Zero pairs: एक positive और एक negative token एक-दूसरे को क्यों काट देते हैं

0:00lift में एक lift चलाने वाला है, और वो बहुत ऊब गया है। तो वो गिनती रखने लगता है। हर बार plus का बटन दबाने पर वो अपनी जेब में एक हरा token डालता है, और minus दबाने पर एक लाल token। कुछ देर बाद वो जेब खाली करता है। उसमें 5 हरे token हैं और 3 लाल, सब आपस में मिले हुए। अब सवाल ये है कि वो किस floor पर खड़ा है?

0:26ध्यान दीजिए कि उसके पास क्या है। जेब को याद है कि हर तरह का बटन कितनी बार दबा, पर किस क्रम में दबा, ये वो पूरी तरह भूल चुकी है। ये बात इस पूरे वीडियो में सबसे ज़्यादा काम आएगी, इसलिए इसे याद रखिए। पहले लंबा रास्ता लेते हैं, वही तरीका जो हम पहले से जानते हैं। plus के 5 दबाव, यानी plus 5 की चाल। minus के 3 दबाव, यानी minus 3 की चाल।

0:55तो जोड़ बनता है, plus 5 में minus 3 जोड़िए। lift में ये दरवाज़े से 5 floor ऊपर जाना है, फिर 3 floor नीचे आना। ऊपर खेल-कूद तक, फिर नीचे कला केंद्र तक। वो floor plus 2 पर है। ये तरीका सही है, पर इसमें पूरा सफ़र चलना पड़ा। जेब को पढ़ने का एक तेज़ तरीका भी है, और वो ज़्यादा दिलचस्प है। ढेर में से बस एक हरा और एक लाल token निकालिए।

1:26हरा token plus का एक दबाव है। लाल token minus का एक दबाव है। दोनों एक के बाद एक दबाएँ, तो आप कहाँ पहुँचेंगे? एक floor ऊपर, फिर एक floor नीचे। आप ठीक वहीं पहुँचते हैं, जहाँ से चले थे। उल्टे क्रम में भी यही होता है। एक नीचे, फिर एक ऊपर, और आप फिर भी वहीं हैं। ये सिर्फ़ दरवाज़े से नहीं, किसी भी floor से सच है। एक ऊपर और एक नीचे, और lift उसी floor पर लौट आती है।

1:57तो एक हरा और एक लाल, साथ मिलकर, 0 के बराबर हैं। इस जोड़ी का एक नाम है। इसे zero pair कहते हैं। ये नाम किसी ने ऊपर से नहीं चिपकाया। ये जोड़ी 0 के बराबर है, इसीलिए इसका नाम zero pair है। पर इसका मतलब ध्यान से समझिए। दोनों दबाव सच में हुए थे। lift सच में ऊपर गई थी, और सच में वापस आई। एक पल के लिए वो दूसरे floor पर था, floor plus 1 पर।

2:280 दबाव नहीं हैं। 0 उनका असर है, यानी वो आख़िर में कहाँ पहुँचा। इसलिए हम जोड़ी को मिटाएँगे नहीं, बस उस पर लकीर खींचेंगे। वो हुई थी, बस गिनती में नहीं आती। अब जेब के token पंक्तियों में रखिए, हरे ऊपर और लाल नीचे, ताकि हर लाल किसी हरे के ठीक नीचे हो। ऊपर 5 हरे token हैं। नीचे, पहले 3 हरों के नीचे, 3 लाल। ये एक zero pair है।

2:57ये दूसरा है। और ये तीसरा। हर जोड़ी 0 के बराबर है, तो हर जोड़ी हटाई जा सकती है। उन पर लकीर खींचिए। ऐसा करने से पहले कुछ जाँचना नहीं पड़ता। जोड़ी का मोल 0 है, तो उसे हटाने से ढेर का मोल नहीं बदल सकता। और अब देखिए कि क्या बचा है। 2 हरे token अकेले खड़े हैं, और उन्हें काटने वाला कोई नहीं। 2 हरे यानी plus के 2 दबाव, यानी plus 2 की चाल।

3:28यानी वो floor plus 2 पर है, ठीक वही जो लंबे रास्ते से मिला था। तो जेब एक ही कदम में पढ़ी जा सकती है। हर जोड़ी हटा दीजिए, और जो बचे वही जवाब है। यहाँ 3 जोड़ियाँ गईं, और 2 हरे token बचे। ये कोई जादू नहीं है। जोड़ियों का मोल 0 था, तो उन्हें हटाने से कुछ नहीं बदला, और जो बचा उसी में पूरा मोल है। अब एक सवाल, जिसमें उल्टा होता है।

3:56plus 5 में minus 8 जोड़िए। ऊपर 5 हरे token हैं, और नीचे 8 लाल। यहाँ 5 zero pairs बनते हैं, और सब हटा दिए जाते हैं। 3 लाल token बचे हैं, जिनके साथ कोई हरा नहीं। 3 लाल यानी minus के 3 दबाव, तो जवाब minus 3 है। ये दरवाज़े से 3 floor नीचे है, सिनेमा पर। एक बात का ध्यान रखिए। लाल ज़्यादा थे, इसलिए जवाब negative है।

4:25negative का मतलब बड़ा नहीं होता, इमारत में minus 3 शुरुआत से नीचे है। यानी token गिनते ही पता चल जाता है कि कौन सा रंग बचेगा। जिस रंग के token ज़्यादा हैं वही बचेगा, और उतने ही जितना दोनों गिनतियों का फ़र्क़ है। और अगर दोनों गिनतियाँ बराबर हों, तो कुछ नहीं बचता, और जवाब 0 है। अब 4 सवाल token से करते हैं। इनमें से 2 अजीब हैं, तो पहले उन्हीं को देखते हैं।

4:53plus 6 में plus 4 जोड़िए। यानी 6 हरे token और 4 और हरे, एक भी लाल नहीं। काटने को कुछ नहीं है, एक भी जोड़ी नहीं। तो कुछ नहीं हटता, और 10 हरे token का पूरा ढेर ही जवाब है, plus 10। minus 3 में minus 2 जोड़िए। 5 लाल token हैं, हरा एक भी नहीं। फिर से कुछ नहीं कटता, और पूरा ढेर ही जवाब है, minus 5।

5:19इन 2 सवालों में तरीका टूटा नहीं। तरीके ने जोड़ियाँ ढूँढीं, और एक भी नहीं मिली। अब बाक़ी 2 सवाल। पहला है plus 5 में minus 7 जोड़ना। यानी ऊपर 5 हरे token, और नीचे 7 लाल। 5 जोड़ियाँ हटती हैं, 2 लाल बचते हैं, और जवाब minus 2 है। दूसरा है minus 2 में plus 6 जोड़ना। 2 जोड़ियाँ हटती हैं, 4 हरे बचते हैं, और जवाब plus 4 है।

5:50और हर बार lift को एक-एक दबाव करके चलाएँ, तो भी यही जवाब मिलता है। अब उल्टा चलते हैं। ये 2 जेबें पहले से खाली की हुई हैं, और सवाल ये है कि हर lift चलाने वाला किस floor पर है। पहली जेब में 3 हरे token हैं, और उनके नीचे 5 लाल। यहाँ लाल ज़्यादा हैं, इसलिए पहले से पता है कि जवाब negative होगा। 3 हरे और 5 लाल यानी plus 3 में minus 5 जोड़ना।

6:20जोड़ियाँ बनाइए, 3 जोड़ियाँ जाती हैं, और 2 लाल बचते हैं। तो ये lift चलाने वाला floor minus 2 पर है, वीडियो गेम वाले floor पर। दूसरी जेब में 6 हरे और 3 लाल हैं। यानी plus 6 में minus 3, और 3 जोड़ियाँ जाने के बाद 3 हरे बचते हैं। तो वो floor plus 3 पर है, कॉमिक्स की दुकान पर। ध्यान दीजिए, बनी हुई जेब जवाब नहीं दिखाती, सवाल दिखाती है।

6:48जवाब वो है जो जोड़ियाँ हटने के बाद बचता है। अब वो बात, जिसके लिए ये सब था। 5 हरे और 3 लाल वाली जेब फिर से खाली कीजिए, बिल्कुल अलग क्रम में। इस बार पहले लाल आता है। फिर 2 हरे, फिर एक लाल, फिर एक हरा, फिर आख़िरी लाल, और फिर 2 और हरे। हर token को उसके बाद आने वाले दूसरे रंग के पहले token से जोड़िए।

7:17इस बार अलग token आपस में जोड़ी बना रहे हैं। पहला लाल अपने बाद वाले पहले हरे से जुड़ता है। फिर अगला हरा अगले लाल से, और उसके बाद वाला हरा आख़िरी लाल से। 3 जोड़ियाँ जाती हैं, और 2 हरे बचते हैं। फिर से मिलाइए। अलग क्रम है, अलग जोड़ियाँ हैं, पर फिर 3 जोड़ियाँ जाती हैं और 2 हरे बचते हैं। ये जेब कुल 56 अलग क्रमों में खाली हो सकती है।

7:45हर एक क्रम में 3 जोड़ियाँ बनती हैं, और 2 हरे बचते हैं। ये किस्मत नहीं है। ये जेब की अपनी बनावट है। जेब में सिर्फ़ गिनती रहती है, एक रंग के 5, दूसरे के 3। उसे याद ही नहीं कि कौन सा दबाव पहले हुआ, तो उससे पढ़ी गई कोई भी बात क्रम पर टिक ही नहीं सकती। और ये जोड़ के बारे में एक बड़ी बात है। इसका मतलब है कि plus 5 में minus 3 जोड़ना, और minus 3 में plus 5 जोड़ना, एक ही जवाब देंगे, यानी plus 2।

8:17इसलिए नहीं कि किसी ने बताया, बल्कि इसलिए कि जेब इन दोनों में फ़र्क़ ही नहीं कर सकती। और ये सिर्फ़ इन 2 संख्याओं के लिए नहीं है। कोई भी 2 संख्याएँ लीजिए और किसी भी क्रम में जोड़िए, lift एक ही floor पर रुकती है। आपने सुना होगा कि जोड़ किसी भी क्रम में करें, जवाब वही आता है। यहाँ पहली बार दिखता है कि ऐसा क्यों है। आख़िर में, ये विचार कितना पुराना है।

8:44बहुत पुराने समय में कुछ गणितज्ञ हिसाब करने के लिए एक पट्टी पर छोटी-छोटी डंडियाँ रखते थे। उनकी डंडियाँ 2 रंगों की थीं। लाल डंडियाँ उन मात्राओं के लिए थीं जिन्हें हम plus से लिखते हैं, और काली उनके लिए जिन्हें हम minus से लिखते हैं। एक लाल और एक काली डंडी साथ रखें, तो उनका मोल 0 था, और उन्हें पट्टी से उठाया जा सकता था। उनके रंग हमारे रंगों से उल्टे हैं।

9:10इससे पता चलता है कि रंग कभी असली बात थे ही नहीं। असली बात ये है कि token 2 तरह के हैं, हर तरह का एक मिलकर 0 बनाता है, और जो बचता है वही जवाब है।