जोड़ एक चाल की तरह: शुरुआती स्थिति में चाल जोड़ने से लक्ष्य स्थिति मिलती है

0:00फिर से उसी मौज-मस्ती वाली इमारत में चलते हैं, जिसकी lift में बस 2 बटन हैं, plus और minus। पहला सवाल ये है। आप खाने-पीने की जगह पर हैं, जो floor plus 1 है, और आप plus 2 दबाते हैं। lift कहाँ रुकेगी? दूसरा सवाल बिल्कुल अलग लगता है। दरवाज़े से पहले plus 1 दबाइए, फिर plus 2। कुल मिलाकर आप कितना चले? दोनों का जवाब एक ही निकलता है, plus 3।

0:30पहले में वो कॉमिक्स की दुकान है, दूसरे में वो 3 floor ऊपर की चाल है। और दोनों को एक ही तरह लिखा जा सकता है। plus 1 में plus 2 जोड़िए, तो plus 3। ये इत्तफ़ाक़ नहीं है। floor और चाल, दोनों एक ही इकाई में गिने जाते हैं, एक ही 0 से, एक ही दिशा में। जोड़ने का पुराना मतलब था, 2 ढेरों को मिलाना। उस मतलब से, जोड़ने पर कुछ कभी छोटा नहीं हो सकता।

1:00इसलिए इस इमारत में जोड़ने का मतलब बदलता है। अब जोड़ने का मतलब है, किसी जगह पर एक चाल लगाना। पूरा नियम एक वाक्य में है। शुरुआती floor में चाल जोड़िए, तो मंज़िल वाला floor मिलता है। आप सोच सकते हैं कि इस जोड़ में 2 floor आपस में जोड़े जा रहे हैं। ऐसा नहीं है। 2 में से बस एक संख्या floor है, दूसरी ये बताती है कि कितने floor चले।

1:24पहली संख्या बताती है कि आप कहाँ खड़े हैं। दूसरी बताती है कि कितना और किस तरफ़ जाना है। और हर संख्या को उसके sign के साथ bracket में लिखते हैं, ताकि sign अपनी संख्या से अलग न हो। एक निशान खाने-पीने की जगह पर रखिए, floor plus 1 पर। चाल है plus 2, यानी 2 floor लंबा एक तीर, ऊपर की ओर। ध्यान दीजिए कि निशान और तीर 2 अलग चीज़ें हैं।

1:52निशान एक जगह है, तीर एक चाल। अब तीर के साथ चलिए। एक floor, फिर दूसरा, और lift रुकती है plus 3 पर, कॉमिक्स की दुकान। लिखें तो, bracket में plus 1, जोड़ bracket में plus 2, बराबर plus 3। और हर हिस्से का अपना काम है। plus 1 एक जगह है, plus 2 एक चाल है, और plus 3 फिर से एक जगह, वो floor जहाँ lift रुकी। अब आइसक्रीम वाले floor से शुरू कीजिए, जो plus 4 है, और minus 3 दबाइए।

2:29इस बार तीर नीचे की ओर है, 3 floor लंबा। lift रुकती है खाने-पीने की जगह पर, plus 1 पर। यानी plus 4 में minus 3 जोड़ा, और जवाब plus 1 आया। और इस बार वो हुआ जो जोड़ने में कभी नहीं होना चाहिए था। जोड़ने पर संख्या plus 4 से घटकर plus 1 रह गई। इसके लिए sign का कोई नियम याद नहीं करना पड़ा। lift बस नीचे गई, क्योंकि चाल नीचे की थी।

2:57जोड़ने से संख्या तभी बढ़ती है, जब चाल ऊपर की ओर हो। नीचे की चाल जोड़ने से संख्या घटती है। अब कुछ जोड़ एक-एक करके इमारत पर चलाइए, और हर बार गिनिए कि lift कहाँ रुकती है। पहला, plus 1 से plus 4 दबाइए। lift रुकती है plus 5 पर, खेल-कूद वाले floor पर। दूसरा, plus 4 से plus 1 दबाइए। फिर से plus 5, वही खेल-कूद। तीसरा वही है जो अभी देखा, plus 4 से minus 3, और जवाब plus 1।

3:31चौथा, खिलौनों की दुकान से, यानी minus 1 से, plus 2 दबाइए। lift दरवाज़े से गुज़रकर plus 1 पर रुकती है। शुरुआत negative हो, तो भी नियम वही रहता है। आप जिस floor पर खड़े हैं, उसी से चाल चलिए। पाँचवाँ, minus 1 से plus 1 दबाइए। lift ठीक दरवाज़े पर, floor 0 पर वापस आ जाती है। छठा, दरवाज़े से, यानी 0 से, plus 2 दबाइए। आप plus 2 पर पहुँचते हैं, कला केंद्र।

4:04और सातवाँ, 0 से minus 2 दबाइए। आप पहुँचते हैं minus 2 पर, वीडियो गेम वाले floor पर। आप सोच रहे होंगे कि 0 में से 2 कैसे निकलेंगे, जब 0 पर कुछ है ही नहीं। पर इस जोड़ में कुछ निकाला नहीं जा रहा। आप दरवाज़े पर खड़े हैं, और 2 floor नीचे जाते हैं। और negative जवाब कोई ग़लती नहीं है। minus 2 एक असली floor है, जहाँ लोग वीडियो गेम खेल रहे हैं।

4:30सातों में से 2 जोड़ ऐसे थे, जिनमें lift शुरुआत से नीचे रुकी। plus 4 में minus 3, और 0 में minus 2। दोनों में चाल नीचे की थी। अब सवाल उल्टा कीजिए। मंज़िल तय है, minus 5, डायनासोर वाला floor। आप plus 2 पर हैं। कौन सी चाल आपको minus 5 पर उतारेगी? जवाब है minus 7। 2 floor नीचे आकर आप दरवाज़े पर हैं, और 5 और नीचे डायनासोर।

5:040 से चाल होगी minus 5। minus 1 से minus 4। और सबसे ऊपर, plus 6 से, पूरे minus 11। हर floor से ऐसी ठीक एक ही चाल है। और वो कभी plus नहीं होती, क्योंकि minus 5 से नीचे कोई floor है ही नहीं। इस सवाल में पहली बार चाल वो चीज़ है जो पता नहीं है। शुरुआत और मंज़िल पता हैं, चाल ढूँढनी है। मान लीजिए कोई खिलौनों की दुकान पर है, minus 1 पर, और उसे 2 floor नीचे सिनेमा जाना है।

5:36पर ग़लती से पहले plus 2 बार दब जाता है। फिर सुधारने के लिए minus 3 बार दबाया जाता है। 2 तीर एक के बाद एक जोड़िए। 2 ऊपर, फिर 3 नीचे। कुल मिलाकर चाल हुई minus 1। पहली नज़र में लग सकता है कि lift floor minus 1 पर पहुँची। पर minus 1 कुल चाल है, floor नहीं। lift खिलौनों की दुकान से 1 floor नीचे, minus 2 पर रुकी।

6:04यानी lift वीडियो गेम पर है, सिनेमा पर नहीं। सिनेमा तक पहुँचने के लिए एक बार और minus दबाना पड़ेगा। तो जोड़ को दूसरे तरीक़े से भी पढ़ा जा सकता है। चाल में चाल जोड़ो, तो एक कुल चाल मिलती है। अब लगातार 3 चालें। plus 4, फिर minus 3, फिर minus 2। 4 ऊपर, 3 नीचे, और 2 नीचे। दरवाज़े से शुरू करें, तो lift रुकती है minus 1 पर।

6:34और minus 1, फिर plus 2, फिर minus 3। इस बार कुल चाल है minus 2। और plus 1 में plus 4, और plus 4 में plus 1, ये दोनों भी फिर से लीजिए। पहले इन्हें floor और चाल की तरह पढ़ा था, अब 2 चालों की तरह। किसी भी तरह पढ़िए, जवाब plus 5 ही आता है। यानी एक ही जोड़ के 2 मतलब हैं, और दोनों का जवाब हमेशा एक जैसा आता है।

7:04वजह वही है, जगह भी उसी 0 से गिनी जाती है जिससे चाल। plus 1 फिर plus 4, और plus 4 फिर plus 1, इन दोनों को साथ-साथ चलाइए। दोनों plus 5 पर रुकते हैं। रास्ते अलग हैं। एक पहले एक floor चढ़ता है, दूसरा पहले 4। पर पहुँचते दोनों एक ही जगह हैं। वजह सीधी है। lift को बस इतना पता है कि कुल कितनी बार ऊपर गई और कितनी बार नीचे।

7:34किस क्रम में, इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता। और ये सिर्फ़ इन उदाहरणों की बात नहीं है। हर floor से, 2 या 3 चालों का हर क्रम जाँचा गया, जो इमारत के अंदर रहता है। हर बार मंज़िल वही निकली। plus 4, minus 3, minus 2 को 6 अलग क्रमों में लगाया जा सकता है। हर क्रम अलग floors से गुज़रता है, पर सब एक ही floor पर रुकते हैं। अब एक खान लीजिए, जिसके बीच से एक गहरा रास्ता नीचे जाता है, और उसमें भी एक lift चलती है।

8:07इस खान में ज़मीन का level 0 है, और बाक़ी levels मीटर में नापे जाते हैं, ऊपर plus 180 मीटर से नीचे minus 175 मीटर तक। 0 के ऊपर 4 levels हैं, और 0 के नीचे भी 4। plus 40 वाले level से lift 60 मीटर ऊपर चलती है। plus 40 में plus 60 जोड़िए, और आप plus 100 पर हैं, जहाँ lift का एक और पड़ाव है। और minus 90 से 55 मीटर और नीचे जाइए।

8:34minus 90 में minus 55 जोड़िए, जवाब minus 145, जो minus 125 और minus 175 के बीच है। मीटर आ जाने से ये कोई नया विषय नहीं बन जाता। शुरुआत में चाल जोड़िए, मंज़िल मिलती है। नियम वही, बस इकाई बदली और फ़ैलाव बढ़ा। अब इमारत हटा दीजिए। एक ऐसी lift सोचिए, जिसका न कोई सबसे ऊपरी floor है, न सबसे निचला। उसके साथ एक पैमाना है, हर 100 पर निशान, minus 1000 से plus 1000 तक, और दोनों सिरों पर तीर, क्योंकि ये आगे भी चलता है।

9:13minus 125 से minus 30 चलिए। आप minus 155 पर पहुँचते हैं। plus 105 से plus 55, यानी plus 160। plus 80 से plus 150, यानी plus 230। और minus 99 से plus 200 चलिए। 99 floor चढ़कर आप 0 पर हैं, और 101 और ऊपर, यानी plus 101। इतनी बड़ी इमारत कोई नहीं बना सकता, पर नियम को इमारत की ज़रूरत ही नहीं। अब floor कहने की ज़रूरत भी नहीं, बस जगह कहना काफ़ी है।

9:48शुरुआती जगह में चाल जोड़िए, तो मंज़िल वाली जगह। आख़िर में, 4 जोड़ जिनमें चाल छिपी है। plus 40 में क्या जोड़ें कि plus 200 मिले? जवाब है plus 160, यानी 160 ऊपर। अब plus 40 में क्या जोड़ें कि minus 200 मिले? 40 नीचे आकर 0, फिर 200 और नीचे, यानी minus 240। यहीं वो पुरानी आदत ख़त्म होती है, कि जोड़ने से चीज़ बढ़ती है। minus 240 जोड़ने से संख्या पूरे 240 घट गई।

10:25और minus 50 से शुरू करें, तो plus 200 तक पहुँचने के लिए plus 250 चाहिए, और minus 200 तक minus 150। तो पूरी बात एक नियम में है। शुरुआत में चाल जोड़िए, मंज़िल मिलती है। इमारत में, खान में, और बिना दीवारों वाली lift में भी। और ये इसलिए चलता है, क्योंकि जगह और चाल एक ही इकाई में, एक ही 0 से, एक ही दिशा में गिनी जाती हैं।

10:52इसी वजह से जोड़ का जवाब negative भी हो सकता है।