minus 7, C से एक नीचे। अब इमारत पर 6 तुलनाएँ कीजिए। हर बार बस देखिए कि कौन नीचे है। minus 2 और plus 5 में minus 2 नीचे है, तो minus 2 कम है।

5:32minus 5 और plus 4 में भी negative वाला नीचे है, तो minus 5 कम है। minus 5 और minus 3 में minus 5 सबसे निचला floor है, डायनासोर। तो minus 5, minus 3 से कम है। plus 6 और minus 6 में एक दिक्कत है। minus 6 इस इमारत में है ही नहीं, वो डायनासोर से भी एक floor नीचे होता। तो इमारत को एक floor नीचे बढ़ाकर सोचिए।

5:58minus 6 सबसे नीचे आता है और plus 6 सबसे ऊपर, तो plus 6, minus 6 से ज़्यादा है। आख़िर में 0 और minus 4 में 0 ऊपर है, तो 0 ज़्यादा है। और 0 और plus 4 में 0 नीचे है, तो 0 कम है। अब 6 और तुलनाएँ हैं, जो इस इमारत में समा ही नहीं सकतीं। इमारत को दोनों तरफ़ और ऊँचा और गहरा सोचिए। minus 10 और minus 12 में minus 12, 2 floor और नीचे है।

6:30तो minus 10, minus 12 से ज़्यादा है। plus 17 दरवाज़े के ऊपर है और minus 10 नीचे, तो plus 17 ज़्यादा है। 0 और minus 20 में भी 0 ऊपर है, तो 0 ज़्यादा है। plus 9 और minus 9 का आकार एक ही है। पर एक दरवाज़े से 9 floor ऊपर है और दूसरा 9 floor नीचे, तो plus 9 ज़्यादा है। minus 25 और minus 7 में minus 25 बहुत नीचे है, तो minus 25 कम है, भले ही 25 बड़ा दिखे।

7:04और plus 15 और minus 17 में 17 का आकार बड़ा है, फिर भी plus 15 ज़्यादा है, क्योंकि वो ऊपर है। 12 में से 7 तुलनाओं के लिए इमारत छोटी पड़ गई। पर तुलना का तरीक़ा एक बार भी नहीं बदला। इमारत का सबसे निचला floor minus 5 है, और खान minus 175 मीटर तक जाती थी। तो क्या कोई सबसे निचली संख्या भी है? इमारत कहीं ख़त्म होती है, क्योंकि किसी ने उसे वहीं तक बनाया।

7:35संख्याओं को किसी ने बनाकर रोका नहीं। किसी भी संख्या से एक floor और नीचे जाइए, तो एक और संख्या मिलती है। ये कभी ख़त्म नहीं होता। ये वही वजह है जिससे सबसे बड़ी संख्या नहीं होती, बस दिशा उल्टी है। जैसे minus 3 और 2 के बीच के integers गिनिए। वो हैं minus 2, minus 1, 0 और 1, कुल 4। positive संख्याएँ, negative संख्याएँ, और 0, इन सबको मिलाकर integers कहते हैं।

8:07इसलिए integers की तस्वीर के दोनों सिरों पर तीर होते हैं। वो दोनों तरफ़ बिना रुके चलती है। अब उस बिना छत और बिना तहख़ाने वाली lift को करवट पर लिटा दीजिए। 0 को पकड़कर पूरी तस्वीर को घड़ी की सुई की दिशा में चौथाई चक्कर घुमाइए। कोई निशान अपनी जगह से नहीं खिसकता, पूरी तस्वीर एक साथ घूमती है। हर दूरी और हर क्रम वही रहता है। जो ऊपर था, वो अब दाईं ओर है।

8:37positive संख्याएँ दाईं तरफ़ हैं और negative बाईं तरफ़। यही है number line, minus 10 से 10 तक निशान, और दोनों सिरों पर तीर। और जो नीचे था, वो अब बाईं ओर है। तो अब कम होने का मतलब है, बाईं ओर होना। number line पर एक और आदत अपनाई जाती है। positive संख्याओं के आगे plus का निशान नहीं लिखा जाता। plus 3 को बस 3 लिखते हैं। संख्या वही है, जगह वही है, बस लिखने का तरीक़ा छोटा हुआ।

9:08पर minus का निशान कभी नहीं हटता, क्योंकि वही बताता है कि संख्या 0 के बाईं ओर है। अब 3 क्रम पढ़िए। 2, 5 के बाईं ओर है, तो 2, 5 से कम है। minus 3, 2 के बाईं ओर है, तो minus 3, 2 से कम है। और minus 5, minus 3 के भी बाईं ओर है, तो minus 5, minus 3 से कम है। यही वो तुलना है जिसके लिए ये पूरी बात शुरू हुई थी।

9:39अब अपनी संख्याएँ चुनिए, 3 positive और 3 negative। कोई भी चुनिए, तरीक़ा हर बार काम करेगा। मान लीजिए आपने 7, 2 और 4 चुने, और minus 6, minus 1 और minus 3। हर एक को number line पर उसकी जगह पर लगाइए। यानी positive संख्याएँ दाईं तरफ़, और negative बाईं तरफ़। अब बाएँ से दाएँ पढ़िए। minus 6, minus 3, minus 1, 2, 4, और 7। यही बढ़ता हुआ क्रम है।

10:13negative संख्याओं में सबसे बड़े आकार वाली, minus 6, सबसे पहले आई। और दाएँ से बाएँ पढ़ें, तो घटता हुआ क्रम मिलता है। 7, 4, 2, minus 1, minus 3, और minus 6। अब minus 100 और 250 को एक ही तस्वीर पर रखना है। हर संख्या का एक निशान लगाएँ, तो 350 निशान चाहिए। इस पैमाने पर वो 15 स्क्रीन जितना लंबा हो जाएगा। इसलिए एक unmarked number line बनाते हैं, जिस पर बस 0 का निशान होता है, और दोनों सिरों पर तीर।

10:51minus 100 को 0 के बाईं ओर रखिए, और 250 को दाईं ओर। दूरी नापकर नहीं, बस क्रम सही रखकर। ये अधूरी number line नहीं है। ये जानबूझकर ऐसी बनाई जाती है, ताकि बहुत बड़ी संख्याएँ भी एक साथ आ सकें। तो कम होने का मतलब जगह है, आकार नहीं। खड़ी तस्वीर में नीचे होना, और number line पर बाईं ओर होना।